RE D

ie You) nee D du dt du’ l SIA

ou simplement, en vertu de l'équation (10),

aT aT 8 ds = =) = 0 (6) : ZAC) ee Ÿ (a) êt

l'indice o caractérisant les quantités qui se rapportent à l’instant inital ou à — 0.

On déduit de là

et l’on a

dS __dT

(19) ni le 1) GÈNE « (24 NN, .

(9 217, 0 DE Pa

Ces deux équations comprennent toutes celles du mouvement, car, en y faisant successivement uw = u,, u,, ..., elles donneront 24 équations entre le temps, les inconnues & et les constantes arbitraires (w),, dépendant de l’état initial du mouvement.

9. Équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait la foncqd

tion principale. — D'après l'équation (18), la fonction S est indé-

pendante des x’ et ne renferme, par suite, que le temps et les w. Si

à ds He - :

donc on représente par (%) la dérivée partielle de cette fonction par apport au temps, l'équation (17) donne

dS ds :

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Ke)

ou, en nous reportant à la formule (19),

ds + aT or AN el Te CU + TI de. Le

Mais, en nous rappelant que T est une fonction homogène du second

degré des w', nous avons

par suite,

pe (20) (R)=u-T--u

Comme au n° 3, nous supposerons que T est exprimé au moyen des «

dT et des p— + et nous poserons

Foie en.

duo",

(f) LE NCD pe UiNts, Dene GA a dote .

ou, en nous reportant à l'équation (r9),

LASINTS C1) T=r(s LS LL et | (8) A NAU pt

De la formule (20) on déduit alors l'équation aux dérivées partielles

St fe d3 (21) Cu — LE ET

à laquelle doit satisfaire la fonction S.

On obtient de la même manière, en ayant égard à l'équation (19),

dS AS { dS Ë o “sig — [| NA DE JE 3 —| —— AAC ( à CIN (NC (22) ( ne). US | (a). { ne), Cir)os Cros |

6. Théorème de Jacobi. — Il s’agit de démontrer que toute intégrale de l'équation (21), renfermant # constantes arbitraires, donne la solution du problème de Mécanique.

Soit, en effet,

(23) DT MAL NL dis Core cts LR)

Resa. — Mécanique céleste. 2

une de ces intégrales, dans laquelle les « sont Æ constantes arlu traires.

Nous avons à prouver que, si &,, &,, ..., #, désignent # autres constantes arbitraires, toutes les équations dont le type est

dS (21) a

donneront la solution complète du problème, c’est-à-dire qu'elles fourniront les valeurs des w en fonction de £ et de 24 constantes arbitraires.

En différentiant l'équation précédente par rapport au temps, on a

d?S dS At, ŒS du,

— ] ni

9 — Hdi dadu, dt FE adu, de

ou plus simplement JA GED dis (29) odidr Nr ge

L’équation (21), différentiée par rapport à «, donne aussi

d?S dE CASE dadt * ÿ a) du

Pour que ces deux dernières équations soient compatibles, il faut que l'on ait

dE

> 6 Reset, (26) u a d du

La seconde des équations (13) donne

i Dir (27) DE Gp Ciopi

Les équations (26) et (23) sont les types de deux systèmes d'équations

Rd Ve AE IS

qui doivent être identiques, ce qui exige que P=T on retombe NES ; ; u

ainsi sur l’équation (19).

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE. It

Si l’on différentie cette dernière équation par rapport à & et l’équation (21) par rapport à &, on trouve

Gi) " ds, ds ’ dp u ee dudt dudu, ! Ê dudu, Pare dé” dès K. dE LASER dE GES 00 AAA A TR dudit SAS N dudu, dS \ dudus; HU du.

d d\ — 5 du, du

d'où, par comparaison, en ayant égard à la relation (20°

dp dU dF ci

GT ANT GE du”

ce qui n’est autre chose que ce que devient la première des équations (15), en y supprimant la distinction entre les caractéristiques d et d, devenue dorénavant inutile.

Done les valeurs des inconnues déterminées par les équations représentées par le type (24) satisfont aux équations différentielles du mouvement, et c’est ce qu’il fallait établir.

Supposons la fonction S définie par l'équation (21) ou (20); nous avons

ds aSsà 43 . ,dS Æ Eu = —H+Zx de dt } du du ou, en vertu de la formule (19) et de celle qui précède la formule (20), ds dv =—H+z uw = — 11 dé F* du HAE TX

d’où t +4 il @T—Hd= | (T + U}dt, 0 710) ce qui s'accorde bien avec la définition de S donnée au n° 4.

Les deux systèmes d'équations dont les types sont respectivement les équations (19) et (24) sont comprises dans la formule

(28) 2S —ZE(pôu+ada),

qui représente en même temps les intégrales premières et finales des équations du mouvement.

7. De la fonction caractéristique. — Hamilton a désigné ainsi la

fonction SE

(29) V==® [ Tdt Ci) qui sert de point de départ dans la question du principe de la moindre action.

Nous avons, par définition,

fe

[ He.

l l s= fr+u)4= f GT H)4=ve 0 0

Mais, en vertu du principe des forces vives, la quantité H est constante : 1l vient donc i

30) Sven et, en différentiant par rapport à £,

ds dv

Rap dl

ou, en vertu de l'équation (20),

dv

ne 0

dé Ainsi done [a fonction V ne renferme pas explicitement le temps et peut, par suite, être substituée avec avantage à la fonction S.

En considérant maintenant V comme étant une fonction de & ct de H, l’équation (30) donne

SE UN US NE ee dé code A 0e Go TRE

et, en portant la première et la dernière de ces valeurs dans l’équation (21), on trouve

a. NAN AN (32) F(° Gi tt ne) = HU

et ORDER Lire

»/ . FR ° à ne à Ê pour l'équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait la fonction caractéristique.

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE. 15

8. Le temps n’entrera pas explicitement dans les intégrales dont

les types sont fournis par les équations (15), si l’on met ces intégrales sous la forme suivante :

33 dpi APE dus dus (#2) AE re RS CITE F4 dH ETLSHE du; dus dpi dp;

et le temps ne sera introduit qu’à la fin du caleul et accompagné d’une seule constante arbitraire / dans les quadratures

TERRE RAILS AL EURE FAURE Aie (en dp: : A fa. Dre GE ER du, : a Mais nous venons de voir que ds adNV