ESTE
Q, = (ie pe) I pe? ) P,-> P, étant un polynôme du degré (v — 2) affecté d’un coefficient arbitraire. Supposons que a soit de la forme
ai p)(Po EP EE PS);
l'équation (2) nous donnera
SN HE CR “| ) (: ne ps Pa — + Gv + I £
et le dénominateur (1 — 4?) disparaîtra de l’équation (5”). Considérons, comme aux n° 138 et 139, la constante g comme une inconnue, el exprimons que
&nua' da ns l du.
est divisible par & — 4n°?u?; nous aurons, comme aux numéros pré-
cités, par l'identification des termes semblables des deux membres de l'équation (5”), le nombre voulu d'équations pour déterminer g et les coefficients des fonctions P.
Soit Gu?*? le terme du degré le plus élevé en y de P,, ,; le terme correspondant de «' sera |
CD Qt Q9
et celui du second membre de l'équation (5)
ve 2 n 30 G 54 2V? + v + 1 : Gr) Lee; 2 n° l 4v +)
: Ê : ARE D en égalant ce dernier terme à G(1 —p?)#?" ? et remarquant que —
est sensiblement égal à l’unité, on trouve
Q= : ; 30 ) Lo I Î 9 y? L I | ( 4v +1 Fur)
et l’on pourra déterminer, pour la loi de profondeur résultant de cette valeur, qui est la même que celle du n° 139 qui se rapporte aux oscillations de la seconde espèce, Les oscillations de la troisième espèce.
142. Loi des oscillations de la troisième espèce dans l’hypothèse d’une profondeur constante. — Nous avons vu (n°140) que cette hypothèse est la seule compatible avec les résultats de l’observation.
Comme les quantités À, v, Ÿ varient très lentement relativement à la durée du jour, nous pourrons les considérer comme constantes.
D’après ce qui précède, v, dans la formule (2) du n° 132, ne doit pas être inférieur à 2, et, comme la densité relative p est plus petite que ?, on peut, sans inconvénient, la négliger dans cette formule.
Nous avons __3M
Ve Fan p?) cos? v cos2(n£ + 5 — 4),
et si nous posons 3 = aCos2(nt+m—4),
il vient, en se reportant au n° 135,
ae 3M ; ; GANG — 1 EC Ve
Nous devrons supposer :— 27, q —o dans l’équation (5”), et, en
posant UE SIN 72 cette équation devient
2 da da x s CS COM a? (1 — & 2 — 9 AM TÈ - æ* | + A LACOSENE—= 0;
à bre dx
Re à . 2e Resa. — Mécanique céleste. 49
Pour satisfaire à cette équation, supposons que a soit développable en série convergente ordonnée suivant la puissance de x?, et soit
a—=A,2t+ A,xg +... HA, DV EAST A, TE...
Si l’on substitue cette valeur dans l’équation ci-dessus, on trouve d’abord, en identifiant les coefficients de æ?,
3M AS — FRS cos? Y.
EN g
La comparaison des coefficients de x' donne une identité; enfin, pour v51, la comparaison des coefficients de æ°*** donne
(ea PS
Cette équation permettra de déterminer A;, A4. ... lorsque A, et A, seront connus. En les mettant sous la forme l
Aoyye de Le A Al et AV + 3v — (2%? + Cv) aise À +0 on en déduira an Aou lg ATOS ln? | | Te LEE) 2 y? + 34 e 7
— L(PREnUE ES er]
d’où, en supposant y —1,
HO Le AT— = PE = (pa 0) , Le PR te EU a — = (2°+ 3,9) D. 2243.09 2] — = OR RES 1 (31493) à Lg >.3- 3,8 = —5—
LUS n°? :
On aura ainsi A, au moyen de À,. Le rapport — de la force centrifuge (e]
s . . 21 à la pesanteur est 55; si l’on suppose successivement = = 20, 5 ‘2
4 a en Q < à — ! L An pe les profondeurs correspondantes seront /= >, :5—, 557, en se rappelant que le rayon de la Terre a été pris pour unité. Les valeurs cor-
respondantes de a seront
7 1,0000 —-20,1862æ? +10,1164x* 3Mzx° cos®v{.—13,10472$ — 15,44882x8 — 9,4561x!° (GT E 19 = 1 16 |»
4aëg — 2,19799æ!?— 0,45o1xti— 0,068x \— 0,0082æ!5— 0,0008æ4%— 0,0001 2°} Le 3Mz? cos?v 1,0000 +6,19602? +3,2474æxt + 0,7238xt AE + 0,09192%+0,C076æx!+0,0004x!? $ 2 12 2 3Mz° cos? v : ses ; (OM GE (1,0000-+0,7504x? +0,1566x*+0,01574xî+0,0009 x).
LA g
Dans l'hypothèse actuelle d’une profondeur constante, Les oscillations de la seconde espèce sont nulles (n° 140); celles de la première espèce sont données par la formule (4) du n° 134 en y négligeant le terme en s, et, si on les réunit à celles de la troisième espece, on a pour résultat
M : à (B) Ce AN Ne -Lcos?v)(1+ 5 cos20) + a cos2 (rl + m — 4). (e]
En désignant par » la vitesse angulaire sidérale du Soleil dont l’orbite apparente est censée circulaire, on a
<a, d’où SMS RTE TER 3 haie &g n° 4 x 289 x (366,26
Si, au lieu du rayon terrestre, on prend le mètre pour unité, cette quantité devra être multipliée par 6366200, ce qui donne
Le rapport de la masse M’ de la Lune, divisée par le cube de sa moyenne +
distance a’ à la Terre, à la masse du Soleil divisée par le cube de sa moyenne distance à la Terre, étant égal à 3, on a
3M' & ue Gaz 0 012010:
Nous désignerons par v’ et !’ l'ascension droite et la déclinaison de la Lune.
En nous plaçant dans le cas de la formule (x) qui correspond à une profondeur égale à = du rayon terrestre, l'équation (6) nous donnera, pour l’oscillation totale due à l’action combinée du Soleil et de la Lune,
1 + 3 COSÙ
0212010 sin? y — 1 cos? v + 3 sin°v'— À cos?v' 3 2 2
IS 0000.00, 1802 7210, 11042 non sie —13, opt —19,44882$ — 5,4581x!" — 2,19799æ12— 0,45o1æ&!*— 0,0687x!f — 0,0082æ&15— 0,000827— 0,0001 4°?
X [cos?v cos2(nt+m — 4) + 3 cos? v'cos2(nt + 2m — d")].
Le coefficient des termes qui dépendent de la longitude est négatif pour æ —1, C'est-à-dire à l’équateur, nul pour x = sin 18° environ, positif à partir de la latitude de 18° jusqu’au pôle où x = o, valeur pour laquelle il s’annule encore.
Supposons que les deux astres se trouvent dans le plan de l’équateur où que v—0, v'— 0, selon qu'ils sont en conjonction ou en opposition, on à d'—4, d’— r80°+ 4; la basse et la haute mer correspondent respectivement à 74 + 5 — L—=0, nt +m—% = 9g0°,s10< 18°, etinversement lorsque 0> 18°. La différence des deux mers est de 5,34 à l'équateur, nulle à la latitude de 18° et au pôle. Ainsi donc la haute mer aurait lieu quand les deux astres se trouvent à l'horizon et la basse mer quand ils passent au méridien, dans la zone limitée par les latitudes de 18° et — 18°; l'inverse aurait lieu en dehors de cette zone jusqu'aux pôles, la différence des deux mers serait nulle pour les latitudes de 18° et — 18°.
ER
Dans le cas de la formule (x') ou de / —
on à
3cos2( 20m, 12316
g }(sinev — 1 cos?v + 3 sin?v'— 3cos?v')
0 123162%(° , 0000 + 6,19602?+ 3,2474 xt + 0,7236 x ) ,12
X [cos?v cos 271 + 5 — 4) + 3 cos?v' cos 2 (76 + — Ÿ')].
La haute mer aurait toujours lieu lors du passage au méridien des astres supposés en conjonction ou en opposition dans l'équateur, et la différence de la haute et de la basse mer à l'équateur serait de 11",05, en négligeant les carrés de v et v’.
L Ù Enfin, dans le cas de /— = ou de la formule (x”), on à Le , st el dC0S 20 RS MS be. 7x SC NNSAE 7 — 0%, PH (sin*v — + cos? v + 3sin°v' — £ cos? v')
à YA 12 = 4 + om, 12816 &% (000 +-0,7004 x dre)
X [cos?v cos 2 (nt + m — 4) +3 cos? v'cos2(nt + — 4/)],
et, dans les mêmes suppositions que ci-dessus, on aurait 1,00 pour la différence de la haute mer et de la basse mer à l’équateur.
Si laugmente, z diminue et la valeur de & se réduit bientôt à une quantité peu différente de la limite
—— cos? v/ A! g ?
SAMI I AAUR + —— L? COS? V + Lg
Es) ©
qui correspond à / = + ; on trouve alors, lorsque les deux astres sont en conjonction dans le plan de l’équateur, 0",98528 pour la différence des deux mers, ce qui est une limite inférieure.
La valeur ci-dessus de & n'étant autre chose que celle qui conviendrait au cas où la mer prendrait à chaque instant sa forme d'équilibre, nous sommes conduit à étudier directement cette question sans nous imposer aucune des conditions restrictives établies au commencement de ce numéro et en tenant compte simultanément des trois espèces
- d’oscillations.
tr
143. Forme d’équilibre que prendrait la mer sous l’action du Soleil et de la Lune. — Nous avons
ou
La portion V’ de V relative à l’action des astres est, comme nous l'avons vu, une fonction sphérique du second ordre; l’autre portion, due à l’excès sphéroïdal, est
(ZA +iZ2+...),
d’où il suit que z doit se réduire à Z,, et que par suite la forme d’équilibre est un ellipsoide. Nous avons ainsi, en nous reportant à la formule (3) du n° 133,
1 in2v 1 2y 2 in? v/ 1 2 y bi te gai —32p) {+ [sin v — Lcos?v + 3(sin?v'— À cos? v')] (1+ 3cos20)
+ 3 sin0 cosô [sin v cos v cos(zat+ m4) +3 sinv'cosv'cos(rt+m—#1')] + à sin?6 [cos?v cos 2(né + © — 4) + 3 cos! v'cos2(nt + — d')] |.
Si, avec la même déclinaison, le Soleil et la Lune sont en conjonction, l'excès de la haute mer à midi sur la mer qui la suit est 6M
Fetes sin?6 cos?v(1 + 2 tangy cot0), © Ent
et l'excès de la haute mer à minuit sur la basse mer,
AgC —5e)
sin?0 cos? v(1 — 2 tang v cot0).
Le rapport de ces excès 1 + 2 tang v cot0
1 — 2 tang v cotb
serait environ égal à 8 pour v — 23° et 0 — 48°23/22", colatitude de Brest.
Comme, d’après l’observation, ce rapport est très voisin de l'unité, on voit que l'hypothèse actuelle est inadmissible et qu’il importe de tenir
compte de l’inertie de la masse fluide, des forces apparentes dans le mouvement relatif.
$ LIT. — Lois GÉNÉRALES DES MARÉES.
14%. D’après ce qui précède, en supposant que le noyau terrestre est un ellipsoide de révolution, la marée aurait lieu précisément à l'instant du passage de l’astre considéré au méridien du lieu, ce qui est contraire à la réalité. Il nous reste donc maintenant à voir quelle influence peut avoir, sur les retards des marées, la profondeur de la mer en longitude et en latitude, indépendamment des résistances que nous avons négligées et qu'il nous parait impossible de soumettre au calcul.
Nous n'avons pas à revenir sur les oscillations de la première espèce, que nous avons déterminées au n° 134%, quelle que soit la profondeur de la mer.
La fonction V’ étant censée développée en une série de cosinus et de sinus d’angles multiples du temps, dont le type général est #, on satisfera aux équations (1) du n° 132 en posant
{ z—=F cosit + Gsincé, h gz— V =F'cosit + G'sincé, (8) u = H cosit + K sin, p = P cosit + Q sin,
F, G, F’, G’, H,K, P, Q étant des fonctions inconnues de y et 5. En identifiant les termes semblables, on trouve
. à HS dk!
BH + sai Q= VE ie dG' At = NN Fer KES SN 3 Lx F Bi me) P—onipVT KT, 3 RPPSA It nf (1 — a) Q+oniuVr1— 2 H — dG à do s d : 7 F 2e LEE ee P), ù d : d GE A UEVIE KE 00)
d’où, par l’élimination de F et G,
| pes dk" np. dG' | H Y dy. iVi us di ne — n°? ÉauE ARE dG' onu : dF' KL V du ii p? ds, (B) Gil 2 — Yn?pè è AFIORER D , aG' De ds Wii Ce ie) dix (2—4nw)(1—p) dG' 2nu CA mr ANNE He do l dy.
(— 4n?p?) (1 — pp?)
On a, par suite,
res VIT IGT ERRN CENT) lt TO Pre dé (mwen) de | du| = Urpt| du 1 dy daF' 2n 4 dy dG'
Gt —p)(2— 4) ds do — 4rp?) do dy A G) vu dG' it d®—-4nrw) du
En changeant dans cette équation F en G, F’ en G’, et réciproque-
2n 2n . ment OCDE 00 obtiendra la suivante :
| ee v{a—w) æ&G Y d&G E— 4n?u? dy? (1—w)(2— 4nu?) do?
(c') RAS de ar ï du — hn?u? du G—m)(2— 4nu) ds do 2np dy dE" on d yu dF!
ini? do'du 1 du e — ra) dy.”
et six des coefficients qui entrent dans les équations (6) se détermineront en fonction des deux autres F’ et G”.
145. Loi des profondeurs pour laquelle les oscillations de la seconde espèce sont nulles pour toute la Terre. — Nous avons F—0o,G—o et, d’après l’équation (2) du n° 132, gz — V se réduit à
for
— V', et en se reportant à la formule (3) du n° 133, les fonctions F', G’ sont de la forme
F'=Nuyi—pcoss, G——Nuyi—vwsins,
N étant une fonction du temps indépendante de s et de 5. Les équations (C) et (C’) deviennent
a d: .sinw d:
Vi— p?cosw AN Dm PAIE dy. Vi ds
———, . dy mCOosS dy Vi — ° SINT RE — — 10) dy Vi di d’où Ets Ci , EN To je
Donc, Les oscillations de la seconde espece ne pourraient disparaitre pour toute la Terre que si la profondeur de la mer était constante, ce qui est conforme au résultat obtenu au n° 140 dans un cas particulier.
146. Loi des profondeurs pour laquelle les oscillations de la troisième espèce sont nulles pour toute la Terre. — Nous avons F= 0, G—o, et (n° 133) F’ et G’ sont de la forme
F'=N(i1—p)cos20, G'——N(i—p)sin2s,
N étant une fonction de z indépendante de y et de 5. Les équations (C) et (C’) donnent
27 COS25 dy He ne : d'y ———; + pCOS25 - — SIN25 — — 0, [— p}? dy 2(1—4) ds 2ySin2w b dy 1 + pu? dy nt (Le SIT 2 TD 7x COS2w 0, 1— du 2(1— 1) do d’où a à" d'y > ï 5) LL + === 0) ds LANGE 1— et 1 — ° —= À — ;
A étant une constante arbitraire. Comme, pour & — o ou 6 — 0o°, on a y=®, on voit qu'#n’y a aucune lot admissible de profondeur qui puisse rendre nulles, pour toute la Terre, les oscillations de la troisième espèce.
