Resa, — Mécanique céleste
147. Expression de la surélévation de la mer dans chaque port. — 1° Oscillauons de la premiere espèce. — L’équation (4) du n° 134 nous donne
La
1 + 3cos20 | M M' (D) |
— (1— 3sin?v) + —(1— 3sin?v')|.
Seat) la HEC è 2° Oscillations de la seconde espèce. — Nous pouvons, dans les formules (6) du n° 144, remplacer sintt par
LR Pre | 5 SV COS v sin(z£-— vd),
el cost par
— SINV COSY COS (rt uw); A°
car, par la substitution dans les équations (1) du n° 132, les dérivées par rapport aux temps de 4, v, Ÿ seront très petites, en raison de la lenteur avec laquelle varient ces quantités comparativement à la durée du jour, et pourront, par suite, être négligées. La première des formules (6) du n° 14% pourra alors se mettre sous la forme
ob!
— SinvCosysin(né+m—4—$),
+, 6 étant des fonctions de w et de & dépendant uniquement de la loi de profondeur de la mer.
En ajoutant à cette oscillation celle qui est due à l'attraction de la Lune, nous aurons pour résultat
Me |s=a| — SINV COSY COS(7L + æù — 4 — 86)
N c ! AAC : 1! !
+ 15 SIN V COS v cos(nt+m—td'—8$6')].
3° Oscillations de la troisième espèce. — En faisant le même raisonne-
ment que ci-dessus, on est conduit à poser
| M ; | ü COS? V COS2 (76 + m — Ÿ — À) (D") ' + UE cos? v'cos2(nt+m—4—))|,
en désignant par ws et x deux fonctions analogues à & et 6.
En faisant la somme des expressions (D), (D’), (D”), on a, pour l’oscillation totale, |
| 1 + 3C0S20 Le nr M' ee 8g(1—%) FE 9 SIN DE — 3sin°y')
| 15 SINY COSV Cos(nt + m —d — $) M’.
(7) ( + sin v'cosv'cos (nt + m—4'— fi) M 2 + V ns COS V COs2(né + m —% — À) M Ne D | + — cos? v'cos2(né + m —d'—))|.
D’après cette formule, on voit que l'instant du maximum ou du minimum d’une oscillation peut être différent de celui du passage au méridien de l’astre qui l’a produit, ce qui est conforme à l’observation; mais le maximum et le minimum des oscillations d’une même espèce suivraient d’un même intervalle les passages de leurs astres respectifs. Il faut donc supposer que à et 8, qui se rapportent au Soleil, ont des valeurs différentes de celles des constantes X et £’, qui sont relatives à la Lune. L'hypothèse la plus simple que l’on puisse faire sur la loi de la variation de ces constantes consiste à supposer qu’elles varient proportionnellement à la vitesse angulaire de l’astre. En désignant par y et T deux constantes spécifiques pour le port considéré, par mr, m' les vitesses angulaires du Soleil et de la Lune, nous poserons
Les constantes y et T ne paraissant dépendre que des inégalités du fond de la mer et de la plage, nous pouvons poser
br NE
Le coefficient 1, qui est censé se rapporter au Soleil, paraît avoir une autre valeur w#’ pour la Lune, et, en admettant que ces deux coeficients suivent la même loi que à, X, nous aurons
db'—=P(r—2m'Q),
en désignant par P et Q deux constantes pour un même port.
Les quantités (7 — n)T, (m'— n)T, mPQ, m'PQ sont assez petites pour qu'on puisse en négliger les carrés ou les produits. Nous avons, en conséquence,
COS (nt + m — 4 —). ) = cos(nt + m — 4 — y) + sin(ré+m—% — y).(m— n)T,
COS (né + m —W'— 1) — cos(nt +m—V— 7%) + sin(nt+m—Ÿ'— +).(m— n)T, COS2 (nt + 7m — 4 — À)
— COS2(n7É+m—4—y)+osin2(nt+m—4
y) (nm — n)T,
Cos2(nt+m —d'— )) = Cos2(nt+m —0Ù
y) +2sin2(nt+m—d'—,)(m—n)T.
L'équation (7) devient, par suite, au degré d’approximation convenu,
3 cos 20 , ; à me as a G 3Sin?v) + (= 3sintv |
| | 73 Sin cosy COS(nt + mm —d — y)
1 RE sin v'Ccos v'cos(nt + m' — 4 — |
M . ) e «| — SiNv COSV SIN (7{ + m — 14 A
== x sin v'Cos v'sin (né + m'— V—y)(m—n)T (31) , 2PQ il OS?V COS2(7É + — à — y (7 \ cr HE PEN 2 (RE D = dy)
M' + m'— cos? v'Ccos2(7t + m'— 4.) A 1
M +P| ü COS?Y COS2(7t + 7m — 1
; £ Se 15 COS V'COS2 (nt + w — Y— 7) |
+2PT| (m — n)= COS*v Sin2 (né +m —4 —})
+(m'— n) NE cos?v'sin2(né+m —d— + )|.
148. Prédiction des heures des marées. — Laplace, en discutant les résultats d’un grand nombre d'observations faites à Brest, a reconnu que les termes dépendant de Q et T sont très petits, et, en les
négligeant, il vient
RTE [as sine) + Gr 8sintv ]
Mare ’ ; Y)+ = sinv'cosv'cos(nt+m—4—7) NE
+ db [5 SIN VCOS V COS (76 + 7 — 4 È
M M' + P É COS? v COS 2 (726 + m — 4 — +) + RE cos? v’ cos 2 (nt + 5m — L'— D |:
Si nous considérons 4, v, d comme constants dans la différentiation par rapport au temps, par des motifs que nous avons fait connaître plus haut et sur lesquels nous n'avons pas à revenir, et si nous négligeons
S118 eb Q \ Q y . dz .
le rapport ,p° dui, à Brest, atteint au plus +, l'équation TH —=0 qui doit donner les heures de la haute et de la basse mer, devient
x cos’ vsin2(né km—% —7)- 1 COS? V'sin2 (né +m—Y/— +) —0,
d’où M :
5 cos?vsin2( — V')
tango(nt+m—t—})— =
ME E M’ (Œ) Fe CO COS CON) — cosiys
M'.M cos?v' ADAM COS2V
Soient 5, à les demi-diamètres apparents du Soleil et de la Lune correspondant aux distances 4, 4’; 5,, à, les valeurs qu’ils prennent pour les distances moyennes 4,, 4;
Les résultats des observations de Brest ont conduit Laplace à poser
M'.M ot 3,06,
rapport qui diffère peu du nombre 3 que nous avons admis plus haut Nous avons
SR T = NF = F5
A Ô, A do
En supposant le rapport — égal à l'unité, quoiqu'il lui soit supérieur de 0,03 environ, la formule (E) devient
sin2(4 — V)
SIND CET Ô COS°Y AE D 3,06 (7) a.
nt+m—%'—;,—tlarc tang
Soient
t’ le temps au bout duquel la Lune est passée au méridien ;
p l’heure de ce passage ;
H celle de la marée;
« — — Ÿ' l’excès de l'ascension du Soleil vrai sur celle de la Lune.
Nous avons nt +m— V4 —0;
par suite, sin 2% ; dASECOS AE COS24 + 3,006 CS RE Ô cos? v
n(é—t')—y—{tarctang
mais nous AVONSs AUSSI n(t—{t) H—p
s 12Y d’où, en remplaçant —— pare,
6 Sin 2 % H— p—e— -arctang — = TRSr 0 T 0 \3 Cos?v cos 2 a + 3,06 | — [eo]
cos? v
Si nous convenons d'exprimer l'arc en degrés, on devra multiplier le
, Q T second membre de cette équation par > et nous aurons finalement
sin2x (3) H—p—e—-larctang
cos22 + 3,06 (+
