TS

Portons sur le prolongement de PQ, à partir de Q, la longueur QQ, — PQ, puis, en revenant sur nos pas, la longueur Q,R —p; élevons en R une perpendiculaire à PQ jusqu'à sa rencontre U avec le cercle déerit du point P comme centre, avec un rayon égal à PM; l’intersection de PO avec la perpendiculaire en U à PU déterminera le centre O de l’ellipse, dont tous les éléments seront par suite connus.

Les triangles PM, PMQ sont semblables et donnent

[AQP —= un? Ar y Fa r

et, en substituant cette valeur ainsi que celle (3) de p dans la formule (4), on retrouve ce résultat déjà obtenu (n° 2)

(5) RL =—= Nous arrivons maintenant au mouvement troublé et nous désignerons

par d l'accélération imprimée à 7» par l’action perturbatrice, et par , la composante suivant My? de la vitesse æ de la planète.

Dans le temps dt, r augmentera de w, dt dans l’ellipse que continuerait à décrire le mobile, si à s’annulait subitement, comme dans la

. . ñ Ù , . À trajectoire réelle de #2; l'angle de, décrit dans le même temps, par le même rayon, aura également la même valeur dans les deux cas.

En différentiant l’équation (5), dont tous les éléments sont variables, on voit facilement que l’on a

d-—wdw

/ ; l à ADN nn CC) - 2 av dw.

Si nous appelons v’ et d’ les composantes de » et Ÿ suivant la direction de æ, nous avons pi (o'+ d' ) de :

d’où, en se reportant à la formule précédente, I »\ da — 2 a? (= d'= + v'wdt ] + 24? L'ct; :

or le premier terme de cette dernière formule n’est autre chose que l'accroissement que recevrait & dans lhypothèse où 2 resterait sur l’ellipse primitive ou initiale. Ce terme est donc nul, et l’on à simplement

(6) da = 2%4'av dt,

expression qui peut également se mettre sous la forme suivante :

Nous avons trouvé au n° 13, pour l'expression de la vitesse angulaire moyenne de la planète,

d’où De 3 da A —- GR Es RE 2 a

ns (ee) —

ce qui, au moyen de la formule (7), fera connaitre la variation de ».

Soient maintenant

m' la position qu’occupe le mobile # au bout du temps d;

P'r' P' la tangente à la trajectoire réelle de ce mobile arrivé en »'; P’n'P" la tangente en #7 à l’ellipse initiale;

F le second foyer de l'orbite elliptique correspondant au point 7x;

S la projection de F° sur la direction de 72F,.

On à mM+mE—=2a, mM+ TEA —2a+2da, d’où m'E,—m'F,—2da,

Pa, V' a? wdt (9) F,S=2da = — ———.

Nous avons maintenant

LAS ASS ZA LAS ARS AS ARS FomP= Fr; 7 PE lPir M eMmPEEP'rPE Mr PES bre

et de même

NET Sp Fm'P, =Mm' P +2P;m'P,

d’où ARE LEURS . AS n FM EE = (Pr EP; 74P0)

Soient 9” et Ÿ” les composantes de » et de Ÿ, estimées suivant la normale; on à, d’après une propriété connue,

!D' $ ne PR LT ue, é à dé Ù dl d’où, en se reportant à la relation précédente, he U4 d" FmE,=2—dt—2— dt; [14 (5%) mais de l'équation (5) on déduit ro) ae I mE, ere 10 UT e = NnmE,;:

FAT ar a 2

il vient donc

et enfin

Fm F;, —=02 ep di C7 70e dl &

OS => = pp

Les équations (9) et (r1) détermineront la position de F,, par suite

ex : NE LEE ; RS la variation de l’excentricité et celle F,ME° de la longitude du péri-

hélie.

Soient X, Y les projections de F, et x sur MF,; on a

FX=—=—24d.ae=F;SsinmtF

LD ee —— LAS 1Ÿ —K,ScosmF,\ —

d'où, pour la variation de l’excentricité linéaire,

d.ae