VV

832. Flux de force. — 1° Définition. — On appelle flux de force, relatit à une surface S immergée dans un champ électrique, la somme des produits de chacun de ses éléments de surface par la projection de l'intensité du champ en elraque point sur la normale à l'élément, ,

Ce flux à pouf expression

ZF.aScos(E ,N).

Chacun des termes algébriques F.A4S cos(f, N) est pris conventionnéllement avec le signe + ou le signe —, suivant que le champ va de la surfice vers l'extérieur ou vérs l'intérieur, |

æ Expressions diverses du flux élémentaire F.aScos[F ,N). — Si le champ E (fig. 746),aw point où se trouve l'élément À, est produit par la charge située à lu distance r, on a, d'après la loi de Coulomb,

LATE ze donc le flux élémentaire FaS cos (F N)— … n et = A (J « D 1 "3 cos Lo e Or le produit 48,cos(F,N) est égal à la projection AG de l'élément AR sur la sphère AC décrite de m comme centre avoc mA pour rayon; donc, en posant AC = A,

« : LL .FaS.cos (F,N)= m F2 Ea désignant par 4 la por-

tion de la sphère (décrite de m comme centre avec un rayon dal à l'unité) qui est découpée par le cône de sommet m et de base AS, on a, en raison de la similitude,

LS, it 2€ Fig. 746.

1 s" et, par conséquent, FAScos(F,N) = mâu,

La surface sphérique Au est, par défimtion, l'angle solide sous léquel Lééaen de surface 458 est vu du point #1,

5° Remanous. — Si le champ provient de plusieurs charges 2m, ant, mi" sx es qui séparément détermineraient en À les champs F, L', F'',--., \ e8k Ca Se

GANOT-MANEUVIUEN, %

la composante du champ résultant, suivant la normale N, aurait pour wxpres sion Fcos(F ,N) + F'eos(F",N)+ 4

et le flux élémentaire serait alurs F,48.cos(F,N) + F'ASuos(F',N) + Me + M'A +... = min

d'où il suit que le /lux total, relatif à un système de chiarges, est égal à da nomme des flux totaux, relatifs à chacune des charges. Cette addilion purement algébrique des flux explique la fécondité des propriétés numériques de cette notion

35, Théorème de Gauss. — Le flux total relatif à une surface fermée, immergée dans un champ électrique, est égal à 4rÈm (Em représentsnt la somme aigébrique des charges enveloppées par la surface),

I suflit, pour démontrer cette propriété, de calculer les Lerinés qui sont fntroduits dans ln somme Z,.F,AScos(F,N), soit par une charge éstériènre, soil par une charge intérieure à la surface.

1° La charge in est à l'extérieur. — Vos flux en À et A! (fig. 747hrant In méme

valeur mA, mais ont des signes

? contraires à cause de la conven- Lion ci-dessus (832); done on à dans ce cus

En À le,champ est plus inlense qu'en A'; mais, la surface de l'élément A' etant plus grande, la compensation s'étsblit pour la valeur des flux à

Fe, 741 cause de la forme de la Tai de sen Coulomb: 1 n'en serait plus de méme si l'action électrique vs.

aitautrement qu'en raison inverse du carré de la distance.

La tharge m est à l'intérieur. — La Qux on À (fig. 787) na pour ealeur m'.Au. En déplaçant À sur ln surface &, le signe reste le même, car la charge + 1 plucée en A est constainment repoussée où constamment attirée, suivant quon charge m'est positive où négative,

Ôr End = M'Y Su; et la sorime des Au, pour toute la surfact S, constitue la surfice totale 4x de ts sphère de rayon £ qui a m' pour centre : donc lo flux relatif à er à pour valoir

Y 40 = bem';

et, d'après la remarque précédente, les autres charges intérieures donner de même &em" , am", ...,0n tout

Leln + mem, cesthdire 4e Zm,

. ations, — 1 Tube de force. — Champ CUS LULU PET EN LR ro 1 golcat-deux -conduetears S,# en Eanililire Estonie Re TINT,

et s la densité électrique sur l'élément 4$ : calculons lé champ F en un point M infiniment voisin de la surface,

Comme le conducteur est en équilibre électrique, il fait partie des surfnces équipotentielles du champ. Menons la surface équipotentielle qui passe par M, ainsi que les lignes de force qui s'appuient sur le contour de l'élément 45. (L'ensemble de ces lignes de force constilue ce que l'on nomme un lube de force pour rappeler que la direction du champ est tangente à cé tube en tout point de la surface.) Prolongeons ce tube à l'intérieur du conducteur et limitons-lé par une surface quelconque.

La surfacé ainsi formée est telle que l'élément parallèle à 48 donne seul un terme au flux. En effet, en tout point intérieur au corps S le champ est nul, et en Lout point de la surface latérale 11 est tangent à celte surface, Le flux so réduit done à FaS; mais, en vertu du théorème de Gauss, il est aussi égal à 4e Dm, c'est-à-dire, dans le cas actuel, à 4#s 4S; donc

F,AS= {+r48, : d'où F—4a.

2 Champ en un point de la surface. — Si on supprime par la pensée l'élément AS (fig. 748), il est clair que le champ sèra le même en deux points M et W, infiniment voisins ol silués de part et d'autre de ln surface, ear toutes les charges agissantes sont physiquement à la même distance des deux points et d'un même côté. Or l'addition de l'élément 48 annule l'action en M elle est donc égale à celle qui s'exerçail primitivement en M; mais de signe contraire, Et comme les champs dus à lu charge de 45 en M ét M sont visibleinent opposés, les deux actions s'ajontent sur M' : done l'action primitive était égale à Ja moitié de 4 rs où 2 #7.

Tel est par suile le champ dû à la charge du conducteur en un point M" de sa surfuce; car on peut diminuer autant qu'on le veut l'étendue de à$ sans que le raisonnement cesse d'être exact et faire tendre indéfiniment M et M' vers M",

5° Tension en un point. — La charge totale de AS ayant pour valeur #35 et l'action sur l'unité de charge étant 2%s, l'action totale est

2 ra,7 AS = 2 rot àS, Fig. 748

Cette force, rapportée à l'unité de surface de densité uniforme +, a pour valeur +rt : c'est la lension électrique en AS,

Appliquée à l'élément 45 du conducteur, elle tend à le soulever et à pour valeur 29 45,

4 Éléments correspondants, — En continuant le tube de force jusqu'au conducteur S' et le limitant à l'intérieur de S' (fig. 747), le flux total est nul, puisque, en explorant les divers points de la surface, on trouve partout, où bien un champ tangeut (surface latérale, où bien un champ nul (surface imtéricure du conducteur, Si s'est la densité électrique en 4$', le flux a d'ailleurs pour valeur

âr (s.2S+ « 25°), d'où il suit que 1] «48 + a as =.

Comme 48 et 48’ sont des quantités essentiellement positives, on oil \nak d'abord que les densités » et +! sont de signes contraires, c'est h-diute que \es

368 ÉLEUTRICITÉ STATIQUE.

charges qui apparaissent sur les deux bases du tube où éléments correspondante sont de signe contraire. Elles sont d'autre part égolos en valeur absolue, car l'équation [1] donne

e BS=— 9 28, qa=—4.

5° Action d'une couche sphérique homogène sur un point extérieur on iatérieur. — Cette action est la même que si loute la charge était condensée an centre,

Si on trace autour d'une sphère conductrice chargée d'une couche M d'électricité en équilibre, une sphère concentrique de rayon K, le en tout point de cette sphère aura, par raison de symétrie, la même valeur F et dirigé suivant le rayon qui y aboutit : en sorte que le flux qui traverse la surface aura pour valeur

YF,as=F Pas Fine

Or, d'après le théorème de Gauss, le flux à aussi pour expression & =; dose

F,4i=Rt=i<M d'où Ve

Le champ est done bien le mème que si la charge M était au centre de ln sphère. Dans Le cas d'un point intérieur, le même raisonnement conduit à P=0. »

855. Conducteurs électrisés communicants. — De la condition d'équilibre d'une couche électrique sur un conducteur un déduit directement une conséquence très importante x

Sur deux conducteurs électrisés, mis en communication à l'aide d'un fil métallique, l'équilibre ne peut exister que lorsque k potentiel est devenu le même partout.

En eflet, ces deux conducteurs n'en forment plus qu'un seul, auquel s'applique la condition générale d'équilibre électrique,

Lorsqu'on mettra en communication deux conducteurs de potentiels inégaux, il se fera nécessairement un mouverment de fluide de l'un vers l'autre. Tout se passera comme si le condueteur de potentiel le plus élevé envoyait de l'électricité + au condueteur du potentiel le moins élevé, jusqu'à ce que l'égalisation soit fuite. Celte propriété se vérifie par l'expérience et c'est par elle que nous avons généralisé précédemment la définition expérimentale du potentiel.

856. Capacité électrique. — Le potentiel d'un conducteur éle trisé en équilibre, et éloigné de tout autre conducteur, est proportionnel à sa charge électrique totale. ;

Sfiniti —% 4. » Ù

En effet, on a par définition VE Par conséquent, le potenliel est une sorume de fractions dont chacune a pour numérateur la masse de chacun des pois An condueteur, Si Pirennretde tes

SCOR

imnsses devient double, riple, quadeughe, tte. ape Veme

de la somme sera multiplié dans le même rapport, et il en sera de mème de leur somme.

On peut donc poser l'équation

=€, ou bien Q—=CY,

où Q désigne la charge totale du conducteur, V son potentiel et C une constante qui dépend de la forme et des dimensions du conducteur. Cette constante C s'appelle la capacité électrique du conducteur. .

Elle est numériquement égale à la quantité d'électricité dont il faut charger le conducteur pour lui donner un potentiel égal à 1.

Rexanoce, — Lorsqu'on met un conducteur en communication avec une source de potentiel constant V, il prend une charge Q complètement déterminée par sa capacité électrique C. De même, lorsqu'on met un certain poids d'une substance en communication avec une source calorifique de température constante T, elle gagne une quantité de chaleur Q complètement déterminée par la capacité calorifique C : on a en effet Q — CT.

837. Unités de capacité électrique : unité absolue (C. G. 8.) et unité pratique. — On évalue les capacités électriques à l'aide d'une unité particulière, qui a été rattachée aux unités fondamentales C. G.S. C'est ce qu'on appelle l'unité absolue ou l'unité C. G. S. de capacité électrique,

Dans la pratique, cette unité serait trop grande pour les usages courants. Aussi lui a-t-on substitué une unité secondaire de capacité, qui vaut 5 de l'unité absolue et qu'on appelle le farad. On exprime donc les capacités en farads ou en microfarads, comme on exprime les potentiels en volts et les quantités d'électricité en coulombs.

838. Partage de l'électricité entre divers conducteurs. — Équations de l'équilibre électrique. — Soient un nombre quelconque de conducteurs électrisés en équilibre (nous en prendrons trois comme exemple) dont les capacités sont €", C”. Cet les potentiels V!, V”, V'‘ : leurs charges Q', Q"’, Q”’ se trouvent complètement déterminées. Tant qu'ils restent isolés l’un de l'autre, l'équilibre électrique persiste indéfiniment sur chacun d'eux. Si on les met en communication l'un avec l'autre, il se produit un mouvement d'électricité suivi d'un nouvel état d'équilibre. Celui-ci est atleint lorsque le potentiel est devenu le mème partout. Il est évident d'ailleurs que la quantité totale d'électricité w'a pas changé : elle est simplement distribuée de 1nanière à égaliser \es VON AS - L'ensemble des conducteurs, supposés très éloignés \es uns des autres, orme maintenant un conducteur unique dont la capacité C est égale à \a somme es

capacités et la charge totale à la somme des Chceu parkeles.

On à donc C=C'+0+ C0" en même temps que Q=Qete Ces deux équations déterminent le nouveau potentiel V, car on

fé ve LE 040 + QE VOENMEPANMES

T ü TEE CU

Nemanques, — 1° On peut écrire cette équation sots la forme génêrale

VX (©) = (ve,

c'est-à-dire que le produit du potentiel final par la capacité totale ést égal à

la somme des produits analogues faits pour chaque conducteur partiel.

Cette équation rappelle l'équation du mélange des gaz (189), onu celle quan obtient en exprimant qu'un système de corps, aux températures "respocières VV", VV... et de capacités caloriliques C, C', Cf, ..., étant mélangés dam un récipient adiabatique, ont pris une température commune Y à ls suite dus

échange de calories,

K59. Conséquences et cas particuliers. — {* Pour deux conducteurs dlectrists

quelconques, l'équation {1} devient

V'C+ vrot C'+£

Si les deux charges et les deux capacités sont identiques, on à

c'est-h-dire que Le potentiel reste le même, Si les deux charges sont égales et de signes contraires, ot #

=0, d'où Q—=2C'+x0 =0

c'esth-dire que les deux conducteurs isolés dans l'espace sont ramenés à Vétat

neutre.

Enfin, si l'un des conducteurs est seul électrisé, on &

" y v'C © sl Vsqre vec to" et si C'= C?, v=ir

Le potentiel varie donc en raison inverse de la capacité,

5° Méthode de mesure des polentiels. — Si a eataeité CO lin conducteurs est très grande par rapport à tee Me asihiee ie ère que cette dernière soil négigenkhle dans lex ss, a

aura, en admettant que le deuxième conducteur soit à l'état neutre, st

Le potentiel ne changera pas.

C'est ce cas particulier qu'on applique dans la mesure expérimentale du potentiel d'un conducteur clectrisé au moyen d'une pelile sphère (816).

Remarque. — La connaissance du potentiel final et des capacités du système permet de, calculer le PAU initial, à l'aide, de l'équation [2]. Æ .

840. Calcul de l'énergie à dépenser pour charger un conduoteur à un potential déterminé. — Calculons, par exemple, l'énergie qu'il faut dépenser pour charger unñ conducteur de capacité C au potentiel V. La charge à lui communiquer a pour valeur M = CV. Soit zéro le potentiel initial du conducteur. L'apport de la charge - ' aussi petite que l’on veüt, ne donne lieu qu'à un travail Rae:

Cette éarge porte le conducteur au potentiel

nC

Les apports suivants nécessitent les travaux successifs

1 M\ti © M “\s1 WT A ou (+) TT Ve ou (+) T’ ete., si bien que le travail total à dépenser pour la charge aura pour valeur 1 /M\: : :

t(+) ER IRMTaTE * ou \ ! M° 1 m(n—1) A\.

CORSCSS Ds “ n

Si on fait tendre à vers l'infini afin de rendre les considérations précédentes rigoureuses, puisqu'on opère alors d'une manière absolument continue, on u

x: 1 1 w mac ==: car M = CY.

Cette éneryie.est l'énergie électrique du conducteur de capacité C, chargé au potentiel Y. Elle est récupérable par la décharge‘.