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DE L'EMPLOI DES COORDONNÉES ELLIPTIQUES DANS LA SOLUTION DE CERTAINS PROBLÈMES RELATIFS AU MOUVEMENT D'UN POINT DANS UN PLAN.

11. Considérons deux séries de coniques homofocales, l’une composées d’ellipses et l’autre d’hyperboles, courbes que nous rapporterons à leurs axes principaux.

Comme en chaque point (x,y) du plan on peut faire passer une ellipse et une hyperbole, les coordonnées x, y pourront s'exprimer en fonction des demi-axes focaux respectifs 4, b des deux courbes; il suit de là que a et b pourront être substitués à +, y comme variables indépendantes.

Nous supposerons que la force qui sollicite le mobile 2 dérive d'un potentiel V, et nous désignerons par ce l’excentricité constante des coniques et par ds l'élément de chemin décrit par 7».

Des équations des deux coniques

on tire (1) m7, = Ve ete à).

Nous supprimons les doubles signes, parce que nous conviendrons d’attribuer à b et Ye? — b? des valeurs tantôt positives, tantôt négatives, ce qui revient à poser bD=ccose, » , \ d'où

M —#COS%, y —Va—c'sine.

Des équations (1) on déduit

a db + b da I cb la (2) AL : » dy — = (VE a BEN — V 2 pi bab)

et, par suite,

(3) AS — (a? — b?) (= — Gr pe

Si nous posons

(4) Eve = fr Va— c° Ve? — 2

les quantités a et b pourront être considérées uniquement, la première comme une fonction de x, l’autre comme une fonction de Ê, et « et £ deviendront aussi deux variables substituées à a et b.

Nous poserons de plus |

(5) = p—*, ele

La formule (3) se réduit, par suite, à AS — À (al? + 62) de?,

et, en désignant par À une constante dépendant uniquement des conditions initiales du mouvement, l’équation des forces vives donne

(6) = (ut 482) =(VSEA),

formule dans laquelle on pourra considérer V comme étant exprimée au moyen, soit de a, b, soit de «et £.

À l'équation (6), 11 nous suffira, pour arriver à la solution du problème, de joindre l’une des deux équations de la Mécanique analytique qui s'appliquent au problème actuel, et nous choisirons la suivante :

d dT CLR dt da! dx dx

dans laquelle T représente la demi-force vive

(eo) LA = | Di Pam) £ re Je TD eo +

DE L'EMPLOI DES COORDONNÉES ELLIPTIQUES. 21 De cette dernière formule on déduit

CAR UE er ANRT AN AR LT CS DE

et l'équation (7) devient

ou, en vertu de l'équation (6),

dax. V+A dx, dV d'A NX da da

En multipliant cette dernière équation par xdz, elle prend la forme suivante :

HOVEEA )

da

(9) 3 dQx = du.

Nous remarquerons que X est la somme des deux fonctions de x et de B; dorénavant, nous ne considérerons que les cas où V est tel que À V est aussi une pareille somme. L’équation (9) peut alors s'intégrer et donne, en désignant par o(6) une fonction arbitraire de B,