MOUVEMENT CIRCONSCRIT

Si un corps , suspendu par un fil , oscille entre deux cycloïdes , il décrira une autre cycloïde égale par le développement du i fil ; et le temps de la vibration sera le même en quelque endroit de la courbe qu’il commence à descendre. De là vient qu’on dit que les vibrations d’un corps mouvant dans une cycloïde sont isochrones ou égales en durée.

Le temps absolu de descente ou d’ascension du pendule, dans la cycloïde, est au temps durant lequel tout corps pesant tomberait delà moitié de la longueur du fil, comme la demi-circonférence d’un cercle est à son diamètre. D’où on peut conclure que puisque les temps de la chute dans tous les espaces sont en raison des racines carrées de ces espaces, les temps de vibration de différons pendules sont comme les racines carrées de leurs longueurs.

Il y a un principe général du mouvement curviligne, qui en lui-même est de peu d’importance et plus usité dans la pratique, mais que nous mentionnerons toutefois comme ayant été regardé, par quelques philosophes, comme une des lois fondamentales

84 mécanique: dynamique.

de la nature. De toutes les courbes qu’un corps puisse décrire dans son mouvement d’un point à un autre, il choisit toujours celle dans laquelle, si l’on suppose que sa vitesse soit partout multipliée par la distance qu’il parcourt, la somme des produits infiniment petits sera un minimum , c’est-à-dire moindre qu’aucune autre route qu’il aurait pu prendre. Cette loi a reçu le nom de principe de la moindre action.

SECTION V

Du mouvement des masses simples.

Nous n’avons eu égard jusqu’à présent qu’aux mouvemens d’un ou plusieurs points pris isolément, ou des atomes seulement, sans nous occuper du volume ou de la masse d’un corps mouvant ; mais il est indispensable de fixer notre attention sur la différence de la masse des corps en mouvement.

L 'inertie, ou la tendance à persévérer, soit dans l’état de repos, soit dans un mouvement uniforme en ligne droite , est une propriété inhérente à la matière, et peut être considérée comme proportionnelle à la

masse ou au poids d’un corps. Si l’on examine un système de corps, leur inertie peut être rapportée à un point unique, que l’on appelle centre 'd’inertie. Le centre d’inertie de deux corps est , sur une ligne droite allant de l’un à l’autre, Je point qui partage cette même ligne en deux parties telles, que l’une est à l’autre comme la masse du corps qui en est plus distant est à celle du corps le plus rapproché ; par exemple, si un corps pèse une livre et un autre deux livres, et que leur distance soit de trois pieds, le centre d’inertie est alors à deux pieds du corps le j plus petit et à un pied du plus gros; et la distance de chacun est à la distance totale, comme le poids de l’un est au poids entier:

Id’où il suit que les sommes des poids multipliés par les distances sont égales, puisque deux, multiplié par un, est égal à un multiplié par deux.

Ce point est plus communément appelé centre de gravité et quelquefois centre de posiion. Mais comme il jouit de plusieurs propriétés indépendantes de la pesanteur, il ne loit pas tirer son nom de la gravitation, et a dénomination de centre d'inertie corn-

mence maintenant avec raison à être généralement adopté.

Le centre d’inertie de deux corps quelconques à l’état de repos, reste en repos, quelle que soit l’action réciproque de ces corps ; c’est-à-dire malgré l’action qu*exercent les particules de chacun d’eux, en augmentant ou diminuant leur distance. Cette importante propriété reçoit des applications trèsremarquables : il en est de même des forces attractive et répulsive.

Cette propriété du centre d’inertie, admise comme loi du mouvement, nous permettra d’apprécier, plus exactement qu’on ne le fait communément , la quantité de mouvement de différens corps. Car, puisque la même action réciproque ne produit, sur un corps du poids de deux livres , que la moitié de la vitesse qu’elle produit sur un corps pesant une livre, la cause étant la même, les effets doivent être considérés comme égaux, et la quantité de mouvement doit toujours être mesurée par la somme des rapports de masse à masse, et de vitesse à vitesse , c’est-à-dire, par le rapport des produits obtenus en multipliant le poids de

çhaque corps par le nombre exprimant sa vitesse : on donne à ces produits le nom de moment des corps.

Mais ce n’est point assez d’avoir déterminé le centre d’inertie de deux corps seulement, considérés comme points isolés , puisqu’ en général on opère sur un beaucoup plus grand nombre de points. Or, on peut toujours représenter le mouvement du centre d’inertie d’un système de corps mouvans , en supposant leur masse réunie en un seul corps , qui recevra en même temps un moment égal à celui de chacun des corps du système , dans une direction parallèle à ce mouvement. Il est souvent plus convenable de rapporter tous les mouvemens de ce corps imaginaire à trois directions données, et de conserver de toutes les résultantes trois sommes, qui représenteront le mouvement du centre d’inertie du système.

Il est évident que le résultat de tout nombre de mouvemens uniformes et rectilignes, ainsi présenté , sera aussi un mouvement uniforme et rectiligne : et en consé» quence, le centre d’inertie d’un système de corps mouvans, non troublé, est ou à l’é-

88 mécanique : dynamique.

fat de repos, ou mu également en ligne

droite.

Les produits de la masse ou du poids d’un nombre de corps, quel qu’il soit, multipliés par sa distance d’un plan donné et réunis en une somme, seront égaux à tout le poids du système, multiplié parla distance du centre commun d’inertie dans le même plan. Cette proposition sera également vraie, si aux distances les plus courtes , nous substit lions les distances du même plan mesurées obliquement , dans toutes les directions, et toujours parallèles les unes aux autres. Cette propriété est spécialement applicable au centre de gravité, et fournit les moyens les plus faciles de le déterminer dans les corps de formes compliquées (fig. 7 et 8).

Nous avons déjà vu que la place du centre d’inertie de deux corps n’est dérangée par aucune action réciproque entre eux : cela est également vrai pour un système de trois ou un plus grand nombre de corps; mais cette démonstration serait trop compliquée , sans apporter plus de lumière sur ce sujet.

Toutes les forces de la nature, du moins

celles que nous connaissons, agissent réciproquement entre deux masses matérielles, de manière que deux corps se repoussant ou s’attirant l’un l’autre, s’écartent ou se rapprochent suivant un mouvement égal. Cette circonstance est généralement comprise par l’énoncé de la troisième loi du mouvement, « que l’action et la réaction sont égales.» Newton obse/ve, à l’égard de cette loi, que « la réaction est toujours contraire et égale à il’action , ou que l’action mutuelle de deux icorps est toujours égale et dirigée en sens [contraire. » Il ajoute : « Si un corps attire ou en presse un autre, il est lui-même attiré ou pressé dans le même rapport. >»

L’actiou attractive ou répulsive de deux corps l’un sur l’autre , dépend en partie de leur grandeur. Si ces corps sont de la même espèce, leur action mutuelle s’exerce dans le rapport composé de leurs volumes, c’est-àlire dans le rapport des produits des nomires qui expriment leurs volumes. Par exemple, si deux corps, contenant chacun un louce cubique de matière, s’attirent ou se •epoussent avec la force d’un grain , et qu’il , r ait deux autres corps, l’un contenant deux

90 MECANIQUE : DYNAJIIQUK.

pouces, l’autre dix, de la même matière, l’action réciproque d’attraction ou de répulsion de ceux-ci sera représentée par vingt grains; car dix pouces de l’un sont attirés ja par deux pouces de l’autre avec la force 1 d’uu grain. Dès lors l’action réciproque de h trois et dix est trente; de quatre et dix, quarante: d’où il suit que lorsque l’un des corps reste le même, l’attraction est dans le rapport simple du volume de l’autre. Ainsi la quantité de matière, dans tous les corps qui j nous environnent, est considérée comme proportionnelle à son poids : carl’expérience nous apprend que tous les corps matériels sont également soumis à la gravitation vers la terre, et sont de la même espèce, eu égard à cette force : la différence apparente de vitesse avec laquelle certaines substances traversent l’atmosphère, n’est due qu’à la résistance de l’air, ainsi que le démontre la chute d’une plume et d’une pièce d’or, sous le récipient de la machine pneumatique; 'j c’est pourquoi nous supposons que la diffé-* rence des poids de diverses substances, sous des volumes égaux, ne dépend que du plus ou moins grand nombre des particules con- j

MOUVEMENT DES MASSES SIMFLES. qi

tenues dans un espace donné, indépendamment des autres caractères qui constituent les différences spécifiques de ces substances.

Si deux corps agissent l’un sur l’autre avec des forces proportionnelles à une puissance quelconque, soit au carré ou au cube, les forces seront aussi proportionnelles à la même puissance de chacune des distances de leur centre commun d’inertie. Ainsi, pour les mouvemens planétaires , si un corps accomplit sa révolution au moyen de la force attractive d’un autre, cet autre ne saurait rester complètement en repos ; mais comme il est plus convenable de déterminer l’effet de l’attraction , comme dirigée vers un point fixe , nous considérons la force comme résidant dans le centre commun d’inertie des t deux corps, lequel reste à l’état de repos, en I tant qu’il n’est question que de l’action réciproque de ces deux corps ; et l’on peut démontrer que la force diminue dans le même rapport qu’augmente le carré delà distance des corps, à partir de ce point ou de tout autre. Les forces réciproques de deux corps pourront donc être envisagées comme dirii gées vers leur centre commun d’inertie, con-

ga mécanique: dïnamique.

sidéré comme point fixe : mais il arrive souvent que la différence de grandeur étant très-considérable , on néglige le mouvement de l’un des corps. C’est ce qui a lieu à l’égard du soleil par rapport au mouvement des planètes.

SECTION vi.

De la pression et de l’équilibre.

Une force contre-balancée par une autre , en sorte qu’il n’en résulte aucun mouvement, engendre une pression : ainsi nous exerçons une pression continuelle, par notre poids , sur la terre où nous marchons , le siège sur lequel nous sommes assis, le lit sur lequel nous dormons; mais du moment que nous tombons ou que nous sautons, nous n’exerçons ni n’éprouvons aucune pression.

Pour mesurer la pression, rien ne nous empêche de comparer deux pressions , en examinant les mouvemens élémentaires qu’eiles produiraient si l’obstacle était écarté ; et rien ne s’oppose ici à appliquer les lois de la composition du mouvement ; car, puisque nous mesurons les forces par les mouvemens qu’elles engendrent, il en résulte que la

composition des forces est renfermée dans la doctrine de la composition des mouvemens. Et si nous combinons trois forces d’après les lois du mouvement, il n’y a pas de doute que le mouvement qui en résultera ne soit dans tous les cas bien véritablement déterminé, quelle que soit d’ailleurs sa grandeur; l’on ne peut pas dire qu’il en soit autrement si le mouvement disparaît et que la force devienne une pression. C’est le cas d’une fraction, dont la valeur reste la même, lorsque son numérateur et son dénominateur deviennent moindres qu’aucune quantité nominale.

Nous devons donc regarder le moment , ou la quantité de mouvement qu’occasionerait une force en action, comme la mesure de la pression qu’elle exercerait ; et entendre par pressions égales ou proportionnelles, belles produites par des forces qui engendreraient des momens égaux ou proportionnels dans un temps donné; d’où l’on doit conclure que deux pressions contraires se leutraliseraienl , si les momens que produiaient séparément les forces, dans des directions opposées, sont égaux; et qu’une

pression, quelle qu’elle soit , en contre-balancerait deux autres , si le moment qu’elle produirait était égal et contraire au moment résultant de la somme des autres forces.

Il résulte des lois de la composition du mouvement, que le résultat de deux pressions, exprimées par les côtés d’un parallélogramme, sera représenté par sa diagonale, et que si un corps reste en repos au moyen de trois pressions, c’est qu’elles seront eu rapport de puissance les unes avec les autres, comme les côtés d’un triangle parallèles à leurs directions.

Le9 problèmes les plus importans relatifs à l’équilibre , sont ceux qui ont rapport aux machines , qu’on appelle communément puissances mécaniques. Nous n’entrerons pas toutefois, quant à présent, dans le détail des propriétés et des usages de ces machines ; nous les considérerons d’abord à l’état de repos , attendu que la détermination de leurs< mouvemens réclame des considérations plus élevées, et que leur application appartient «à une autre division de notre sujet.

Il est une loi générale de l’équilibre mécanique, qui renferme les principales pro-

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est

PRESSION ET ÉQUILT11RE. <)i>

priétés de la plupart de ces machines. Si deux ou un plus grand nombre de corps réunis sont suspendus en un point donné, ils seront en repos , si leur centre d'inertie est dans la ligne verticale passant par le point de suspension.

De là vient que le centre d’inertie reçoit le nom de centre de gravité : on le trouve, dans la pratique, en déterminant l’intersection de deux lignes qui deviennent verticales suivant deux positions dans lesquelles le corps est en repos. Ainsi, en suspendant une planche de forme irrégulière, en deux points successifs , et déterminant la situation de la verticale dans chaque position, leur intersection donnera le centre de gravité ; et l’on trouvera que cette intersection sera la même, quelles que soient les positions dont on fait usage.

Le degré de stabilité de l'équilibre est d’une grande importance dans plusieurs procédés mécaniques. Comme toutes les quantités variables, la stabilité peut être positive, négative ou neutre. L’équilibre est réellement plus au moins stable, lorsque le centre de gravité r st contraint à monter plus ou moins rapi«

96 MÉCANIQUE : dynamique!

dement, en abandonnant la verticale; l’équilibre est vacillant et la stabilité négative, lorsque le centre de gravité descend pour être déplacé; mais quand le centre de gravité coïncide avec le Centre de mouvement, ou quand son trajet est une ligne droite horizontale , l’équilibre est appelé insensible, ou mieux neutre, et le corps reste dans sa position sans chercher à tomber, ou à retourner dans sa situation primitive (fig. 9).

Des leviers.

Les propriétés des leviers de toute espèce sont une conséquence de la loi générale de l’équilibre du centre de gravité. Il suit de lu définition que nous en avons donnée, que si deux corps sont attachés à une barre droite d’un poids peu considérable, ils seront suspendus en équilibre par un point fixe ou axe de suspension qui divisera leurs distances en deux parts qui seront en raison inverse j de leurs poids. Et conséquemment, si on sub-j stitue à ces poids quelques autres forceséqui-4 valentes agissant à la même distance de l’axe de suspension , et suivant la même inclinai*^ son que la barre ou levier, les conditions

ritESSIOIf ET ÉQUILIBRE. 97

d’équilibre seront exactement les mômes.

Ainsi , chaque force étant transportée à une égale distance de l’autre côté de l’axe de suspension , et y agissant en direction contraire , l’équilibre restera encore le meme. Ceci donne lieu à deux espèces de leviers : le premier , dans lequel le point fixe ou axe de suspension est entre les points auxquels sont appliqués les forces ou les poids; le second , dans lequel les forces sont appliquées en direction inverse , sur le même côté de l’axe de suspension (fîg. io).

La démonstration des propriétés fondamentales du levier nous a été donnée d’un grand nombre de manières. Archimède nous en a fourni deux , et tour à tour Huygens , Newton, Maclaurin, le docteur Hamilton et Yince, ont éclairci ce sujet par diverses méthodes.

La roue et Y axe offrent beaucoup de res- 1 semblance avec le levier. Les propriétés mé«

1 caniques des systèmes de roues dentées , des ! engrenages , des différentes espèces de crics t offrent beaucoup d’analogie , soit avec une ! série de leviers , soit avec des combinaisons mécanique. 7

de cylindres, qui constituent la roue et l’axe.

Le treuil ou tour est une machine composée d’un cylindre et d’une roue, qui tiennent ensemble; les deux extrémités de l’axe reposent sur des appuis ou tourillons. En faisant tourner la roue, la corde attachée au cylindre s’y enveloppe, et agit sur la résistance à laquelle elle est attachée par l’autre extrémité. Au lieu de roue , on peut se servir de deux leviers qui traversent ce cylindre et se nomment alors manivelles. Dans le treuil, la roue de carrière , la grue, qui sont des machines analogues, l’axe est horizontal ; dans le cabestan , il est vertical.

Les lois de l’équilibre des poulies ont été rapportées, par quelques auteurs, à celles du levier ; mais la comparaison est tout à la fois inutile et imparfaite, car la poulie doit être envisagée comme un cylindre mouvant sur un axe, mais simplement dans le but de changer la direction des fils sans frottement.

Une poulie fixe n’offre pas de grands avantages en mécanique : mais avec une poulie mobile, on conçoit qu’un poids peut être

supporté par deux forces équivalant chacune à la moitié du poids appliqué en direction verticale aux extrémités du fil ; si bien qu’à l’aide d’une seule poulie mobile, un corps peut en tenir en équilibre un autre double de son poids (fig. 1 1 et 12).

Il résulte des lois exposées précédemment et concernant les mouvemens des corps sur des surfaces inclinées, qu’un poids dont l’action est verticale, en tiendra en équilibre un autre s’appuyant sur u w plan incliné , sans frottement, si le premier est au second comme la hauteur du plan est à sa longueur oblique ; et dans ce cas , le pression sur le plan est au poids qui s’y appuie comme la longueur horizontale de ce plan est à sa longueur oblique. Dans la pratique on peut obtenir la mesure de cette pression en substituant à la résistance du plan celle d’un fil qui lui soit perpendiculaire.

Ces mêmes principes s’appliquent à l’équn libre du coin, lequel est un solide composé de trois faces planes inclinées les unes aux autres , et terminé par deux triangles.

Si une étaie ou une barre , s’appuyant contre une surface verticale ou un mur, était

ioo mécanique: dynamique.

employée à soutenir ou à élever un poids, au moyen d’une force qui attire sa base le long d’une surface horizontale unie , la force horizontale devrait être au poids dans le rapport de la distance du mur, à partir de l’extrémité de l’étaie, à sa hauteur perpendiculaire. C’est d’après ces principes que sont déterminées les conditions d’équilibre des cintres , des dômes et des combles.

L’action de la vis résulte du même principe que celui invoqué pour le plan incliné : car, si on fait tourner autour d’un cylindre un coin petit et flexible, par exemple un morceau de carte triangulaire, on forme une vis.

Dans tous les cas d’équilibre que nous venons d’examiner , aussi bien que dans tous ceux qu’on peut imaginer, on trouvera que les forces ou plutôt les poids opposés les uns aux autres sont arrangés de telle façon que , s’ils étaient mis en mouvement, ils donneraient tout d’abord, dans la direction de gravité, des momens égaux et contraires , la vitesse étant d’autant plus grande que l’étendue du poids est plus petite. Ainsi, lorsqu’un poids d’une once, placé sur un levier, à la distance

de quatre pieds de l’axe de suspension , contre-balance un poids de quatre onces à la distance d’un pied, la vitesse avec laquelle l’once descendrait, si le levier était mis en mouvement, serait quatre fois aussi considérable que celle avec laquelle descendrait le poids de quatre onces.

Quelques auteurs ont pensé que cette loi donnait la démonstration de l’équilibre dans tous les cas possibles; car, puisque partout où deux poids se font équilibre, si l’un descend, l’autre doit monter suivant une égale quantité de mouvement, il paraît absurde de supposer que la force de gravitation puisse produire à la fois ces deux effets égaux et contraires.

SECTION VII

Du choc.

Après avoir recherché les lois et les propriétés du mouvement et du repos des corps simples , sous l’influence d’une ou plusieurs forces; après avoir exploré l’équilibre de ces mêmes forces dans différentes circonstances , il convient d’examiner maintenant

IOS MBCAMIQUE I DYNAMIQUE.

quelques cas simples des mouvemens de divers corps mobiles, agissant réciproquement les uns sur les autres. Dans tous les problèmes de cette espèce , il est très-important de se rappeler le principe général posé ci- devant, concernant le centre d’inertie , dont la place ne subit aucun dérangement par l’action réciproque ou mutuelle des corps qui constituent le système.

Toutes les fois que deux corps agissent l’un sur l’autre de manière à changer la direction de leurs mouvemens respectifs, par des forces quelconques qui maintiennent leur action, à distances égales, sans la diminuer, les vitesses relatives avec lesquelles ces corps s’attirent ou se repoussent seront toujours égales à distances égales. Par exemple, la vitesse avec laquelle une comète descend en s’éloignant du soleil pour s’approcher de la terre , est égale à la vitesse d’ascension dans son retour, quoique, à diverses distances, sa vitesse ait subi des changemens considérables. Dans ce cas , la force agit constamment , et attire les corps l’un vers l’autre ; tandis que la force du choc, celle qui a lieu lorsqu’un corps en frappe ou en pousse un