V=7n) CU ajoute

ET m—=1

x (A!")cosmm + B;"#sinms) | du’.

Or, d’après la seconde des formules (13) du n° 79, cette intégrale est

Resa. — Mécanique céleste. 30

égale à

M = Y m UnZ, Ms s Ÿ ss amX, , - 2 y = 2 + I AJ X, + (t É uè) : dy (AE COSMmT + Be sinnv) ? 4 = ES

et, en identifiant les coefficients des termes semblables, on trouve

+1 A ul X!2 dy! = = [Aie 2 2V HI 2,

srl m 71 +1 m | IGIENS M. Moose) RG TENS 1 a rL Die dur du— ei (Qi E ee nez dy.

AVS TUT.229. CCE) NS

La formule (x) nous donne donc, en définitive,

sf LMD L 0 — 1

(EF) Mm—=Y 2T .2.9..,(Vamer 2 A0 A'(0)- ÿ 20 (v + m) PAU AMIE B{ B'un)

pour la valeur de l'intégrale dont 1l s’agit.

87. Relation entre les moments d'inertie principaux qui se rapportent au centre de gravité d’un sphéroïde formé de couches homogènes peu différentes de la forme sphérique, mais dans lequel la densité peut varier d’une couche à une autre. — Soient

A le rayon de la sphère dont une couche difière très peu;

e la densité de cette couche, qui ne dépend que de 4;

a—A(1+ 2) le rayon vecteur d’un point » de la surface intérieure de la couche ;

0, & les coordonnées angulaires correspondantes ;

(a) X— ar — ie COS 0 a: 2e pè sinw, t— ap.

les coordonnées linéaires de »m parallèles à Ox, O0 y, Oz; (8) OT

la suite des fonctions sphériques que représente z, les coefficients qui entrent dans ces fonctions pouvant dépendre de 4.

On à, pour exprimer que le plan y0z passe par le centre de gravité,

les intégrales par rapport à & et étant respectivement prises entre les limites 5 —=0, © — 27 et Dr LL 1.

En remplaçant, dans cette formule, a par A(r +=) et négligeant le carré de z, il vient JS SeVi— L coss do du(dai + 3da%z) — 0

ou simplement Le diff S'EVi— vu? cos5 ds dy) — 0.

Mais nous avons (n° 85) (+) L= Vip coss + Br — psins + y,

etV1i—yw?coss est, par suite, une fonction sphérique du premier ordre. L’équation précédente se réduit donc à la suivante :

Led JS Zi co25 de du) — 0;

d’où, en remplaçant Z, par sa valeur, A:

p d(a*x)— 0, A0 en représentant par 4, la valeur de À qui se rapporte à la surface du sphéroïde. On trouverait de même, en prenant successivement les moments par rapport aux plans 30x, yOz,

A ed) — 0.

Cr)

La densité p étant censée exprimée au moyen de la variable 4, on voit que les constantes qui entrent dans chacune des fonctions de la même variable, que représentent respectivement «,, 6,,y,; devront avoir entre elles une relation déterminée.

Mais si, comme nous le supposerons dorénavant, la constitution du sphéroïde est telle que toute portion de sa masse limitée par une

couche quelconque ait son centre de gravité au même point que la masse totale, les trois conditions qui précèdent devant être satisfaites, quelles que soient les valeurs de À,, depuis o jusqu’à la surface du sphéroïde, il faut que l’on ait «, = 0, f, — 0, y, = 0 ou Z,— 0, ce qui est une généralisation du second des théorèmes démontrés au n° 82.

Nous admettrons que la constitution du sphéroïde est telle que les trois axes principaux d'inertie d’une portion de la masse, limitée par une couche quelconque, coincident avec ceux de cette masse.

Parmi les trois conditions qui doivent être remplies pour que les axes coordonnés soient les axes principaux d'inertie, considérons d’abord la suivante :

o= SJ f [ea yt de du da =1 [ [ feu p? cos daï ou, en remplaçant a par (1 + :)et continuant à négliger le carré de z, o = fed[ af fui cos du do + 545 f fu V1 — pe? :c0s5 do dy] = 5 fe d[ A5 f fui pe 30085 ds dy].

De ce que l’on a (n° 85)

(à) (Z=anpi pcoss + BuVi— psins + y(u®— 1) + a, (1— p?) cos2w + B,(1 —p)sin2s,

il résulte que wÿ1 — u?coss est une fonction sphérique du second ordre, et que l’équation précédente se réduit à la suivante :

Seda ff ei 127, cos de du] = 0; en y remplaçant Z, par sa valeur, on trouve, après avoir effectué les intégrations par rapport à & et à p, J'e d(aÿa) = 0, d'où, d’après ce qui a été convenu plus haut,

La condition 0 — ff fpa*nt do dy da

conduira évidemment, de la même manière, à Bo 10)

puisque x ne diffère de n que par le changement de 5 en 90° — .

CALCUL DE L'ATTRACTION DES CORPS. 237 Il nous reste à considérer la troisième condition o— ff fpatyn du dy da

= SSSR — à) sin28 de dy de = 2 fed[af [Gi — )sin20 do du + 545 f f(1 — L°)s5sin25 do du]

ou Sedfaf fi —):sin25 do du] — 0.

Or, d’après la formule (y), le facteur (1 — x?) sin25 est une fonction sphérique du premier ordre; on a done, par suite,

Jed[af fi — v2)2, sin2vds dy] — 0

et, en remplaçant Z, par sa valeur et effectuant les intégrations par

rapport à w et,

Jed(#8;)—o, d’où By — 0.

La valeur (ÿ) se réduit ainsi à la suivante : (3') L= ptu—i)+ a, (ip?) cos25.

Soient maintenant A, B, C les moments d'inertie du sphéroïide ou

d’une partie du sphéroïde limitée par une couche, par rapport à Ox, Oy, Oz. Nous avons

AB + CS. (n + 0) ES:n(e EL) ES.m(n + x) —928.m(x+n +60) —028.ma —2/f ffpa* di du da =? /$f/feds du d\+2f [ fods dud(4s,

CS fe a*(1— 1?) ds dy da =+fffe(G—12)d5 de da + ff [fe ds du d(aÿs), 2C—(A+B) = — $$$ [Pete — 1) do du da — 3 ff [e(u?— 1)d5 ds d(aÿ3) et, comme(u.? — =) est une fonction sphérique du second ordre, 20— (A+ B)=—3ffp(u?—1)da5Zs.

Si, dans cette expression, on remplace Z, par sa valeur (à) et que l’on

2338 CHAPITRE I. — CALCUL DE L'ATTRACTION DES CORPS. effectue les intégrations par rapport à 5 et y, on trouve

2C— (A+ B)=— LE fpd(a5ys).

En ne conservant que le premier terme de l'expression (e), 1l vient

C— —..fp da.

Nous avons donc, aux termes du second ordre près, la relation cherchée

2C0—(A+B) fd(aiy:)

(G) 2 C 1e Je d'A

qui nous sera très utile plus tard dans les questions relatives au mouvement des corps célestes autour de leurs centres de gravité respectifs.