VC
représente une famille de surfaces, dites surfaces de niveau, jouissant de cette propriété que l'attraction exercée par M sur chacun des points de cette surface est dirigée suivant la normale correspondante de cette surface; et, en elfet, le travail élémentaire 4V est nul pour tous les déplacements qu’on peut concevoir sur la surface.
Dans le cas de la gravité, on a
et, par suite, [2 = T0) V — NDS —°:
Si +’, y’, 3’ sont les coordonnées de 7», il vient
d'où Se Ve LA Ce 2 NUE — ) dx 13 Y av mt) Nr de = > dy 7 , d\. ROULE == = ms - Ë dz rè
expression qu’on aurait pu écrire & priort, en remarquant que la composante suivant l’axe Ox de l'attraction de #2’ sur », par exemple, est
; Se HOTTE. TE c égale à
multiphiée par le cosinus de l’angle que fait la di-
rection de cette force avec l’axe dont il s’agit.
Admettons maintenant que »2 fasse partie d’un système matériel M, dont nous représenterons les masses des autres éléments par »,, He. . etisoient(æ,,y, 21) (2e, Je. 22)... les coordonnées de cés molécules. Désignons par U la somme des fonctions telles que V, étendue à toutes les molécules de M; U est égal à la somme des produits deux à deux des masses des molécules de l’un et l’autre système par l’inverse de leurs distances. La somme des composantes suivant Ox des attractions exercées par M'sur les molécules de M sera donnée par
dU dU dU
t ec:
dx dr, Li dns
attendu que, V, par exemple, étant la seule partie de U qui renferme x,
Ie dl Spa:
la composante de l'attraction de m’ sur mest ou =: On voit ainsi [ dx dx
que les composantes de l’attraction entre les deux systèmes s’expriment encore facilement au moyen des dérivées partielles du potentiel total U.
55. Attraction d’un système matériel sur un point matériel qui en est très éloigné par rapport aux propres dimensions du système. — Supposons qu'on prenne pour origine des coordonnées le
centre de gravité O du système M’ et pour axes coordonnés les trois
axes d'inertie principaux de ce système, et soient (fig. b)
Lig05e
a la distance On de l’origine O au point attiré ; / ! l . à / U © (4 . .
d',a,, d,, ... les distances Om, 07.10 m,.." de celte origine aus différents éléments matériels zx’, »,, m,, ... de M’;
«, 8, y les angles formés par Om avec les axes Ox, Oy, Oz;
A, B, C les moments d'inertie de M par rapport à ces axes;
mm P la perpendiculaire abaissée du point »+' sur Om;
r, bts... les distances m0 mm, NIMES 2 / / ! 1 1 e rs » . ñ 1
y e ) (are sa Tes coordonnées es DOI Er ARE
Sri ME, et, d’après la définition même du centre de gravité,
SITE 0, SM 0 Per ON OUEN
puis, en exprimant que Ox, 0y, O£ sont trois axes principaux d'inertie,
SLT ME 0, SIND SE 0,0 MANS 0e
on voit de plus que OP=zx'cose-+#y'cosf Etsicosy,
r=Va+ a?—2a OP.
Pa L TOP En s’arrêtant aux termes du second ordre en pa
» ON «& «d
1 - | 25 I TA ae OP\ ? I y 2 OP\- 30P FR LIN EM QE ES Sn À + ee = 5 r a a? « a | 2 | a? a DT
par suite, eu égard à ce qui précède,
rt mM' Fe 2 LEE VS — + — Sn! (30P — a?) ; Fe a DICLE
or On à
PERCE\ CG PES ar D Sy C - A Ke, Ê 2 Ne (fe Sc eE= :
: = } Nue Fi (0 Sm'a?—S mr +yr + sr) = ——— ,
Sm'OP = cos’as m'2?+ coSBS m'y"? + cos yS m'="?,
et enfin
mM' 1m 0 4 £ |L'ORUE TUE cos*2(B +C— 2A)+ cos B(C+A—2B) + cos?7(A + B—20)]. Si l’on néglige le second terme de cette expression ou le carré du rapport des dimensions de M’ à la distance & supposée beaucoup plus
grande, il vient mM
expression qui est la même que si le corps M était remplacé par un point matériel de même masse placé à son centre de gravité. Donc :
L'attraction d'un système matériel sur un point qui en est fort éloigné est à peu près la même que si toute la masse de ce système était concentrée
en son centre de gravité.
En supposant que 2 fasse partie d’un système matériel M fort éloigné de M’, l'attraction exercée par le second de ces systèmes sur le premier, égale et contraire à celle de M sur la masse M’ censée concentrée en O, sera par conséquent la même que si ces deux masses se trou-
vaient concentrées er leurs centres de gravité respectifs, et l’on a ce théorème, indépendant de la loi de l'attraction, comme il est facile de s’en assurer :
Les centres de gravité de deux systèmes matériels fort éloignés l’un de l’autre s'attirent comme si les masses de ces systèmes s'y trouvaient respectisement concentrées.
Le système d’une planète agit donc à très peu près, sur les autres corps du système solaire, comme si les masses de la planète et de ses satellites étaient concentrées à leur centre de gravité, et ce centre est attiré de la même manière par les différents corps du système solaire.
Chaque corps céleste étant un assemblage de molécules douées d’un pouvoir attractif, et ses dimensions étant très petites relativement à sa distance aux autres corps du système du monde, son centre de gravité est à peu près attiré comme si toute la masse y était réunie, et il agit de la même manière sur ces différents corps. C’est ainsi qu’il nous a. été permis, dans la recherche du mouvement du centre de gravité d’un corps céleste, de considérer ce dernier comme un simple point matériel ayant la masse du corps, hypothèse que rend plus exacte encore la presque sphéricité des planètes et de leurs satellites, comme nousle verrons plus loin, et qui, admise a priori sous la réserve d’une justification ultérieure, a conduit Newton au principe de la gravitation.
Revenons à l'attraction d’un système matériel sur un point qui en est éloigné; si l’on veut pousser plus loin l’approximation et tenir compte des termes du second ordre, il suffira de considérer le second terme de V ou de poser simplement
V=—= . [cos?2(B + C — 2A) + cos B(C + À — 2B) + cos y(A + B -- 2C)],
en convenant d'ajouter, quand il sera utile de le faire, aux composantes parallèles aux axes déduites de cette expression, celles qui proviennent de l'attraction sur le point 2 de la masse M’ concentrée au point O.
4 LEE A Pour obtenir X — Tr? NOUS ferons dans V
COS — =, COSY— -» COS a — 1 — COS 8 — COS Y — 3 = — « « ae
CALCUL DE L’ATTRACTION DES CORPS. 177 et nous aurons \— 53
ad?
NL LB C0" CT EEO 9]
En différentiant par rapport à + et remarquant que
on trouve
