D^nùian préliminaire. Supposons qu'étant dans une cham

Î>ré obscure où pénètre un faisceau RR' ^fig, 297) de rayons soaires, on présente a ce faisceau un iriiroir MM' , on remarquer4 fleux choses : la première, c'est que la petite portion O, frappée

àf ce JCàiscëàu dkns le miroir, sera visible de tous les points de;

sàlië. tlèlà jpirouve qu'il s'élance de O des rayons id^ ID, I' D'i T^U* dans toutes les directions : ces rayons sont ce qu'on appelle àes rayons irrégulièrement réfléchis. La seconde chose que 1'qi| observé est que dans iine certaine direction OL il se réfléchit un làisc^ù de liiihière â peu près aussi intense que celui de RO, qui. vient directement du soleil, et qui va peindre en LL' sur 1^ niiir un disque d^ lumière qui, avec certains miroirs, est près* qû^aiissi éclatant que s'il était dû aux rayons venus directement Sii sbiéil. Ce faisceau OL est ce qu'on appelle le faisceau régu-^ ii^çmèni réfléchi ; on peut le rendre visible dans toute sa Ion? '

f' uëiir en répandant siir la routé qu'il suit une poussière assez ne poiir qu'elle puisse rester suspendue dans l'air. C'est cette réflexion régulière qui fait Fobjet de la catoptrique.

On appelle rajron incident chaque rayon tel que RI, qui vient directement du soleil ou de là source de lumière que l'on consi-

184 TKMTÉ Dl PHYSIQUE.

dère pour frapper le miroir ^n un point I, qu'on nomme point d'incidence.

Le rofran réfléchi est celui le long duquel la lumière du rayon incident continue son chemin à partir du point dlncidence, et d'après ce que nous avons dit, il y a à chaque point d'incidence l un rayon r^ulièrement réfléchi IL, et une infinité de rayons irrégulièrement réfléchis idy ID, etc.

Yà angle dTincidence est Tangle RIP, que fait le rayon incident RI arec la normale IP élevée au point d'incidence.

\J angle de réflexion est l'angle PIL que fait le rayon régulièrement réfléchi IL avec la même normale IP •

Le plan ^incidence est le plan de l'aogle d'incidence, et le plan de réflexion est celui de l'angle de réflexion.

Dans ce paragraphe nous étudierons d'ahord la réflexion de la lumière sur un miroir plan, et ensuite sur un miroir courbe.

Question I'*. — Réflexion de la lumière sur une surface plane.

158. Proposition. — « L'angle d'incidence et l'angle de réflexion » sont égaux, et situés tous deux dans un même plan perpendi- » culaire au miroir. »

La meilleure manière de démontrer cette vérité est de prendre pour miroir la surface SS', fig. 298, d'un liquide quelconque, tel que de l'eau, ou mieux encore du mercure ; la normale IF est idors précisément dans la direction du fil à plomb. Supposons donc une étoile qui envoie à cette surface un faisceau de lumière E'I qui, en se réfléchissant régulièrement dans la direction IL', fera voir à tout œil placé dans cette direction une image de l'étoile. Prenons une lunette d'astronomie LL munie d'un cercle YY' divisé en degrés, minutes et secondes^ que la lunette puisslfc parcourir en tous sens; plaçons celle-ci de manière que son cercle Y V soit parfaitement verticale, et puisse se diriger suivant OU sur l'image de l'étoile. Après avoir fait tourner la lunette jusqu'à ce que cette image paraisse précisément sur son axe CL', notons exactement le nombre de degrés, minutes et secondes que contient l'angle PGO' que fait le fil à plomb PC avec cet axeCO". Maintenant si sans déranger le cercle Y V on fait tourner convenablement la lunette pour la diriger sur l'étoile même, on réussira à ce que celle-ci paraisse précisément sur l'axe EG de cette lunette. Si dans cette nouvelle position on note la valeur de

LUMiÈRE RÉrLÉCHIB. 18&

l'angle LCP, on la trouye exactement égale à celle qu'on a trouvëe pour PCQ" ; de là il est facile de conclure la vérité de notre proposition. En effet, l'étoile étant à une distance immense, les deux rayons El et EC qu'elle euToie peuvent être censés parallèles, et par conséquent de même direction ; de plus CL' est dans la direction du rayon réfléchi IR ; enfin la normale IP'est, comme nous l'avons dit, dans la direction du fil à plomb CF. Donc les lignes de ^Jig» LPUG sont de mêmes directions que celles de la fig. E'P'RI, et par conséquent les angles de la première sont égaux aux angles de la seconde. Or, dans la première^ les angles.LGP et PGL' ont la même valeur ; donc, dans la seconde, les angles EIP et FIR sont aussi égaux entre eux, ce qui est une des choses que nous ayions à prouver. En second lieu, comme nous n'avons pas été obligés de déranger le plan du cercle YY' pour passer dé l'image de l'étoile formée par les rayons réfléchis CL' à l'étoile même, vue par les rayons directs CL, il s'ensuit que les trois lignes LC, CP et GL' sont dirigées dans le même plan vertical. Donc, comme ces trois lignes ont les mêmes directions que les trois lignes E'I, IP' et IR, on voit que celles-ci sont aussi dirigées dans un même plan vertical, c'est-à-dire perpendiculaire à la surface SS' du miroir, ce qui estTautre chose que nous avions à prouver.

Obsert^ation L II est évident que la ligne IP' faisant deux angles égaux avec le plan SS', comme étant perpendiculaire à ce plan {yofn pag. VI, 1. 1*'), si l'on retranche de ces deux angles les angles EIP' et FIR, qui sont aussi égaux entre eux, les restas E'IS et RIS' seront égaux ; donc le rayon incident IR et le rayon réfléchi I£' font des angles égaux avec le miroir SS'.

159. Observation IL — Au moyen de cette proposition, nous allons démontrer le principe dont nous nous sommes servi dans le tt^ 146. Seulement nous en donnerons un énoncé un peu différent de celui du n° 145, et qui, pour être bien compris, a besoin de la définition suivante.

Défimtion L — On dit que deux points L et L' {fig, 2d9) sont symétriques Tun^de l'autre par rapport à un plan MK, quand ils sont placés sur une même perpendiculaire LL' à ce plan et à égales distances des deux côtés de ce plan, de sorte que KL = KL'.

Définition IL — Deux corps sont dits symétriques Tun de Tautrepar rapport à un plan, quand chaque point de lUun est le symétrique du point correspondant de l'autre. Cela posé, établissons notre proposition.

m nkiti DE pHtsiQUfe.

100. Proposition. ^ <« Vn point luihinèùx et ébû imagé (l) sont <t deux |k>itits Àymétrliplés pAt rapport aii ihirbir! »

En effet, soient L (/ig* 299) un point lumineux, et Ll qn des l'ayons de lumière qu'il envoie sur le miroir MM'. Je dis que si l'on joint ie point d'incidence I avec le point V symétrique du point L

Eir rapport a^ plan MKdu miroir,le prolongement IR de la droite /i sera la direction suivant laquelle se reflecliira le i^yon LI. ^our démontrer cela d'après 1 observation qui termine le n*158'^ il suffit de prouver que rangie RlM de Rt avec le miroir est çgal à l'angle LIM'au rayon incident avec ce même miroir. Ceci est aisé : càiv eh vertu delà srmétrie des deux points L et t!y LN est égal â uN^êt déplus MN est perpendiculaire, ce qui donné i^anglé A égal à È. ( f^oy. pag. ti du t. I".) Par conséqiiént, ai l'on superposait lé triangle LNl sur le triangle L'Nl, on yoit qu^ils coïncideraient -, aonc l'ànglè LIN égale 1 angle Llrf ; mais célui-ci égale évidemment RlM, car ces deux derniers angles •ont formes par lès mêmes droites RL' et Mrf : donc LIN =: RlM, ce iju'il fallait démontrer.

On voit donc que tpds tes rayons Ll, LF, etc. fce réfiécHironi^ éfiiîvànt dés directions I^, fR', èic. , qui paraîtront toutes émaner de L'. Par conséquent^ si on suppose un céil placé en dans le mUMm dëà tijànk immàé ÂKi U petit pinceihi ^tii étitféra êtM ta pb^Uè pf fifialë fiié&e effet fjiié si léê rayons qui le corni^okeht lui étaiètit éâvdyés|Nir un point lùmiheux qui serait placé èh 1/: VbUetràtinf drëltà d6ût vriiiâent voir à cet endroit tm IMyittt liimitféài.

Proposition. — « tin objet quelconque et son image sont synné- « triqties l'uii de l'àtître. <»

th effet, soii B (fig. ÉOO) un objet quétcoiiqué placé devant un éhiroir MM'.Si d'iinde ses points G on abaissé GN perpendiculaire éur lé plan MN du miroir, et qu'on la prolonge d'une quantité G'N égale à elle-même. G' sera l'image de G. Be même tout autre ^lit S àufà sod iiifiage en un point S' qui lui est sytiiétriqh t Ainsi j tetlè les ràyoïié tefè Qtié BIO envoyée par l'objet B, paraitl^oiit; après s'étf e réfléchie mi !£ nûiàit, Htiir d'dn objet B sy- ««ëtrii^tie de B ; |»r cdfnséqiiëtti te dëriiiêir àiifâ pottr image uà corps qui lui est symétrique.

Corolledré. — D'après cela, comnie deux Corps symétriques ne sont pas égaux et siiperpôsàbles l'un à l'autre, selon qu'on le dé-

(1) #^. à la Ha du n^ 145, ce qu'on entend par Image.

LÙMfÈRM RÉFLÉtaiÉ. iA

montre en géométrie, on voit qu'un corps ëi soii ifabgë ne sdnt jamais de même forme; c'est ainsi qu'une personne borgne dé i'œîi gâiicbet P^r exemple, en se regafdaiit datilf iifi iftifoli- Verrait libé iSgiiFë fiôr^iié dé ly 1 droit.

161; jPitjpofil/b/). -<• « Lia quantité de lumière fégulièremeni » réflédbie va toujours croissant arec Tangle d*incidencé. *»

BB ëffet^si, ayant l'ttîl en {.fy. 300), on regardé daui un vmi» dépoli MM', devant lequel est une bougie B» bn n'apercetra iu* ctûie imigfe de cet dbjet quand O et B étant aâseS élevés âu^esf u« du miroir, la lumière BIO qui va de l'un à l'autre par téfle:idisii. ^mi de$ Ugnes dit)ites assez rapprochées de la normale IP. Mais § l'on abaisse Tceil en O'' en même temps qu^ la bougie en B'\ de manière que la lumière B'IO ' semble raser la surface d«. quroir^ on apercevra une image assez nette située sur le prolongement de 01.

Q>rollàk$* *~ Comme cette expérience réussit sur tous 1^ çorpaçopime 9ur une feuille de papier^ sur une planche, etc. , il faut en conclure que tous les corps réfléchissent régiilièreuient la lunaîère qtiand ceUe-ci leur arrive sous une grande incideufe.

il* (pifitofl. — àêfléxioh sur lèé ÉhirbiH cëûhà&ii

l6S. Proposition. — «î Lés èxpériéiicés qui détriontreiif \ei Idift ■ dé là réflexion pour lès mifoîrâ plàiis sorit égaleïtiènt ton- • cluântêl bôur les miroirs courbés, et par conséquent lès deiii » espèces de miroirs àont sôùmisët au:^ mèmeé loÛ. •

jgn effet, soit un miroir ^ coi^rbe À|i {fig» 304 ) sur lequel tombe un rayon de lurnièrë j^. Il est évident que dans uiie petite étendue autoujc dii point d'incidence a, la surface éburbe du miroir se confond sensiblement avec son plan tangeiit MN ( V^* ^'* ^^ ^' ^^')* ^^^c ^^ phénomènes de lumière qui ont liéù en ce point a doivent aussi se confondre avec ceux giié produirait au même point un miroir plan situé dans la position M]^.

Corollaire. -7 D'après cela, lorsqu'un rayon de lumière La {fig. 304) tombe sur un miroir, pour avoir là direction suivant li^ueUe il se réfléchit, il faut par le point d'incidence mener une normale Ca à la surface de ce miroir, et en faisant l'angle CoF égal à l'angle LaC, la direction at sera celle dû rayon réàéchi.

N0U8 ne nous occuperons dans la question présente que des miroirs sphériques.

Miroirs sphériques. On appelle ainsi tout miroir II' {fig. 301 ) dont la surface n'est qu'une portion d'une sphère BB' d'un rayon plus ou moinsgrand. (/^. p.rii du 1. 1 .) D'après le corollaire précédent, pour avoir la direction suivant laquelle se réfléchira un rayon de lumière SI {fig. 302 et 308), il suffit de tirer du centre G de la sphère, dont le miroir fait partie, une ligne CIO au point d'incidence I, laquelle sera la normale au miroir. (fT. 1. 1, p. VII en bas.) Cela fait, en traçant un angle 01 R égal à l'angle OIS, la direction IR sera celle du rayon réfléchi.

Le centre défigure d'un miroir est le milieu A (fig. 301) de sa surface, et le centre de courbure est le centre G de la sphère dont il fait partie.

Vaxe d'un miroir est la ligne droite indéfinie AL qui passe par le centre de figure et par le centre de courbure. Les Ugnes droites, telles que L'CA', menées par le centre de courbure G et un point quelconque A' de la surface du miroir, s'appellent axes secondaires.

t)n nomme ouverture d'un miroir l'angle MCRT (fig. 302) que font entre elles les lignes CM et GM' qui, menées du centre G et situées dans un même plan avec l'axe AG, embrassent le miroir.

Il est aisé de démontrer par des considérations mathématiques que quand l'ouverture d'un miroir est assez petite, telle que 20<» ou 30<>, tous les rayons SS' (fig. 302) qui tombent sur un miroir parallèlement à l'axe AG sont réfléchis en un même point R. Il en est de même de tous les rayons SS^ (fig. 311) qui arriveraient sur le miroir parallèlement à un axe secondaire quelconque GM% pourvu qu'aucun de ces rayons ne soit pas trop éloigné de cet axe, ce qui exise que celui-ci ne fasse pas un trop grand angle avec l'axe principal. Il en est de même aussi de tous les rayons lancés par un point lumineux L', L ou L'' (fig. 301 ) sur le miroir IF ; tous ces rayons se réunissent par la réflexion en un seul point situé sur l'axe tiré du point lumineux au centre de courbure du miroir. Ainsi, tous les rayons émanés de L' se réunissent en F', ceux de L en F, et ceux de L" en F^'^ pourvu qu'aiicun de ces rayons ne s'écarte pas beaucoup de l'axe tracé par le point lumineux d'où il vient.

On appelleyô/er le point unique où le miroir réunit par la réflexion tous les rayons qu'il reçoit d'un point lumineux.

he fi}]rer principal est celui où se réunissent tous les rayons pa-

LOMIÈRE RÉFLÉCHIE. IM

rallèles à VâXe^ c'est-à-dire les rayons envoyés au miroir par un point lumineux situé sur cet axe, mais à une distance infinie.

On appelle distance focale principale ^ ou simplement distance fo« cale d*un miroir, la distance AR (fig. 302), qui existe de son foyer principal R à son centre de figure A. On démontre par la géométrie que cette distance AR est égale à la moitié du rayon €A du miroir (^. n" 165). Dans les figures précédentes on n'a pris pour exemple que des miroirs concaves. Cependant tout ce que nous venons de dire a encore lieu quand un point lumineux envoie d^s rayons SU (fig, 308) sur un miroir convexe. Seulement, dans ce cas, la lumière est réfléchie dans des directions RR' dont le foyer, au lieu d'être placé devant le miroir, est au contraire derrière celui-ci, c'est-à-dire en Y; c'est ce que nous verrons aux n°' 167 et 168.

On donne le nom de fojrer virtuel à celui auquel se réunissent -ûnsi les prolongements rétrogrades des rayons lumineux et non pas ces rayons eux-mêmes.

Un miroir concave donne aussi un foyer virtuel quand le point lumineux L (Jig. 307) est suffisamment près de sa surface. Tout ce qui précède suppose, comme nous l'avons dit, que les rayons incidents ne s'écartent pas beaucoup de l'axe tracé par le point lumineux d'où ils viennent. Quand un rayon s'écarte trop de cet axe, alors, après sa réflexion sur le miroir,il ne passe plus par le foyer commun aux rayons plus rapprochés du même axe : il y* a pour lors aberration; car on appelle ainsi la déviation par laquelle certains rayons de lumière s'écartent du foyer où con- •courent les autres rayons émanés de la 'même source que lui. li'aberration que nous venons de signaler étant une suite de la >Torme sphérique du miroir s'appelle aberration de sphéricité; elle jpeut avoir lieu de deux manières, soit par la trop grande ouver« «tare du miroir, soit par le grand angle que l'axe tracé par le fmot lumineux ferait avec l'axe principal ; car l'une et l'autre de ces dispositions donnent lieu à des rayons qui s'écartent beaucoup de Paaie tracé par le point lumineux. Ainsi, V dans la^!^. 301 si le micoir allait jusqu'en F, le rayon LP, en se réfléchissant, ne passerait |ias paf le foyer F, mais en T, comme on peut s'en assurer en tii'ant la normale GP et faisant l'angle TPC égal à l'angle CPL. 2» Si l'angle que l'axe UGF'd'un point L' fait avec l'axe principal LA est trop grand, on voit que les rayons, tek que L% qui tombent vers le bord I du miroir feront aussi un trop grand angle avec l'axe JL'CF' pour que la réflexion les renvoie en F' ; jl y aura donc encore aberration. L'angle L'CL' compris entre les

axes secondaires au deli desqueb raberration commence à avoir ieu, s'appelle /e champ du miroir: cet angle est zO* ou 3l>*«

163. Ces notions préliminaires une fois établies, nous allpni étudier les pbenom^fip^ prqdujt^ par les niiroirs sphériques.

^'^Goipmençon^ par inoqtrf r gue le poii^t de rencontré ()e ig^M ^^les rayons réfléchis doit, comme nous yenons de le dire ci-des- **S"8, être unique.

**Lemriif. — « Si Ton élève sur une drqite CE (fig- 303) nxkp '^^up^rp^a^iculairp ab infiniment petite par rapport aux dis- ^'* «tances de son pied b aux pieds 4®s diverses oblique^j aç^ ç{d, ae, ^^«abaissées de 9on $9inp[iet fi, jç di§ qvfe les fingles aigus dans ^'^ncette figurie yarient prpporfipnnelle^nent ^ la p^rpeadiçii- ^'^nlaire abj^ quand ep changeant de longifçur elle ne çbange p^ *^»de place, ou n'en change qu'infinimeat peu, f( que )e^ piç^ "'^''^ndes pbl'iqu^s restenl fixes» »

^'^Dép^n^trqiion, rr 0\x les apglçif ?pnt 4(^3 9Q|f|es tfl* ï¥#

c, dy etc., formés aux pieds des obliqcie^i ou Ç(8 spf^| ^çs a|i^^ ^fpriné^ à ^e^r sommet a.

Gopsidcrons le pfepiier ^. Je dis qqe c yarie prçpprti^i^

nelleinent ^ ad; en effet, f varie prpportion]:|f)}pinent ^T^fç ao ^^décrit de c comme centre. Or ah' === qb quai)i4 ^^ ^^\ ÎPP^W^RJ^ **pfgtit \ donc ç vîirie propor^ionnelliemeiit 4 ai. Q^ le ^j^mpi^tri^ '^^rait de même ppuf â^ etc.

'^'^Cof^^idérons le deuxième çaç- Alors ou Tf pgjg que 1*99 ^S* '^^sidère est forpié, $oit par les deux obliques, sôit par leur p(9f- **lpng|5n)eaf, ou paf une oblique et le proîopgf^naeiitd'ugf §yt|f

ob|^ue Dans le^ deux prepiiè|:es çircQn§(^ces | ap|[lç râ

question est U différence de deiix angles formés aux piedn ^^ ^^obliqueS) et dans la dernière, il en est la somme. Qr les sovf^ ^'^ines et lei^ différences yarient prpportionnpllen|ent à |eu]^ **tf rme?. Ponç, ptç.

164. "^"^Pro^siiion. -r «Tous le? Hyon; réfléchis éniag^s d'i^ji **>»mêpfie ppifit L cpncpurent en ui» même foyer F (^. S05). ^

'^'^EneiSet; soit C le centre du miroir ËaD, e^ jpigqpn; ce ç^toç **aveç \p point L par ui^e drpite DJj. 3^ieift de pfm q ei J 4f^ **noints d'incidence des deux r^yoncf ipçi^ents Lfi et Lg , ^ ^ ."^"^le premier des 4^ux rayons réfléchjs correj^non^p^. ÇufiQt ft]S' **pelons d'unp paç t i ?t »' Içs 4^ux apgfes d'|nci^enç^, iti f ajltff "''part r et r tes fngle^ de réflexion cprresponçlffnts : 4'9P9*^ Sf

qui précède, en joignant Jf pn aura

i :!\:ad:Jd!,eir: coT : : (irf : ftJ-,

liimiÊU &ÉFLÉCHII. lill

**doiic

**ou bien

ilrllf : CaF.

♦^ri= r, donc Cdf = C, ou bien Ca'F =r , car ? doit égaler r ; donc afF sera la direction du second raypn réfléchi, donc tous les rayons réfléchis cpùper^nt |§ ^roite fijj au même point.

165. ^^Proposition. — « La distance focale principale d^uit mi- **>» roir est égale à la moitié de son rayon. »

'^'^Ën effet, soient DX IWe du miroir {fig. 304), La un rayon ^'^incident parallèle à cet axe, et C le centre de la sphère du ^^miroif ^ les angles LoG et aGD éetpnt égaux ; mais aP étant le '^'^rayon réfléchi, LoG est aussi égal à CàP par la loi de la ré- ^exioB. Donc aOD est égal à GaF, et ainsi la ligoe GF est égale ^à la ligo^ «dP. Or, quahd on ne coniiidère qtie des rayons ihçi;- ^Ments^ tels queuL, très-rapprochésdèl'axe,il est évident qûe<?|* est très-près cl^étre égale à DF. Ainsi on peut supposer pareillement que cette ligne DF est égale à G!f équivalent de oF; donc tout rayon parallèle à l^^e, tel que aL, se réfléchit en passant par le milieu F du rayoh CD. Donc ce milieu est le foyer principal^ et par conséqqenf 1^ distanpe jfpçale principa]^ t^( éfale ^k la moitié du f ayon.

166. "^""Problèmp,. — « 0^ dgpWftde f^f î^çtuy^r la relatiçfj fpai '^'^«exis^ cintre le rayon de courbure 4'u9 ^i^i^pir ^} Icjl dis- ^»tances de ce miroir^ soit au point liimineux, ^oit à çon '* "image. »

'^Solution. — Soit DX IJîg. 306) l'axe du miroir et B le point "^lumineux. Si je mène un raypn g^ lumière B A parallèle à l'axe, ^'^il se réfléchira suivant AM en passant par le milieu F du r4|g|f '^'^GD. De plus, si je mène un rayon de lumière BD, il se réfléchira '^en DM, de manièse que l'axe fiSi divise en deux également

BDM. Gela posé, on a l'angle AFD =s l'angle M -f* l'aogle

MDF = l'angle M -f- l'&ngl* G^^- 0<*» "^ angle a pour me- '^'^sure Tare décrit de son commet comme centre, divisé p^i; son ^rayoQ ; et comme les arcs décrits des poipts F et M j^ comn^r ^cehtreâ avec les distance^ de ces points au point A pour f'a^otiai

se confondent avec Tare ÀÎ) quand on suppose le point B trè|.

près de l'axe, l'équation ci-dessus donnera