NOTIONS DE MKCANSQUE XXVII
obtient en décomposant l'arc parcouru AB en un nombre infinimeot grand de parties infiniment petites, égales ou inégales. La force est pour chacun de ces éléments sensiblement eonsfaote en grandeur et en direction et ces éléments peuvent être considérés comme rectilignes. Le travail élémentaire est F. Mm ou F Ss cos «, a angle des direc- Fig. îo.
tions de l'élénient et de la force. Le travail total sera la somme algébrique des travaux élëmen-
talpe» successifs F. Mm + F' ^''n' + --' somme que l'on représente par ^ FA« cos a.
Aqcitalbncb db la force vive et du travail
51. Relation entre la force vive d'un point matériel et le travail dépensé poor Ini commoniqner sa vitesse. — Soit un mobile de masse m partant du repos et parcourant en un temps t un espace e sous l'action d'une force constante F, elle prend une accélération T (32) donnée par la relation F = my, le travail dépensé est Fe =: mye. Désignons par v la vitesse communiquée au mobile par la force après le temps t,
on en déduit f* =: y*<* ^ Sye,
et en multipliant par m mv^ =-. 2m ve
ou
Le travail Fe dépensé pour produire le mouvement de la masse m
est égal au produit^ mti*. Ce produit s'appelle la force vive du mobile.
Si la force cesse d'agir, la masse poursuivra son mouvement en conservant sa force vive et elle ne pourra passer à l'état de repos qu'en produisant un travail ou en communiquant son mouvement à one autre masse.
xxriii '-.ocaî r.E pets:. te
52. BelaSion entre la forée Tire iTbb poiat aatérld ^ le travail qn'il peut eSeetner en perdant sa Tttease. — SopfffSODS que le mobile de masse m. animé de La vitesse r. rencontre noe résiftajice ooostante encore ê^ale â F. son moareaieiit sera aniformément retardé, les éqaation» de la rib^âe et de l'espace
seroat
Le mobQe s'arrêtera lorsque sa vitesse sera devenae nolle, ao temps l donné par l'équation
en substituant cette valeur de t dans e. on trouve
on a donc e' =: e.
la masse en mouvement n'aura perdu sa vitesse qu'après avoir parcouru un espace égal à celui qu'elle avait parcouru précédemment pour prendre cette vitesse.
Multiplions par m
mr-
-^ --: mv<r -- te
Ve est un travail effectué par le corps en mouvement. Ce travail ne dépend pas de sa vitesse seule ou de sa masse seule, mais du
produit -^ mr-.
L'na masse en mouvement a donc une capacité de travail; elle peut effectuer un travail en perdant sa vitesse, et ce travail est égal au travail qui avait été dépensé pour lui communiquer sa vitesse.
Il n'y a pas seulement éj^alité numérique entre la force vive et le travail, il y a transformation équivalente.
Le travail Fe avait disparu en créant une force vice -5-, et cette force —^ a été à son tour dépensée en un travail Fe.
NOTIONS DE MÉCANIQUE XXIX
Si le mobile ne part pas du repos, mais a une vitesse r^,, le théorème a pour expression :
jj mr* — c wPjy* ^ Fe. ">
La variation de force vive du mobile est égale au travail. Cette relation établie ici seulement pour une force constante est vraie pour une force quelconque appliquée à un point matériel.
53. Tbéorëme des forces vives. — La relation entre la force vive et le travail se vérifie pour un système de points matériels. C'est le théorème des forces vives que l'on énonce comme il suit :
La variation de la somme des forces vives de tous les points d'un système pendant un temps quelconque est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces appliquées aux différents points pendant ce temps.
mt.« — mt-o* 4- j m'v'^— 5 mV/-» + . . . = W,
(1) La vitesse initiale du mobile, étant Vu, les cquatiuns du mouvemeut sont :
de là «1* = »o' + 2t»o' + ï"''^ = "o" + 'ï'
d'où »s — Pu2 = 2y«
. mfS ni»,,» „
et — j^ = mye = Pe.
Si, après avoir acquis cette vitesse v, le mobile rencontre une résistance constante F, ■OB mouvement sera ralenti, uniformément retardé, et ses équations seront :
e =vt — i— ï
Le mobile aura repris la vitesse Vg au temps
. , tii — Dp»
a ce moment e = :
d'où fî — t'o» = îve' e' = e et — ~ = mve = l' e.
IM «.OVR* DE PHYSIQCE ^
Si cette variation de force vire est un accroissement, on travail égal à cet accroirseinent a été dépensé pour le prodaire : le même Ira- , vail peut ••tre reproduit quand le système perd son accroissement de force vive."
Lorsque le mouvement du système e.<l uniforme, la force vive des différents points est constante et la somme algébrique des travaux des forces eft nulle, le travail moteur est compensé par un égal travail résistant '■'•'.
Dans une machine telle qu'une machine à vapeur où le mouvenaeD^ est périodique, les différents points reprennent les mêmes positions relatives et les mêmes vitesses à des intervalles de temps égao* appelés périodes. I^our une période ou un nombre entier de période-^' la variation de la force vive totale est nulle et par conséquent -I^ somme algébrique des travaux des forces : par conséquent, le trav» •* moteur total est égal au travail résistant total.
54. ÉXERCIE. — La capacité de travail d'un système est appelé^^ énergie. On distingue deux formes d'énergie, l'énergie de mouvemen'^'^ ou énergie cinétique, et l'énergie de position ou l'énergie potentielle. Les quantités d'énergie se mesurent avec les mêmes unités que le travail mécanique (erg, joule, kilogrammètre .
55. énergie de mouvement. — Un corps en mouvement possède une force vive qui peut se transformer en travail (52:. La force vive est donc une forme d'énergie; c'est l'énergie cinétique. Avec cette nouvelle dénomination de la force vive, le théorème des forces vives peut s'énoncer : L'accroissement d'énergie cinétique d'un système se fait par une dépense de travail ; une diminution d'énergie cinétique peut produire un travail.
(I) \.K Iruvail r>->istaut il'une machine coinpi'cnd le travail des outils actionnés ou travail utile, ni l<: travail des rcsistanoes passive^ (frottements, etc..)
Pendant la mise en marche de la machine. le travail du moteur qni produit le mouvement est d'aliord supérieur au travail résistant et la somme algébrique des travaux est positive : la force vive des cirganes augmente donc et par suite leur vitesse.
La vitesse (runtinuant à croître, les résistances absorbent une |>ortion de plus en pins grande du travail fourni. Quand elles l'absorbent entièrement, la vitesse ne croît pins et le mouvem'-nt ilcvicnt uniforme. C'est alors que la somme algébrique des travaux; des forces est nulle. A cause des nîsistances passives, le travail utile est toujours inférieur au travail moteur.
Si le moteur cesse d'agir, les résistances continuent à absorber du travail et la somme des travaux devient négative, les organes consomment alors leur force vive qui se comporte comme une réserve de travail. La vitesse diminue et la mai-hioe s'arrête quand elle a épuisé sa fon»! vive.
NOTIONS DF. MKCAXIOUE
56. Énergie potentielle. — L'i^nerg'ic sp présenlo sous une iioin' forme. Un n^ssorl tendu possède une énergie, car en se dêtenrltnt il {Hirirra reproduire un travail égal au travail dépensé pour le l«iilre.
Démunie, un poids P, soulevé à une hauteur h, difl'<'-re du même poids au repos posé sur le sol ; ogp la terre et le poids constituent un «niitmo ijtii est déformé quand le poids est soulevé et qui tend « PBveuir à son état primitif comme si le poids et la terre étaient «unis par un ressort tendu. Le poids peut reproduire en tombant le Iwïail PA dépensé pour le soulever ; il possède donc une énergie pnlenliclli; PA qui croit avec l'altitude. Il y a égalité entre le travail dtjieiisi' et l'énergie potentielle acquise.
Les réserves d'énergie du ressort tendu et du poids soulevé ont
f«Cii le nom d'énerçiie polenliellc. Tout système dont certaines
parties peuvent produire du travail en changeant de positions rela-
' tites possède de l'énergie potentielle. Cette énergie existe dans un
, syitime birn que ses parties puissent être en repos.
li'eari courante, le vent, un projectile lancé par une arme, le volant N'nnc machine en mouvement ont de l'énergie cinétique : un ressort II, an gaz comprimé, une vapeur en pression, un liquide emmaf IfMinë lierrit're un barrage, une substance explosible possèdent une l^rgie potentielle.
Tandis que lénergie cinétique est susceptible d'être convertie en [IriTaii mécanique sans l'intervention d'une énergie étrangère, l'éner- [pe potentielle a besoin de celte Intervention pour se transformer. [C'est ainsi que l'énergie d'une substance explosible reste potentielle qu'au moment où une énergie étrangère vient à l'enflammer : elle flpvient alors énergie cinétique, et elle se convertit en travail mécaiïiiiup quand elle lance un projectile.
