S IT. — ATTRACTION DES CORPS TERMINÉS PAR DES SURFACES SPHÉRIQUES
56. Considérations générales sur la constitution des corps célestes. — Les corps célestes ont une forme à peu près sphérique, et, d’après ce que nous connaissons sur la constitution physique et l’origine ignée de notre globe, nous sommes conduit à croire que, à une certaine époque, ils se trouvaient à l’état fluide, sous toute réserve de ceux qui pourraient encore l'être. Ainsi, avant la formation de la première couche solide, ils ont dû affecter la forme d'équilibre d’une masse fluide soumise à ses actions mutuelles et animée d’un mouvement uniforme autour d’un axe, forme que le retrait, dû au refroidissement, n’a pu modifier d’une manière notable; et il y a tout lieu de présumer que, dans de pareilles conditions, les matières de même densité se sont distribuées symétriquement autour de l'axe de rotation.
La force centrifuge, développée par le mouvement de rotation, a dû modifier la forme sphérique que la masse fluide aurait naturellement prise si cette rotation n'avait pas existé; mais comme, d’après l’observation, les mouvements de cette nature sont généralement très lents, les déformations qu'ils ont produites sont très faibles; nous pourrons donc, dans une première approximation, en faire abstraction et admettre que chaque corps céleste est composé de couches sphériques concentriques et homogènes dont la densité varie avec la distance au centre.
Nous sommes ainsi conduit en premier lieu à calculer l'attraction d’une couche sphérique homogène sur un point matériel.
97. Attraction d’une couche sphérique homogène sur un point extérieur. — Quelle que soit l'épaisseur de la couche, on peut la supposer décomposée en couches extrêmement minces, et il suffira de considérer chacune d'elles en particulier, puis de faire la somme de leurs attractions, qui évidemment sont dirigées du point attiré » (Jig. 6) vers leur centre commun, pour avoir l'attraction de la couche totale.
CALCUL DE L'ATTRACTION DES CORPS. 170 Sotent
a’ le rayon d’une couche infiniment mince; e son épaisseur;
° sa densité;
a la distance de son centre au point attiré ».
Nous conviendrons, une fois pour toutes, d'appeler ouverture d'un cône la portion de la surface qu'il détermine sur la sphère d’un rayon égal à l’unité et dont le sommet du cône est le centre.
Cela posé, concevons un cône ayant pour sommet le centre O d’une ouverture infiniment petite do, aboutissant à un point »7’ de la surface extérieure de la couche; ce cône déterminera dans la couche un élé-
l'ig. G.
ment de volume dont la masse sera sa'?e do. Cette masse donnant lieu
à c a? e dw à lPattraction x °
> on à, pour le potentiel,
Ë ee * dw V emae | ,
min!
mm
l'intégrale se rapportant à la surface entière 47 de la sphère ayant l'unité pour rayon.
Quant à la masse de la couche sphérique, elle a pour expression
Soient p le cosinus de l'angle 20m, angle qui doit varier de zéro à 7, et g l'angle formé par le plan mO7» avec un plan fixe (P) passant par O. Portons sur O7», à partir du point O, une longueur O7 égale à l'unité, projetée en Os sur O7. Si le plan mOn tourne de l'angle dg autour de Om, l’are décrit par » est
— Le ins dy X< ns = dy sinnOs,
180 CUAPITRE I
et si, dans les deux positions de 7, on fait varier l'angle 0 d’une quantité infiniment petite, on déterminera un élément sphérique mesuré par
dq Sin 0 x dnOs — — dg dp, et que l’on peut prendre pour de. D'autre part, on a, dans le triangle Om'm,
mm'=—\/a?— 2 aa'p + a”;
il vient done, après avoir effectué le calcul,
4 22 AT: % dy mM' (a) M pmae dp 7 ; Le à Va— 2aa'p + a a
Il résulte de là que le point 72 est attiré par la couche comme si la masse de cette dernière était concentrée en son centre; de là on déduit immédiatement ce théorème :
58. Une sphere pleine ou creuse, homogène ou composée de couches concentriques homogènes dont la densité peut varier avec le rayon suivant une loi quelconque, exerce, sur un point extérieur, la même attraction que si toule sa masse élait concentrée en son centre.
On déduit de là, comme conséquence, en faisant le même raisonnement qu'au n° 55 :
Deux sphères composées de couches concentriques homogènes s’attirent comme st leurs masses étaient concentrées en leurs centres de gravité r'espec-
ufs.
59. Attraction d’une couche sphérique homogène ou plus, généralement, limitée entre deux surfaces ellipsoïdales homothétiques sur un point intérieur. — Concevons un cône d’une ouverture infiniment petite do, ayant pour sommet le point attiré 77; 1l déterminera dans la couche, censée elliptique, deux segments exerçant sur 2 deux actions directement opposées. Soit r la distance de #2 à un point quelconque de l’un de ces segments; on pourra décomposer ce dernier en éléments de volume, tels que 7? do dr, dont la masse donnera lieu,
sur 2, à l'attraction du dr
mor?
— mp dw dr.
En intégrant par rapport à r et appelant « l'épaisseur du segment dans le sens de r, on trouve mou de pour l'attraction qu’il exerce sur m; et comme, d’après une propriété connue, & a la même valeur pour les deux segments, on voit que leurs actions sur 7» se détruisent. Donc :
Une couche homogène sphérique ou limitée par deux ellipsoides homothétiques n'exerce aucune attraction sur un point, par suite sur un système matériel, placé dans son intérieur.
L'attraction d’une sphère composée de couches homogènes concentriques sur un point de sa masse se réduit done à celle des couches intérieures à la surface sphérique passant par ce point.
60. Application à la pesanteur. — Comme on l’a fait remarquer plus haut, le poids absolu d’un corps à la surface de la Terre n’est autre chose que la résultante des actions attractives qu’elle exerce sur les différents éléments matériels de ce corps; mais Le poids apparent, tel qu'on l’observe, est la résultante de cette première résultante et de la force centrifuge due à la rotation de notre planète autour de son axe. Si, dans une première approximation, on néglige la force centrifuge ainsi que l’aplatissement de la Terre aux pôles, éléments dont on tiendra compte ultérieurement, on peut déduire des théorèmes qui précédent l'expression de l'accélération g de la pesanteur terrestre; on a en effet, en désignant respectivement par a’ et 9 le rayon moyen et la densité moyenne de la Terre,
D’après le numéro précédent, la formule qui donne g est également applicable à un point intérieur de la Terre situé à la distance a’ de son centre de gravité. On voit ainsi que, dans l’intérieur de la Terre, l’accélération de la pesanteur croit comme la distance au centre.
61. Le Soleil, les planètes et les satellites, d'après ce que nous avons dit au n° 56, pouvant être considérés à peu près comme formés de couches sphériques homogènes, doivent attirer les corps extérieurs, ou du moins sensiblement, comme si leurs masses se trouvaient condensées en leurs centres. L'erreur commise est du même ordre de grandeur que la différence entre la surface de l’astre considéré et celle de la sphère; pour un point attiré voisin de cette surface et pour un point très éloigné, elle est du mème ordre de grandeur que le produit de la différence ci-dessus par le carré du rapport du rayon du corps attirant au point attiré; car on a vu au n° 55 que l'éloignement d’un corps attiré rend l’erreur résultant de la seconde des suppositions précédentes du même ordre que le carré de ce rapport. Les corps célestes s’attirent done très sensiblement comme si leur masse était concentrée en leur centre, non seulement parce qu’ils sont fort éloignés relativement à leurs propres dimensions, mais encore parce que leur figure diffère peu de celle de la sphère.
62. Recherche des lois de l'attraction suivant lesquelles les sphères s’attirent comme si leurs masses étaient concentrées en leur centre. — La propriété des sphères composées de couches sphériques homogènes d'attirer un point extérieur, comme si leur masse était concentrée en leur centre de gravité, est digne de remarque, et il n’est pas sans intérêt de rechercher s’il n'existe pas de lois autres que celles de la gravitation qui y conduisent.
Cette propriété, ayant lieu, par hypothèse, pour une sphère et la sphère que l’on obtiendrait en enlevant à la précédente une couche sphérique superficielle infiniment mince, subsiste nécessairement pour cette couche. Il suffit donc de déterminer les lois de l’attraction pour lesquelles une couche sphérique infiniment mince attire un point extérieur comme si toute sa masse était condensée en son centre.
Désignons par o(r) la loi de l'attraction et posons
F(r)—=—fo(r) dr,
en nous reportant au n° 57, dont nous conserverons les notations. Nous voyons immédiatement que le potentiel relatif à cette loi s’obtiendra en remplaçant, dans l'intégrale de la formule (a) du même nu-
méro, I Foire. dr
— — - , 12 Va — 2aa'p + a/? 7 DR
par F(r); nous aurons ainsi, après avoir effectué l'intégration par rap-
port à g, et en remarquant que M'— 4ra"es,
(1) V=" [0 F(r)dp.
Or il faut, d’après l'hypothèse admise, que V soit de la forme V=Mm[F(a) +U],
U étant une constante indépendante de a, mais pouvant renfermer a’. On a donc
= 1 F(r) dp=2F(a) + 2U.
Mais de la relation
r?—= a — 2aap + a”?
on tire
il vient donc, en substituant à p la variable r,
a+a [ rE(r)dr =2aa F(a) +2aaU
ou V(a+a)—%V(a— a) —2aa F(a) +oaa'U,
en posant SrE(r)dr=%(r).
Si l’on différentie deux fois l'équation ci-dessus par rapport à a, puis par rapport à a’, on a
Y(a+a)—#Y'(a—a)=2a[alF"(a) +2F'(a)]—=—2a'[ayv'(a)+2y(a)],
7 1 7 FN PC A dU Y'(a+a)—4 (a—a)= 2a(a 2 +)
d’où, en faisant la différence,
ta) 2 Case dU ME dU ; FR ge da? à da}
Or le premier membre de cette équation est uniquement fonction de a et Le second de a’, ce quine peut avoir lieu qu’autant que chacun d’eux est égal à une constante A. Il vient done, en changeant a en 7,
do(r) D nn.
dr. RUES :
d’où (!) ; !
A7 PTE nie
B étant une constante arbitraire; telle est la loi cherchée. Si À — 0, on retombe sur la loi de la nature, et l’on voit que c’est la seule qui, rendant l'attraction très petite à de grandes distances, donne aux sphères la propriété de s’attirer, comme si leurs masses étaient concentrées en leurs centres respectifs.
On démontrerait, par une analyse semblable à la précédente, que la loi naturelle est aussi la seule pour laquelle un corps placé dans l’intérieur d’une couche sphérique homogène est également attiré de toute. part; mais nous ne nous arrêterons pas à ce Calcul, qui ne présente aucune difficulté.
