MO
planète dans un milieu
résistant. — Proposons-nous de déterminer les altérations que produirait la résistance d’un milieu répandu dans l’espace, dans le mouvement d’une planète, en supposant la résistance proportionnelle à la
seconde puissance de la vitesse.
L'accélération due à la force perturbatrice, dirigée en sens inverse de la vitesse, est ainsi de la forme d’— — ow?, D étant un coefficient
RESAL. — Mécanique ce
éleste.
(sh) | CHAPITRE I.
proportionnel à la densité du milieu, et ’ est nul. En désignant par ds = w di l'élément de chemin décrit par la planète, et en se rappelant que or?=— 1, on a, d'après ce qui précède,
(6!) da = —2pn°a? ds, LISE (12!) dae = — 2pw?a? cosmF,Y ds, 27 VOTES ue GES ds (130) do = —o2p#w?a sinmE,\ Ê MO
De la deuxième et de la première de ces équations on déduit
re.
(14) D ET Soient
Mx une droite fixe passant par le centre du Soleil:
APN . Aa °1" wo — AMx la longitude du périhélie A; ASS , . . . N e — mMx l'anomalie ou longitude vraie de la planète.
L'équation de l’ellipse étant
a(i — e?) A ES ?
D CICOS RE)
on a, en se reportant à l'équation (5),
: 1 /2a 1+ 26 COS(E — w) + €?
(a) (PE tn — ——— ; a GUNENEE
Le triangle »MF, donne
RS: rsin(e—w) (Te) Sin (ro (a') sinmF,Y — ) ER = DM ) 2a— 7 1+e +2eCos(r —w)
et l’on à de plus, en projetant sur MF,,
D RESS (2a—r)cosmF,Y— rcos(e —w)—2ae, d’où
AT 24e + l'COS(P — 2e+(1+e)cos(r — w (70) COS MINES ( Le 6 ) ; ( ): 2@ 1" [+ € + 2eCOS(F—w)
DES PERTURBATIONS DES PLANÈTES. 99 En ayant égard aux valeurs (a), (a’),(a”), et remarquant que MO —ae, les équations (6’), (14) et (13°) se réduisent aux suivantes :
DPANT 2 | da = — ——>|1+e+2ecos(r — w)]ds, 1 — €? :
19) (9) de — — 2p[e+cos(r —w)]ds, \edw—— 2psin(e —w)ds (!).
De la relation connue (n° 13)
RNA E on déduit D 3 A di=—= a =" — da; 2 Did d’où D] ee DDYLIES ; (16) dun => |1+e+2ecos(v"—w)|ds (!).
On devra substituer dans les équations (15) et (16) Fa valeur
VrEmecostr =). e?
17 ds = a(1 — e?) - .
pe \ [1e cos(e —w)/
do
de l'élément d’are de l’ellipse.
Si os est donné en fonction de 7, et par suite de e, ces équations, dans lesquelles on considérera à, e, w comme des constantes, donneront, soit par des quadratures, soit par des développements en séries, les nouvelles valeurs de ces quantités qui devront être introduites dans les équations du mouvement elliptique.
Considérons, en particulier, le cas où la densité du milieu est constante et où l’excentricité est assez petite pour qu’on puisse négliger e et e? devant l’unité; nous avons
da = — 2pa? dv, de ——12pacos(r — w)dr,
edw——2pasin(r—w)dr, dn— 3pandr:
(1) Ces formules, ainsi qu'une autre qui donne la variation de la longitude de l'époque et que nous ne croyons pas devoir établir, sont dues à Poisson (Traité de Mécanique, 1, p. 434), qui les a déduites de la méthode de la variation des constantes arbitraires. Nous avons reproduit l’analyse- de l'illustre géomètre, en y apportant quelques simplifications, dans notre Traité de Mécanique générale (1. T, p.159).
Si nous désignons par la caractéristique à les parties variables des valeurs correspondantes, nous aurons, en intégrant,
N da——2pa#, 06——294SIn(r = w),
n é n 9) CobE— 204COS(PF—w), o7n— pans,
La résistance d’un milieu sur le mouvement d'une planète très peu excentrique aurait donc pour elfet de faire décroitre indéfiniment la distance moyenne, d'augmenter le mouvement moyen et de produire dans chacune des quantités e et w une inégalité dont la période est la même que la révolution de cette planète. Le mouvement angulaire s’accélérerait de plus en plus, en même temps que la vitesse æ, car on à très sensiblement æ — an — Te En vertu de la diminution de la dis- / 4 tance moyenne a, qui s'élèverait à 4rpa* à chaque révolution, la planète finirait nécessairement par atteindre la surface du Soleil. S'il existe dans l’espace un milieu très rare qui influe sur le mouvement des astres, c'est sur les comètes que cette influence peut être sensible. à cause de la petitesse de leur masse et parce que, toutes choses égales d’ailleurs, le coefficient 5 varie en raison inverse de la masse du mobile. On n'a reconnu jusqu'à présent aucune trace d’un pareil milieu sur le mouvement des comètes à retour périodique, à l’exception toutefois de celle de Encke, dont on explique quelques petites irrégularités en admettant l’existence d’un milieu interplanétaire très rare. On peut expliquer la chute des aérolithes en supposant que, à une époque très reculée, ils circulaient autour de la Terre, comme des satellites, dans la partie la plus raréfiée de notre atmosphère ; la distance moyenne au centre de la Terre d’un aérolithe allant constamment en diminuant, et d'autant plus rapidement que la densité de l'air est plus grande, il arrive naturellement un moment où le mobile vient rencontrer la surface de la Terre. Si nous admettons que les aérolithes sont les fragments d’un satellite qui se serait brisé, ce sont les fragments les moins denses qui ont dù tomber les premiers sur la Terre.
Ÿ 11. — EXPRESSIONS GÉNÉRALES DES VARIATIONS DES ÉLÉMENTS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.
31. Les considérations géométriques que nous avons exposées dans le paragraphe précédent ne donnent qu'une première idée de la nature du problème des perturbations; mais les formules que nous en avons déduites ne sont pas suffisantes, puisqu'elles ne comprennent pas celles qui doivent donnerles variations de l’inclinaison de lorbite, de la position de la ligne des nœuds et d’autres éléments encore que nous rencontrerons dans ce qui suit; de plus, les formules dont il s’agit ne sont pas d’un usage commode lorsqu'on veut en faire l'application aux résultats de l'observation.
Il était réservé à Lagrange d'établir des formules complètes en même temps que simples, faisant connaître les valeurs des variations des élénents du mouvement elliptique en fonction de ces éléments et des dérivées par rapport aux mêmes éléments d’une fonction dite perturbatrice. Cette fonction n’est autre chose que le potentiel, rapporté à l’unité de masse de la planète qu’on considère, des actions exercées sur cette planète par les autres corps du système solaire.
La fonction perturbatrice peut être estimée en faisant abstraction des perturbations, ce qui revient à négliger les carrés des termes du même ordre de grandeur que les variations des éléments du mouvement elliptique.
Lagrange est arrivé à ces résultats en faisant l’application de la méthode de la variation des constantes arbitraires dont il est le créateur. Les longs développements de calculs par lesquels il a dù passer peuvent être notablement abrégés lorsqu'on fait intervenir, dans la solution du problème, les théorèmes de Jacobi et d'Hamilton, comme cela aura lieu dans ce qui suit.
Mais auparavant nousreprendrons la question du n° 2, en la résolvant au moyen de ces théorèmes, parce qu'en opérant ainsi nous établirons un certain nombre de formules intermédiaires qui nous seront plus loin d’une grande utilité.
32. Application des théorèmes d’Hamilton et de Jacobi au mouvement des planètes autour du Soleil. — Nous nous reporterons,
dans cette équation, au Titre 1 de l’Introduction et, pour éviter toute confusion, nous ferons suivre, entre les parenthèses de la lettre T, les numéros qui se rapportent à l’Introduction.
Nous ne ferons d’abord aucune hypothèse sur l'orientation des trois axes rectangulaires fixes menés par le centre du Soleil.
Nous avons
Ur "p I 19 12 12 (1) OS CR 6 H —T—-
Soient à l'angle formé par r avec sa projection sur le plan +y et L l'angle compris sous cette projection et l’axe des x; on à
DIT COS) COS, ECO SITE En
En posant
“UR Arr e a EE Ps NW = — de de dé
nous avons
Li HUCOS) COS LE ASIN ACOS DE ACOS En y'= 7" cosx sin L — r sin sin L:}' + r cosÀ cosL.L;,
ST USIN EE 7ACOS CAE d’où
(2) Le di r°(L" cos? À + }?)].
En nous reportant au n° (3, 1) et suivants, nous prendrons
= Die UN}.
d’où Mer, ue LUE et dY 4 d'U d'Y
4 / 2 27 ! A 3 Pr D ee COS, D pa) (Hi P1 du’ » Pa du, AT de !
L'expression (2) peut alors se mettre sous la forme
d'où ; MN RP: Pi) 1 (4) H 2 (ri 1 COS2X 7? ra et par suite IPAHNERGHAERY Et ( p? à) 7% M , AUTRE ATEN Tr COS | ii 1) SET nute : (1 5 À à 1 ue dHAD:
(5) APER à Be, 7 dp;. r?cos®À\ dH __dH p? sin} M ps SMTP TEL COS 1e ADS Les formules (15) du n° (3, I) nous donnent alors 2 SE] à 2 2 22 Er — dpi dpa RTE CRE Le dr __ 1? cos À dE Mn dH 0 p5 Sin À Pi P2 Ps
dr En numérotant ces six valeurs de dt, le n° 2 nous donne (62) | Pa = Const, et, si l’on égale entre eux les n° 3 et 6, on trouve
sin À MOD hi 7j):
RESES | cos te
d'où, en désignant par «* une constante, (B) Pin
Des n° 5 et 6 on tire, en ayant égard à cette valeur,
dÀ ÉE ea Is
2 eng?) A2 Vecos’1— 7 ‘
et, en posant M— CICOSY,
il vient d cote tang À
Vi — col’ tang?e et enfin, en désignant par + une troisième constante,
(y) tang À — tango sin(L — x);
ce qui exprime que la trajectoire est comprise dans un plan et que ce plan est incliné de l'angle 9 sur le plan x My, qu'il coupe suivant une droite (gne des nœuds) faisant l'angle + avec l’axe des æ.
Les trois intégrales ci-dessus ne sont autre chose que celles qui sont fournies par le principe des aires.
La variable L, n'entrant que par sa différentielle dans les équations (6) du mouvement, se trouvera toujours ajoutée à la constante — x, et l'on à
ASTRA RE i Pas
mais, en vertu de la formule (19) du n° (4, 1), on a aussi
ds ” dT rt CRIE td dE d'où ds (7) APS LE
Si l’on désigne par # l’anomalie vraie de Ja planète mesurée à partir du nœud, on à
(à) COSVECoOS COS (Ac):
Considérons l'orbite dans son plan de manière à réduire à deux le nombre des coordonnées et à nous trouver dans le cas du n° (9, I). Si, dans l’expression (4) de H, on remplace L par 6 et à par o, et que l’on désigne par GEL.
Pr = 1 1 72 dy!
lo]
ce que devient p,, on trouve, en remarquant que p, est nul,
(4°) nt ete
et les équations (6) du mouvement se réduisent à
: Ve dp; dy de TES (6') QE ï a in Œ) =. 7 ; D CU TANT 2
On tire d’abord de là
(&) Ge CON ce qui n’est autre chose que l’équation des aires, et l’on doit avoir
Re a (in
Cos ©
D'après le principe des forces vives, H est une constante que nous représénterons par , et l'équation (4) donne, en y faisant 9, — #4,
2 ke?
(n) Pi — -+eh —— a
La formule (2) du n° (9, 1) nous donne
V = f{(p, dr + q: de) = [p, dr + kv,
d’où (6) S—=V—HE= fp, dr + ke — he.
La valeur de 6 étant censée donnée par l'équation (5), la fonction S se
(1) C’est ce qu'il est facile d’ailleurs de vérifier; en effet, en différentiant l'équation (9)
par rapport à 4, on a sinp.v"= sinÀcos(L — &).\'+ cos sin(L — ).L’
ou, en ayant égard aux valeurs (3) et (2).
sin(L — x).p
Sinv.42 = Sin}.p3 COS(L — >) :
1 u COS À
Pour L — z — 90°, les formules (+) et (9) donnent À =, v — 90°; et, en substituant ces
valeurs dans l’équation précédente, on trouve
