EST

T9 = fr COS ù

Resaz., — Mécanique céleste.

trouvera exprimée au moyen des coordonnées r, L, x et des trois constantes &, k, #. On a done, en vertu des formules (36, I), pour les deux intégrales cherchées,

ds d | TU ar Eee (u) dv d (= an JPidr=t+l,

e, et / étant deux nouvelles constantes.

Si nous choisissons pour limites inférieures des intégrales qui entrent dans ces formules, celle des deux racines de l’équation

qui correspond à un minimum 7, de r ou au périhélie, nous pourrons effectuer, dans les équations (8), les différentiations sous le signe de

interet enter les ter £ + dr) dr) intégration, en remarquant que les termes — p. A) ne h),

résultant de la variation de la limite inférieure, sont nuls. En nous rappelant que V — S + /t, les équations précitées se rédui-

sent aux suivantes :

dS SONT ET r° KE — — v;, dk , TÈ pi

Trelte. [ #= ’

AR) PRES d'après lesquelles on voit que », représente la longitude du périhélie mesurée à partir du nœud ascendant et — / l’époque du passage au périhélie.

La solution complète du problème sera donc donnée par les intégrales (8) et par l'intégrale (7), qui, en se reportant à la valeur (8), devient

DE ne A Re

da da ou, en ayant égard à la formule (3),

k cos} sin(L — x) sin ç

— y = # co$e.

33. Théorie des perturbations. — Pour simplifier les équations que nous avons à établir et dans lesquelles la masse »2 de la planète troublée entrerait en facteur commun, nous supposerons cette masse égale à l’unité, ce qui revient à ne faire intervenir dans le problème que la considération des accélérations.

Si l’on représente par R la fonction perturbatrice, nous aurons, pour le potentiel dans le moment troublé,

U=-+R et, d’après le principe des forces vives, en désignant par L une constante,

r ou

= Comme nous connaissons les intégrales de l’équation

ee 1

T — es h, du mouvement non troublé, nous voyons que nous rentrons dans le cas du n°(10, I), en supposant H, — À, H, —R.

Si nous nous reportons aux équations (8) et (9) du numéro précédent, quise rapportent au mouvement non troublé, et si nous attribuons successivement aux « du n° (6, 1) les valeurs 2, #, x, les valeurs correspondantes des g’ de ce dernier numéro seront /, 6,, —,et les équations (37) du n°(10, I) nous donneront

CIO A À Ci. DERE dR LRO TL d'A ETS

ARTE DPAENNEUR GE NT Rd ie Cle | das dR dy di |

CCR dy er da

Nous devrons donc exprimer tous les éléments du mouvement elliptique en fonction des six variables A, #, 2. /,0,, +.

100 CUAPITRE IL.

Nous avons déjà, en remarquant qu'ici 2 est la moitié de la constante que nous avons représentée par la même lettre au n°2,

| 1 ——— ja | ES A EP A TU PEU d’après le n° 2, 2 a (a) NT L 2e ei eue 0 PR EE DO LCD ES Cle nes ae » » 13, | € = E chere rien te cie CAO To DO » » 15, PRICOBG = nue Pre: TO ONE CO » DONNE

A ces équations, nous devrons en joindre une dernière que nous allons chercher à établir, dans laquelle devra se trouver la variable », qui n'entre dans aucune des précédentes.

Considérons les grands cercles déterminés, dans une sphère d’un rayon égal à l’unité ayant pour centre celui du Soleil, par les plans de deux orbites elliptiques consécutives; nous pourrons, par la pensée et uniquement au point de vue trigonométrique, substituer les deux grands cercles aux ellipses correspondantes.

Soient (fig. 3)

Fig. 5.

N, N' deux positions consécutives du nœud ascendant de l'orbite: P, P'les périhélies correspondants ; I l’intersection des plans des deux orbites; NQ l'élément du grand cercle passant par N et normal à IN’ Nous avons da = NN, IN INENOQO—= TZ cos, N'P'-2 NP — dp,,

et, si nous mesurons la longitude du périhélie à partir du point I,

dw = 1IP'— IP — N'P'— NP +IN'—IN

(b) du — dy, + cose dx.

Cette relation, qui est celle qu’il s'agissait d'établir, aura encore lieu si l’on substitue au point [, comme origine de, un point quelconque de l'orbite IP, assujetti à cette condition que deux positions consécutives de ce point coincident lorsqu'on rabattra l’un sur l’autre, autour de leur commune intersection, les plans des deux orbites.

Au moyen des relations (a) et (b), on arrive facilement à établir le Tableau suivant :

da É du da «la da da

= A) 0 Al Sr l d| (1) ri () no C) tt — 0:

d'à dk L dl 7 el ONE ; dy 4

dn … dn dn dn dn din

dh JT, Re TR =0, FPT AD re — 0, 77e 0, LŸ , L 4 42

de a(i—ce) de anÿi—e de de de de

Ve TTC OR OEM dr DC dan 7 té L il C Ï

du do du de du du

— = 0 — — — —O —= jf — —=ÇCOSCG — —= O0

dh i dk d à dl ? dt 2. du OT 5

do do ancote do do do de an

——< 0, > 7 =}, —=0; = — 0; En ——

dh di Vi —e? dl ds, da d'y Vi—esine

e ide de de de de G]

a 0 Le Un ee

dh 2 dk 4 dl RTE D 5 2 d'/ à

da da da da da da

ss = (() —> = Q === 0 re (0) Es T —— ZOO,

dh : dE : dl CONTI CET: ; d'y

Soient p, g deux quelconques des cinq constantes &, €, ©, 9, :, que nous substituerons à L, #, £, 6,,7, la constante & étant la seule que nous conservions de celles qui entrent dans les équations (11). Nous aurons

2 pee dp dq { dp dq 8) ap “a ce dy de il dp dg dt dh dh dt ds dk CGT EN dy da

Il est facile de former, au moyen des valeurs (12), les expressions

suivantes :