CHAPITRE yi

La démonstration.

La déduction conduit à la démonstration. On déduit pour démontrer; démontrer est le but, déduire est le moyen. La déduction est le mécanisme même du raisonnement; la démonstration en est l'essence. Aristote, qui a donné les règles du syllogisme dans ses Premiers analytiques, a donné les règles de la démonstration dans les Seconds. Nous n'avons rien de mi eux à faire que de reproduire ses principes et ses préceptes tels qu'il lésa exposés lui-même, et autant que possible dans ses propres termes.

3G2. Définition. — La démonstration, dit Aristote, c'est le syllogisme scie7itifique (ô oruXXoywfiôç èiuwTvjfjtovtxoç), c'est-à-dire le syllogisme qui produit la science et le savoir. Or qu'est-ce que savoir? Savoir, c'est connaître les choses par leur cause (smarâtrBM

oiôfxsOa oTOv tïjv t* oartav oiôfxeQx yivûvxMiv St tIv tô -irpâypa ètjrt). Or, SI

savoir consiste à connaître par la cause, et si la démonstration est le syllogisme du savoir, il s'ensuit que la démonstration suppose des principes antérieurs, primitifs, plus notoires que la

conclusion dont ils sont cause (l^ àXvjdûv xol -npô^m x<x\ àiUam nmt

363. Propositions antérieures et immédiates. Objec* tions. — La démonstration suppose donc des principes antérieurs, précédemment admis. Or cette condition donne naissance à deux objections :

1° La démonstration est impossible, car elle suppose des principes. Or, ces principes ont besoin eux-mêmes de démonstration ; et cette démonstration doit avoir des principes qui sont encore eux-mêmes sujets à être démontrés ; il y a ainsi progrès à l'infini. Si au contraire on s'arrête, il faut se contenter de, principes non démontrés

jANET, Philosophie. '^S

2* La science démonstrative est possiole ; mais ia démonstration est circulaire et réciproque.

1° La première de ces deux objections, qu'Aristote se fait à luimême, a été reprise par Pascal : suivant lui, c'est une infirmité de la raison humaine de ne pas pouvoir tout prouver :

Le véritable ordre, dit-il, consiste à tout définir et à tout prouver. Certainement cette méthode serait belle; mais elle est absolument impossible; car il est évident que les premiers termes qu'on voudrait définir en supposeraient de précédents pour servir à leur explication; et que de même les premières propositions qu'on voudrait prouver en supposeraient d'autres qui les précédassent, et ainsi il est clair qu'on n'arriverait jamais aux premiers. Ainsi, en poussant les recherches de plus en plus, on arrive nécessairement à des mots primitifs qu'on ne peut plus définir, et à des principes si clairs qu'on n'en trouve plus qui le soient davantage 'pour servir à leur preuve. D'où il paraît que les hommes sout dans une impuissance naturelle et immuable de traiter quelque science que ce soit dans un ordre absolument accompli.

Il ne s'ensuit pas qu'on doive abandonner toute sorte d'ordre, car il y en a un, et c'est celui de la géométrie, qui est à la vérité inférieur en ce qu'il est moins convaincant, mais non p.is en ce qu'il est moins certain. // ne définit pas tout et il ne prouve pas tout, et c'est en cela qu'il lui cède; mais il ne siippose que des choses claires et constatées par la lumière naturelle *.

Aristote avait répondu déjà à cette objection :

Nous soutenons, dit-il, que toute science n'est pas démonstrative, que les propositions immédiates sont connues sans démonstration. Que cela soit de toute nécessité, c'est ce qu'on voit sans peine; car s'il est nécessaire de connaître les principes et les définitions dont se tire la démonstration, et si Ton s'arrête à des principes immédiats, il est certain que ces principes doivent être iadémoutrables. Nous soutenons qu'il en est ainsi.

Il semble que, dans cette réponse, Aristote ne fasse que constater le fait et la nécessité du lait, sans en prouver la légitimité. Cependant, en méditant avec soin ce passage d'Aristote, on y remarquera un terme décisif et caractéristique : c'est le mot iftttra., immédiats. Si nous devons nous arrêter à des principes, ce n'est pas seulement parce qu'il faut s'arrêter, ce qui pourrait bien n'être que l'effet de l'imperfection humaine, comme le pense Pascal, maii c'est que nous rencontrons des propositions immédiates, c'esl-à-dire sans moyen terme. A quoi sert la démonstration? A établir un rapport entre l'attribut et le sujet par l'intermédiaire d'un moyen terme. Mais s'il y a des propositions où un tel rapport existe par lui-même, et sans qu'il soit nécessaire d'introduire entre les deux extrêmes aucun moyen terme, et même sans que cela soit possible, puisqu'il n'y en a pas, n'est-il pas évident que, dans ce cas-là, la démonstration est impossible

i. Pascal, de l'Esprit géométrique (éd. Haret, t. U, p, 282). Voy. la rëfuutioa ^'w tùt JH. Havct daas son Comf-entaire, p. M9.

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et inutile, non par impuissance de notre part, mais par la nature des choses? Ce qui explique l'erreur de Pascal, c'est qu'il a confondu ces deux cas, k savoir, celui où la définition et la démonstration sont impossibles par notre f:ute, et celui où elles le sont par la nature même : par exemple, le postulatum d'Euclide. n'est peut-être indémontrable que par notre faute; mais ses axiomes le sont par leur nature même. On s'étonne d'ailleurs qu'un esprit aussi exact que Pascal ait pu dire qu'une science parfaite serait celle où tout serait démontré; une telle idée est évidemment contradictoire : car elle conduirait à un progrès à l'infmi, dont on ne trouverait jamaisle terme; et la série n'ayant jamais aucun point d'arrêt, il faudrait dire non pas que tout est démontré, mais que rien ne l'est \ On peut douter que ce que nous appelons principes soient les vrais principes en soi : mais on ne peut pas douter que la vraie méthode ne supposât de tels principes : et pour soutenir que les nôtres ne sont pas les véritables, il faudrait les prendre l'un après l'autre et démontrer qu'ils ne sont pas évidents; or, pour ce qui concerne la géométrie, il y en a au moins un dont l'évidence est incontestable, c'est le principe d'identité : quant à tous les autres, on peut soutenir avec Leibniz qu'ils sont susceptibles d'être démontrés, et il approuvait qu'on essayât de le faire, quoique cela ne fût pas très utile pratiquement. Peut-être était-ce là au fond la pensée de Pascal ^; mais il ne l'a pas assez éclaircie; et l'objection, telle qu'il la présente, est insoutenable.

2° Suivant d'autres philosophes, la démonstration est possible; mais elle ne l'est qu'à la condition d'être circulaire et réciproque, c'est-à-dire de démontrer les principes par les conclusions et les conclusions par les principes.

Mais une telle opinion est inadmissible, suivant Aristote : car nous avons vu que démontrer c'est partir de choses antérieures, et que la seule science possible est celle de la démonstration : or les mêmes choses ne peuvent pas être en même temps antérieures et postérieures les unes par rapport aux autres. Il ne peut donc pas y avoir de démonstration par cercle.

Pour qu'une démonstration circulaire fût possible sans dégénérer en cercle vicieux, il faudrait que les termes fussent réciproques , or il n'y a qu'un petit nombre de démonstrations de ce genre.

^1. Aristote, ^.iaphps., IV, 4: <3(Ttï |iy)8' définition «ït plutôt une f^r/'ecH*» qu'un dé>

•Ctw; slvat àTt6!)£'4tv. faut».