ET

dH dH

et, comme H est une des constantes arbitraires de la solution complète de l'équation (21), on obtiendra, d’après le n° 6, une des intégrales en égalant la dérivée précédente de S à une autre constante arbitraire C; on aura donc

dS :

AH ct ai —=t+C dd S

Cette dernière intégrale devant coincider avec l’une de celles qui sont comprises dans la formule (34), on doit avoir G— /, et il vient alors

dS

net (3) { | ca —t+l dd :

9. Méthode d’intégration de Jacobi. — En général, la détermination de $S ou de V suppose que le problème du mouvement a été résolu; car la théorie connue des équations aux dérivées partielles, appliquée à l’une ou l’autre des équations (21) et (32), conduit à des équations différentielles simultanées qu’il faut d’abord intégrer, mais

qui ne peuvent être autre chose que les équations (14) du mouvement. Cependant les propriétés des fonctions S et V permettent, dans certains cas où l’on connaît un nombre déterminé d’intégrales, de trouver les autres à l’aide d’une méthode générale due à Jacobt, et que nous nous bornerons à appliquer au cas de deux variables w, u,, le seul qui se présente dans la théorie du Système du monde.

Les équations types (15) du n° 3 nous donnent, pour les équations du mouvement,

{ du __ dH du di | CCD dr AD (a) dp __ dH dp, dH di D TT EC TIRE IT

en nous rappelant que nous avons posé

1 IT (b) P 1 pi"

— du ÿ Q % à à 10 " à 1 0 al Supposons que, outre l’intégrale (c) H — const.,

fournie par le principe des forces vives, on en connaisse une autre de la forme

(d) K=Æ= Const K étant une fonction de w, u,, p, p, qui ne renferme pas 4; nous avons

LS dK dK dK LÉ = 7. du +- : du; - “1 Dr ls — 0

ou dK du fe dK du, dK dp dK dp; du die du Cd ON TP OUT NRA

Si nous posons

M dK dH dK dH dK dH GK dp du du dp dp; du, du, dp;’

l'équation précédente, en ayant égard aux valeurs (a), se réduit à

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Supposons maintenant que p et p, soient exprimés en fonction de & et u,, au moyen des équations (c) et (4); ces deux équations, différentiées successivement par rapport à &w et u,, donneront les suivantes :

WHO dp H dpi,

2 du dp du dp; du

o—K dK dp dK dp; ur Ua dus

dd dp dW dp, du, dp du, dp; du,”

dK dK dp dK dp, dp din dpi dus

u ARTE dp . d Si l’on élimine Z entre les deux premières d’entreelles, et 1 entre

dt du les deux autres, puis qu'on fasse la somme des résultats obtenus, on trouve

{dK dH GA dK\/dp dpi.

(HR (S dp; dp — (Se du ) Te d'où, en ayant égard à la formule (f), 1 dpi dp “+ VTT

Il suit de là que pdu + p,du, est une différentielle exacte, et que l’on peut obtenir l'intégrale

(2) V= f(pdu + p; dus),

qui, renfermant [a constante K et une autre constante introduite par l'intégration, est une solution complète de l'équation (32) ou la fonction caractéristique; done, d’après les formules (24), (30) et la seconde des formules (35), nous aurons

ds dV dV

(36) Const —

— on 1 ak 2e dire di)

pour les deux intégrales qu'il restait à trouver.

(1) Il est facile de constater directement l'exactitude de ces résultats. En effet, de la se-

Connaissant la fonction V, on en déduira immédiatement (n°7) celle S=V—HE

de la fonction principale.

10. Méthode de la variation des constantes arbitraires. — Formule de Lagrange. — Supposons que H se compose de deux parties H,, H,, ou que H = H,+H,, et que l’on connaisse les intégrales des équations ayant pour types

du __ dH, dp di;

(4) H dé

qui seraient, d’après les formules (15) du n° 3, celles du mouvement si H, était nul; soit

(b) Of (£, ui Ua, De Dee I PE ie de)

l’une de ces intégrales renfermant les 24 constantes arbitraires «,, Danse oO ae hs Aa ce

Proposons-nous de représenter les intégrales relatives à la valeur totale de H par des équations de la forme (b), dans lesquelles les « et « ne représenteront plus des constantes, mais des fonctions du temps qu'il faudra déterminer.

Les variations que du et dp éprouveront par suite de la considération du terme H,, dans la désignation desquelles nous emploierons la caractéristique d’ substituée à d, auront pour valeurs

, dB Mu (c) Ut 5 dt, dp=— ie dt

conde des formules (15) on déduit dH

lu = «au dp

dt, du = = de, dpa

et l'équation (4) donne par suite, en remarquant que la différentielle totale de H est nulle,

dV «dp dpi dp dd dys dH dH dv

l — = l = l == — 2 =u—— = OÙ — = ns

TR CA DEAR (X dp dk m) HER TS NE dV «dp dpà dp dH dp1 M dH ad

ÈS = —— — li = le — 1 — = —— = l'où —— = Herr HU (& M mn) Fan 2 CN er AE

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 1

et toutes les formules que l’on déduira de ces dernières seront comprises dans la suivante :

(d) E (d'u ôp — d'p du) = dti.

Les différentielles (c) résulteront des accroissements dx, ..., d2 donnés à &,..., «’, ... dans les équations dont le type est (b), sans faire varier le temps qui y entre explicitement, ou encore ces différentielles s’obtiendront par une opération identique à celle par laquelle on obtient les du, ÿp, ..., en remplaçant à par d devant les constantes.

Nous avons trouvé, à la fin du n° 6, la relation

d’où l’on déduit, d’après les observations que nous venons de faire,

DS — E(pôu + x'Ôa),

(e') d'S —2(p d'u + u' di).

Si nous différentions respectivement ces deux équations par rapport aux caractéristiques d’etÿ, en remarquantque d'iS —IdS, d'ju—ÿd'u, elles donnent, par différence,

E(d'u ôp — d'p Su) — 2(dux' x — da dx!) ou, en vertu de la relation (4), (dx! 04 — da da!) = dt M, équation qui se décompose en 2# autres, ayant pour types

du. dH, GE MNCA à FR CLOS dé dt da?

on voit donc que, si S est la fonction principale, dans l'hypothèse de

H, = 0, et si(n° 5)on pose : — 2, les arbitraires se trouvent partagées en deux séries qui se correspondent deux à deux, de manière à satisfaire aux équations (37

Si, au lieu dew,,æ,,...,0%, &,,0,,...,«,, On introduit d’autres arbitraires B,, B+, ..., ,, celles-ci ne pourront être que des fonctions des premitres, et leurs différentielles seront de la forme

dB n a ge

da

AS n Br = da, = da + —T CP es ar mL CC

da,

ae CS

Resa, — Mécanique céleste.

ou, remplacant les dx et dx par leurs valeurs tirées des équations (37),

a (dén dd; din di, , dôn dE din db. :

(7) UT EAS {| dx, da, 7 du GI FAR EX AUTRE ); mais nous avons

AA TH: da TG dH, ! di, dû, :

da Me, a u CR Men EAU ECCES dH, dl, 8, dH, dH, di PEL d8, du rte dis DO TENUE

En substituant ces valeurs dans le facteur de dt du second membre de

7 + 0 dH, 5 l'équation (f), on voit que le terme en re de ce coefficient est pi ae, aie AP ae) a, GA den dB, ù dB da da da da datdr da: 02, +) Si donc nous posons (38) (BR Bad — din don : dom on . rm dôn dm du PURE AE da, da da aux, dx, da da» da; é

expression qui ne change’ pas de valeur, mais seulement de signe, quand on permute entre elles les lettres B,, et $,, nous aurons

À ” dH, , :

(39) dé Fr (Be en) “io de +- (Bo fa) dB, dé + ou, plus simplement,

dM,