TRANSMISSION PAR LES MILIEUX RÉFRINGENTS, — LENTILLES
592. Définitions. — On appelle lentilles des milieux transparents limités par des surfaces courbes de révolution, Suivant que les méridiennes des surfaces terminales sont des lignes droites ou des cercles, les lentilles sont dites cylindriques ou sphériques.
Elles sont généralement faites en crown-glass, verre qui contient peu de plomb, ou en flint-glass, verre qui en conliént beaucoup et est plus réfringent que le crown.
Lentilles convergentes et divergentes. — En combinant des surfaces sphériques soit entre elles, soit avec des surfaces planes, on obtient six espèces de lentilles (fig. 390, coupe); quatre d'entre elles sont formées chacune par deux surfaces sphériques, et deux
Fig. 590.
par une surface plane et une surface sphérique. La première, À, est dite biconvere; la seconde, B, plan-convere; la troisième, C, concave-convexe; la quatrième, D, biconcave; la cinquième, E, plan-concave, et la dernière, F, convexe-concave. La lentille C s'appelle aussi ménisque convergent, et la lentille F ménisque divergent.
Les trois premières, qui sont plus épaisses au centre que sur les bords, sont convergentes; les dernières, qui sont plus minces au centre, sont divergentes.
Axe principal. — Dans les lentilles à surfaces sphériques, les centres de ces sphères sont appelés centres de courbure et la droite inenée par les deux centres est l'axe principal (fig. 391). Dans une lentille plan-concave ou plan-convexe, l'axe principal est la perpendiculaire abaissée du centre de la face sphérique sur la face plane.
Section principale. — On nomme section principale d'une lentille toute section faite par un plan passant par l'axe principal.
393. Analogie physique d’une lentille et d'un prisme. — Ou peut assimiler la réfraction de la lumière dans \es lentilles à \a
réfraction dans les prismes en les supposant limitées par une tnfinilé d'éléments plans infiniment pelits. La normale en un point quelconque est alors la perpendieulaire au plan tangent qui contient l'élément correspondant. On peut concevoir aux points conjugués, d'incidence et d'émergence, 1 et l', deux surfaces planes plus ou moins inelinées entre elles, produisant l'effet d'un prisme d'angle A (fig. 391). Et alors chacune des lentilles A, B, C (fig. 390) peut être assimilée à un ensemble de prises ayant leurs bases réunies et tournées vers l'axe principal 00 et les lentilles D, E, F à une suite de. prismes tournés en sens contraire, Cela montre pourquoi les premières doivent faire converger les rayons vers l'axe et les dernières Fig. 3. les faire diverger. Aussi toutes les
lentilles convexes sont-elles conver-
gentes, et loutes les lentilles concaves divergentes.
594. Lentilles minces convergentes : Étude géométrique et expérimentale. — La théorie des lentilles sphériques (convergentes ou divergentes) peut se faire, comme celle des miroirs sphériques, avec une certaine approximation qui suffit dans bien des cas, en admettant tout d'abord les hypothèses suivantes :
1° Les lentilles sont minces, c'est-à-dire que leur épaisseur est négligeable et n'intervient pas dans les constructions de rayons réfractés,
2 Elles ont une faible ouverture (10 à 12 degrés), ou du moins elles n'admettent que des rayons centraux, c'est-à-dire des rayons peu éloignés de l'axe géométrique, parallèles à cet axé où peu inclinés sur sa direction.
3° L'objet lumineux est supposé placé symétriquement par rapport à l'axe principal, de sorte que tous les phénomènes lumineux sont eux-mêmes symétriques par rapport à cet axe. Par conséquent toutes les constructions seront faites dans le plan de la section principale qui contient le point lumineux ou le centre de l'objet lumineux. Et elles seront simplifiées par ce fait que la Jenhille mince pourra être représentée par une simple ligne droite,
ou encore qu'on pourra ne considérer que des rayons tombant au bord de la lentille, dans la région sans épaisseur,
Erplication de la convergence. — Tout rayon SH'R qui traverse une lentille convergente est dans lé même cas que s'il traversait un prisme À, dé même substance, ayant pour faces les plans tangents en Let en l' (fig. 392). Ce prisme est toujours de petile ouverture.
La déviation d est précisément êgale à celle que produit ce prisme el elle est donnée par les formules du prisme. Celles-ci sont notablement simplifiées quand on Y introduit l'hypothèse des petits angles, ce qui consiste à y faire i= sin à, sin # = à’, ete. Elles dez viennent
[1] fe nr,
2] é = nr,
[3] A=rt+r,
(4) d,= (n —1)4, Fig. 392.
En appelant À l'angle du prisme de petite ouverture qu'on pout substituer à la lentille, an a pour la déviation d'un rayon lumineux tel que SII'R
395. Foyers : Définitions et détermination. — On nomme foyers les points où vont concourir les rayons réfractés on leurs prolongements.
1° Foyer principal, — Lorsqu'un faisceau lumineux LBMN Lombe sur la lentille parallèlement à son axe principal (fig, 395), l'expérience prouve que lous les rayons, après leur réfraction, vont très sensiblement concourir en un point unique F.
Ce point est le foyer principal, et la distance AF est la distance focale principale. Elle est constante pour une mème ‘ Fig. 395.
lentille, mais elle varie avec le rayon de courbure et l'indice de réfraction,
Réciproquement, si le point lumineux est placé au foyer principal, le faisceau divergent FDE qu'il envoie sur la lentille en sort parallèle à l'axe principal,
Caleut de la distance focale principale. — Équation an pouvoir convergent. — Soil SA l'un des rayons parallèles à l'axe principal (Ag. 504); 1 est vétenclé snivant AF, après avoir subi la déviation d, donnte par la formule Évalmons À et A en fonction des éléments de la lentille.
L'angle d est égal à l'angle AFO du triangle AOF (angles alternes-internes) ; on peut donc prendre tang AFO pour mesure de d (hypothèse des petits angles),
et écrire A0 d = tung AFO — NT M
D'un autre côté, l'angle À est égal à la somme des angles MAO et NAO; or MAO — ACO et NAO = AC' 0 (côtés perpendiculaires).
En prenant pour mesure de ces angles leurs Llangentes tri- Fig. 594. gonométriques, On à
A0 A0 À = tang ACO + tang AC'O — TD * To’ En substituant dans l'équation [1] et divisant par AO, elle devient
mn (g+mr) vubes += m-0(g+). tn
On voit que la distance f est indépendante du rayon choisi : cela démontre
Fo
Li : : j à 1 l'existence du foyer principal; l'inverse de celte distance, c'est-à-dire ie
s'appelle le pouvoir convergent, et l'équation elle-même est dite équation au pouvoir convergent.
2 Foyers conjugués. — Soit un point lumineux P, placé sur l'axe au delà du foyer principal, et assez rapproché pour que les rayons qu'il envoie sur la lentille soient divergents (fig. 395). L'expérience prouve que tous les rayons partis du point P viennent concourir sensiblement en un même point P’: ce point est le foyer conjugué du point P,
Réciproquement, si le point lumineux était porté en P', son foyer conjugué serait en P,
Caleul de la distance focale conjuguée, — Équation aux foyers conjugués. — On peut démontrer l'existence du foyer conjugué et en caleuler la distance. En elTet, l'image P' doit être le point de concours des rayons émanés du point P, après réfraction. L'axe principal (fig.
395) est lui-même un de ces rayons; done l'image est sur l'axe principal. Soit SA un ÿ autre rayon quelconque; il Fig. 595. subit lu déviation d en se
vétraclanl, 81 went couper
Jaxe principal en un point P qui est le foyer conjugnè. Soil p\a Askanee AK
qui est donnée, et p' la distance OP" qu'il s'agit de déterminer. L'angle d étant extérieur au triangle AP", on a d — Al + AP'P.
En remplaçant d par sa valeur trouvée ci-dessus (fig. 34), et les angles par leurs tangentes, il vient
@ 40 __ A0 , A0 D pren à 2 ere LE = mt 2 = né . u Pb p' ?P p' r
Telle est l'équation fondamentale des lentilles, On l'appelle équation aux foyers conjugués, parce que c'est une relation entre les distances locales de deux foyers conjugués P et 4,
À mesure que le point P s'approche de la lentille, la divergence des rayons incidents et celle des rayons émergents augmentent, et le foyer conjugué [” s'éloigne, Si F coincide avec le foyer principal, les rayons émergents sortent parallèles à l'axe, et alors il n'y a plus de foyer, ou, comme on dit, le foyer est rejelé à l'infini dans la direction de l'axe principal. Fig. 596.
3° Foyer virluel. —
Dans le cas où le point lumineux P est placé entre la lentille et son foyer principal (fig. 396), l'expérience prouve que le foyer conjugué P’ est virtuel.
Plus le point P se rapproche de la lentille, plus son foyer virtuel P’ s'en rapproche aussi.
Caloul de la distance focale conjuguée, — Étant donné qu'un rayon, tel que FA, émané du foyer principal, émerge de la lentille, parallèlement à l'axe principal, il s'ensuit qu'un rayon, tel que PA, qui doit émerger en subissant la même déviation d, ne peut couper l'axe que par son prolongement et du même côté de la lentille, Soit P' le point d'intersection : c'est Le foyer conjugué de P; on voit qu'il est virtuel.
On calculera sa distance à la lentille comme précédemment. On a, d'une part, dans le triangle APP"
} d = APO — AP'0, et d'autre part d = lang AFO -
En achevant le énleul comme ci-dessus, il vient
re 1 ? p'
L. 1 existé né aubre méthode, Egalement classique, pour lrouvér celle éauii- Lion. Nous la donnons plus loin, à propos des lentilles épaisses (106, WW.
#ib OPTIQUE, a
Telle est l'éguation aux foyers conjugués dans le cas des loyers virtuels. On aurait pu la déduire de l'équation [1], en convenant de changer de signe la grandeur p' qui n changé de sens.
596. Centre optique. — Dans toute lentille l'expérience prouve qu'il existe un point nommé centre oplique, situé sur l'axe principal et tel que tout rayon passant par ce point n'éprouve pas de déviation angulaire : il sort plus ou moins déplacé latéralement, mais parallèle à sa direction d'incidence.
Calcul de la position du centre optique. — Menons deux rayons de courbure parallèles, CEet CT (fig. 597); les deux éléments des
Fig. 397.
plans tangents en Let F sont parallèles entre eux, comme perpendiculaires à deux droites parallèles : par conséquent tout rayon SI qui tombera sur la lentille dé manière à la traverser suivant 1, traverser en réalité un milieu à faces parallèles, et par conséquent sortira sans dévialion, c'est-à-dire suivant une direction l'A parallèle à SE.
Or considérons les triangles COI et C'OF : ils sont semblables comme étant équiangles, et ils donnent
0C CI mL Et
Donc le point Q partage la ligne des centres CC’ en deux segments proportionnels aux rayons de courbure : sa position est donc invariable et indépendante du rayon considéré,
En retranchant membre à membre les termes extrêmes de la proportion, il vient B R — 00 OA .
Me QÙ 01”
nent l'épaisseur de la lentille en deux segments
-Le cenire optique n'est dune au milieu de la lentille qu'autant qu'on à R =R". Si lu lentille est plan-convexe, ce qui correspond au cas où = %, on à OA = 0: donc le centre oplique est en À, sur la face courbe,
597. Axes secondaires, — Foyers conjugués secondaires. — Toute droite Q@ (fig. 598) qui passe par le centre optique O et par un point lumineux Q est l'axe secondaire de ce point. D'après la propriété du centre optique, lout rayon qui tombe suivant l'axe secondaire QO0 émerge suivant la mème direction 0Q'; car, dans le cas des lentilles minces, on peut considérer comme ‘négligeable le déplacement latéral subi par le rayon Q0, Fig. 308.
De plus, si l'on considére uniquement les axes secondaires ne faisant avec l'axe principal qu'un petit angle, on peut leur appliquer tout ce qui a été dit jusqu'ici de l'axe principal : c'est-à-dire que les rayons émis d'un point Q doivent tous concourir en un même point P’ de cet axe, qui est son foyer conjugué. C'est ce que l'expérience vérifie.
Caleul de La distance fucale conjuguée, — L'image du point lumineux Q est sur l'axe secondaire QU; elle est aussi sur le rayon réfracté correspondant à un rayon incident queleonque QA : donc elle est à l'intersection Q' de ces deux droites. Dans le triangle AQQ' l'angle extérieur est d, et l'on x
d — AQ0Q' + A0'Q.
En remplaçant ces angles par leurs valeurs trigonométriques, on a
es f 4 [I
Or AU’ est sensiblement égal à AO, pur suite de l'hypothèse des petits angles ; en divisant les deux membres par AO où AU’, il vient
{ ? bis + ES = de — (£ bis] 7 C'est la méme équation que ci-dessus.
398. Détermination expérimentale des foyers. — Un recoit sur la lentille ün faisceau solaire parallèle à l'axe principal; puis on cherche avec un écran, de l'autre côté de la lente, \e pou où va se concentrer le faisceau : c'est là le foyer principal.
On peut aussi déduire f de l'équation aux foyers conjugués, èn plaçant en un point donné la Marmme d'une bougie, et en cherchant avec un écran, de l'autre côté de la lentille, son foyer conjugué : connaissant p et p', on calcule f aisément.
599. Construction des images. — 1" Cas des images réelles. — Les images sont réelles dans le cas d'un objet lumineux AB placé à une distance plus grande que la distance focale principale (fig. 399).
On réduit la construction à celle des foyers conqugués des points À et B : on mêne les axes secondaires AO et BO, puis, des points À et B, des rayons parallèles à l'axe principal. Ces rayons se réfractent de manière à passer par le foyer
Fig. 309. principal F et vont
lormer en A’ et en B
les images des points À et B. En joignant A'P, on a l'image de l'objet AB.
Cette image est réelle el renversée, Pour la voir, il faut la recevoir sur un écran blanc qui la diffuse dans loutes les directions, ou placer l'œil sur le prolongement des rayons émergents : on aperçoit ainsi, dans l'espace, une image qui, de même que dans les miroirs concaves, est une image aérienne.
Calcul de la grandeur et de la distance de l'image. — Les triangles ABO et A'B'0’, qui sont semblables comme équiangles, donnent
A'Boul © P' ou p'
ABouO OPoup On a donc Pour la grandeur, 1 = 0 : : , F $ [ Pour la distance, p'= p —— l Î P—]
1° Lorsque l'objet est à une distance de la lentille égale au double de la distance focale, l'image est à la même distance de l'autre côté et de même grandeur que l'objet. 2 Si l'objet est à une distance plus grande que le double de la distance focale, l'image est plus pelite que l'objet; elle est plus grande dans le cas contraire.
5" Cas particuliers. — Lorsque l'objet coïncide avec le foyer principal, l'image est rejetée à l'infini, c'est-à-dire qu'il n'y 4 plus d'image. En ellet, les rayons tels que AI (fig. 400) donnent, à l'émergence, un faisceau IF°O4", parallèle à l'axe secondaire AO, et ceux émis de Bun faisceau parallèle à BO : il n'y a donc plus concours de rayons à aucune distance, el par suite il n'y a pas d'image.
Remanque. — Pour les lentilles convergentes, comme pour les miroirs concaves, la position de l'image est toujours réciproque de celle de l'objet, c'est-à-dire que, si celui-ci passait en AB’, son image se formerait en AB (fig. 399).
4 Cas des images virtuelles. — Les images sont virtuelles dans le cas d'un objet lumineux AB placé entre la lentille Q et son foyer principal F (fig. 401).
Soit un objet AB placé dans celte position : si l'on répète la construction donnée ci-dessus, on voit aisément, en considérant le trapèze AIOF, que sa petite base est AI (OF), et, par suite, que ce sont les prolongements des rayons réfractés qui vont couper les axes secondaires OA (et OB) en A'(etB}, Les foyers A" et B’ sont donc virtuels ; il en est de même de tous les points de l'image, On obtient celle-ci, comme précédemment, en joignant A’B'. Cette
image virtuelle est droite et plus grande que l'objet. On a, comme ci-dessus,
Fig. 400.
Fig. 401.
Dr p' [ A = e — = —- .
Xp AE
100. Lentilles minces divergentes : Étude géométrique et expérimentale. — Lorsqu'un faisceau Jumineux divergent, émané d'un point lumineux S, situé à une distance quelconque, vient tomber sur une lentille concave, celle-ci \e transforme en un faisceun encore plus divergent (Mig. AM), Cela Sexphue en remarguant que l'un quelconque des rayons SI traverse un prisme Lel que AW, dont la hase est opposée à l'axe principal. I en résulte que Le rayon rétracté VW
GANOT-MANEUVAIER. 99
450 OPTIQU
est dévié vers le bord de la lentille et ne peut venir couper l'axe que por son prolongement: done le foyer conjugué ést nécessairement du même côté de la lentille que le point lumineux : c'est un foyer virtuel.
1° Foyer prinerpal. — Soit d'abord un fuisceau SIS,], de rayons parallèles à l'axe (fig. 405) : chacun des rayons tels lence |
que Si se réfracte au point d'in en subissant uné déviation d qui 1
de l'axe et qui dépend de l'angle du prisme équivalant à la lentille, La même déviation étant subie par tous les ruyons tels que S,, 1,, il en résulte que les rayons, aprés avoir traversé la lentille, forment un faisceau divergent FIRI,R,. Les prolongements de ces rayons s rencontrent sur l'axe principal, en un point F, qui est le foyer principal virtuel.
Détermination expérimentale. — On recouvre l'une des faces de la lenlille biconcave « noir de fumée, en réservant, dans Fig. 404. une même section principale et à égale distance de l'axe, en a et en b (fig. 404), deux petits cercles non noircis, qui laissent passer »+ puis, recovant sur l'autre face, parallèlement à l'axe, un faisceau de lumière so SS, on avance ou l'on recule un écran P jusqu'à ce que les rayons émergents viennent y projeter deux images À el B dont In dislance soit double de ab, Si l'on néglige l'épaisseur de la lentille, on voit, d'après la similitude des triangles Fab et FAB que l'intervalle DI est alors égal à la distance focale FD. On a, en effet,
FD . ab ». 1 Fig. 405, rl AB 2
Y Foyers conjugués virtuels. — Dans le cas où les rayons parlent d'an point P (Mg. 405) sim sur l'axe, on trouve, par la même construction, qu'il se forme un lover viniuel en W. enkre ke Toner
principal e! la lentille, La relation entre les distances des foyers conjugués devient ici
ï de 4 S d L / % Construction des images. — Les lentilles concaves, eoumme les miroirs
convexes, ne donnent que des images vérfuelles, quelle que soit la distance de l'objet lumineux, pourvu que cet objet soit lui-même réel.
Soit, en ofet, un objet AH (fig. 406) placé devant une lentille biconcave, et à une distance quelconque.
Menons les ares secondaires A0 et BO, puis un rayon Al parsllèle à l'axe principal qui se réfracte deux fois, on 1 et en E, on s'écartant de cet axe de manière que le rayon émergent ED prolongé aille passer par le Fig. 406.
foyer principal. Le point «, où il coupe l'axe secondaire AO, est l'image vituelle du point À, L'image du paint D se construisant de la méme manière en b, on a en ab l'image de AU : elle est toujours virtuelle, droite et plus petite que l'objet, On ne peut la voir qu'en plaçant l'œil dans lu direction du faiscoau émergent, On a encore
2 est donné par l'équation {1!.
401. Discussion algébrique de l'équation aux loyers conjugués. — La forme générale ded'équation aux foyers conjugués, qui répond également bien au cus des lentilles convergentes et au cas des lentilles divergentes, est | 1 1 1 |
= + — == | J 1 [ l'our la discuter commodément, on la mal sous l'une des deux fo:imes sui | vantes, qui s'équivalent :
{ ' 2! w = p : ou D ae" msi 0 »} 1 ! n—T 1 ? ME /T] PE pe mn
our p = (Uaistoau incident parallèle à l'axe prineipel) on a p/ — f
r>? on à p'<?f p=2/ on à p=2f p > [cas d'un foyer conjugué réel) on a p > 0 p = [Uaisceau réfraolé parallèle à l'axe principal) on s p'= + b<f on à p' < 0,
Cette valeur négative n'est pus admissible et l'an én conclut que la formule ne s'applique plus. Or, si l'on établit directement l'équation en supposant l'image virtuelle, on trouve
Ù asiêts i à
5 , d'où l'on tire p=p = {2200
Cette dernière formule donne dos valeurs positives, et par suite admissibles, de p', pour loutes les valeurs de p inférieures à 7. C'est done l'équation qui convient au cas des images virtuelles *.
Tableun général des formules, — On peut trouver la formule qui convient à chaque cas particulier des lentilles en changennt de signe les grandeurs qui changent de sons par rapport au eas simple initial, Nous résumons dans le tablenu suivant Lous los cas qui peuvent se présenter.
LENTILLES CONVERGENTES LENTILLES DIVENGENTRS A —— ON PEUT LRS PLACEN Images
| Images virtuelles Images réelles
Images réelles à di re virtnelles
1° Dans un faisceau ) divergent. VE = - | . Néant (Cas général.— Objets \? EL réels.) | |
2 Dans un faisceau | convergent. l 1 (Cas particulier, — \ p' Objets virtuels.) hi
WR, Aberration de sphérioité. — Un faisconu lumineux qui tombe sur une lentille, parallèlement à l'axe principal, esl réfracté comme s'il tombait sur un prisme À' dont l'angle. est variable et croit depuis l'axe, où il est nul, jusqu'à la périphérie, où il est maxinum, Les rayons périphériques sont donc plus déviés que les rayons centaux (fig. 407) et le foyer prineipal G, ondant au faisceau parallèle iphérique, est plus voisin de la lentille que le foyer principal F des rayons centraux, le seul que nous ayons considéré jusqu'ici. C'est en ela que consiste l'aberration de xphé- . ricilé dans les lentilles.
Elle se produit non seulement pour
Fig. 407.
1 1 1, Au Lieu de partir de l'équation fondamentale 5 + mr = as on part souvent de l'équation 1 1 1 1 ll 1 es men DE té es ou — — = —.
