AD AD , AD

FD ~ MB "^ Bff '

'^'^car EB = AD; donc, en supprimant le facteur commun AD, **on a

FH "" MD "^ BD ' **ou bien

'^'^en représentant le rayon de courbure par R et les distances da ^'^miroir à l'image et à l'objet par M et B.

'^'^Far des considérations analogues et par une constiliction ^'^semblable à la précédente, on trouverait que l'image, au lieu "^^d'étre placée comme àanshifig. 306» devant le miroir, est placée '^'^derrière quand le miroir est convexe, et l'on obtiendrait

^ — -L — JL R ~M B"

'^'^167. Problème. — «< On demande de déterminer par le calcul ^'^i* les divers effets produits par un miroir sphérique selon les '^'^i» diverses positions de l'objet pkcé devant lui. »

'^''Résolvons d'abord ce problème pour les miroirs sphériquct '^^concaves ; pouâ* cela reprenons la formule précédente, c'est-à^ **dire

**d'oà

'^'^Nous allons, pour discuter cette formule, supposer que l'ob- '^'^jet, placé d'abord à une distance infinie ou très-grande, s'ap- '^'*^prochè de plus en plus, et voir les changements de position qui '^'^en résultent pour l'image.

'^'^D'abord, en supposant B = 00 , on a M = — . Ainsi,dans ce

cas, l'image est située devant le miroir au milieu du rayon.

LUMIÈRB RÉFLÉCHIE. 193

'^'^c^est-à-dire au milieu de la distance du centre de courbure au centre de figure, ce que nous savions déjà, d'après le n® 165.

Si ensuite on suppose que l'objet approche du miroir, B di« '^'^minuera, par conséquent le dénominateur de la fraction ren- ^"^fermée dans la parenthèse de valeur de M diminuant, cette **fraction augmentera; M augmentera donc, c'est-à-dire que *^i'image s'éloignera du miroir devant lequel elle est, ou, si Ton '^'^veut, elle s'approchera de l'objet en même temps que celui-ci * Vapproche du miroir. Mais on voit que tant que ce dernier **ne s'est pas approché jusqu'à réduire B à égaler un petit nom* "^"^bre de fois la distance focale 7 R, l'image est toujours presqu'au *%yer ; parce que c'est seulement quand B égale 3 ou 4 fois •; R "^"^que la fraction de la parenthèse se réduit à • ou à f, et que '^'^l'image s'est avancée de ^ ou 7 de la distance focale. EngSnérâly '^^on regarde comme ayant leur image au foyer principal tout '^^objet éloigné de lOOR du miroir, parce que la valeur ci-dessus ''^de M montre qu'alors il ne s'en faut guère que de 37^ de la "^Mistance focale que l'image ne soit à ce foyer principal.

^'^Lorsque B égale le double de la distance focale ^ R, c'est-à- *Mire quand l'objet est arrivé au centre de courbure, on a M =R, ^'^et l'image se trouve aussi avoir atteint ce centre ; ainsi celui-ci *'^est le point de rencontre de l'objet et de son image. Quand B **est plus petit que deux fois \ R, le dénominateur de l'expres- ^'^sion fractionnaire placée dans la parenthèse est plus petit que 1 ; '^'^cette fraction est donc plus grande que 1, ce qui prouve que la ^"^parenthèse est plus grande que 2, et ainsi M est plus grand '^'^que R ; l'image est donc placée devant le miroir à une distance '^plus grande queR, en même temps que l'objet est à une distance "'^moindre que la même quantité R; et onryoit par la formule '^'^ci-dessus que plus B diminue, plus M augmente. Par consé-* '^^quent, à mesure que l'objet s'approche, l'image placée devant ^'^le miroir s'en éloigne de plus en -plus; et cet éloignement est ^"^trèfl^rapide, car pendant que l'objet va du centre de courbure ^au foyer, l'image va de ce centre à l'infini. En effet, lorsque '^'^B = ^ R, la formule ci-dessus donne M = 00 «

'^^Lorsque l'objet continue à s'approcher du miroir, on a

'''^B << i R. Pour lors ^-—. est plus petit que 1, et le dénomi-

1 R ^'^nateur de l'expression fractionnaire placée dans la parenthèse

''^est négatif^ cette expression l'est donc aussi; et comme la ta-

'^^leur absolue qu'elle a pour lors surpasse 1, la parenthèse^ et

194 TRAITÉ DE PHYSIQUI.

'^'^par suite la valeur de M deyienaent n^rauvea, ce qui tij *^que rimage est à présent derrière le miroir.

'^'^Tels sont les principaux résultats de la réflexion des rayons '^M'un point lumineux sur un miroir sphérique concave. Quant ''^^auz miroirs convexes, il faut prendre

•»d'où l'on tire

^^^n voit donc qu'ici le dénominateur de la fraction placée dans '**la parenthèse ne pouvant changer de signe et étant toujours plus grand que 1 , il en sera de même de cette fraction ; ainsi, l'image ne cessera jamais d'être derrière le miroir.

168. Problème* — « On demande de déterminer par une con- » struction graphique toutes les apparences produites par les n miroirs sphériques. »

Solution. — La solution de ce problème repose sur ce que dans un miroir sphérique les rayons parallèles à l'axe DX (Jig, 309) se réunissent par la réflexion au miliçu F du rayon de courbuiie CD. Cela posé, pour connaître la position de l'image d'un objet quelconque, comme d'une flèche AB, du point A on mènera ati rayon delui^iière AE parallèle à l^axe ; ce rayon se téfiéckira suivant ET en passant par le foyer F. Puis du même point A oh mènera un autre rayon au sommet D de Taxe; ce rayon se réfléchira suivant DZ de manière que Taxe divise Tangle ADZ en deux également, et le point de rencontre A' des deux rayojts . réfléchis sera l'image de A. Par une construction semblable, on trouvera Tiuiage B' du point B. Ainsi, en prenant l'objet AB très- * éloigné, on voit le miroir en donner une im^ge A'B' renversée, rapetissée et placée un peu en avant du foyer. Mais si on suppose que l'objet AB s'approche de plus en plus, on voit que l'angle ADZ augmentera de plus en plus et prendra des formes de plus en plus ouvertes, savoir : MDS, quand la pointe de la flèche sera en M, puis IDJ, quand cette pointe sera en I, ainsi de suite. En même temps on voit que le rayon A£, le long duquel s'atance la pointe de la flèche, restera fixe ainsi que la direction £Y suivant laquelle ce Tayon se réfléchit.

LUMIÈRB RÉFLtGHlI. m

La ligne DZ descendant ainsi de plus en plus, sa rencontre A' arec ElT descendra aussi de plus en plus versT; par rxemplei quand cette ligne DZ sera venue en DS, Tinterscction sera de»* cendue en 0. Ainsi, à mesure que AB s'approchera de son imiigf A'B'y celle*ci s'approchera de AB en devenant de plus en plu$ grande, jusqu'à cequ'enfin tous deux coïncident ensemble quand ib seront arrivés au centre C. Mais si nous continuons d'approfher AB de G vers F, il est facile de voir, en suivant le mouve^* ment de la ligne DZ, que l'image passera derrière Tobjet, c'està-dire vers X, en fuyant toujours le miroir jusqu'à ce qu'enfin la ligne DZ, prenant une direction DJ parallèle à £Y, l'image s'éloigne à l'infini et disparaisse ; ce qui arrivera évidemment quand la flèche sera arrivée au foyer F. Au delà^ c'est-à-dire quand la flèche sera en Y, la ligne DZ dont il s'agit prenant une inclinaison DL encore plus grande, celte direction DL, prolongée en haut, ira rencontrer le prolongement de £Y en A'^ De sorte qu'alors l'image A'B ' sera droite, agrandie et derrière le miroir.

Cotoilaire. — La grandeur de l'image qu'on obtient au foyet* d'un miroir concave pour les objets éloignés est proportionnelle au rayon de la sphère sur laquelle ce miroir est travaillé. En eifet, si l'on suppose l'axe DX passant par le milieu de l'objet AB {fig. 309), le rayon incident AD et le rayon réfléchi DZ passeront par les extrémités A et B de cet objet et le contiendront en entier. Or ces deux rayons contienuent aussi l'image A'B'. L'image et l'objet seraient donc vus sous le même angle par un <eil placé au centre D du miroir. Ainsi, pour un objet éloigné, soil image,vae d'une distance égale à la distance focale, soustendra le même angle que lui, et par conséquent sera d'autant plus grande que cette distance sera plus grande, ce qui revient à ce que noul avons avancé. On trouve d'après cela que le soleil sdustendant ■un angle de trente minutes environ, son image est d'environ 3 poucea au foyer d'un miroir de 40 pieds de distance focale comme celui d'Herschell.

169. Problème. -- « On demande de vérifier par l'ejltpériefidê » les indications de la théorie pont les miroirs sphériqiies. ■

. Rien n'est plus aisé que cette vérification ; et d'abord pour avoir le cas d'une source de lumière placée à une distance infinie du miroir, nous n'avons qu'à recourir au soleil. Ainsi, en présentant un miroir concave MM' {fig, 302 ou 311) aux rayons SS' du soleil, on obtient au-devant de ce miroir en R {fig, 302)

OU F {fig. 31 1) une concentration de ces rayons qui produit beaucoup de lumière et assez de chaleur pour allumer les corps combustibles. On peut s'assurer que ce point de concentration est au milieu da rayon en en mesurant la distance au miroir et la comparant à la valeur du rayon de la sphère sur laquelle le miroir a été travaillé, rayon que je suppose connu ; mais comme il est difficile de bien saisir le point où cette concentration est la plus forte, il est bon, pour avoir une mesure plus exacte, de couvrir la surface du miroir avec du papier ou quelque étoffe, de manière à ne laisser à découvert que deux petites portions VetV {fig. 312) qui réfléchiront les deux pinceaux VF et VT. La rencontre mutuelle de ceux-ci est facile à déterminer, et en mesurant sa distance au miroir, on a la distance focale du miroir. Pour vérifier les autres indications de la théorie, il suffit de placer la flamme d'une bougie sur l'axe d'un miroir concave en la tenant pour commencer à une grande distance de ce miroir; puis de recevoir son image sur un verre dépoli. Ensuite on approche de plus en plus la bougie du miroir en tenant toujours la flamme sur Taxe, et en cherchant à suivre l'image avec le verre dépoli on reconnaît qu'elle subit toutes les modifications que nous avons indiquées.

170. Proposition*^^ « Les miroirs convexes ne donnent ja- >t mais qu'une image A'B' {fig. 313) droite et plus petite que » l'objet AB. »

En effet, dans ce cas, les rayons tels que BU et AD, parallèles à Taxe GY, prennent des directions DE et UY divergentes, mais les prolongements rétrogrades DF et UF de ces directions convergent vers un point F qui est le foyer du miroir, lequel est encore ici, comme tout à l'heure, au milieu du rayon de courbure GL Pour avoir l'image de A, après avoir mené un rayon AD parallèle à l'axe, on tracera sa direction réfléchie en tirant une ligne FE qui, partant du foyer F, passe par l'incidence D. Ensuite, après avoir tracé le rayon AI qui tombe au centre I du miroir, on tirera ime ligne IG faisant sous l'axe le même angle

Sue AI fait au-dessus : ce sera la direction réfléchie du rayon lA. k>nc, la rencontre A' de F£ avec le prolongement rétrograde lA' dé cette direction réfléchie donnera l'image de A. On trou-* verait de même l'image de B ; et l'on voit que l'image A'B' sera droite et plus petite que l'objet.

171. Des caustiques* — Dans le cas le plus général les rayons d'un point lumineux réfléchb par un miroir ne vont pas tous se rencontrer en un même point, mais ils se coupent successivement