S L. — CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES
28. Nous conviendrons, pour simplifier le langage, de comprendre les satellites dans le système des planètes, à la condition de substituer au centre du Soleil celui de la planète autour de laquelle circule un satellite.
Nous avons déjà fait remarquer au n° 3 que le mouvement d’une planète autour du Soleil n’est pas rigoureusement elliptique en raison des actions qu'elle recoit de la part des autres planètes de notre système solaire; les différences entre le mouvement elliptique et le mouvement réel avaient déjà été constatées bien avant Newton pour certaines planètes ; mais les lois auxquelles sont soumises ces inégalités restaient inconnues et n'ont pu être établies qu'après la découverte du principe de la gravitation. Kepler a dû faire abstraction de ces différences, dans les éléments de l'observation dont il disposait, pour établir les lois fondamentales de l’Astronomie moderne.
La détermination, même approximative, de la trajectoire réelle d’une planète présenterait de grandes difficultés et ne serait d'aucune utilité au point de vue de l'observation. Aussi la question a-t-elle été posée autrement et de cette manière : Détermuner à des époques successives les elements de l'ellipse que decrirait la planète à partir de chaque époque, si les causes perturbatrices dues aux autres planètes venaient subitement à s’annuler.
On a done, en premier lieu, à déterminer les éléments de l'orbite elliptique, connaissant, à un instant donné, la distance au Soleil, la grandeur et la direction de la vitesse de la planète.
Supposons d’abord que les époques soient infiniment rapprochées les unes des autres; au bout d’un temps infiniment petit, la grandeur et la direction de la vitesse de la planète auront été modifiées par la résultante perturbatrice; on obtiendra alors une autre ellipse, dont la position du plan, l’orientation du grand axe dans ce plan et les grandeurs de -ce grand axe et de l’excentricité seront différentes de ce qu'elles étaient auparavant.
On aurait done à déterminer les variations infiniment petites éprouvées par les éléments elliptiques en fonction de la résultante perturbatrice ou, plus exactement, de ses composantes.
Il suit de là que l’on aurait à considérer une série d’ellipses dont l'enveloppe serait la trajectoire réelle de la planète. |
Mais, comme les variations éprouvées par les éléments de l'orbite elliptique sont très lentes, il n’est pas nécessaire de supposer infiniment petit l’intervalle qui sépare deux époques consécutives; il suffit d'admettre qu'il est assez petit pour qu’on puisse en négliger le carré, ce qui revient à le considérer comme une différentielle du temps.
Cette manière d'envisager le problème des perturbations est due à Newton; elle a été développée géométriquement par Lagrange (') lorsque la force perturbatrice est comprise dans le plan déterminé par le centre du Soleil et la vitesse de la planète à un instant quelconque; d’où résulte que la trajectoire de la planète reste plane. Nous allons reprendre cette question, en suivant une marche qui nous paraît plus simple que celle qui à été tracée par l'illustre auteur de la Mécanique analytique.
29. Perturbation du mouvement elliptique dans l’hypothèse où la force perturbatrice est comprise dans le plan passant par le Soleil et la vitesse de la planète en un instant quelconque. — Proposons-nous d’abord de déterminer les éléments d’une orbite elliptique, connaissant la vitesse de la planète en un point déterminé de cette orbite.
Soient (/£g. 2)
M le foyer de l’ellipse occupé par le Soleil; F, l’autre fover, dont la position est à déterminer;
(1) OEuvres, t. V, p. 565.
MP la perpendiculaire abaissée du foyer M sur la tangente au point » de l’orbite où la vitesse æ est donnée;
» la composante de cette vitesse normale à M»;
b le demi-petit axe de l’ellipse.
Nos autres notations seront celles du $ du Chap. I.
Le principe des aires donne
Vo æ.MP —0.Mm,
d'où
, k (1) UE MP”?
1 ee OT) D — >
Nous avons trouvé (n° 1 et 3) k2 j
(2) Permanence ce)
a(i—e)r? Te et o peut être considéré comme une donnée de la question. L'élimination de Æ entre (1°) et (2) donne, pour le demi-paramètre
p = — de la courbe, «
qui se trouve ainsi déterminé par une troisième proportionnelle. On peut obtenir une autre expression de p en éliminant # entre les équations (1) et (2), ce qui donne
Si par le point 77 on mène une droite #F, faisant avec la tangente #2 P un angle égal au supplément de l’angle connu PM, cette droite ser: parallèle au diamètre PO, dont la direction sera par suite déterminée.
Abaissant du point M la perpendiculaire MQ sur OP, on à
OM —MP + OP —2OP.PQ—MP +2—aPO,
OM — a? == b2 == ca —— ap, d'où
MP
ous PO — p.
