PRESSIONS SUR LES CORPS IMMERGÉS

157. l'KINCII^E DAHCIIIMÈDE. — Un liquide agit sur un cor^ qui y est plongé comme il agirait sur les ]>arois d'un vase. Ces pressions ont une résultante verticale dite poussée, dirigée de bas en haut et égale au poids du liquide déplacé par le corps.

Démons tralion théorique, — Ce résultat peut flre prévu par les considérations suivantes : Soit un prisme rectangle vertical plongé dans un liquide (fig. IU6), S sa section droite, H sa liauleur. La pression du liquide sur la base inférieure du prisme est verticale, dirigée de bas en haut et égale à S/iS, h distance de la base inférieure au niveau libre du liquide; la pression sur la base supérieure est également verticale, elle est dirigée de haut en bas et égale à SA'S, h' dis-

PESANTEUR

Uaccdula base supérieure au niveau du liquide. La différence entre ce» deux pressions est verticale, dirigée de bas en haut et égale à S(A — A'iï, ou Sllô: elle est égale au poids du liquide déplacé par le prinnc.

les prestions laléralt» n'ont aucun f/fel; car fur deux éléments lo égaux (fig. 107), situi's au

Ay]

Fl» toc.

Fig. 1U7.

[nème niveau et sur des faces en regard, les pressions sont horizontïlfs, égales et directement opposées.

Oq riiisonne de la même fa^*on sur uu faisceau de prismes accolés,

[âjiBl leurs arêtes verticales (fig. 1U8). Chacun éprouve sur ses faces

I supérieure et inférieure des pressions dont la diflérence est une

I poussée verticale égale au poids du liquide déplacé. La poussée totale

|H la somme des poussées verticales exercées sur chacun des prismes

[on au poidâ total du liquide déplacé. Quant aux poussées horizon-

riales, elles se détruisent encore complètement : nous pouvons en effet

IcoDsidtrer chacun des prismes comme subissant l'action du liquide

■♦or tout son pourtour; cela revient à introduire sur chacun des élé-

ents d'une face de contact de deux prismes cachée à l'action du

li<iuide lieux pressions égales et contraires, l'une f attribuée au pre-

ûi'if prisme, l'autre f attribuée au deuxième. L'introduction de ces

prissions égales et contraires deux à deux ne change évidemment

rien.

In corps ijtielconijue |)0uvant être supposé décomposé en un faisan de prismes verticaux de section très petite, cette démonstration ► applique à un corps quelconque.

Ûimonslriilion expérimentale (fig. 109). — A l'un des plateaux d'une aUiicf hydronl.tlique (balance dans laquelle lo plan d'acier qui suporlo le couteau du (leau peut s'élever et s'abaisser à volonté, à l'aide Puse crémaillère) on suspend un cylindre de laiton creux C et UHiessous un cylindre massif D qui peut entrep exactement dans il^rieur du cylindre creux et dont le volume est par conséquent

égal an volume intérieur du cylindre creux^\ Le système étant équilibré sur l'autre plateau avec une tare B, on fait descendre le fléau de la balance hydrostatique et on plonge le cylindre plein dans un vase plein d'eau ; l'équilibre est rompu et le fléau est soulevé comme si le cylindre plein perdait une partie de son poids. On rétablit l'équi-

Fig. 10».

libre en remplissant d'eau le cylindre creux ; le cylindre plein étant alors complètement plongé dans l'eau, le fléau de la balance est redevenu horizontal. La poussée est donc égale au poids de l'eau qui remplit le cylindre creux ou de l'eau que déplace le cylindre plein <^\

Pour (ipOrer avec un corjis A de forme quelconque, on place sur un des plateaux de la balance un vase vide »' et on suspend au même plateau le corps A. On (établit l'équilibre sur l'autre plateau avec une tafe. On fait plonger le corps A dans un récipient contenant de l'eau jusqu'à un repère r ((ig. HOi. L'équilibre est rompu, le niveau monte en r, le volume du liquide compris de r en r' est le volume du liquide déplacé. L'équilibre se rétablit si on verse dans le vase vide v' l'oiiu comprise entre les deux repères r et r.

Il est i)liis cummode de faire usage d'un récipient V muni d'une tubulure

(t) Quand oii .1 Rmlmitij le cylindre plein dan» le rylindrc creux et qu'on vient ensuite » le tirer brusquement, on entend un bruit causé par In rentrée de l'air dans le vide <|ue l'adhi'Tenoe complite des deux cylindres avait produit.

(2) L'expérience si; fait plus commodément en renversant l'ordre des opérations. Ayant suspendu nu plat(!au de la balance le cylindre creux et au-dessous le cylindre plein et t'-Uibli l'équilibre au moyen d'une tare, on remplit d'eau le cylindre creux, l'équilibre est rompu, mais on le rétablit en plongeant complètement dans l'eau le cylindre plein.

en haut, de la part de Teau, mais il exerce aussi une réaction égale sur l'eau, dirigée de haut en bas. C'est une application du ptrincipe général de l'égalité de l'action et de la réaction (39;.

Sur un des plateaux d'une balance {fig. 1 12j on plase un vase à trop plein V rempli d'eau jusqu'à la tubulure recourbée et venant déboucher au-dessus d'un vase vide v ; on équilibre le tout de l'autre côté par une tare t. Dans le vase Y on plonge un corps quelconque soutenu par un support S indépendant afin que son poids n'agisse pas sur le plateau de la balance ; le niveau monte et le liquide déplacé par le corps s'écoule dans le vase v. Le plateau de la balance s'incline, accusant une poussée exercée par le corps sur l'eau dans laquelle il est plongé. Pour rétablir l'équilibre, il sulïit d'enlever l'eau du vase ». La poussée exercée sur l'eau par le corps de haut en bas est donc égale au poids du liquide déplacé"', elle augmente le poids apparent du liquide.

159. Corps immergés et corps flottants. — Tout corps plongé dans un liquide est sollicité par deux forces verticales : 1° le poids P du corps dirigé de haut en bas et appliqué à son centre de gravité; 2° la poussée verticale a dirigée de bas en haut, égale au poids du liquide déplacé et appliquée au centre de poussée (centre de gravité du liquide déplacé) "\

La force qui fait tomber le corps est la différence P — ts. Cette dif-

(1) Lorsque, après avoir &it la tare d'uo vase plein d'eau et d'un corps placé à cdté dans le plateau d'une balance, on vient à plonger le corps dans le vase, le corps plongé éprouve une poussée de bas en haut de la part du liquide, mais il réagit sur l'eau par une poussée de sens contraire, et comme ces deux ciTorts égaux se détruisent, l'équilibre établi subsiste.

(i) Voici comment on peut reconnaître théoriquement que le centre de poussée coïncide avec lo ci-ntre de gravité. Xous avons vu ( 157) qu'un corps plongé peut être supposé décomposé en prismes verticaux de section infiniment petite subissant la pression du liquide sur toute leur surlace. Ces prismes peuvent être partagés à leur tour en prismes de très petite hauteur par des plans horizontaux très rapprochés. Ces petits prismes peuvent être considérés comme subissant la pression du liquide sur toute leur surbce, car on ne (ait ainsi qu'introduire sur chacune des nouvelles sur&ces horizontales de séparation telles que ah deux pressions égales

et contraires (fig. 113).

— l.e corps se trouve décomposé en éléments de volume subissant tous une poussée ; toutes ces poussées partielles, égales Fig. 113. respectivenien, au poids de l'élément déplacé, auront pour résultante le poids total du liquide déplacé ; le point d'application de cette résultante sera le centre de gravité du liquide déplacé, car la décomposition qu'on ferait du liquide en éléments pour trouver son centre de gravité est précisément la décomposition qui vient d'être laite pour trouver le centre de poussée.

PESANTEUR

Iit*Me entre le [>oids absolu du corps et la poussée est son poids apparent.

I' n : le corps est plus lourd que le liquide déplacé et descend au fcDd du lii]uide, mais sa chute est moins rapide que dans l'air, car la force qui le fait tomber est inférieure à son poids dans l'air.

P Co: le corps est, à volume égal, p!u.s léger que lo liquide d^placr, la poussée l'emporte sur son poids, il remonte vers la surface. Quand il est sorti en partie de l'eau, la poussée a diminué ; il arrive un moment où la jioussèe devienl égale au poids (jui reste invariable. A ce moment, le corps cesse de monter, il flotte et xon jioids ' ett égal àu poids da liquide déplacé.

lo**^!

Fig. 114.

P = n : le corps peut rester immergi- où on le ])lace <lnns le liquide «ans monter ni descendre.

Voici comment on peut réaliser ces trois cas. Un oeuf plongé dans lu pure tombe au fond, car sa den.sitc moyenne est supérieure à Ile de l'eau; dans l'eau saturée de sel marin, il flotte; dans un iclangc en proportions convenables d'eau pure et d'eau saturée de I, il reste où on le place dans le liquide (fig. 114).

160. Équilibre des corps flottants. — Le poids d'un corps flottant ou d'un corps immergé en équilibre à l'intérieur d'un liquide eat égal au poids du liquide déplacé ; on peut le constater avec un à trop plein V. Le poids du liquide écoulé en v est égal au poids corps flottant ou du corps immergé A (fig. 115). Pour un corps immergé hoimvfcne en équilibre, le centre de gratta du corps coïncide BN'ec le centre de gravité du liquide déplacé.

Les deux forces étant appliquées au même point, l'équilibre aura lieu quelle que soit la position du corps plongé dans le liquide.

Fig. it...

Fig. 116.

Pour un corps immergé hétérogène le centre de gravité du corps et le centre de gravité du liquide déplacé peuvent ne pas coïncider. Il faut pour l'équilibre que le centre de gravité G et le centre de poussée O soient sur une même verticsile. Sans quoi les deux forces égales appliquées en G et en 0 formeraient un couple qui dirigerait le corps jusqu'à ce que les deux points fussent ramenés sur la même verticale (fîg. 1 IGj.On rend au besoin l'équilibre s<a£/e en lestant le corps plongé avec un corps lourd, ce qui fait descendre le centre de gravité.

En résumé, pour qu'un corps flottant soit en équilibre, il faut: 1" que le poids du liquide déplacé soil égal au poids total du corps flottant; 2° que le centre de gravité du corps, et le centre de gravité

du liquide déplacé soient sur une même verticale.

161. Détermination expérimentale du volume d'un corps solide. — On suspend le corps A au plateau d'une balance et on lui fait équilibre par une tare dans l'autre plateau. On plonge ensuite le corps dans l'eau distillée à t", il éprouve une poussée. On rétablit l'équilibre avec M grammes placés sur le plateau auquel le corps est suspendu (fig. 117) ; ces M grammes font équilibre par leur poids M g au poids \Dg de l'eau déplacée; V volume du corps en centimètres cubes, D densité de l'eau à <"

rif. Il:

Mgr:

VDff; V=^.

PESANTEUR

Comiiie D est très voisin de l'unité, le nombre V qui représente le vrilumedu corps en centimètres cubes est sensiblement le même que l le nombre M qui donne la masse de l'eau déplacée, en grammes.

Applications- — 1* La surface du petit piston d'une preise hydraulique e«t de . ) pitimetru carrés ot celle du large piston de 1 déciniètre 8. Quel elTort pourra exor- «rl< Utft (jisloo ii l'ou applique 4 kiloj^ramme» sur le petit?

i* Pnuloa «xenMte sur un eentimêlre carré par une colonne de mercure d'une bauleur UttMnJ

]*l!ii vu« plein d'eau aynnt la forme d'un cAne droit est posé sur un pluo borizon- •I, aluet une «urliicu du 1 décimètre carré, son volume est 1 décimètre cube. Quelle ■tlaprniion tnt sa kuae'f

i' Co tue cubique, de 20 centimètres de cité, est à moitié rempli de oiarcnre; on ukindeli! remplir avec du l'eau. Quelle est la pression sur une des faces verticales lialM, Is deoùté du mercure étant 13,6?

S'Câlruler la pression sur un disque circulaire de IG centimètres do diamètre plongé 4u U mercure, le centre du cercle etaiil ù une distance de ii centimètres de la sarbetlilmr

i* Cl cylindre dont la basa a une surface de 1.> centimètres carrés repose sur un fias koriiun lui. Sur le cauv«>rcle supérieur est assujetti un tube vertical ayant 10 mètres 4« liMifur Le cylindre et le tube sont pleins d'eau. Quelle est la pression P qui tend àMobro le couvercle supérieur? Quel est l'accroissement de pression 8P qui résulte de nalraduction du i>0 grammes d eau si le tube a une soction do t centimètre carré?

î' [Irui «pliéres métalliques, dont les densités sont i> et 10, ont un mémo poids P dans k >iili. Oa les suspend aux extrémités d'un levier et on les fait plonger dans l'eau.

r Uni (bit Un le rapport y des deux bras do le%'ier pour qu'il y ait équilibre?

t* Do isMi plein d'huile équilibré pur une tare est placé sur 1 un des plateaux d'une ItshuKr. Un y enfonce un cube de plomb de :> centimètres de cOté tenu i la main à 'id'iiu fil métallique. Quoi poids faut-il ajouter sur l'autre plateau pour rétablir m! Densité de l'huile, O.Vi.

I objet en or, de ilensilé t9,2S, pèse OAc^.^ ; plonge dans l'eau il déplace 11 grammes. I »it-il rreui? Quelle est lu ^ruiideur de lu cavité? ic Un rorpK reste eu équilibre an milieu de l'eau ; on le plonge dans l'acide sulfuriquo ^ lUuli,) i.K.'i: il faut ajouter un poids de 4'i"0 pour l'iiumerger. Trouver sou volume ■'. Il' \'f ^llhl•r•■ lie den«ité Û.'Ji et d'un volume de 100 centimètres cubes flotte sur raw Un fene de l'huile de densité 0.'<l de manière il recouvrir entièrement lu sphère. >l m la volume immergé dans l'eau?

I,** Us» ronronne massive formée d'or et d'argent et pesant 10 kilos perd G'.'D grammes I Tmo. Combien contient-elle d'or? Densité de l'or 20, densité de l'urgent 10.