DES LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉQUUJBRE ET DU MOUVEMENT

Inertie de la matière. — Des forces ^ de leur composition et de leur décomposition. — Mout^ement uniforme.

— Mouvement i^arié, — Lois de la chute des grades.

— Théorie des forces centrales. -^ Force centrifuge. — Force centripète. — Principes généraux

qui s'obsen/ent dans le mom/ement d'un système de corps.

i68. Avant de nous occuper de rechercher la nature des forces qui agissent sur les planètes, les comètes et les satellites, et qui produisent les mouvements auxquels ces corps sont assujettis, nous allons rappeler aussi succinctement que nous le pourrons les principes fondamentaux de Téquilibre et du mouvement; on suivra avec plus de facilité ensuite l'application que nous en ferons au système du monde.

C'est un principe généralement admis comme une loi de la nature^ qu^un corps ne peut se donner par lui-même aucun mouyement , ni altérer d'une manière quelconque le mouvement qu'il a reçu, ce qui tient à ce qu'un corps matériel ne renferme en lui-même aucune raison pour se mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre. Cette

l/ASTROirOMIE. 479

tendance des corps à persévérer dans l'état de repos ou de BObOUTement est ce qu'on nomme tinertie de la ma» tière. La marche des corps célestes qui , depuis un si grand nombre de siècles , se consenre sans aucune altération sensible , nous offre, de cette tendance de la matière à persévérer dans son état de repos ou de mou* yement, la preuve la plus manifeste que nous puissions choisir.

Toute cause perturbatrice qui tend à faire passer un corps de Tétat de repos à Tétat de mouvement ,. ou à modifier, d'une manière quelconque, le mouvement dont il est animé, se nommeyorce on puissance.

Un point matérid soumis à l'action de plusieurs forces qui ne se font pas équilibre tend à se miouvoir dans une direction quekonque, et cette direction est unique, puisqu'il ne peut se mouvoir à la fois dans deux sens différents. Si Ton imagine une force dirigée suivant la ligne que le point tend à décrire, et dont l'effet équivale à faction eœnbinée des autres^ ftHres qui le sollicitent , il est évident que l'on pourra remplacer par cette force unique le système de forces que Ton avait considéré d'abord , et en faire désoroiais abstracticMS. La force ainsi déterminée s'appelle la résukante de celles qui ont mis le corps en mouvement , et celles-ci sont nommées les composantes de la première.

Si plusieurs forces agissant dans la même direction sont appliquées à un même point matériel , leur résultante est égalé à leur somme ou à leur différence, selon qu'elles agissent dans le même sens ou dans des sen» opposés; madé si les directions des deux forces forment un angle entre elles, la direction de là résultante

&80 PKECI8

sera mcyenne entre les deux autres, et l'on démontre par la géométrie que si sur les directions des deux forces données on prend {fig. 86) des longueurs AB, AG qui représentait ces forces ^ la résultante sera représentée en grandeur et en direction par la diagonale AD du parallélogramme ABGD construit sur les deux composantes AB et AC.

Ce théorème, qui est le fondement de toute la mécanique , donne le moyen de composer entre elles un nombre quelconque de forces agissant sur un point matériel. En eilet , en composant successivement toutes ces forces deux à deux , on réduira ce cas général au cas plus simple que nous venons d'examiner. Réciproquement, si un point matériel est sollicité par une force donnée , on pourra substituer un système composé de plusieurs forces à l'action de cette force unique , pourvu que leur résultante lui soit égale.

Dans l'état de repos, toutes les forces qui agissent sur un point matériel parfaitement libre doivent se faire équilibre , c'est-à-dire que leur résultante doit se réduire à zéro. Si ce point n'est pas libre , s'il est forcé à se mouvoir sur une courbe ou une surface donnée , il suffit alors pour que l'équilibre ait lieu que la résultante soitperpendiculaire à la surface Ou à la courbe sur laquelle il est assujetti ; si ces conditions ne sont pas remplies , l'équilibre ne peut plus.subsister, et le point matériel passe du repos à l'état de mouvement.

169. Lorsqu'un point matériel a été mis en mouvement par une force qui lui est appliquée, et qu'il a été ensuite abandonné à lui-même, il doit continuer à se mouvoir en ligne droite sur le prolongement de cette force , parce

d'astaonoiiie. 481

qu'en vertu de rinertie de la matière, il n'y a pas de raison en eiFét pour qu'il incline plutôt dans un sens que dans un autre. Si une nouvelle impulsion l'oblige à changer sa première direction , il persévère encore dans son mouvemenf rectiligne; mais le point de l'espace vers lequel tend le mobile n'est plus le même.

. Il résulte encore de la loi d'inertie oii de l'impossibilité où. est un corps de se donner à lui-ménie aucun mouvement, que le mouvement d'un point matériel sollicité par une forcequi agit instantanément sur lui , doit être uniforme, c'est-à-dire qu'il doit décrire des espaces égaux dans les mêmes intervalles de temps , jusqu'à ce que Tin* tervention d'une force nouveUe l'oblfge à accélérer ou à ralentir le mouvement primitif qu'il a reçu. Ainsi donc, dans le mouvement uniforme, les espaces parcourus sont proportionnels aux temps employés' à les décrire , le rapport de l'espace au temps est donc constant , ce rapport est ce que dans ce mouvement on nomme la vitesse ; on voit qu'elle est égale aussi à l'espace décrit parle mobile dans Tunité des temps.

Si le mobile, après avoir reçu une première impulsion, au lieu d'être abandonné à lui-même, reçoit, à des intervalles de temps déterminés, des impulsions nouvelles , qui s'exercent dans des sens différents de la première , la direction et la rapidité de son mouvement varieront continuellement , et l'assemblage de toutes les portions de lignes droites qu'il décrira, formera un polygone d'un nombre de côtés égal à celui des intervalles qui séparent les actions de la force d'impulsion. Si l'on suppose donc ces intervalles infiniment petits , le polygone se changera en une courbe continue, parce qu'une courbe

462 PRicis

quelconque peut ioujeure être considérée comme on polygone 4'une infinité de côtés.

La pesanteur qui fiait tomber les corps à la surface de la terre, nous présente un exemple très-simple d'une force qui agit sans interruption. Elle exerce une action égale sur toutes les molécules de la matière , soit dans rétat de repos soit dans l'état de mouvement. Son intensité varie suivant les différents points que nous occupons •ur le globe , sa direction change également avec l'horizon du lieu auquel elle est toujours perpendiculaire; mais comme les mouvements que l'on considère sur la terre, ont . toujours infiniment peu d'étendue relativement à ses dimensions, on peut, dans les applications théoriques, i^garder l'action de la pesanteur comme une force constante, et la supposer dirigée suivant des droites parallèles.

Pour qu'un corps décrive un orbite curviligne, il faut donc qu'après avoir reçu l'impulsion qui lui a donné le mouvement , il soit sollicité à chaque instant par une force dont l'action soit permanente ; car si cette force venait à suspendre son action pendant un temps fini , le mobile, dans cet intervalle, continuerait à se mouvoir en ligne droite et d'un mouvement uniforme, dans la direction de la force qui le sollicite , il décrirait donc successivement les côtés d'un polygone rectiligne qui ne pourrait plus se confondre avec une courbe^ qu'autant qu'on supposerait les sommets de ce polygone infiniment rapprochés, ou les intervalles de temps qui séparent les actions de la forcç motrice, infiniment petits.

Réciproquement, tout mouvement curviligne résulte nécessairement de la combinaison de deux forces dont

d' ASTRONOMIE. lî|.83

Fune au moins exerce» sur le mobile, une action continue. Les rapports qui peuvent exister entre les intensités et les directions de ces forces, déterminent ensuite la nature de l'orbite qu'il décrit. Un projectile qui sort de la bouche d'uu canon nous ofire l'exemple d'un mouvement produit par la combinaison de deux forces, Tune de projection qui abandcmne le mobile après lui avoir communiqué une première impulsion, la seconde, la pesanteur, qui agit sur lui d'une manière continue. Le calcul montre que la courbe décrite en v€^tu de ces deux forces est une parabole , dont te grand axe est vertical et dont la première tangente est la droite, suivant laquelle a été dirigée l'impulsion initiale. Le mouvement est uniforme dans le sens horizontal, c'est-à-dire que les espaces croissent proportionnellement au temps , et dans le sens vertical il est le même que si le corps tombait suivant la verticale. Si la force de projection est dirigée perpendiculairement à rhorizon , la parabole se change en une Ugne droite et se confond avec la verticale. Le mouvement des projectiles dans la parabole comprend donc, comme cas particulier , les lois de la chute des graves à la surface de la terre.

1 70. Supposons qu'un point pesant, en partant de l'état de repos , soit abandonné à lui-même ; en vertu de la pesanteur il tombera vers la terre en suivant la direction delà verticale. Si l'on conçoit le temps divisé en intervalles infiniment petits , et si l'on suppose que l'action de la pesanteur au lieu d'être continue, soit séparée par ces intervalles (1), l'action de la pesanteur pourra être

(i) Il nous est impossible de savoir si la pesanteur et les forces

k9k PAKCIS

regardée comme une force constante pendant la durée de chaque intervalle, et le mouvement qui en résultera comme uniforme. Le mouvement des corps se trouvera ainsi partagé en une infinité de mouvements uniformes dont les vitesses, constantes pendant chacun des intervalles, varieront seulement d'un intervalle à Tautre.

En effet, au commencement du premier instant, la pesanteur communique au mobile une certaine vitesse eu vertu de laquelle il décrit tin espace déterminé. Dans le second instant , la force accélératrice reçoit un accroissement infiniment petit, la vitesse augmente proportionnellement , l'espace qu'elle fait décrire au corps dans ce second intervalle doit donc être plus considérable que dans le |>remier, et ainsi de suite. Les accroissements de la vitesse dépendent en général de la nature de la force accélératrice ; si cette force est constante comme on peut supposer que Test Faction de la pesanteur sur les corps peu éloignés de la surface terrestre , la vitesse augmentera proportionnellement au tçmps, et les espaces dont les corps tombent en partant du repos^ croîtront comme les carrés des temps. De sorte que si dans le mouvement d't^x corps accéléré parla pesanteur, on représente par

semblables , que nous obserrons dans la nature , agissent en effet sans interruption sur les corps qui leur sont soumis , ou si leurs actions sont séparées par des intervidles de temps dont la durée est insensible. Mais assurés que les résultats devaient être les mêmes dans les deux cas , les géomètres ont adopté la seconde hypothèse comme la plus commode pour le calcul , et surtout parce qu* elle leur a fourni le moyen de ramener immédiatement les lois d'un mouvement quelconque aux lois d*un mourement uniforme.

-D ASTROMOMIE. 485

1 I espace- dont il descend dans la première seconde de sa chute ; il descendra de h unités dans la deuxième seconde , de 9 dans la troisième , et ainsi de suite , de manière que les espaces , parcourus pendant chaque intenralle , croîtront successivement comme les nombres 1,3,5,7,9, etc.

On prouve encore par la simple géométrie, que si Fon considère un triangle rectangle dans lequel l'un des côtés représente le temps de la chute d^un corps accélérée par la pesanteur^ et Tautre côté là vitesse acquise à la fin de sa chute , la surface de ce triangle , égale à la moitié du produit de sa base par sa hau* teur , représentera l'espace que le corps a décrit. On voit en effet que si Ton compare les chutes du corps pendant deux instants différents, les deux triangles qui en résulteront étant semblables, leurs côtés homologues seront proportionnels et leurs surfaces seront entre elles comme les carrés de ces côtés , les vitesses seront donc proportionnelles aux temps, et les espaces croîtront comme les carrés des temps ou comme les carrés des vitesses , conformément à la loi énoncée plus haut. Si y au bout d'un temps déterminé , la pesanteur venait à cesser tout à coup son action , le corps étant abandonné à lui-même , il continuerait à se mouvoir uniformésient et décrirait, dans le même intervalle que celui de sa chute, un espace égal au produit de cet intervalle par la vitesse acquise ; ce produit , en supposant que ÂB (fig, 87) représente le temps de la chute, BG la vitesse acquise, sera la surface du rectangle ABGD double du triangle ABC. Ainsi , un corps mu uniformément , en vertu de la vitesse qu'il acquiert en tombant d'une hauteur donnée , décrit ,

kSiS Fjt^as

dans un temps égal à celui de sa chute , un espace double de celui que Faction de la pesanteur lui a fait parcourir. Telles sont les lois de la chute des graves dans le vide , trouvées par Galilée. Ces lois , dont les anciens n'avaient eu aucune idée , sont Fune des plus belles découvertes des temps modernes. A voir leur admirable simplicité. Ton s'étonnerait sans doute qu'elles nous soient restées si longtemps cachées , si Ton ne savait que les découvertes les plus simples en apparence, ont été souvent celles qui ont coûté aux hommes le plus de temps et de travaux.

171. Toute force qui agit d'une manière continue sur un point matériel, se nomme généralement^brce accélé^ ratriçe y soit que cette force soit constante comme la pe* sauteur dans un même lieu de la terre , soit qu'elle soit variable comme nous verrons que le sont les forces qui animent les corps célestes. Si un corps est composé d'un nombre quelconque de points matériels, on pourra, quelle que soit sa nature , le supposer décomposé en une infinité de points matériels de même masse , et considérer la force qui le sollicite comme la résultante de forces égales et parallèles qui agiraient sur chacun des élé- . ments du corps ; or , la résultante d'un système de forces parallèles est égale à leur somme, la force motrice d'un corps est donc égale au produit de sa masse par la force accélératrice qui agit sur l'une de ses parties. Ainsi, par exemple ^ le poids d.'un corps abandonné à lui-même est Sa force motrice , et la pesanteur est sa force accélératrice,

La nature des forces accélératrices nous est en général inconnue , et nous ne pouvons j uger de leur grandeur que

d'astioiiomie. b8T

par les efieU qu'elles produisent. Si une force agit instantanément sur un mobile , on suppose que son effet est proportionnel à son intensité, c'est-à-dire que plusieurs forces, agissant dans le même sens et dans la même . direction ; feront parcourir au corps qu'elles sollicitent , un espace égal à la somme des espaces que chacune d'elles lui aurait fait décrire séparément , les résultats qui dérivent de cette hypothèse sont d'ailleurs parfaitement d'accord avec les phénomènes observés , ce qui prouve qu'elle est en effet la loi de la nature.

Dans le mouvement uniforme , la vitesse ou le rapport dé l'espace au temps employé à le décrire, est constante , et dans deux mouvements uniformes différents , les vitesses sont proportionnelles aux espaces parcourus dans les mêmes intervalles de temps ; mais les espaces, d'après ce qui précède , doivent étire proportionnels aux forces motrices ; les vitesses, dans le mouvement uniforme, peuvent donc servir de mesure aux forces , et récipro-* quement.

Dans le mouvement varié qui résulte de l'action de la pesanteur et généralement d'une force accélératrice constante , la vitesse est variable ; mais ses accroissements sont égaux en temps égaux, ou en d'autres termes , ils sont proportionnels au temps , quelle que soit d'ailleurs la vitesse dont le mobile est animé. Dans ce mouvement qu'on appelle uniformément accéléré , le rapport de la vitesse au temps est donc constant pour le même mouvementy et il augmente ou diminue pour deux mouvements difflélrents proportionnellement à la force accélératrice , ce rapport est donc propre à lui servir de mesure (1). Ces

(t) Soît V la TÎtease acqnîse au bout du temps < , et F la force ac-

i88 PRÉCIS

deux manières d'exprimer les forces instantanées dans le mouvement uniforme , ou les forces continues dans le

célératrice, on aura généralement F=s^. On peat donner à cette

expression différentes formes utiles selon les circonstances. Non» àrons tu que le produit de la vitesse par le temps est égal au double de la hauteur dont le mobile est tombé au bout du temps / ; en

nommant donc h cette hauteur, ^on aura ih=:vt^ d*où Ton tire v=^*

et par conséquent f*=p ; c'est-à-dire que dans le mouyement uniformément varié, on peut prendre également pour mesure de la force accélératrice, le double de l'espace parconru divisé par le carré dn temps. Enfin, les deux valeurs précédentes donnent en les combinant F=:^, c est- à-dire que la force accélératrice est encore égale

au carré de la vit^se divisé par le double de l'espace décrit.

Lorsque la force qui produit le mouvement varié n'est pas constante, les accroissements de la vitesse ne sont plus égaux en temps égaux; mais en concevant le temps divisé en intervalles infiniment petits, on pourra toigours supposer la forée accélératrice constante pendant chacun de ces intervalles. Le mouvement du mobile se trouvera ainsi décomposé en une infinité de mouvements uniformément accélérés, mais les forces qui les produisent varieront d'nn intervalle à un autre. Soit v la vitesse au bout du temps t, dp l'accroissement qu elle prend pendant l'instant infiniment petit dt ;j le mouvement du corps étant uniformément accéléré pendant cet intervalle, on aura pour la mesure de la force accélératrice qui le

produit F=^; soit e l'espace que cette force fait décrire au mobile dans le même instant, on aura <r='^(j|^P, par conséquent Fa=^^*

Ainsi, la force accélératrice aura pour mesure dans ce mouvement, la vitesse qu'elle communique au mobile pendant un instant infiniment petit, divisée par l'élément du temps, ou le double de l'espace qu'elle lui fait décrire dans le même intervalle, divisé par le carré de cet élément. On voit donc que les relations qui existent entre les forces accélératrices, les vitesses et les espaces parcourus, dans le mouvement varié produit par une force accélératrice quelconque , seront les mêmes que celles qui ont lieu dans le mouvement uniformémeni accéléré , pourvu qu'on suppose infiniment petit le temps pendant lec^uel cette force exerce son action.

D*A8TAOI«0MIE. 489

mouvement uniformément varié, ne donnent point, il est vrai, la mesure absolue de ces forces, elles déterminent seulement leur rapport entre elles ; mais cela suffit pour les comparer et opérer leur composition ou leur décomposition. Ainsi, lorsqu'on connaîtra les vitesses que deux forces communiquent séparément à un mobile, on déduira, par la règle du parallélogramme des forces, la vitesse qui serait due à la résultante de ces forces. Réciproquement lorsque la vitesse , imprimée à un mobile par la résultante de deux forces , sera connue , on pourra, en la décomposant, déterminer l'intensité de chacune d'elles.

172. Nous avons vu, n*" 20, qu'un point matériel suspendu à l'extrémi té d'un fil inextensible, formait ce qu'on a nommé un pendule simple. Le mouvement du pendule, cales oscillations qu'il fait de part et d'autre de la verticale lorsqu'il en a été écarté, résultent fort simplement de l'action de la pesanteur. En effet, suppo£k>ns d'abord l'appareil dans une situation verticale et qu'aucune vitesse initiale ne lui soit imprimée, le point matériel que son poids tend à faire tomber à la surface de la terre, se trouvant retenu par la résistance du fil qui détruit cette action , demeurera immobile. Si l'on écarte le pendule de sa position d'équilibre , et qu'ensuite on l'abandonné à lui-même, la pesanteur tendra à le ramener à sa première position, mais arrivé à la verticale, il la dépassera en vertu de la vitesse que sa chute lui a fait acquérir, et il parcourra, sur le cercle qu'il décrit, de l'autre côté de la verticale un arc précisément ^al à celui de son premier écart. Pendant cet intervalle , la pesanteur dont l'action contrarie le mouvement du pendule , détruit suc-

t^essivement une partie de la vitesse qui Tanime , et lorsqu'elle est complètement annulée, le pendule revient de nouveau vers la verticale qull dépasse bientôt ; il continue ainsi indéfiniment son mouvement en faisant, de part et d'autre de cette droite, des oscillations qui ont la propriété si importante, pour la mesure du temps, d'être toutes isochrones ou d'égale durée, quel que soit l'angle dont le pendule a été écarté de sa situation primitive, c'est->à-dire l'amplitude des oscillations.

L'isochronisme des oscillations du pendule a lieu quelle que soit la courbe décrite par le point matériel suspendu à son extrémité; mais la propriété qu'a leur durée d'être indépendante de l'amplitude des oscillations, n'est rigoureuse que pour une courbe "particulière que l'on nomme eycloïde ; elle n'est qu'approchée pour le pendule circulaire qui est celui que l'on emploie ordinairement dans la pratique , et elle suppose que les oscillations sont très-petites , ou que le pendule a été très-peu dérangé de sa position d'équilibre , condition d'ailleurs facile à remplir. Observons encore que pour que le pendule, abandonné à lui-même, oscille indéfiniment départ et d'autre de la verticale, il faut supposer qu'il n'éprouve aucune résistance , soit par le frottement qui a lieu au point.de suspension , soit par la résistance de l'air environnant; car ces deux causes , diminuant successivement l'étendue de ses oscillations, finiraient après quelque temps par le réduire à l'état de repos. C'est donc à cet appareil imaginaire qu'il faudra rapporter les difiérentes propriétés du pendule que nous allons ex-*

poser.

Le calcul montre que la durée des oscillations fort

d'astronomie. 491

petites d'un même pendule , ou le temps qu'il emploie à passer d'une de ses positions extrêmes à l'autre, des deux cotés de la yerticale , est au temps qu'un point matériel emploierait à tomber d'une hauteur égale au double de la longueur du pendule, comme la demi-circonférence est au diamètre (1).

On en conclut: i"* la durée des oscillations fort petites de deux pendules de longueurs différentes et animés de la même pesanteur, sont entre elles comme les racines carrées de leurs longueurs ; en sorte que plus un pendule s'allonge, soit par l'accroissement de la température, soit par toute autre cause , plus les oscillations se ralentissent, et réciproquement. On peut au moyen de ce théorème calculer la longueur d'un pendule qui fait un nombre déterminé^de vibrations dans un temps donné, ou bien lorsque sa longueur est connue, calculer la durée de ses oscillations. '

2" Les durées des oscillations de deux pendules de même longueur, soumises à des pesanteurs différentes, sont entre elles comme les racines carrées de leurs intensités. Cette propriété offre un moyen très-simple de dé«

(1) Soit T la durée d*ime oscillation, a la longueur du pendule, t le temps qu'un corps pesant mettrait à décrire la et enfîn ^ le rapport de la circonférence au diamètre, on aura T : / : : 7 ^ : K^ D'après les lois de la chute des graves, on a ta = ^ ^^', en désignant par g l'intensité de la pesanteur ou la vitesse que cette force, quelle que soit sa nature, imprime aux corps pesants dans la première seconde de leur chute, en tirant de la la valeur de ^, et en la substi^ tuant dans la proportion précédente , on aura :

Expression très-simple d'où se déduisent aisément tontes les pro-* priétés du pendule.

terminer les variations de la pesanteur à la surface de la terre, et Ton sait, en effet, que c'est par la différence dés longueurs du pendule qui bat les secondes sous l'équateur et à la latitude de Paris, que Richer reconnut, pour la première fois, les accroissements de la pesanteur en allant de l'équateur au pôle, résultat que la théorie et les observations subséquentes ont depuis complètement confirmé.

3° Enfin, la relation qui existe entre la durée des oscillations et le temps qu'emploierait un corps pesant à descendre suivant la verticale, a fourni le moyeu de déterminer la valeur absolue de la pesanteur terrestre dans un lieu donné. En effet , cette force a pour mesure le double de, l'espace qu'elle fait décrire aux corps dans là première seconde de leur chute n"" 171. Or, il est facile de s'assurer que cet espace est à la longueuir du pendule qui bat les secondes dans le même lieu, comme le carré du rapport de la circonférence au diamètre est à l'unité ; et comme la longueur du pendule qui bat les secondes dans un lieu déterminé est facile à connaître, on calculera par cette relation l'intensité de la pesanteur -avec beaucoup plus de précision qu on ne pourrait le faire par des expériences directes sur la chute des corps (1).

(1 ) En désignant par ^ Tîntensité de la pesanteur, on aura, d'après Texpression de la durée des oscillations du pendule, g = .— ou,

en faisant T égal à V yg = aTr"", Le jour sidéral contenant 8f» 164", le pendule à secondes est celui qui fait 86164 oscillations dans cet intervalle. En désignant par a sa longueur, soit m le nombre de secondes que bat dans ce même espace de temps le pendule dont la la longueur est / , les nombres d'oscillations de deux pendules dans un même temps, étant réciproquement proportionnels aux racines

d'astronomie. k9Z

C'est ainsi que Borda ayant trouvé que la longueur du pendule à seccoidesy à l'Observatoire de Paris, était de 0",99355r on en a conclu 9™, 80896 pour la mesure de la pesanteur ou plutôt pour le double de la hauteur dont la pesanteur fait tomber les corps dans la première seconde de leur chute à cette latitude.

Newton , ayant fait osciller successivement plusieurs corps de même poids , mais de matière différente, a reconnu que l'intensité de la pesanteur qui en résultait étaitsensiblementlaméme.M.Bessel a, depuis, répété des expériences semblables , et elles ont conduit à la même conclusion ; c'est-à-dire , que la pesanteur exerce une action égale sur tous les corps placés en un même lieu de la surface de la terre, quelle que soit leur matière , et que par conséquent, dans le vide , elle leur communiquerait à tous la même vitesse en temps égal.

1 ^3. Considérons, comme second exemple d'un mouvement produit par l'action 4'une force continue, celui d'un point matériel , assujetti à décrire la circonférence d'un cercle donné. Tout corps de sa nature tend à prendre un mouvement rectiligne et uniforme, il faut donc que le point qui décrit un cercle, soit soumis à Faction d'une force permanente, qui s'oppose à la tendance qu'il éprouve à s'échapper par la tangente au cercle , et l'oblige à y demeurer.

On appelle généralement^rce centrale ^ la puissance qui tend à rapprocher ou à écarter un corps du centre

carrées de leurs longueurs, on aura 1 : m : : ^/ : ^a. Il sera donc facile de calculer la longueur a du pendule qui bat les secondes 4 une latitude donnée, lorsqu'onaura observé lenombre d'oscillations que fait, dans un jour, un pendule dont la longueur est connue.

de son monyem^at. La force centrale prend le ucmi de force centripète ou àt force centrifuge ^ selon qu'elle est dirigée vers ce centre ou dans le sens opposé. Tout corps mu sur une courbe , tend à reprendre à chaque instant le mouvement rectiligne et uniforme qu'il tient de sa nature , et TefFort qu'il fait pour s'écarter de la courbe , suivant la direction de sa tangente, constitue spécialement la force centrifuge. La résistance qui lui est opposée, et qui oblige le corps à demeurer sur la cour^ , foi^me la force centripète.

Soit A B G D {fig, 88) une circonférence de cercle, que le point matériel m est supposé décrire d'un mouve^ ment uniforme. Arrivé en A, le point m, en vertu de sa force d^inertie, tend à s'éloigner de la courbe, et il continuerait à se mouvoir en ligne droite , suivant la tangente AT, s'il n'était retenu par la force centripète, qui le sollicite vers le centre O de la circonférence. Cette force lui fait parcourir la droite MB , perpendiculaire à AT, en même temps qu'il décrit l'arc AB; de sorte que si la force centrale venait tout à coup à cesser son action , le mobile , en vertu de sa vitesse acquise, décrirait l'espace AM, dans le même temps qu'il emploie à décrire l'arc AB ; tandis qu'au contraire, il deâ' cendrait vers le centre, suivant le rayon vecteur AO, de la bauteur Am, si la force centrale agissait seule. £în suppo^ sant donc l'arc AB , infiniment petit , on pourra regarder le mouvement de A en M et celui de A en m, comme uniforme , et AM représentera la force d'impulsion, Am la force centripète dont le mobile est animé en arrivant au point A , car les forces , dans le mouvement uniforme , sont proportionnelles aux espaces qu'elles font décrire. En

vertu de ces deux forces réunies , le point m décrira donc la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui les représentent, ou l'arc AB, qu'on peut supposer se confondre avec elle. Au point B , le mobile éprouye une nouvelle tendance à s'échapper, suivant la tangente en ce point ^ il est encore retenu par Faction de la force centrale , et décrit la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces. La direction rectiligne que le point matériel m tend toujours à prendre de sa nature , ir^ccvant ainsi à chaque instant une nouvelle inflexion , il finit par décrire toute Tétendue du cercle ABCD.

Si Ton suppose, comme nous le faisons, l'arc AB infiniment petit, la droite BM, perpendiculaire à AT, sera la mesure de la force centrifuge , qui sollicite le mobile au point B , et qui tend à l'éloigner du centre O du mouvement. BM représente également, comme nous VaTons vu , la force qui attire le mobile vers ce même point, la force centrifuge, dans le cercle , est donc toujours égale, et contraire à la force centripète. On voit de plus» que le mouvement sur le cercle étant supposé uniforme, l'arc décrit dans le second instant sera le même que dans le premier , la quantité BM, dont le point à la fin de cet instant s'écarte de la tangente qu'il tend à suivre, sera donc toujours la même, la force continue qui produit le mouvement circulaire , est donc une quantité constante.

On peut se former une idée très-exacte de Faction des forces centrales dans le mouvement circulaire , en supposant qu'au lieu d'être forcé à se mouvoir sur le cercle ABCD, le mobile est un point matériel suspendu h

4']ex|^ç^|é 4i4b ^W^ton»bkfc£fe)ft«ii suppose que le yffo^i^ij Bf^étié mh .f^H§komnfmèmâ/fjiATf'WËé^impn\^m dirigée perpendiculairement à la longueuil^'fiv^t <fOtil

,}^j Iqj^H^uiî 4^iflli6*t ident^ la'peBâte.qKW rt«:pdîiit^

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.SPî:0|uy«t ^W qblip^U Éétca^entrifeij^JfîOr eiu jm ;

r,., Pr, ç,ettv;U9ii&itofi)èik: à/constater ^joe^I^efio^ff^tjlle

-^SftPB^te )f| pofitf < >dfic8us^eiisHm v-ôu aeé^ q«î nâ^enr an

.fn^n^» la> tCA^ioD «pl'é^récf^et le al,, est dJaJutânt plus

grande, toutes choses égales d'ailleurs, que sa longueur

eç^tïWpi^dç^ Bfti©ffetiiflphiwileiif ajf ôttid'uhiOBî^ «àt con-

jAiAévabl^V^^is^ra «oi!u4mreMè^ pefifbV iet'pkrs par con^

4éîrUéWt1iSë;fi^^^^ droite; la forcé cen^

'trî?ij]g^^j.^4w ,iîÇ-JW9^W eiçeirceî. pour «îedtdppei? par k

.lao^EU^^yibdoitfixUMoc'^ èfcrè ''{dus «onfiidër^le; lorsqu'il

dét*4t tùiifetff tfctfcle , qtte lorsqulï en décrit uq grand.

En génpralp^ S^oBWf j^.^ff^lt^Ç >. cowm€îW'réspUaA.dè

^*reHt^^it<Éiàiii¥e ; iestf rtdproqùfettcWt ^iîi*8pôi»tibnûeWe ,

'toûj:jp| èTt\Qs^égaJes;d ailleurs,, ^^ raj^Q^ ^ cercle,, «qjr

lequel le corps est emportent iL'fispévitiBcîe^iait'imt'jen*

core que la tension du fi augmenté 11 mesure que le

corps se meut avec plus de rapidité ,.et Ton s'est assuré

par k. tatngâniei iéàt«ffro{)0^âlMU^6llè' tu ib^^ tëisevDé là, dm pëti't'ôdilfcl'ttte que les forces centrifugea d*un même Qoxp^s^ fj^ r9iyw4«*y**W«t <}iiek)(M{iie$^'Siit

d'astroîw^mie. 49Î

àea cérdes différents , sont entre elTes comme les carrés )Ses vitesses divisés par les rayons des cercles ^B5i^démt<l).

Qiàle^ iêi-^ Irès-^impIe , donne le moyen de comparer entife e!|^ les forces centrales de différents corps mus cit;jQukrârâfiient , quelles que soient d'ailleurs les autres cir-» coo^ances de leur mouvement. En effet , soient deux corps M et 7», qui décrivent les cercles dont les rayons respectifs sont K et r, avec les vitesses V et^»; les forees^ motrices de ces corps doivent être égales au produit de leurs masses , c'est-a-dire de la somme des point» maté^ riels qui les composent » par la force accélératrice qui

(i) Le rapporHhrcam^ela vitesse au rayon du corcle parcoure par le mobile , étant tonstant dans le même mouremeut et variant d'un mouvWent eirculaire à nn antre, proportionnellement à la force acoélëraVice , ce rapport est essentiellement propre à Ini ler- TÎr de mesure. On peut d'ailleurs déduire très-simplement, par un calcul rigoureux , l'expression des forces centrales dans le mouvement circulaire, des pj:eilliers principes du mouremeut varié exposa plus haut.

En effets Iê force accélératrice étant constante dans le mouve' ment eirculaire, elle doit avoir pour mesure le double de l'espace qu'elle fait parcourir au mobile dans un temps donné, divisé par le carré du temps (Voir la note page 488 ) ; en appelant donc t le temps employé par le point m k parcourir Tare AB (Jlg. 88) , et F la force accélératrice , on aura :

p f AM

AM est ce qu'en trigonométrie on nomme le sinus verse de l'arc AB : la force accélératrice a donc pour mesure , dans le mouvement circulaire , le double du sinus verse de l'arc décrit dans un temps douné, divisépar le carré du temps. On4>eut lui donner uUe autre expression. ï^ effet , si du point B on mène les droites AB » BC, aux extrémités du diamètre AG, en observant que, par une pro^ priété de géométrie élémentaire, AB est moyenne proportionnelle

ftgit sur run dé ces pitoU. En'ûoliittapl cltWic P et /les fài*ceà centrale des idfeax 6orpi, on aura :

c!est-à-dire que les forces centrales de àeux corps mus sur des cercles différents, sont entre elles comme les produits de leurs masses , multipliées par les carrés des vitesses , et divisées par les rayons des cercles qu'ils décrivent,

Soient C et c les cirèonféirences décrites par les mobiles^ T et t les temps des révolutions, On aura V =s T» ^ =*= f" > ^^s circonféreiifces sont d*ailleurs entre elles comme leiirs rayons , ce qui donne C : c : : R : r; d'où Ton conclut i-

c'est à dire que les forces centrales, de 4pw cpFpS; «un dans des cercles différents sont entre elles connue les rayons des circonférence^ qu'ils décrivent, divisés par les carrés des temps employés^ à les décrire.

entrç h diamèitre AG et le segi^ient adjacent AMV dails^le Irianfile rectangle ABC , on aura la proportion :

AC:AB::AB': AM= i^. / *

Par conséquent^ F^^ÎÎÎSî ^^ '^ l^rayoïa 4ate!^9,iém^,^fm aura AG = ar; l'arc AB, ét^nX tf^-pietit., on pei^ supposer. qi^'il sç confond avec la corde qui lé sous-tend : le mouyeiuent d'ailleui» étant uniforme , si Ton nomme o sa Vitesse, on aura AB = vr; par

conséquent, AM=-— ; et enfîn, pour l'expression de la force cenrifuge dans le cercle , Ton aura : '

Il sera donc toujours facile d'estimer la force centrifuge d'un t;orps quand on ^nnaîtra sa distance au centré du mouremént^ et ïa^randeui? de lare qu'il parc«nrt en un ieibps donoér

D'ASTSOirfMflE. (9#

r ai l'on auppqçe^.ims QOOfféqliaïKt <}ise deux cmif% du (>oids'égal décnveol danç 1q inèmB 'intervalle de» dordeé de rayons inégaju;(ii les fo»h:es.cçi^tnfi|ges seront entre elles comme les rayons des cercles parcourus ; en effets OA aura dans cette supposition ^sz ^^ et par çQn$é»

^ent, F ly^ : B. tn .....

^ On peut oonclure de là q^u^ sui; deUK parallèles ter* restres différents , les forces centrifuges dues au mouve-» ment de rotatiooQ de^ la ierre^ i9ont entre dles comme les rayoEs de ce^ parallèles, Soit PP' {fig. 89 > Faxe de laf terre , EO TéquateHTy / la latitude du. point M ^ la per^ pendîculaire MN^ a)^issée du point M sur l'axe 4ç rota ticrn^ sera le rayon du parallèle que décrit M» et dans \m triangle MON, cm aura MN â» OM cos. /. La fbrce centrî^ fuge décroît donc de Fiéquateur aux p61ès , proportion-» neUément au cosinus de la latitude.

La force centrifuge tend à écarter les corps de la sur*^ face de la terre; la pesanteur, au contraire , tend à les en rapprocher : la fbrce centrifuge est donc continuellement apposée à Tactioa de ki pesanteur, en sotte qu'excepté au pôle, où elle est nulle, la pesaiiteur des corps e^t moindre dans tous Tes lieux du globe que si la terre n'a*^ iFak point de mouTement de rotation. La pesanteur, en èhdque point de là terre est dirigée suivant là vetti6ale ; la force centrifuge est aîri^^éesuivan^,]^^ rpyon.dn.paral^ lèle que ce point décrit. A T^u^teur^ ces deux forces sont directement opposées l'un^ à l'autre > et en les com«^ parant , on trouve que la force centrifuge est à la pe* sauteur comme l'unité est )x âi$9 ; c'est^-snlire que la force centrifugea din^Auei, à cette l()tiU^e, la pesanteur des corps de n? ^^ ppi«Uiqu'il& auraient si la terreétàit im-^

mobile (l).;Cette diminution est moindre en tout autre Keudn glèbe , soit patce que la force centrifuge diminue ^'ii^n^ité de Téquatenr au pôle , SQit parce qtie Tahgle que fait sa direction avec la verticale va toujours en augmei^tant.ËQ effet, e]^ chaque point de la terre, Sangle que foriae 1^ rayon du pprall^.^vec 1^^ verticale «est égal à la latitude du lieu. Ainsi, on ^ {fig, 88) HMZ == EOM== /; si Toa déçon^ppse donc la, for-ce centrifuge Ma. en deux autres forces^ Tu;^ dirigée wÎTôîitia^versticalQ > lautre p^rpendicpj^irç'^ c^ttç droil<e, la première de ces deux çomposapt^ Ma s^obtiendr^ en nmltiplôant Tintensité Ma dç la fofjp^ iqenfçifiige j^r oos. /. Ôr^ en prenant pour i^iit^ 4j^ Çprce Tintei^çiiéide la rp09«i&teur » la force centrifugi^ $ou?.j'^ua,t;evii? aujTfi .poipr ipi9siire ^ , et sous un parallèle, q^^OJpq^e do^t Ja^latilude

- (1) En nomtnaatAB >l'are d^it pàt im' rtiobilé'dahs uùe'éeconde de temps, sur le cercle dont le rayon est r, -noiis.atxmv m

qn^ 1a fyivç^i ceQ^iiîfog^ a^ait f pour eapreisioB— : — ' Al e<jtiateur, le

yajqn r «st- à très^pcn^f^ès égal' à 6>37729*l°'i La Ibngtieiti^ Idé l'haro AB que décril î^ point dfi yéjpj^twr, ^i^ jii!^, açqonde d« temps, en vertu dn mouvement diurne, à raison de la circonférence entière pour un Jônr sidéral bû en 86 164"^ est d'environ 4 GS™ ,07 6 : au

moyen de ces nombres, on trouve 2 ^^0", 0339 16. Pour compa-

rerla force centrifuge àlapesanteur , rappeloiifL-aious que cet^ dernière forcé' a pour mesure* lÈ (double de l'espace qu'elle fait décrire aux. corpli^ans la première secétlde'dë Uiaf ëbù€e» l'observation du , pendule d^nne . il , rëquj^enTi ^î iiaftertf aile; ]6g(»l> » jr ,«08»6. Ainsi la force centrifuge due au mouyemep^ de,rQ(af|Q^ de Ja.teite, est à la pesanteur; sbus f^qimtéiir, comme (),"0339U està9™,8p896, ott bien^oiMar t vl^B ^ei^Virhn ; te î^jp{)brt tfë èës ûeux fôrces est donc, àç6(;tefl|ititu/^,f)e«$«i jt.peii>t>cè9vcenktnejGni4e)ftti^o^ dièis le texte.

DASTAONOMIE. $01

est /, la force centrifuge sera égale à cettçjnê^iie quantité multipliée.parcos. /;on auradonc Ma=^ ^-etpar çon-

S|éf i^ent M£ ^^7^ ponr la dimitmtîéii de fe f>esanteur

due à la force centrifuge', sous'unparaTilèle Quelconque. Cette diminution des pôles à 'l'écjiiatétfr,* 'est propdrfimn^e^ par consécfuenli» taté^àtté dU cbsinûs de lala-

Mîtùde. . !

Ld fraction -^^ est le carré de 7-; le^ forces centrifuges ^ans le même cercle' sont d'ailleurs entre elles' en raison inverse des carrés des durées des révolutions; il suit delà que si le mouvement de rotation de la terre était dixsept fois plus rapide, ce qui supposerait la durée de sa

, rév^hltion diurne de 1 h. 2t4' k peu près , la force centrifolié sous i'équateùr deviendrait deux cent quatrevingt^^euf fois plus grande qu'elle ne l'est aujourd'hui ; elle serait donc égale à la pesanteur , et les corps resteraient suspendus et en équilibre sous l'at^tion de ces deux forces*

' j^ous avons supposé jusqu'ici la ten^e parfaitement spbériqijie ,, et la pesanteur constamment la même en tous les points de sa surface ; nous. verront bientôt que îa pesanteur varie S raison de la différçii^çe de la figvre de la terre à celle de la sphère ; la dimiuntion qui résulte dé cette cause dans l'intensité de la pesanteur des pôles à réquateur ^'ajoute à cell^ qui provient de la force centrifuge^ et varie G0ixmiie>elle proportionnellement au carré du cosinus delà latitude. La diminution totale de la peisanteur devient iainsî de ~ 3^ réqufii|epr;t . , Les deux proportions (a) et {b) renferment générale- , meixt toutes les lois des forces centrales , et il est facile.

sot

dè'ie^ en fléânîre. OéA à Httygéiis que ton eu doit lai déeovLirette , inab il léei ârait donïiéés sâncA âéiâonsti^tion çft ne les avait considiéféés tjue dans le cerclé. Wewtoû en éteiidit la théorie à totitea les cburbes possibles, et il en cboclut les^ Idia géirfrrfes du mouvement sur ces couAes. En effet , observons que pai trois jpfoints pris sur une €Ourt)e quelconque , on peut toujours faire passer un cercle, et plus les peints sétoit? rapprochés, plus la circonférence appréichera de ëe cénfbndre avec la courf)e dans toute Tétendue de l'are* qui les sépare. Si les dis-* tances coinprisés entre leè*p(>uits* sîônt supposées înfini- Bvent petites^ le^ cercle passera par deux éléments con-> tigus de la cotnrbe fH deviendra ce- qtfeh géométrie on nomme cèrùlé osculiétèur* Uû corps ma fhit tane^couiiie ^nekxmqué tend, à s'en ééàrter en' vertu dû tnouvement rectili^e^et oniferme qui lui est naturel. *Or, on peut toujours supposer qu'en chaque point de la courbé, le OMTps, pen^nt un instant infiniment petit, se meut sur la circonférence du cercle ôsculateur en ce point, sa force centrifuge eét, par conséquent, la même que si le mouvement avait réellement lieu sur ce cercle, elle a donc pour mesure le carré de la vitesse divisé par le rayon du cerde osculateur. La. grandeur de ce rajdii change en chaque point de la trajectoire, ce qui montre que sur vme courbe difféi^ente du ^rtïè la ft>r<ce centriilige varie sans ces$e, tandis qu'elle eat coidstamm^i de même gran^ deur dans une orbite circulaire. '

I j4. L'analyse mathématique a fourni au^ géomètres tous les secours qui leur étaient nécessaires pour s'élever de la considération des lotis dU mouvement d'un point matériel^ k ceAe des mouvements d'un;sy^tàaaLedecorps Ués

d'astrohomie. 5ift3'

entre eux d'une manière quelcpnqiç serait difficile, sans le. secours du calcul , de donner 3i^me l'idée des ts^oyenB qu'ils ont employés pour y parvenir ; mais on a déduit des formules de ^analyse plusieurs pripcipes généraux qui s pbs^rven): dans les jmouvemants 4e tout . système de corps, et qu'il imparte de faire connaître» parce qu'ils §ont d'uniç app)icatipn inunédiate à la con* stitutioade notjce système planétaire, ^

Ces principes généraux du mouvement sont au nombre de quatre et peuvient s'énoncer ainsi :

1^ Si un système de corps agissant les \ms sur les autres 4'Hi^nidivère qu^lcpnque, etsoumis à l'action d'une fçrce dirige yeraun ceptre fix^ n'est assujetti d'ailleurs à raçtiQn,4:?Hc^ne îbrce étranger^ o^u système, la somme des.^ir^ tr^^cées par.. les rayons vecteurs de$ difiérents corps du système sur un plan imm<d»ile passant, par le, point fixer,multip^iées respectivem^tpar les masses de cescor^is, çerapropprtioï|neU§^u^ temps. Ce théorème cQnst}tji^ le principe à»]ei conservation* d^ aire^.

Si ioi^ ^s. corps n'étaient soumis qu'à leur action, mu-, tuell^ # qujil n'y eût poipt de centre d*actian , on pourrait choisir 9}orsi.arkitraii:iQmftnt l'origine des, rayons vecteurs, et le principe précédent aurait lieu pour tous les points de Tespace.

^ Si un syst^m^.de corp^ n'est soumis qu'à l'action mutuelle de. tout^ ses parties, et n'est sollicité p^r aucune force étrangère, le cantre commun de gravité se meut en ligne droite, tt d'vn mouvement uniforme (1) ;

(Jj) On appellç centre^ de ^ravifé fi* micorp^ pu d'un, tystèine de corp9f lin point remarquable par lequel passe coostau^uientja résultante ûé toutéslesforde&.paraliète8; appliquées au système,' quelle que

Wfifitnà^re ^w «oa «apuYOïai^iit seFA.Ie.méme que s'il ^BffAéîsëaii ^!à i'impulsto^ priiaitive qui h lui a con^- 'jaiimqpé(^ ainsi )âQi^> d^ Jaé«ie iju« fs^vl» loi 4^nertie -^{iaiskimiktéite) se p^Mλ $aiUkl'jirlery^iitloiid'ui2e cause -4t^êkgè^9^i diiU9fet''IeiP€^:^mçnti(|n'itarçça, dejpépe feimiBplièi|aed9ioèd^p#.i3^>94^)raiCalteiïer le mouvement de -àoR 3sëiitre)4^^^(^1é fM()|i:.|^jiJ^ action 4e ^es parùi^ fjka:uii^9«lir,tefif llt|r»3 ?>t}^ftujit^t iK>|i3titu^ I^^ prijicipe de la conservation du.m0mf^m^nt¥t^fçï7W 4u cer^tf'e <fe

i: ^^kijg4DiefUwSqudS^!^Ç:ilî)ie^t^:^ ^i agissent imr im:sjetëisie.âp7f^rp9>}l0 i^^yi^emen^ 4u c^^^itz^ de -^rttéidtt.ft^ièniie: «^ ^elinji^^ia ipfi §i tpus Je|i corps y •éta^esil oétnôs^rjcIjsàidutéE^lvI^ l<Ptr(^^ qiijtâaUicitent ^es ^aoq»^]itt>4âaieftt;^ difMwfWi^nlLappH^iAée/^A i "i.. 9VI% 9iàaiQ)d\il&«or|vii inutUpIiée p^r le çiàtré de sa o«ileus)>)iat>o^qebte,i^M»pn9^^£:cê pr^ / $i le système -^e'iôohjkûi^idèËf a'eit/spwaB^is.qp'à T^^jUctti mutuelle -df kRit)^6dsf»iyi$ft'^ §:,4m attr^tioûs dirig^^Çï veç^ des -JceaiifiQaifîxes^alajftsIftP^ f^s^/oripes ylves^de? çogps qui le iii»|ip06^«cja^AÏ^ijQ^ri;e ,yiy^: tptajle^a^sy^èi^ej e^t cou- J*atanle]jda]»s, bio^so^^^ pii^^p^Ui^^Uir^ 4^; i^§ corps se- -^enit disl.r^ibts;£i;tf^^<^F9i$:.§^r, 4^ J^igu^ ,oja des surfaces douuéèSiuii* piiwi{^i^feficfewade Ja consen^e^ion

-ixie +C.3V ô!.»;î. t.'^;'.'"'-' ~ o .>aî;L>. ^a 'ijoJ ^ .. '. . , ." ^.soft la direction ^u'on donne ^ceslorces, pourvu que Ton conserve

leu^ pihranelisine^ La ^propnele qui caractérise ce poiât dans iti '^%>rt)^s'9bKdés qui ûé^oilt'so^lHri^ ^u'i ^BJé^iob^de 4a pesanteur, e^est K^qiul«,'il#il«upp9aK'Sxeli ]ALJ9(|I^l1e$^!Ç^.^^iïîbre d^ns toutes les .^pos/tion? qu*Qp-pçpt lu^ dopBier.; et^ en efiel;, dans ce cas la résultante de toutes" lès forcés appîîqûées aii corps vient passer par le p!6Wtfiieqtiifd«rBit$dn*««0a. - ' '

^ 4* té^yfiiatriéirfô «t a^rniei^ ptiiiwf)e* peut' s'^ndfitW amsi^: kytiMë ^êimt^$ vh^*ditm'^y8tjpnè''defè0bp0y

' ques'/^tt" sttppdkil^^te l&iaMIiMCcftqploiel^tc^mirgdans les effets iin'kûè ^r^(j^%>ie^9^àfêflto[^$>^(»slblia5 f^i^

Le principe de la conservation des aires a lied;» cpMt^e <fiie âôit ta diifêctiôtoî 4«r (âdâ ^#€&ti' cbàtdk pi^ui4>lan def^^ |i^c¥i^ij?1ttitfls fMlui' tofi^^tes ]ila»r4{tie4'oii peat métier ^r^tiâ^ iiiéfii€s^p(»ii^Vd^ l»i a*«i«f)q|firB «n rela^ir^emeiit «li^tiëlîta^^t^tttt^ tes pro-

jections des ra5^^tt^>irlgiièulfs;'lMriMpUé^

iéÉimé e^t àjità^é fiAS^âppm^s^tQ^wt fiahl^lui èbtqp^- ^tm:iàh^jm^AtnÉ^^ îd'âèitewrpatai^iiiirf jbtMI^ à4ui^]hs^â^,'-^tiëls^4]aé^*w4»trle^mc^^ pat*£fcul1éràf de (^é^ïi'de^ ^6rpè^éki4y9tAui9^p^os{ifKBLt dont tétr^V^^>tWt'teM^^^^oiM(ai,c;«dvqaiai0Bd sar ccHlsfida'Àtkil ^li^s^ppééieMfeià) Jdsâfe i|a ) dkéiAi» do» isys-

Les quatre principes précédents s'obMâ*v•]lt\d^Ils^^Les déplacements de tout système de corps , mais c'est sur-

' des' rêd«dbN:9^i^«datei;â}i6tid»i0eu^ d^^l^'câ^B^svalie^^^ que les cauiés sécôndUîrfe^, 'm^s'^kèfmé^^ résistances des milieux tray^KSi^„,gjqj,,.,^^i,;^i^v^ji^ si

6Ôfî ïKÊàS'

souvent les mouvements des corps que nous observons sur la terre, et qui rendent leur calcul mathématique presque impossible, disparaissent ou deviennent tout-àfait insensibles quand il ^'agit des corps célestes circulant dans l'immensité de l'espace, et nous n'observons plus alors que les effets des forces principales qui les aliiment.

D ABrmxoi^îE, 50T

' : • CHAPITRÉ n; .

D£8 FOkiCES QUI rROHUISENT LES MOUVEMENTS CELESTES ,

ou LOI DE LA C^RAVITATION UNIVERSELLE.

Jtecherche de la cause qui fait décrire aux planètes , aux comètes et aux satellites , des orbites elliptiques. — - Grai^itqtion unii^erselle. — La pesanteur terrestre n'est qu'un cas paiticulier de cette grande loi de la nature, — Conséquences qui s^en déduisent.

I j5. Après avoir rappelé, 3ansle chapitre précédent, les principes généraux de la mécanique, nous allons en faire lapplication aux mouvements célestes. Nous montrerons d abord comment les beaux théorèmes d'Huygens , sur les forces centrales, rapprochés des lois de Kepler sur les mouvements de translation des planètes, condui§irent Newton à la découverte de la grande loi de la pesanteur universelle. Nous verrons ensuite comment cette loi, combinée avec les principes généraux de la mécanique, suffit pour rendre raison des moindres variations observées dans les dispositions du système solaire. ' Puisque les planètes se meuvent sur des courbes , en vertu du principe de l'inertie de la matière , il doit exister une puissance inconnue qui les retient dans leurs or-^ ' bites, et les empêche à chaque instant de s'échapper.

suivant Iji ligne droite <];ue,tout corps ahandonné à luiméipe.tend.a décrire df Ba.oaturé. t)e ce quç les orbes planétaires sont des C(}urbe8,rentr3ntes, on peut encore conclure ^ue le fover des forces gui les sollicitent est sitâé dans l'int^neuf de ces courbes. Mais, pouf aller ^lus

d'asthonouie. S09

lenEs , puisqu'ils ont même basD AC , et que leurs sommets sont'situes sur uçe même ligne parallèle à la base ; d'ailleurs , les triangles ACm et A^IVL .sont équiralleittâ , rohtm^ ayant m^me basé et même Iiaiiteur.;,le triangle

point A, <»! la planète se troore dans sa plus grande pooii* mité du soleil, etapUiOelt {xnntS^'où ^eeH est à sa plus l^nde dSstaope; Il*e8tid<ab<»rié^4dut](iqae; p«isqae*Ié9 raybnrv«i€tem*^ tônteA àugm^ititnt en allant dn Ue^^i^rafi^bétfes tr&M q^«^ lu ¥itftSM «te la ^pknèle Hidiii8'a»iisidéralile'Va^0lef 'deifiief ^oint «pMvatslsipn^ nii«^, poctr ^uè4eift*8ttlHFtâcèS'4iéGrH«ËSiSièat toi^^ *

en^empségâHr; conlbfmiSmcffit àla'pretnièneloideKjeptori . Or\46^ vitesses migmenCeatn^vc le» forces ^^foi les |Hnc^abt sent ; il résulte donc de la nature des courbes tpiedéciîiKBi les planètes, qneFintrâ^tédsla foroe attractive qui le» sdKorle vers ie Si^eft dôit'dliKVHier <;«iflmd leovdktaâce à fisl attnef aiq;niients ,: i^„ réâproqueiMsU, *eQA ^i^ mente cpiand-oetU» distaBog^Amiiiiic, « •• .

GMnpavQi» la loi de ce» vahatiODS dMS»lds deux point» de Forbite les plus remarqa&Uliôsv cT^^SJti^àrdir&âu pari^ bélie et à rapbélie.^Nous fMro&S'VU que, tout mouvement étant de sa .nature rectiligne e$ uniforme , tout corps qui se meut sur une courbe^a une tendance qui le porte à chaque instant à s'échapper par la tangente à Torbite qu^il décrit ; cette tendance est ce que nous avons homme la force centrifuger,' fit elle » pour mesure^ n" 173, le earr^de la vitesse dn mobile , en cfaa£|ue point de sa tira-* jectoîrtf, "diVrsépar le tà^^ du 'Cetcle è^cdlatcur qui lui cbhres^lid.^^Ek' cobHjiri^'d^FefHp^ étant k naiéme atr pérîhiffliè t?t*à-fàj)(hféllè',1é^ rayons des- cèfdès 09ctib^ teurs^bnt aussi les méùiesV l^s forces centrifuges iSè la planète en ces deux points sont doiic entre elles cômine les carrés tles vitesses , c^eét«à«Mlire qu^en iiomtiiant/ et f les forces cehtritugès au périhâie et à Tapfaâie, et

t>'A6t|lQllO»II£. 511

iécaâtH jAaastàte dam XwiM A» len^$Jdyr^H>Ue.qjrt au pÊribétie et i rafJbéJift»;^ ^fài?.S ttit'Je^ r^y^iaé rac- . tevoa c^ se f appcnrièirt à C9t,d^w l^f^tetl^ MCteur^ellj^ ^ Xkfoe ASi^. pourra, ét^e oHieidjére ic<wwte 4U(i ^e^teur eir^ > cukife^el ilaur)a^^paiiriiie$»^ift'x;4«mÀ3iif^€i:&e^te« dUptique BS^^aiftraipoii^ istasui^ ^ W;s^'^ ^ par la loi 4^

Netts avons dés^|iépsr v ètVle6 tilesses absolo» âe 4a plaaète^mi péHbétfe et^ L'apholicj ces rrtteslBf» sont entre elles comme les espaces paÉcetttis: dons Totâté de lemps^ ob a donc i>, : f ' î î- R» : RV, et ^Mir «anségnonA, en vcrtttderéqttalioia pi»éôédepte s

ou bien en élevant tous lés termes au carr^ : ' la proportion (a) en vertu de celle-ci devient :

P^f au p^ribéye ej à,l aplié|i||;, Ja ft>rç« c^ntriifijge esp , ésidemi^^j^t égale à latçi^p^ i^ ^a plîn^e veij^.le; ^QL^,,p^is<{ue,c^ 4^UJ^ for<^ W^t dii;igées ^m. la^m^fi lij^ d^roite et doivc^sç faixte équi]iil>rf . Los fqrçf^^e^

C|uçr4^e9 ^yôns vec^ep's R içt R'. ^ , . , ,,,. ,i.

L'analogie iious pef^i^trait dé}a jl'étendpç la méœ^; loi à tç^s lespo^ts de l'orbite çUiptîq^ ; mais Vaoaljde

mathématique a montré qu'en effet cette loi, que nous venons de vérifier dans deux points partîttftiers , est générale, et qu'elle s'exerce de la même ttMàfJtkk it toutes les distances de la planète au soleil, c^ést-à-chre que la tendance des planètes vers cet astre augmente ou diminue en raison inverse du carré de leurs distances à son centre* 1 76. Comparons enfin les variations dé la force centrale en passant d'une planète à une autre» Supposons d'abord que les planètes se meuvent dans des orbitps circulaires , ce qui s'éloigne peu de la vérité,, puisque nous avons vu que les ellipses planétaireiis étaient toutes très-pet^ excentriques. On sait, d'après la théorie des forces centrales (p. 4^9), que si deux corps se meuvent dans des cercles concentriques, les forces qui les animent seront entre elles comme les rayons des cercles divisés par les carrés des temps des révolutions , c'est-à-dire que si F et y* représentent les forces centrales des deux nu)biles de même poids, R et ries rayons des cercles qu'ils décrivent, et Tet t les temps de leurs révolutionis , on aura la proportion :

Mais d'après la troisième loi de Kepler , les carrés des temps des- réi^olutions sont comme les cubes des grands axes des orbites; en supposant les orbes circulaires , on aura donc :

En divisant la première proportion par la seconde , on en déduit *.

d'astronôi^ie.

elles seraient les mêmes, paur deux t>laiietes eg^alemeiit

ï Amsi donc, rcbacune qesiois observées aansJes.revolutiem des corps jcelestes nous révèle im des pnndpes de leiirsQiotivçnients» et npus sommes conduits, par une

suite de raisonnements rigoureux, a ces troia. résultats

••"• .' * ':S I >j'i"x'*'"î f '^"'•^v ^^'^' ^'>\ ^^iîvioly ^, iun ^ qui sont la Qiei de tous les.mouvemeûts celèsteè. V ^*^ -''V.' *"'V ->Ji^^^J rflt>irJ^ 89Tn>làffrJ.j fts;.*ifTK^ol ^jù» l** Lesvlanètes sont retenues dans.ieurs^ orbites par

r^ Lyette tenaance auemente aimna la planète approche, au soleil: elle iuminue.guana elle s en eloisne\ et (a loi de ces augmentations et ne ces diminutions est celle du rapport Muerse au carre des distances.^, . ^ 3"* i'O'fQrcequi sollicite les planètes uers le soljéît est /a rnémepour foiftes supposées à égales distances de cet astre, et elle ne ^arie d'une planète à une autre qu% raison de la différence de teuf^Moignement du soleil,

178c ^et^(,t€^aqçe qui^^p^j^ç^ 1^ j^J^p^t^^ y^çs le ,^lrfeil,sÇi^pqWï^«?'fWWfo^^^^ .^quî règlent s^n

.j^a^Q^^(9:weAfle^l;^es4^y?^^}^^ venons de parvenir à ces lois pàr.u^.s,uil^^^;^'inductipnfs très-vraisemblables^apadoutç, optais quoique ceUe méthode soit souvent utile dans Ta recherche des vérité?

, pbjreiques , ^e nei juiffîsai^ paà pour meiU^e à ïal^i de toute objection les principesibndamen taux d'imÈilJiéo^^e aussi importante que cellei ^e la gravitation. Pour les démontrer d'une manière incontestable, il faudrait proù-

Ter que la tendance des planètes vers le soleil suit en effet la même loi dans tous les points de leurs ellipses qu'au périhélie et à l'aphélie, et qu'elle ne varie d'une planète à une autre qu'à raison des distances au soleil , quelle que soit d'ailleurs l'excentricité de leurs orbites. C'est ce que Newton a fait le premier ; il commença par chercher l'expression de la force qui, dirigée vers un centre fixe, fait décrire une ellipse au mobile qu'elle sollicite , et il prouva qu'en effet cetjte force est réciproque au carré du rayon vecteur. Il fit voir ensuite que la loi «de la proportionnalité des Carrés des temps aux cubes des grands axes entraîne la conséquence que cette force ne varie d'une planète à une autre qu'à raison de son éloignement du soleil , en sorte qu'elle serait la même pour toutes les planètes placées à égale distance.de cet astre (1).

Deux' planètes supposées également éloignées du soleil seraient donc attirées vers lui par des forces égales , et, abandonnées à elles-mêmes, elles s'y précipiteraient avec la même vitesse ; l'intensité de la force motrice de chaque planète est donc enfbore proportionnelle à sa masse , comme les poids des corps matériels à la surface de la terre.

Ces beaux résultats avaient d'abord été déduits par Newton de simples considérations géométriques ; ils ont été pleinement confirmés depuis, lorsque les progrès des sciences mathématiques ont permis d'appliquer à la théorie de la gravitation de^ méthodes plus savantes. En renversant le problème et en cherchant quelle est

(1) Voir la note 6.

d'astronomie. 515

la courbe qu'une force réciproque au carré des distances fait décrire à un mobile , Tanalyse qui embrasse dans sa gàaéralité tous les effets dépendants d'une même cause, a montré que cette courbe peut être une section cohique quelconque , c'est-à-dire , non-seulement une ellipse , mais encore une parabole ou une hyperbole. La nature de la courbe dépend du rapport qui existe entre le mouvement primitif de projection et la force attractive ; sa figure 9 de la direction suivant laquelle ce mouvement a été imprimé au mobile. Il peut donc exister des astres qui se meuvent sur des orbites paraboliques ou hyperboliques ; mais comme ces courbes s'étendent à rinfini , ces astres ne seraient visibles pour nous qu'une seule fois lorsqu'ils reviendraient dans le voisinage du soleil , ils s'éloigneraient ensuite indéfiniment sans que nous pussions les suivre dans Timmensité des cieux. Ils n'auraidit donc pas pour l'astronome l'intérêt qui s'attache aux astres qui circulent dans des orbites fermées, les seuls dont les retours soient assurés et dont l'étude puisse être pour nous de quelque utilité.

Newton a étendu aux comètes les lois qui régissent les mouvements des planètes autour du soleil. En effet, on a vu que, dans la partie de leur cours où nous pouvons les observer, la proportionnalité des aires au temps employé à le» décrire est exactement observée , ce qui annonce que la force qui. les sollicite est dirigée vers le centre du soleil. Leurs orbites sont en général des ellipses très-excentriques, qui se confondent sensiblement avec des arcs de parabole, dont le soleil occupe le foyer, lorsqu'elles se rapprochent de leur périhélie, seul point de leur orbite où nous puissions les apercevoir

l^tmÂnt^ k cet àiië: mÈril'lSiykï^tltmai^e^ décrites par leurs ray6fas^ vfectetirs supposé^ îâ loî' îîiéV^ carres dék i^êvolutîôtis proportiouneïs au^ cubes de^'^^ grands axes \ ce qui indïctiie que cette force' ne-^ikê^ d'une coEàête* à une autre comète, ou d'une comète U^^ une |ildnète , que pair lèè distancés différentes où elles' sont du soleil '' '^'^

Les lois dé Keblér s^ofeervent encore dWns le^ mouVeméiits des satellites atitôur déléitir5plànètes;etr6n péurei^' dédùita leç mémbà donséquéncds feiatiVémient aux ionien ' ' qui les animent. Les satellites circulent d'ailleurs autour d|)»afdaïlÀ t^râfr-pect près «xauiiieletiri^phiiièlesiBUeaf nléiàéë^ sal^'cela leui^s mduvements8erâiej[it as^jetrtis à des iffé- ' gaïités très-sensiBlës que ro^servation n'a pas indiqi;éi99iV ainsi^'en même i:emps que les satellites se meuvent autour de leurs ptanèies. le ^ysitème .entier de la rjanète etdeieè , satellites est emporté d!u^ mouy^n^ent cpnunjin dani9 l^s-^.^pace et retei;iu par la même force vers le ^ojeil, en SQrtjj^ ^ q^çrl^$ jii)iC»yi^çmwjl^]^^ pas ra^^t ai ;

la. j^màle^^^on b les tetètàts è t«è9-peu prèsr que «i elle était s^ en repos et que si c'es.satèllites n'o1>éissaient qu'à Faction' * qu^^^^çe #Jjir.n€*^«v JA ^feiApOçnclttpe^ç-là^ qw^l^o^ saJ^^^it^,j5ft^^^Jiçé«ï fc^ïs^l^j Q^tri^jd^i fiolcâlr pâk- ,df». .,

foj:p^^,^rQq}ije^^^^,çftpr^4çs.dw*Wfi^ î i . -Mpo .^

c^^LesKpknèkçBrlet oomètes et'ks'^sftlelMtes^'^oQt doanp'^^

assujettis ,St la mtoie loi àë ^v&yitàïi6à vers le soleîl , i^t?*^ '

sesméfetlqaab dans J'4oÈiionJdes^^{dràète9«tjBrië^ 8ateUite8v^< ^ ou'ffllé è'exeit:e delà ^rilêttè maiiière: d^yt.'a^illiéui^s Ùk ^ principe généralement admis en physique, que la reaction

o'ASTRailOMIE. M 7

est toujours égale et contraire à Taction (1); les plauètes et les comètes réagissent donc sur le soleil et l^attirent comme elles en sont attirées; les satellites réagissent suivant la même loi sur leurs planètes et sur le soleil, et la gravitation de tous les corps célestes les uns vers les autres doit être regardée comme un principe incontestable qui résulte directement de l'observation de leurs mouvements.

Cette force d'attraction dont sont doués tous les corps du système solaire nestpjis une propriété qui leur appartienne en masse; elle pénètre également toutes leurs

(I) Soit M la masse dn soleil, m celle d'une planète quelconque, r leur distance mutuelle, la force motrice produite par Tattractiou du soleil sur la planète sera firM ,. à Tunité de distance ,

et*^^ à la distance r, y* représentant un coefficient constant, qui

dépend du pouvoir attractif dont la matière est douée. De même , la force motrice du soleil , résultant de laction de la planète,

sera*^^' et comme ces deux forces sont égales et directement op-

posées , il s'ensuit que chaque planète exerce sur le soleil une réaction égale et, contraire à Faction qu elle en éprouve. Mais les eflets qui résulteront de ces deux actions seront fort différent^, ^n effet , les forces motrices ont pour mesure les produits des vitesses qu'elles produisent dans un instant infiniment petit , par les masses des corps auxquels elles sont appliquées; les vitesses que la même force

motrice*—^ imprimera au soleil et à la planète Seront donc réciproquement proportionnelles à leurs masses M et m , et par conséquent les espaces qu'ils parcourront en s*avançant l'un vers l'autre seront entre eux dans le même rapport ; or , comme lesmasses des planètes sont toutes très-petites relativement à celle du soleil , il s'ensuit que l'attraction du soleil produira dans un temps donné des variations considérables dans les positions des planètes , tandis qu'il ne restera de Jeur réaction sur cet astre qn& des déplacements à peu près insensibles.

;)ti!éto')cefefce>gf»iwJer,îoirdÉ la Dat^r^^ sfvroif -^qi^e.fciKge^ ^

-V' i ii'jt^j Lat pesanteur' f{tii*iatt>leîftbek* lesnoei^paà Ja «ip-ia^e odâhbi lerire n^|> «lie^xaémei ({u'on )t3a3?ipôl^tioi]4i<er de (>bâtlbe4oi/gébéràle> Sa ^ffet, la pestateuiî'toiresftr^ ^t ,hne( força 4Q^ni^e ^^ture <fue ^^dOle^qm iâ«ttic&te les planètes vers le soleil et les satellites vers les «ea^ires de leur^, ,pkpj^te§,: ell^ pç;xètre <ïq mêqie tpjijtes les parties de la matière; elle est de même proportionnelle aux -.rroassçfijifH,, pJ^çéftid^k^Jli ^tide, to^s les ^ç(3ffpÇrfîJU^ nous i ro^Béi69Qa8r«ie'pfl4<ÉpiiÈr|ii«]^t v^se la ileprei a;?eQ l^mâpe j ité^Bssfevtn^ {419R^-y^^;^ireî^p4HepcWip»0(ip^ ^e V^i/i>n ^)jiËrlaf{fesaintâiipdM&i^tirineml^qu^ -odq hi teMe.* tès^iAitaiw^içlUîsqiaçUeatil.wtUs ^et pi^i»itf rtrd>&ttdfiîdrç sdnit trcq)Rp(^jti(ik)nsidiérables^ jl ^^yraih»! ^ur sfifàeniioiis.puisèiaùs di^rminer. pa^ {F^fes^vatijoaAÎ^a Jbi oldsricette diniimitioB»),93^it4^U9t(}^i«fOnS)'da;l§ l^ v^ouy^e- -aéientde transl^ti^ijciefk {U^ ^i^durt^deja terre j^ yn -^imojeii lacife dfe'iMèmi^ltrQr^oii^riâc^lîM^iiVec celle des j{a|^trart:tJoiaâicéleste|i^^£ji cfi^t^^^itpposl^ii^ que la pés^àteur ^jpsvjiesirQ s'étende juiq«<Tàt;khiô^ ^W îsuiyaot la Ici fh dij bniautiod de la^^na^ té|)U]|K€K^ss|fte99n( fhiG^, ^ ^^ ^^u]?£ace r éeytSL iàmber ieecs la terrer prék^iséioeaHrde la/nai;âBpi.e tbautitémïï (|Ée> tobo^raatr^aaparjhi aiiémetjfeetao^s, Ift hnief ^baoï- , lâccnttéè à'btleè'taéaiey fli'làlifbr'cè ^tfi lu retient ^dàii^, son ^tirl^i te^ et Jddle^ iquirfaiil^G^nlbbrlesnoiqftôÀ la^u]rfacQ.f(f la terre sont deux forces de même nature. Or, c'est ce qu'un calcul très-simple confirme exactèKSeÉt; '^ *

DASÏftOllOMU:. jtl^

f En etfc^^'t^je«]^éi^âcis»^du-'p4mdttl^tn4^ que la

^èM^tft §Ait ééenté ^mcootpk ^^^eés près dé k sar- 'fi^eis ck^>l» tme V*,90448 danèr^la premièi» secoiade d^^leut^'elmte; tidtt8^sUf>poioi]p&^e rioNieiisèlé de cette force varie >en raison imrerse du* carré dies distances au oefilirecb la terre? la distance moyentie de taluBeà ce œntvetestdedOvSlft-l rayons terresipes^ ei^nommÀntdonc fi la Imutc^p >dèni^iiB «tor^f»' opiacé i»:ki >distahce <lela ltttiel€ttfcbei^»rtV4Ears;la terreteix l'''de temp», on aura la prUpdrtiôiï t' î : : . m^ ^

' (.60,3lil)' ri':: ^^mi.g ;'/*'= O",O0 134855.

''CMtt>dtëM cette quantitétà la hauteur dont Tatirac-

tidfi feit totol>èr 4a kmé darm* le inème intervalle. Soit

ABCÏ) t/%.«8) f orbite dé lalunfe; AB l'arc très-petit

îîu'ellè'décfrit dams une secondev'AM' serait la quantité

thmt' ëHè s'aTûneôririt vers la terre* sàn» la' force de pro-

jeùtioii^ qâi 'la maintient dans 'son ôi^bite;- c'est donc

la hatitéur ûatA Tattraction fait totnber la Ittse dans

^ne «eëdnde de temps. AM est ce quevFon nomme le

^inuà * ^rse de l%re AB t en supposant cet arc trës-

|tetit et en le désignant par rs , r étant le rayon ducerde

ABGD, on a AM«=fr/(4)^ L'espace angulaire que

' la luné parcourt da%rs ^'iiMieriraDe d'ininéi^pcbnde de temps

Wiit de<>^,549«r et le^niyoïi' -de iîwbe lunaire est de

'88%ââia0$^^ilv«nin>« On trouve ainsi : AM s» Op,

^^^00f9ê00, valeur à 'trè84penr pràs «gale à la valeur

• précédente éeh^ et qui n'en di&èrey lOtupeut le supposer ,

que par les quiqitités 'négligées 'dans le taleuV, telles

(l) Voir la note,, ifK|g.,4f)y\' i i .i; t\. /. i

sso

La^u^pç pèse d<;^jc yef^i J^^ terr^ comixi^J«^lx«fis.zioihéé«I riel^ ^Ucé& à sfi ^urfaçje.H jcn çst de-ïnâinedie itouaJtev satellites j>^|: FcTppqrt à, l(B,^rs. p]ajjiète«<4r€€pectiva^v;iètJ.i des planèties rçlHtiyemeQt ^iq.^oleiL I^rp<^aQtQiirjtef>^ resti-e nest.dpnc cjj^.Vi;i,,^s.,pHrtiçi4ier d'One^pTopnétéiî attractive (j[on,t f/^çt;(^pé^ tom ,liBs,io<»pf ciéfestcsv'tt c esj; celjte analo^îç r|Çfwr(iy,ée^pp^rii^ pi5$mi4TO fo^svfi•lt^ JVëwton qui lui fi tiK)mmer, cette t^i^ilaQf^^tfittQiiiJtpUfirW' corpsde la nature jeg wa^ y,^^:lp^,^utjj<e^'^.iya«itflÉ*o»j6)aii

recipnn^îtife jp^i; q.ij^el^f^gi^îj^sjlji^aaeiiçfticfeiçetlîe foittmiaBiï

<^f rche, ^(jui pst ^plHf,d^49Ç[tf ip^,4^4^rp%siQi»«p»jie j rastronomie^^ fl J^^f^f^^^^li,gçfffl^t,1^d^^mtiit;iC^^ les phénomèbes célestes s'acço9]^i^iU><^%ieiie{jQûnli|[ip;i si cette force d^attraiç^iii^.^^itirfi^jSfla^tliirtî fropriéflé inhérente à la n^^fjièf ç^^ ^f,.fti4Jç^<jlft,pl^[%^ô,;t<fiîialiaQ! : soit dans sou intensité , soit danis sa direction vers ^ç certCre éiX yieéj^^'^^

raou^rèm^Pits 4ês; jplop.^;!^ |4, 4^j«d(}^il€»s des léiaégaMlw^^ :j eadé^^^oird amoi9u4|i«edtc]Ja6^'ofeM(àflVatioil'tiûii^ ^é- "

niqu6««;pûMr ^ >W)ir.iréfi(ulter flfJute^lesfJttfWiiMftiïÉfès'ylëS' ' nio«v«âm««fs plrflVétftir»éè/"ef qti'ïl hy a pas uW sçwle.

D'A8TltÔ1^6kl£. 521

soit parvenu a déterminer par ce moyen et les causes ^t leèikBS.<Lat<|]fétir$êS[l j>u même devancer souvefnî r^tsèrvttlioii 'et décolivrtr'ëafls lefe 'motiVetnent^ célésïe^.ues inégabtéà nout'eUes q^i nè'se nikii)festeroiit Vjue ^ians, desjtenpS irèsfeUHgr^s , et qui nacqUièrront que* par làtidiiTée des si^leS' tout lëUr uJëvelbpbemerit. * :Poar expliquer Je doublé ihbuvèmént ae translation

et dp rotation* V*é& plafaètèslqiri Ùôtiâ a paru d'albord si^ compliqué^ » istïfflt' âë èVi^tldrfet' <iU'ëlle^^Unt r^cu^'â'fô-^ rigine iaie4i&|iillisk>k)'^^iuire qtn né passait pas par leur centre de gravité (1). Le gfilîûd principe ae la pesaRntéup uni Versellé U£fe fois^ atlù^i^ ; ' on voit èiisùi te toas : les phéndmèntB céleste*' is^ëii dëdàïi-e sans peine , . et KastBonoiftie» '^hysiqu'e ri'iîtf plus qu'un vaste pro- , blème-de lii^ttittiqU^^ôht le igébbiètré petit suivre le*'* mcandres détails! iiveclé fe^ul" secours du (iklcul^ tan<i'Ts* que ra^trôuctoiiè 'pi'aliqué est^'iticéssammênt occupée à Augmenta la ma^sedes bdiine^ ôbsërvïilîoils, pourfouFBdr à la théorie le^ clonneés ûùhï ielte a besoin ^Ivr \ rappUcatioÉi de Beô formulée. '^^ ^'' ' '""^^^ "f

En vertu de letfr aclifon niutrielTé^lës uries sur les mt-'

très , les planèti^doitent's'éisîai'tei- des otites elliptiques'

(i) D après les lois, de la ipëcaniqiie , $j p^^i^or^s <jlj^^g^i;e ^ffpfci') coùq&e 'reçoit une impiilsioii qui hé passe pas'pai^son centre de §;rftTité, ce eéi«li»é'Mra èkll|]iâttédai» 1 espàèe tàïàthè si l*inipu)sioQ^ lui étfiit dirxs(;tei^^^9PpU4li4^t>lH{lec»rps prendra at^uf'dè'té'^^ point le méma, mouvement que s'il ^tait Jir^jpobile. En s^p^n(jl^>;. teife une qphere homogène , on trouve qu'en vertu du rapport qui -; exifleeiitréla vitesse angulafre de rotation de cette planète et sa vitesse de r4y^lf^Htfi(A|^^r,dn>olcil^kl. distance de la directieû'tlè' • l'impulsion primitive à son centr^ a dû êtiie à très^peu près é^ph' . imï6o*tlë soii rriyAn. '

tfi^ cPii ^Uih'Oesi et tpii wri^f^ eatffidt;^ etJc imsùah vèmisht ellijytiqt^ sHp{)0^ pat Kepler vlvx plàttète» «Te»! qirlàppros^imarïf i uiE^ev'oii»»ervàtiôn phis rigocii>ea»e moiiK ' m ^ueles fneuvemenrts' dés planètes, deS'Comètcsketdes âlidiftés ëèùtëùdmis à'dfes pettu^b^itkim <pii nd peisfieiii élré qme te0èt'âe letit^Mftiaetkx0S«riHue)le8.Gepei>datiti« comme les actions des planètes les n'nes sur les antres ïtint; |>fo^flk>mnèll)es U Ic^rs masses ,^etqtie désarmasses saki kxtréhïfïateBî petîtesr rekithrenïent ans forccsh ppkt^^ bîpS»Tés<|tiHeé znimtJii ;> dlâsUe peurent i^tf^altéver 'Ic^ ¥èiâènt Ja ferme et la poéMonfdes en^bkersiaiiff «n chaan ~^ *hi nattftre c^ sans IreuMek* siensiMemént lestkliadEn iAonremessi elliptftfiiei CT^si » eii eflet, oe q«ie le^eoli^ ¥i:fl»sé]^VatiDn constatent. Il en est de n^edessalellilefti b!ifôii'dbéi^ai^nt qu^à 1 {ietî^M de ktmtsplaBèles respcotit- ?OTSM^tt^iiift6fciw dir jqJtU.4t?Ât idjeatiflucm^t la même ^r k')>ta0ète'et'è«nr«es^ateIiites^ ik^snivraient exacle^ ment ïès Ipî's clû mouTefcènt élli ptitfUeitoaîs la diff ièrenee iàtiêU^m^ùmdM -Wei) çt, J^HfSjiaçtipi^s récjproqu^s,çâ usent -^ims teiir inardie.d9siinc^Uiési^isdsiit sur tout, se^ 'bleô. dabs les niôUvèméntîéMës 'saitttiUteii'de iFtoher-et .4jni§,Je «iQuvjçTOent.de lia; lune-

' "' 'Réonies par leuiss a4tractiaosinutiieIIes> le^ molécules ' 58164 t^es'dbrps célestes.se cb«npos6ïit ont dû ftHrmeî' d'à- ^'bdt'd tmèbiass^ ht peu prè^isphérîqtte^^miaîs^leQrmoiiw*

^l »ibd^%tMrcbde6icoJ(pslpélefttc»nfctaxit:pInsspIiérique» la ^/ {Résultante ,(ié leurs flctknis mùti»^ll0stlDi'a pjus^p^^éjexac-

kmésà%j^imf'^9j^ii^gi^^ (i),. et il a^ dii e^.n^p^ hâte ?aa^4e jrotaiêésiNy|c'€3l, ù^/pjxémmèxïi^ qui prodogil > »£iifii>vlWlioïi yiégiflb dfi ^<^U et 4^ ia, iiinf sur Jkf

mène du fiki% et du jpcflux'de jla mer» ., . , ' -r ^^AioeidonO) aiprè»jtaiitd^â^Ie$4t^ei:reurf fi 4f tei^r t«Ëwp»kifptiotiiieM$e»,VQb^yaiic^^tle^ti^^

àiUtiùimeril^^yMm^àoi^^i^^^é mp|i¥e^e^tj9 def ççirf9

sÉiiMiiasail: des* effets*^ leur Qau$f,'«'éfeva{j?iftqu'^l^ Ji(^. 911^ nmple qàô ^ajénde deitqi^a Cf^ç^^nouy^meats, Sv^ ^éme plein de sagacité d)3G0iA;y£it:£^'l msfaatk:Hj^'/s€;(^^

'^(ï)'Vewiôn, ert ^eteriiîidant pat TÎaiïafyêè ië-nioâc d^âtUm' dis^ -^Êiit^i a<ëié^ccmlkltt'anx rësi^Xato^TA^iSj: Pili^tj^qiiïf sjtiié- ^iw^l^t^t^i^nc t|*iuie ipl^prç-ejrçivse est .également attiré c^Joates jgarts , et demeure pi^r conséquent en équilibre en quelque endroit 'qu'it soft placé , sHl n est soùmii qu*au3C tittraetMns êéi dément» xlè'là'iBpfa^ , iappdfcées v<eifxri»i|Bfpa»t^.pit)]y)tMfW^ ^i^^i0t^^e^s. iQeUe prqpf^sitioa e«l; JEafyijljej Vitrifier .^ En ^et.s^^

(Jig. 92 y le point situé dans T^intériçur de la couche sphérique

ABCp} considérons les deux éléments Aa éC B& placés atÉc èx- '^kt!^ëà'êe\a'é^[^i^ M^h^'^^o^mt^kêi^tÉtilm^ nûlir^leurs

jiHavseiM p0iiÀ.O, ||i%^^f^^iqai»5f|R7^ çsçpf c^nt, spi; fle. j^^^

i8roiitiTcapeatwrwpen^epipHtt»éefrpftrî^ et ^ r m^ la :co^clle ^ta»t

ipt^ii^t' de même déntîté .6t^4em4iip^ ép^Âsse^r, les. qi£^^9es m^ et m' des deux éléments sont ftntre elles comme leurs bases ou comme lès carrés de letirs rayons Aà et B5. K^aié à cause des triangles semblables AOa et BOb , on a Aa> : BA^ : : r> : H< f on «iva' doàc

m.t>**<i:Và î r'* ; 0t par «onaéi^t -^«I^.Lèii^taîfc sftrtit le

4itfâoaèf^t^eltei^e3'Mt:U;pwltMii Û9'iti»ikah0 AQ0v«arii}ttf^^«*à chaque élément A de la couche répond un cléBoient B qui annule

5â(^ PRÉCIS

qui les unit «itra eux^et en saisit toutes les conséquences ; mais l'analyse algébrique n'était point alors assez avancée pour donner à de simples inductions tous les caractères d'évidence nécessaires pour frapper les yeux du vulgaire. Newton laissa à ses successeurs le soin d'achever son ouvrage. Un siècle de tnivaux a suffi à peine pour accomplir cette tâche; mais à mesure que lanalyse s'est perfectionnée, et que les. observations astronomiques ont été plus exactes, les petites différences que pouvaient présenter les résultats de ces deux manières d'arriver à 1a. connaissance des mouvements célestes, ont successivement disparu, et les. géomètres ont enfin donné à la loi de la gravitation universelle le. plus grand degré de certitude dont les théories humaines soient susceptibles, le parfait ^iccord des conséquences qui s'en déduisent avec les phénomènes observés.

Nous lâcherons d'indiquer dans les chapitres suivants, autant que les bornes de cet ouvrage le permettent, par quelle suite d'heureux efforts ce but a pu enfin être atteint.

son action: Tattraction de la couche entière est donc nulle, et le point O demeure en équilibre.

2** L'attraction qu'une couche sphérique homogène, on composée de couches concentriques dont )a densité varie de Tune à Fautre suivant une lot quelconque , exerce sur un point extérieur, est la même que si sa masse entière était réunie à son centre. Cette proposition est encore vraie pour un corps de figure quelconque, lorsqu'on suppose que la distance du poin^ attiré est extrêmement grande relativement aux dimensions du corpsattirant ; elle sera donc d'autant plus exacte relativement à un s/stème decorpsdootoncou' sidérera les actions réciproques, qu'ils seront plus éloignés entre eux et ^ rapprocheront davantage de M figure sphérique. Nous verrons que , sous ce double rapport, e}le convient parfatlement aur corps plauéittire5 et facilite beaucoup le calcul de leurs attractions.

hc.yf. 5, î ?.'♦'.,';] Ji^.ir.a ni v.,,^"ir) rrijai) lia.; p/A hip

., , \ ;■ ;;,.,.càAPJlTRPWJ:.;:vVL ..,.•',.•,,■ >.o 8-ii

DU MOUVEBIEN'f ELLIPTIQUE D^S PLANETES, WE L£t)RS MASSES ^Z

^^ùhé oTéiUhiii^i^e:—'Bmérmihâ^^

des plarièééf *qûièbrk dcc^tp^gnéh' W ^atemèfo?^'^^^ , soieilfétàmjprist)^p^ur'uniéèi ^-^Sisnisiiéd&s phnètèi':^^'^^

... ^ ■ . p» ' ..■.*•■.•■' ^ ,. IN» ..«'Mu J *'-.'i ■■ ■'. ' J' I.nGT<i