TRAITE DE PHYSIQUE, T. II

Intensité , réflexion , réfraction , dispersion.

1 532. Intensité de la htmiêre. Lorsqu'on considère la lumière comme se propageant par des mouvements ondulatoires , l'intensité doit varier comme celle du son , proportionnellement au carré de l'amplitude des oscillations; et comme il résulte du calcul que cette amplitude ou la vitesse d'oscillation diminue proportionnellement * la distance au centre d'ébranlement , il en résulte que l'intensité de la lumière varie en raison inverse du carrdde la distance.

1533. Réflexion. Considérons d'abord un faisceau de rayon* parrallèlcs ED et F G {fa. 919) partis d'nn même centre d'ondulation , et soit GI un plan perpendiculaire à tous les rayons, et qui par conséquent représentera la direction de l'onde incidente; tous les points de rencontre des rayons avec la surface réfléchissante deviendront des centres de vibrations , les surfaces enveloppes de toutes ces ondes formeront évidemment l'onde réfléchie , et il suffira , pour en connaître la position , de déterminer celle d'une surface enveloppe quelconque. Cherchons la surface qui passe par le point D, c'est-à-dire l'onde réfléchie lorsqu'un certain mouvement dirigé suivant ED arrive en D; le mouvement correspondant propagé suivant FG est arrivé avant, et le point G a évidemment déjà produit une onde sphérique dont le rayon est ID. Le point qui serait au milieu de GD aura produit de même une onde sphérique dont le

rayon est -1 ID, de sorte que , si on mène par le point D une droite CD symétrique

à CI, les rayons des ondes partis de différents points de GD seront proportionnels aux distances de ces points à la ligne DC : ainsi le plan DC sera tangent à toutes ses ondes, et sera par conséquent la direction de l'onde cherchée. H résulte évidemment de là les deux lois connues de la réflexion : car les rayons incidents et réfléchis sont perpendiculaires aux surfaces des ondes, et les rayons correspondants doivent passer par un même point de la surface réfléchissante.

Si les rayons partaient d'un point placé à une distance finie du miroir {fig. 920) tous les points de l'onde réfléchie devraient se trouver à la même dislance du point© en passant par la surface réfléchissante ; d'où il suit évidemment que les ondes réfléchies seront des sphères ayant leur centre commun au point o', symétrique de o par rapport au miroir, et que les rayons incidents et réfléchis , placés dans des plans normaux , seront également inclines sur sa normale.

Il est important de remarquer que tous les rayons qui partent de la surface réfléchissante dans d'autres directions que celle de la réflexion régulière se détruisent complètement par leur interférence. En effet, si on mène deux rayons quelconques Gk et Di, Gc ne sera plus égal à //>, et on pourra toujours prendre GD tel que la différence des chemins soit égale à une demi-ondulation : alors les deux rayons Gk et Dl se détruiront mutuellement. Hais on conçoit que, si l'on supprimait Dl, la neutralisation n'aurait plus lieu et que le rayon Gk deviendrait visible. En général les rayons émanés du point D sous une incidence plus grande ou plus petite que celle de la réflexion régulière sontdétruits par les rayons parai lèfcs situés à droite et à gauche, et qui partent de points d'autant plus voisins du point D que leur obliquité est plus grande. En effet, si on désigne par i et r les angles d'incidence et de réflexion, pour que les rayons Gk et Disc détruisent par leur interférence il faut que la différence des chemins Gc — Dl = 1/2 * ; mais GC = GD sin r, et DI = GD sin i ; ainsi on a GD { sin r — sin i ) = 1/ 2 a, et par conséquent GD sera d'autant plus petit que r différera davantage de i\ 11 résulte de là que, quand les deux bords du miroir sont très-éloignés, il n'y a qu'une très-petite largeur vers les bords dont les rayons pui«-

sent <îévier, et ils ont une très-Faible intensité, car ils sont en partie neutralisés par ceux de même inclinaison qui partent «les points précédents. Ainsi le faisceau réfléchi aura sensiblement la forme et les dimensions du faisceau incident prolongé au delà de la surface réfléchissante. Mais si la largeur du miroir était très-petite, â mesure qu'elle diminuerait la neutralisation des rayons qui s'écartent de la direction correspondante à la loi serait moins complète, et l'intensité des rayons divergents irait en croissant. C'est ce que Frcsnel a vérifié par l'observation que nous allons rapporter. Si on colle sur un miroir métallique deux bandes de papier noir, de manière à ne laisser à découvert qu'un espace triangulaire très-aigu, en éclairant cet espace par des rayons solaires et recevant l'image sur un carton à une grande distance, cette image parait plus large dans les points correspondants aux parties les plus étroites du miroir; par conséquent, la divergence des rayons est d'autant plus grande que l'espace réfléchissant est plus étroit.

D'après ce qui précède, il est facile d'expliquer pourquoi les corps terminés par des surfaces non polies réfléchissent delà lumière dans toutes les directions, et pourquoi la quantité de lumière réfléchie régulièrement augmente avec l'inclinaison des rayons. En effet, quand un corps est terminé par une surface quelconque, tous les points de cette surface deviennent des centres de rayonnement ; si la surface est polie, tous les rayons qui ne sont pas disposés symétriquement aux rayons incidente se dé* truisent par leur interférence; mais si la surface était parsemée de cavités ayant une grande profondeur relativement à la longueur d'une ondulation, et il suffit pour cela que ces profondeurs aient quelques dix millièmes de millimètres, les rayons partis de points voisins ne peuvent plus interférer, et par conséquent la lumière est réfléchie dans tous les sens. Mais à mesure que les rayons incidents s'inclinent davantage, ils pénètrent a des profondeurs décroissantes, et les phénomènes deviennent les mêmes que si on diminuait la hauteur des aspérités de la surface.

1534. Réfraction. Considérons d'abord un faisceau incident de rayons parallèles ( ftg. 981 ); GI étant un plan perpendiculaire au faisceau représentera le plan de l'onde incidente. 11 est évident que quand un certain mouvement vibratoire arrivera au point D, le mouvement correspondant propagé suivant FG sera déjà arrivé au poiot G, et ce mouvement aura produit une onde sphérique dont le rayon sera égal a //>, multiplié par v' \ r, v ett>' étant les vitesses de la lumière dans le premier et le second milieu ; le point m, milieu de GD, aura donné naissance à une onde dont le rayon sera deux fois plus petit; et comme les ondes parties des différents points de GD auront des rayons proportionnels à la distance de ces points au point 2>, il est facile de voir que ces ondes auront un plan DM tangent commun que représentera par conséquent la direction de Tonde réfractée ; les normales aux ondes représentant les rayons, l'angle IGD est égal à l'angle d'incidence, et l'angle GD.V est égal à l'angle de réfraction ; mais on a GD — ID : sin », et GD = G M : sin r, et par conséquent JD : sin i = GM : sin r; mais GM = ID x rf\v donc rf sin t = » sin r; ce qui est la loi de la réfraction. Quant à la première, savoir que les rayons incidents et réfractés sont dans un même plan normal, elle résulte évidemment de ce que les rayons sont perpendiculaires aux ondes, que ces ondes sont des surfaces planes, toutes les deux perpendiculaires au plan d'incidence, et que les rayons iucidents et réfractés correspondants doivent passer par un même point de la surface du milieu réfringent.

Si le point lumineux était à une distance finie, on pourrait prendre des faisceaux asscx petits pour que les rayons pussent être considérés comme parallèles : alors les lots de la réfraction seraient encore vraies pour chacun de ces faisceaux élémentaires; mais Tonde réfractée ne serait plus sphérique, comme Tonde incidente.

11 faut remarquer que la construction indiquée pour déterminer la position de

5i g TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE DE PHYSIQUE.

l'onde réfractée n'est possible qu'autant que GM est plus petit que GD, et c'est ce qui existe toujours quand le second milieu est plus réfringent que le premier : car alors G M est < que ID, et ID est toujours < que GD. Mais dans le cas contraire la refraction pourra ne pas cire possible, et, pour savoir quand cela arrivera, il faut remarquer que

GD = G M : sin i = GM . n : sin t :

ainsi, quand » : sin t sera < que 1, c'est-à-dire quand sin t sera > que », la réfraclion n'existera plus; ce qui est d'accord avec ce que nous savons déjà. Dans ce cas, », est évidemment < que 1.

On reconnaîtra facilement, par les mêmes raisonnements que pour la réflexion, que les rayons qui n'auraient pas la dirrciion indiquée par la loi se détruiraient par leur interférence, et, par suite, que le faisceau réfracté est limité.

Il résulte de l'explication de la réfraction que nous venons d'exposer que » = v : v ; ainsi quand «est plus grand que l'unité, v est plus grand que v' ; ainsi la vitesse de la lumière est plus grande dans le vide que dans un corps réfringent. Dans le système de l'émission on est conduit à un résultat opposé.

Il est importanl aussi de remarquer que si x et représentent les longueurs d'ondulation dans l'air et dans le corps, comme ces longueurs sont les chemins parcourus par la lumière dans le même temps, elles sont en raison directe des vitesses de la lumière dans les deux milieux, et on a

x : k' as v : t/ = ».

1535. Une expérience très-curieuse de MM. Fresnel et Arago vient à l'appui de ce résultat du système des vibrations. Dans l'expérience des deux miroirs que nous avons décrite précédemment, les franges sont toujours placées symétriquement par rapport au plan mené par le milieu de la ligne qui joint les deux images du point lumineux et perpendiculairement à celte direction. Mais il est évident que celle symétrie suppose nécessairement que les deux faisceaux qui interfèrent parcourent le même milieu dans tout le trajet : car, s'il n'en était point ainsi, tout le système des franges serait porté du côté du faisceau qui aurait traversé le corps le plus réfringent, puisque les distances du milieu de la frange centrale aux deux points lumineux doivent renfermer le même nombre de longueurs d'ondulation ; et, ces longueurs étaut d'autant plus petites dans les corps qu'ils sont plus réfringents, la distance métrique de la frange centrale au poiul lumineux dont les rayons ont traversé le corps réfringent devra être plus petite que l'autre. L'expérience a parfaitement confirmé celte conséquence de la théorie : lorsqu'on place une lame mince de mica ou de chaux sulfatée sur le chemin d'un des faisceaux, les franges sont portées de ce côté, et quand les lames ne sont pas très-minces, elles sortent de l'espace éclairé et disparaissent.

Celte expérience est même le moyen le plus exact qu'on connaisse pour déterminer les indices de réfraction. En effet, supposons qu'on ait mesuré très-exactement, à l'aide d'un sphéronièlre, l'épaisseur de la lame mince qui a élé placée dans le trajet d'un des faisceaux lumineux, et qu'on ait mesuré le déplacement des franges à l'aide du micromètre; supposons, par exemple, que la bande centrale ail élé déplacée de» largeurs de frange, que e représente l'épaisseur de la lame mince, et *, les longueurs d'ondulation de la lumière dans l'air et dans la lame mince; il est évident que le nombre des ondulations renfermées dans une lame d'air ayant une épaisseur e, augmenté de », sera égal au nombre des ondulations comprises dans la lame mince ,

La détermination des indices de réfraction par le procédé que nous tenons d'indiquer est susceptible d'une très-grande précision ; mais pour l'appliquer aux corps solides ou liquides il exige que ces corps soient réduits en lames très-minces, pour que le déplacement des franges ne les fasse pas sorlir du champ lumineux, ou bien que l'on place dans les deux faisceaux des plaques épaisses produisant des effets peu différents, dont ou connaisse les épaisseurs et l'indice de l'une d'elles. Mais elle est surtout avantageuse pour la détermination des indices des corps qui diffèrent peu, et principalement pour ceux des gaz et des vapeurs. C'est par cette méthode que MM. Fresnel et Arago ont déterminé la différence de réfraction de l'air sec et de l'air saturé de vapeurs d'eau à 30°, différence qui est si petite qu'elle échapperait à tout autre moyen d'observation.

1536. Si nous désignons par e , <f t d, tt, les élasticités et les densités de l'éther dans le vide et dans un milieu réfringent , et par u et u' les vitesses de la lumière dans ces deux milieux, on aura , comme pour la vitesse de propagation du son,

«- y/i et *' = y/

et par suite

- , ed' — tfd W - ! ~ *d '

Si on pose </= etn et <f =s fm', il vient

Ainsi la puissance réfractive est la différence des rapports de la densité de l'éther & son élasticité dans le corps réfringent et dans le vide relativement à ce rapport dans le vide; et, si on suppose que d = «f , n* — 1 représente l'accroissement d'élasticité de l'éther par rapport à son étasUcilé dans le second milieu.

1537. Dispersion. Nous avons vu en parlant du son que les ondes se propagent toujours dans le même milieu avec la même vitesse , quelle que soit d'ailleurs leur longueur. Mais il n'en est pas de même des ondes lumineuses : les vitesses de propagation sont d'autant plus petites qu'elles sont plus courtes, puisqu'elles sont décroissantesdu rouge au violet. Cette différence entre la propagation du son et de la lumière provient de ce que, pour le son, les longueurs d'ondulations sont toujours trèsgrandes relativement à la distance à laquelle s'étendent les actions des forces développées, tandisque, pour la lumière, les longueurs d'ondulation sontcomparables à la limite

d'action des forces. On se rendra facilement compte de cette différence, si on remarque que les ondes sonores les plus courtes sont toujours de plusieurs centimètres, tandis que les ondes lumineuses les plus longues ne sont que de 0— ,000620. En partant du fait que nous venons de supposer, Fresnel a démontré rigoureusement que la vitesse de propagation des ondes dans le même milieu était d'autant plus petite que les ondes sont plus courtes, et, plus récemment, M. Cauchy a démontré que dans un milieu quelconque, quelle que soit d'ailleurs la limite des forces, la vitesse de propagation diminue avec la longueur d'ondulation.

3aO

On voit d'après cela que , quand un faisceau de lumière blanche pénètre obliquement dans un corps réfringent, chaque faisceau homogène suit une route différente, d'autant plus rapprochée de la normale que sa longueur d'ondulation est plus courte.

Anneaux colorés.

1538. Les anneaux colorés produits par réflexion sur une lame mince résultent de l'interférence des rayons réfléchis à la première et à la seconde surface de la lame ; les anueaux tus par transmission résultent de l'interférence des rayons transmis directement, et de ceux qui traversent la lame mince après avoir éprouvé deux réflexions intérieures. Mais, pour démontrer que ces interférences produisent les phénomènes observés, nous avons besoin d'un principe découvert par Yong, et démontré ensuite rigoureusement par M. Poisson. Voici en quoi il consiste : lorsqu'une onde tend à passer d'un milieu dans un autre moins réfringent, une partie de l'onde est réfléchie dans le premier, et l'onde réfléchie est la continuation de l'onde incidente; mais si le second milieu est plus réfringent que le premier, les mouvements dans l'onde réfléchie changent de signe. Ce phénomène est tout à fait analogue à ce qui se produit dans le choc de deux. billes : la bille choquante prend des vitesses de signes contraire* quand la bille choquée a une masse plus petite ou plus grande que la sienne, et elle reste en repos quand les masses sont égales.

Cela posé, admettons d'abord qu'on observe la lumière réfléchie sous l'incidence perpendiculaire, ou du moins dans une direction qui s'en écarte très-j>eu; considérons un des systèmes d'ondes envoyés par l'objet éclairant sur la première surface de la lame d'air, c'est-A-dire sur la seconde surface du verre supérieur. Ce que nous dirons de ee système d'ondes pourra s'appliquer à tous les autres. Au moment où il arrive à la surface de séparation du verre et de l'air, il éprouve une réflexion partielle qui diminue un peu l'intensité de la lumière trausinise dans la lame d'air, et fait naître en dedans du premier verre un autre système d'ondes, dont l'intensité est, comme on sait, très-inférieure à celle de la lumière transmise; en sorte que celle-ci, étant fort peu affaiblie par celte première réflexion , produit, en arrivant à la seconde surface de la lame d'air, un second système d'ondes réfléchies d'une intensité presque égale à celle des ondes qui proviennent de la première réflexion : voilà pourquoi leur interférence produit des couleurs si vives dans la lumière blanche, et des anneaux brillants et obscurs si prononcés dans une lumière homogène. Les deux surfaces tie la lame d'air étant sensiblement parallèles dans le voisinage du poiul de contact où se forment les anneaux colorés, les deux systèmes d'ondes suivront la même roule; mais celui qui a été réfléchi à la secoude surface se trouvera en retard relativement à Vautre, et d'une quantité égale au double de l'épaisseur de la lame d'air qu'il a traversée deux fois. Il faut encore remarquer qu'il existe entre eux une autre différence : c'est que le premier a élé réfléchi en dedans du verre ou du milieu le plus dense, tandis que l'autre l'a élé en dehors du verre inférieur; d'où il résulte, d'après le principe établi ci-dessus, une opposition dans les mouvements oscillatoires. Ainsi, lorsqu'en raison de la différence des chemins parcourus, les deux systèmes d'oudes devraient être d'accord, c'est-à-dire exécuter tous leurs mouvements oscillatoires dans le même seus, nous en concluons qu'ils sont au contraire en discordance complète; et réciproquement , lorsque la différence des chemins parcourus indiquera une discordance complète, nous en conclurons que leurs mouvements oscillatoires s'accordent parfaitement. Cela posé, il est aisé de déterminer la position des anneaux obscurs et brillants.

lit d'abord , le point de contact , où l'épaisseur de la lame d'air est nulle, ne pro-

duisant aucune différence de marche entre les deux systèmes d'ondes, derrait établir un accord parfait entre leurs vibrations : aiusi , puitqu'en raison de l'opposition de signe, c'est le contre-pied qu'il faut prendre, leurs vibrations seront en discordance complète, et le point decontaet , tu par réflexion, présentera une tache noire. A mesure qu'on s'en éloigne, l'épaisseur delà lame d'air augmente. Arrêtons-nous au point où son épaisseur est égale à un quart d'ondulation : la différence des chemins parcourus sera une demi-ondulation , qui répond à une discordance complète , et par conséquent il y aura accord parfait entre les deux systèmes d'ondes ; ce sera donc le point le plus éclairé du premier anneau brillant. Lorsque l'épaisseur de la lame d'air sera la moitié d'une ondulation , la différence des chemins parcourus étant égale a une ondulation qui répond à l'accord parfait , il y aura discordance complète, et ce point sera le milieu d'un anneau obscur. II est facile de voir en général, par les mêmes raisonnements, que les points les plus noirs des anneaux obscurs répondent aux épaisseurs de la lame d'air, égales à.

0, 2/4x, 4/4x,6/4A,8/4setc,

et les points les plus éclairés des anneaux brillants aux épaisseurs

1/4*, 3/4x, B/4x, 7/4x, 9/4*, etc.

* étant la longueur d'ondulation lumineuse dans l'air; ou , si l'on prend pour unité le quart de cette longueur, les épaisseurs de la lame d'air correspondantes aux maxima et minima de la lumière réfléchie seront représentées par les nombres suivants :

Auneaux obscurs 0, 8, 4, 6, 8, 10, etc.;

Anneaux brillants 1, 5, 8, 7, 9, 11, etc.

Cette unité, ou le quart d'une ondulation lumineuse, est précisément la longueur de ce que Newton appelle les accès des molécules lumineuses : ainsi , en multipliant par quatre les mesures qu'il a données pour les sept principales espèces de rayons simples, on obtiendra les longueurs correspondantes de leurs ondulations. On trouve de cette manière les mêmes résultats qu'en déduisant les longueurs d'ondulation de la mesure des franges produites par deux miroirs.

1539. Nous avons vu précédemment, en parlant de la réfraction, que la vitesse de la lumière, en passant d'un milieu dans un autre, varie dans le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction; mais les longueurs d'ondulation varient dans le même rapport que ces vitesses: par conséquent, lorsque l'on remplacera la lame d'air renfermée entre les deux verres par un liquide quelconque , les épaisseurs correspondantes aux mêmes anneaux varieront dans le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction pour le passage de la lumière de l'air dans le liquide. C'est précisément la loi de Newton.

1540. Quand les rayons incidents sont inclinés à la normale, on retombe encore exactement sur la formule que Newton avait déduite de l'observation.

On voit facilement , à l'inspection de la figure 022 , qu'en désignant par * la différence de» chemins parcourus par les rayons réfléchis a la première et à la deuxième surface , par « l'épaisseur de la lame d'air, et par i l'angle d'incidence , on a

fee icd -gf t cd= , gf =z ge ,)n i = bd sin i as 2f>o sin i = 2e tang i sln i t

<Toù J=?« —.)=*ecoti.

\ COS I CU8 t /

Ainsi , en désignant par e et ✓ les épaisseurs de la lame d'air qui réfléchissent le même i sous l'incidence perpendiculaire et sous l'incidence » , on aura

2e=2e'co«t ou tf=-~.