CONS
On l'obtient sous cette dernière forme en convenant de regarder comme posslives les grandeurs comptées à partir du centre optique vers le côté d'oû wient Ja lumiére, et comme négatives les grandeurs cormplies vers l'autre côté,
es rayons parallèles, mais aussi pour les rayons divergents : mais il n'y a d'intérêt qu'à considérer la première, qu'on appelle quelquefois aberration principale, I résulte de ce phénoméne que l'image d'un point lumineux très éloigné n'est pas un point lumineux unique : si l'on place an écran en F, on obtient un cercle Inmineux de rayon FIL. Comme il en est de même pour chaque point de l'objet, on ne peut avoir de celui-ci qu'une image confuse.
La distance FG entre les doux loyers principaux est appelée aberration longiinde; la distunee FI est l'aberration latérale.
403. Aplanétisme, — 1" Lentilles aplanétiques. — L'expérience prouve que si l'on accole nac deuxième lentille à Mn première, les deux loyers G et F sont rapprochés de ln lentille, et celui-ci plus que celui-là : il en résulte que l'aberra- Lion est diminuée pur l'interposition d'une lentille supplémentaire, En la choisissant convenablement, on peut détruire complétement l'aberration : on produit ainsi l'aplométéeme du système convergent, et cette lentille composée est dile aplanétique,
L'aplanétisme ne peut pas élre oblenu avec una lentille unique; mais, en en cholsissant convenablement les courbures, on peut en rendre l'aberration mintct, On démontre par Ja caleul, et l'on vérille par l'expérience, que le mi ain d'aberration est attoint, pour uno lentille d'indice moyen égal à » lorsqu'on n entre ses deux rayons de courbure la relation
R -* Trn—2n
Pour une lentille en crown, dont l'indice est à » la relation devient R' = 6R.
Si l’on retournait une parcille lentille, son aberration deviendrait plus de trois fois plus grande. Cela montre l'inconvénient qu'il peut y avoir à retourner les verres dans les instruments d'optique.
% Emploi des diaphragmes. — On peut atténuer l'aberration des lentilles ordinaires en plaçant devant leur surface des diaphragmes percés d'une ouverture centrale : de cette manière on laisse passer les rayons voisins du centre, et l'on arrête ceux qui tendent à se réfracter vers les bords. On se rapproche ainsi plus ou moins du cas des rayons centraux, et l'on évite l’aberration.
3 Emploi des lentilles à échelons. — On obtient un aplanétisme très suffisant dans la pratique par l'emploi des lentilles dites à échelons.
404. Lentilles à échelons. — Les lentilles à échelons suppriment les inconvénients des lentilles de grande ouverture, en particulier leur forte aberration de sphéricité et leur pouvoir absorbant, qui est fonction de leur épaisseur, et la cherté de leur construction. fraginées par Buffon, elles ont été perfectionnées par Fresnel.
Elles sont formées d'une lentille plan-convexe C (fig. 408 et 409), encastrée dans une première série d’anneaux de verre, qui en constituent la partie centrale, et entourée d’une suite d'anneaux de verre À, B..., également plan-convexes, qui en constituent la périphérie. Chacun de ces anneaux a sa face plane située du même côté que la face plane de la lentille centrale, tandis que leurs faces opposées ont une courbure telle, que leurs divers foyers viennent se former au foyer de la lentille.
D'après Buffon, les anneaux sphériques de la périphérie devaient être concentriques à la portion centrale; mais Fresnel a prouvé que le système n'est aplanétique qu'à la condition que les arcs générateurs des anneaux n'aient pas le même centre.
3. Les différents centres ne doivent même pas ètre situés sur V'axe de \a \en-
Phares de Fresnel ou Phares catadioptriques. — Ce sont les léntilles de Fresnel qui constituent l'organe essentiel des phares actuels. — Lo Jen, é'est-àdire la source lumineuse, était jadis ne forte lampe à quatre où cinq mèches
concentriques (fig. 409), On ln remplace aujourd'hui, autant que possible, par un are vollaïque, I est placé au foyer. principal d'une lentille à échelons, en sorte que le faisceau émergent est parallèle, et comme il n'est affaibli que par l'absorption atmosphérique, il peut être visible jusqu'h une très grande distance, Pour que tous les points de l'horizon soient successivement éclairés, la lentille se meut autour de la lampe, au moyen d'un mécanisme d'horlagerie, et fnit sa révolution en un temps qui varie d'un phare à un autre, Il en résulte que pour un même point de l'horizon il y a successivement apparition et éclipse de Inmibre à des intervalles fgaux. Les éclipses intermittentes sorvont à distinguer les phares entre eux où bien d'avec un feu accidentel,
Le phare (fig. 409) est dit oatadiope trique, lorsque la réfexion est ulilise en mémé temps quo la réfrac- Lion, pour en augmenter la puissance.
Fig. 409, On voit, autour de la lentille propre-
ment dite, une série do miroirs plans,
disposés en éventail, qui réfléchissent horitontalément les rayons lumineux les plus divergents, de manière à renforcer les fhisceaux émergents,
405. Aberrations dues à l'épaisseur des lentilles. — 11 se produit, dans la réfraction de la lumière par les lentilles un peu épaisses, une autre aberration, qui est due à leur épaisseur, Gauss a étudié cette perturbation et il a établi de nouvelles lormules qui permettent de construire les images fournies par les lentilles et d'en calculer les éléments en tenant compte de l'épaisseur. C'est ce qu'on appelle la théorie des lentilles épaisses de Gauss, Nous allons en donner une idée et indiquer quelques-uns de ses résultats fondamentaux, en nous bornant d'ailleurs au cas des rayons centraux,
406. Notions sur les lentilles épaisses. — Théorie des rayons centraux, — . Réfraotion de la lumière par un milieu indéfini à surface réfringente con-
tille. Hs s'en éloignent d'autant plus que les arcs auxquels Îls appartiennent sont eux-mêmes plus éloignés du centre de Ja lentille, 1 en résulte que ces ares générateurs, en tournant aulour de l'axe, d'engendrent pas dos portions de surfaces sphériques concentriques, mais des portions de surfaces dites annudaires.
vere, — Supposons que la lumière passe de l'air dans un milieu plus réfringent, tel que le verre, limité d'un côté par uno surface sphérique convexe, et illimité d'autre park.
Soit P un point lumineux situé sur l'axe principal de ln surface (fig. 410); soit PO un rayon lumineux normal à la surface, et qui y pénètre sans déviation; PI un autre rayon lumineux quelconque, qui se réfracte suivant IP", : le point P', où se coupent les deux rayons réfractés est l'image ou le foyer conjugué du point P, Cherchons une relation entre les distances 0P=p et OP", =p", tcomptées en valeur absolue comme dans les calculs précédents),
Les deux triangles ICP et ICE",, qui ont mème sommet I et leurs bases situées sur la même droite, ont par suite méme hauteur : leurs surfaces sont done
entre elles comme leurs bases, On à dan
sur, ICP p+nR Lu surf, 100, ph
eut exprimer les surfaces de ces triangles en lonction de
D'autre part, on p set ot du produit des côtés adjacents, On à
leurs angles au son
“ 1 A n 1 ' surf, ICP = 3 0. IC. sin PIC) = 2 (p N sin on).
Do aura de méme
surf. IC, = = (p', R sinr)
rer —
et, en divisant ces égalités membre à membre, et en simplifiant, il vient
surf. ICP p , À surf, IC, k D
En comparant les équa- Lions [1] et [2], on en déduit l'égalité
(o] Er = nr d'où 1 n = + — = (n—1)— es tt A
Telle est l'éguation aux :
loyers conjugués, dans le cas Fig. 411, où nous nous sommes placés.
NW. Réfraction de la lumière par un milieu éndéfini à surface réfringente concave. — Supposons que le point lumineux, au lieu d'être réel, soi in point hunineux virtuel, tel que P, (fig, AU). C'est, par exemple, le somme d'un Tars-
ceau convergent qui serait arrêté dans sa marche par une surface concave de verre, le séparant de l'air extérieur.
Parmi les rayons lumineux qui composent ce faisceau convergent, it en est un, tel que 00’, qui tombe normalement sur la surface concave : celui-ci poursuit sa route sans déviation suivant O'P',, Considérons un autre rayon incident quelconque tel que IP", : il tombe en l'sur la surface concave, en faisant un angle d'incidence que nous appellerons r' (par analogie avec les prismes), et il sort du verre en faisant un angle de réfraction que nous appellerons ÿ. L'angle à’ étant plus grand que +, le rayon réfracté vient couper l'axe principal en un point P' plus rapproché que le point P",: ce point P'est le foyer conjugué réel du point lumineux virtuel P',. Cherchons l'équation aux foyers conjugués de ces deux poinls.
Soit p, la distance O'P', et p' la distance OP”, complées positivement, on valeurs absolues, suivant nos conventions précédentes. Considérons encore les deux triangles l'C'P, et l'C'P' qui ont même sommet l'et méme hauteur, Ils donnent, comme ci-dessus,
surf, FC, CP, CO0'+ 0, N+p
in] sur£ POP CP CO+O0P N+p On a, de même, en appliquant ln formule trigonométrique de la surface,
surf. L'C'P, l'O XP, x sin PC Rp,sinr m, 1
BI surf JC L'CXTP'xXsinPEC R'.p'sinf pp nn
En comparant les égalités [1] 64 [2], il vient, toutes réductions faites,
n 1 1 b — 4 = (nl 1 Lu r ( 1
l'est l'équation aux foyers conjugués, dans le cas où nous nous somimes placés,
ll, Réfraction de la lumière par une lentille épaisse, — Équation aux foyers conjugués. — Soit maintenant une lentille épaisse 00! (fig. 411), P un point lumineux situé sur son axe principal. Cherchons le foyer conjugué P”.
Le rayon normal PO traverse la lentille sans déviation suivant 00 et sort suivant OP", 11 suffit de trouver un autre rayon réfracté, Considérons un rayon incident quelconque tel que PT, H subit une première réfraction suivant 11'P' qui est définie par l'équation
: 1 n 1 ee ‘she cmumes 228 lt des [a] 7 A (n Fr
De mème, la deuxième face de la lentille fait subir au rayon 1! une seconde réfraction, de manière que le rayon émerge suivant l'P', et vienne couper l'axe en un point P' qui est l'image ou le foyer conjugué du point P. Cette seconde réfraction est déterminée par l'équation
n 1 U b um mime dhs Gates DE !ÊNÉ den A) autos 1] nt NOT
On a de plus entre les inconnues auxiliaires p, et p', ot l'épaisseur € de ln lentille la relation
Le] Pi=nm+e
On peut donc éliminer entre les trois équations ni, (b\ ek (e\ Les inconnues.
auxiliaires p, et p', et il restera une relation entre p, p' et les éléments de la
lentille épaisse (e, n, R et R'), qui sera l'équation aur foyers conjugués. Remanqur, — Appliention aux lentilles minces, — Les équations [a] et [b]
peuvent se transformer de la maniére suivante (après élimination de p',) :
1 “ Eur a À 1 nm ri Kw
te dl = —"—; FF £ P M+e h pl
Si nous faisons la somme de ces égalités membre à membre, en supposant e négligeable, les deux termes en p, s'anauleront dans li somme, et il viendra
Lit=m-n(tet).
PMR" le ITTTR
L'est l'équation aux loyers conjugués des lentilles minces.
407. Points nodaux. — Mayonx sanx déviation, — Dans une lentille épaisse, il ya toujours un centre optique, Mais si le rayon lumineux qui passe par le centre optique ne subit pas de déviation, il subit un déplacement, Par conséquent, un point lumineux tel que Q, situé en dehors de l'axe principal de ln lentille épaisse (fig. 412), ne possède pus d'aze secondaire proprement dit toutefois il existe toujours une direction d'incidence à laquelle correspond un rayon émergent parallèle.
On peut construire celte direction au moyèn des points noduur.
1" Définition. — On appelle points nodauzx les foyers conjugués n et n' du centre optique de la lentille par rapport à ses deux surfaces réfrinrentes 10 et 1'0',
Soit QI1'Q' le rayon lumineux émané du point Q, qui émerge sans déviation, en passant par le centre Fig. 412, optique C de la lentille épaisse (fig. 412). Soient net u' les points où l'axe principal est coupé par les prolongements des rayons QI et Q’1'. Nous allons démontrer que les points n et n sont les points nodaux ci-dessus définis.
Chérchons, en effet, quel serait le foyer conjugué par rapport à la surface réfringente OL d'un point lumineux qui serait placé en GC, Le rayon, dirigé suivant l'axe principal 0'O, traverse la surface sans déviation : donc le foyer conjugué de C est sur cette ligne. I suffit d'avoir un autre rayon réfracté, correspondant à un rayon incident émané de C. Or, d'après le principe du retour inverse des rayons, puisque IC est, par construction, la direction de réfraction qui correspond à la direction d'incidence QI, inversement le rayon réfracté duns l'air qui correspond au rayon incident CI dans le verre, est précisément 1Q. Ce rayon coupe, par son prolongement, l'axe principal en n : donc n est le foyer conjugué de C par rapport à la surface O1,
On démontrerait de la même manière que n' est le foyer conjugué de GC par rapport à la surface réfringente Ol', Donc les deux points n et n' sont des points invariables, comme le centre optique lui-même : on pourrait d'ailleurs Les déterminer à l'aide des équations aux loyers conjugués {a} et [b] (2).
® Propriété des points nodaux.— Tout rayon, tel que QU1'Q, qui, dans son passage à travers la lentille, coupe l'axe au centre oplique, est un rayon api sort parallèlement à lui-même. Cela est une propriété du centre ophaue. En outre ce rayon est tel, que les prolongements de ses deux parles exkbrentes
passent par les deux ponts nodaur : cela est la propriélé caractéristique des points nodaux.
6° Couxtructon du rayon sans déviation. — Le rayon, tel que Q11'Q', joue par rapport aux points lumineux Lels que Q', extérieurs à l'axe principal, le méme rôle dans le cas des lentilles épaisses que l'axe secondaire dans les lentilles minces, C'est sur ce rayon sans déviation que doit se trouver le foyer eonjugué Q'.
On le construira aisément à l'aide du centre oplique C et des points nodaux. On commencera par placer les points C, n et n' sur l'axe principal, £e qui sera facile, étant données la définition du point C et les équations aux foyers conjugués [a] et [b]. Joignons le point Q au premier point nodal n : la direetion On est évidemment celle du rayon incident; joignons le point 1 au point C, et prolangeons jusqu'à l'intersection l' avec la deuxième face de la lentille : ln direction ICI est évidemment le trajet du rayon dans l'épaisseur de la lentille; enfin, joignons n'l' et prolongeons à l'extérieur; celle direction 1'Q' est évidemment le rayon d went. C'est sur cette direction que doit se trouver le foyer conjugué du point Q.
408. Plans principaux. — Un rayon ine suivant 1, F, (Mig. 415). Les rayons inei
ident PI, parallèle à l'axe, se réfracte ent et émergent prolongés se conpent
où M, Soit Mn une perpendiculaire abaissée du M' sur l'axe, Les deux groupes dé triangles semblables P'OE (l'est supposé voisin de 0) el PP, F,O'Y, ot F,Mn' donnent respectivement
10 OP", M'n' ou 10 n'F,,
Tir = ET = 1!
l'ü or, UF,
or
Les points Q, (sont fixes comme sommets de la lentille, P’, est l'un des foyers principaux relatifs à la fuce 0; done le point F, conjugué de P', par rapport à la seconde face 0' est fixe comme . L'équation [1] exprime done que le puint n'est lui-même invariable lorsqu'on fait varier 10,
Les points d'intersection M' des rayons incidents parallèles à l'axe et des rayons émergents sont donc tous situés dans le plan n'M', qui a reçu le nom de plan principal d'émergence, 11 existe évidemment un plan principal d'incidence jouissant de la inême propriété par rapport aux rayons qui émergent parallélement à l'axe
En joignant à l'équation [1] la condition [b] qui exprime la conjugaison de P',
4 F, par rapport à la face O' et la valeur de la distance focale 0'P", (456), on calcule aisément la distance focale principale n'Y,. Un opére de méme pour obtenir nF.
Si ta lentille est baigne sur ses deux faces par un même milieu, re que noux supposerons dans lout ce qui suit, où trouve que les deux segments n'P, et nf sont égaux.
LL est clair que les deux points tels que M et M', situés à la même hauteur dans les deux plans principaux, sont conjugués.
En eflet, on peut considérer Lis deux rayons P,M', P,M' comme résultant de
a réfraction des rayons PM, FM partis de M.
En particulier, les points # et n' sont conjugués,
Bewangue. — Les points nodaux, dont il a été déjà question, coincident avec Îles points n et n'.
Considérons en effet un rayon quelconque AN se dirigeant sur "m, il passera par n' après réfraction, puisque # et n' sont deux points conjugués (fig. 414), N est facile de trouver la direction du rayon éinergent. En effet, An rencontre le plan focal Fen N, le rayon NQ se réfracte suivant QF': done An se réfracte suivant nf, parallèle à QF' (lus rayons Nr, NQ sont iseus d'un méme point N du plan Focal F).
Or, les segments nf et n° F' étant égaux, QF' est parallèle à An : donc le rsyon n'i émerge parallèlement à sa direction d'incidence An.
Construction des images.
— La construetion de l'image d'un point À est très simple, puisque celle-ci est à l'interseclion de fn Higne n'A', Fig. 415.
parallèle à An, et de MF'A4', le point M étant ébtenu en menant par À une parallèle à luxe jusqu'à sa rencontre avec le plan principal d'émergence n° (fig. 415),
AFN' est un broisièrme rayon remarquable qui peut être aussi utilisé.
Les triangles semblables AM'N', Fu N' donnent
M'N' AW A+ À'P' AM
omentttés GES cmgrme ou = . 2
uN! Fn A'B 4 … Les triangles semblables A'NM, FM donnent d'autre part MN ou M'N' .A'N AB+A'B 2 MN L Mn: Fa AB = FnouFa, ll
es deux distances focales étant égales.
Les équations [2] et [3] peuvent s'écrire
Pig. 414.
A'p' “# Fn AB . Fu " AB+AD AW” AB+4 D AN donc, en ajoutant, il vient d'= HEaL Fn on 1 = VÉ + F ” Am! à An Fr . p' ;
formule semblable à celle des lentilles minces (p.457); ici fe font la mème
valeur absolue, puisque les milieux extrêmes sont supposés identiques.
En résumé, à la condition de dédoubler l'origine et de prendre respectivement les prints « et n' pour origine des segments d'incidence et des segments d'émergence, les formules et les constructions établies pour les lentilles minces s'appliquent sans modification aux lentilles épaisses considérées,
