CUS I

Si la Urne mince était formée d'une substance quelconque ayant * pour indice, on aurait

\ n cos » y 1

i étant toujours Tincidence à la seconde surface de la lame mince.

La formule à laquelle nous venons d'être conduits est celle de Newton pour des inclinaisons qui ne dépassent pas une certaine limite; au delà elle cesse d'être exacte : celleanomalie lient probablement à ce que les lois ordinaires de la réfraction d'après lesquelles la formule a été calculée éprouvent quelques modifications dans le passage très-oblique des rayons entre deux surfaces aussi rapprochées.

Dans ce qui précède nous avons supposé que les anneaux colorés résultaient seulement de l'inlerférence des rayons réfléchis à la première surface de la lame avec les rayons réfléchis une seule fois à la seconde surface. Cependant il y a des rayons qui sortent après 2, 3, 4, etc., réflexions à la seconde surface. Mais il faut remarquer que quand la lame mince a une courbure prononcée, ces reflexions multiples font varier rapidement la direction des rayons émergents, qui alors n'exerceul qu'une action très-faible sur le rayon réfléchi à la première surface , et peuvent par conséquent être négligés; mais quand la courbure de la lame est extrêmement petite ou nulle, il faut nécessairement y avoir égard, et c'est une chose très-facile. Supposons d'abord que le double de l'épaisseur de la lame mince soit égal à un nombre pair de demi-longueurs il ondulation, il est évident que les rayons réfléchis à la seconde surface seront tous eu retard les uns sur les autres d'un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation, qu'ils seront tous d'accord, et qu'ils interféreront tous de la même manière avec les rayons réfléchis à la première surface, et par conséquent que l'intensité de la lumière réfléchie dépendra uniquement de la différence de l'intensité de ce dernier rayon et de la somme des intensités des rayons réfléchis. Si au contraire le double de l'épaisseur de la

lame mince était égal à un nombre impair de i les rayons qui auront éprouvé un

nombre impair de réflexions seront en discordance , et ceux qui en auront éprouvé un nombre pair serout d'accord : alors, comme la somme des intensités des premiers l'emporte sur celle des derniers, l'effet résultant sera toujours daus le même sens que celui qui résulte de l'interférence du rayon qui n'a éprouvé qu'une seule réflexion.

1541. On explique très-bien d'après ces principes pourquoi le centre des anneaux réfléchis produits sous l'incidence perpendiculaire est parfaitement noir quand les deux lentilles sont en contact. Kn effet, dans ce cas, en regardant l'épaisseur de la lame comme infiniment petite même relativement à la longueur d'ondulation, les rayons qui sortent après un nombre quelconque de réflexions sur la seconde surface de la lame mince sont tous d'accord, et la tache centrale sera parfaitement noire, si la somme des vitesses d'ondulation des rayons réfléchis à la seconde surface esi

égale à la vitesse d'ondulation du rayon réfléchi a H première surface ; or, le calcul établit la plus parfaite égalité entre les vilesse* de ces deux faisceaux.

Nous avons vu (147) que, si une masse élastique m, animée d'une vilesse v, vient choquer une masse m' également élastique, mais en repos, après le choc la vitesse de la première est

m © (a) et celle de la seconde est — f (6).

En assimilant ces phénomènes à ceux qui se passent entre les lames infiniment minces des

étbersdes deux corps en contact, on voit que, v représentant l'amplitude des vibrations de la

lumière incidente, m et m' les densités de l'élher dans le premier et le second milieu, l' a,I, l )1 [~

tude des vibrations du rayon réfléchi par la première surface sera représentée par la fonnu

(a) , et la vitesse de vibration du rayon transmis par la formule (/>). Cela admis , posons pou

plus de smplicité

m — m' r a e ni + m' ' m + tn' 1

et représentons la vitesse de vibration du rayon incident par l'unité.

Lorsque le rayon passera de l'air dans le verre, on obtiendra évidemment lea vitesses des rayons réfléchis et transmis en changeant m en m' et m' en m : par ce changement la vitesse du rayon réfléchi reste la même , au signe prts; mais celle du rayon transmis, qui était me dans le premier cas, devient m'e dans le second.

Suivons maintenante marche du rayon transmis em. Ce rayon, arrivé à la seconde surface de la lame, donne un rayon réfléchi dont la vilesse est — emr; de retour a la première surface, le rayon qui en sort a une vitesse - emrem' = (- mm'e'r) , et le rayonr*Hec hi a une vitesse emr» ; ce rayon réfléchi, à la seconde surface, devient - emr , qui prouuii ua nouveau rayon émergent — emr 1 x m'e = < — mm'eV ) , et un rayon réfléchi ewr" ; ce aernier, après une nouvelle réflexion, qui réduit sa vitesse à — emr 5 , produit uu noii\cau ceau émergent — emr» X m'e = (- mmVr*) , et ainsi de suite ; alors la somme des uiesses des rayons réfléchis à la seconde surface est

— mwVr ( 1 + r" + H + etc....).

La progression ayant r 1 pour raison renfermant un nombre infini de termes, et r é |™ tu , ne fraction plus petite que l'unité , on trouve que la somme de celte progression est l : U r

Alors, en substituant pour e et rieurs valeurs, on trouve - ™~ P° ur «"és" 1131 6nal » c'est-à-dire exactement la vilesse du rayon réfléchi à la première surface, mais avec un signe contraire.

1542. Quant aux anneaux qu'on observe par transmission, ils résultent, ^J* 1 ™* nous Pavons déjà dit, de l'interférence des rayons transmis directement avec ce ^. n » e ne l'ont ëlé qu'après avoir éprouvé deux réflexions consécutives dans la lame • En effet, les différences de marche des rayons qui interfèrent après la transmission sont alors exaclement les mêmes que celles des rayons qui interfèrent après ta eflexion; mais comme, dans le premier cas, la double réflexion fait dispa raurc ic changement de signe de la vitesse du rayon réfléchi , il s'ensuit que les effets proauiu, par l'interférence dépendent uniquement de la différence des chemins, et par ^conséquent que les deux ordres d'anneaux sont complémentaires. La teinte si Taible des anneaux transmis résulte de la faible intensité des rayons qui sortent après deux réflexions successives.

1543. Le système des ondulations explique avec une extrême facilité les anneaux réfléchis à cenlres blancs dont nous avons parlé (1379) , et qui se forment quand la

lame mince est placée entre deui milieux qui sont l'un plus, l'autre moins réfringent. En effet , dans ce cas , les réflexions à la première el à la seconde surface de la lame mince ayant lieu dans les mêmes circonstances, c'est-à-dire quand la lumière rencontre un milieu qui est plus réfringent ou moins réfringent, il n'y a plus lieu d'ajouter une demi-longueur d'ondulation à la différence des chemins parcourus par les ondes qui interfèrent, et par conséquent les anneaux doivent être complémentaires de ce qu'ils sont dans les cas ordinaires , et par suite le centre doit être coloré dans une lumière homogène, et blanc dans la lumière blanche.

1544. Anneaux colorés produits par des plaques épaisses. Les anneaux dont il est question, et dont nous avons décrit loules les particularités (1380), s'expliquent aussi très-facilement dans le système des ondulations. En effet, lorsqu'un fats* ceau très-fin de lumière homogène vient rencontrer perpendiculairement la première surface d'une glace étamée, le rayon qui pénètre normalement dans le verre , à cause de l'imperfection du poli de la surface, est environné d'un faisceau de rayons d'une faible intensité , et d'autant plus petite qu'ils s'éloignent davantage de la normale. Ces rayons disséminés , réfléchis à la seconde surface , émergent par la première dans un cône plus ouvert ; le rayon principal de retour h la première surface produit encore de nouveaux rayons disséminés autour de lui, et c'est l'interférence de ces derniers avec les premiers qui donne naissance aux franges qu'on observe. Il est facile de voir que les rayons de ces deux systèmes ont parcouru sensiblement le même chemin , et que la différence, très-petite, augmente avec la distance de leurs points de concours à l'axe du faisceau. M. W. Herschell a retrouvé par le calcul toutes les circonstances que présentent ces phénomènes.

1545. M. Brewster a produit des bandes colorées avec des plaques épaisses par une disposition que nous rapporterons. Supposons que A et B (fig. 923) représentent deux plaques de la même substance à faces parallèles et d'égale épaisseur, si, les plaques étant légèrement inclinées, on regarde un objet lumineux à travers, par exemple la flamme d'une bougie, on voit, outre l'image directe, une image plus faible déviée du côté de l'angle du prisme d'air, et cette image est couverte de bandes irisées d'autant plus larges que l'angle des deux plaques est plus petit. Avec une lumière homogène, l'image latérale est traversée par des bandes noires. Si l'appareil des deux glaces est fixé à l'extrémité d'un tube noirci de 20 à 50 centimètres de longueur terminé à l'autre extrémité par un orifice , en regardant le ciel on aperçoit sur l'image latérale de très-belles franges. L'image latérale provient des rayons qui émergent après avoir éprouvé deux réflexions, et les franges proviennent de l'interférence de ceux de ces rayons qui , ayant traversé le même nombre de fois les lames de Terre et le prisme d'air, diffèrent cependant de marche, suivant le point où ils ont traversé le système pour arriver à l'œil de l'observateur. En désignant par t l'épaisseur commune des lames A et /?, par i l'épaisseur de la lame d'air, il est facile de voir que les rayons désignés par 1, 2, 3, 4, ont traversé des épaisseurs 2 t -+- 3 i , 4 / -4- 3 i, 4 / -+- 3 1 , et 6 1 •+■ 5 t; ainsi , le 2° et le 3* sont les seuls qui pourront interférer et produire des franges, les différences de marche des autres étant trop considérables.

On obtient aussi des franges analogues et qui ont la même origiue, au moyen d'un petit appareil formé de deux douilles qui s'emboîtent, et dont chacune porte une plaque â face parallèle fixée sur son fond sous le môme angle; eu tournant une des douilles, on peut placer les glaces parallèlement ou leur donuer une inclinaison quelconque.

Diffraction.

1546. Le docteur Kong avait expliqué les phénomènes de diffraction par l'interférence des rayons directs arec les rayons réfléchis contre les bords des corps ou des orifices. Cette explication satisfait à certains phénomènes ; mais il en est pour lesquels les résultats de la théorie sont en coniradiclion manifeste avec l'observation. D'ailleurs , dans celte théorie , l'épaisseur, la nature et le degré de poli des corps devraient avoir une grande influence, tandis que i'exjtérience démontre qu'elle est nulle.

1547. L'explication de la diffraction repose sur le principe des interférences , que nous avons développé avec beaucoup de détails, et sur le principe d'Huyghens qu'on peut énoncer ainsi : le mouvement en un point quelconque d'une onde peut être considéré comme la résultante des petits mouvements élémentaires qu'y enverraient en même temps tous les points de l'onde considérée dans une quelconque de ses positions antérieures; car chaque point d'une onde est uu centre d'ébranlement qui tend à propager le mouvement dans tous les scus ; et , en vertu du principe de mécanique connu sous le nom de principe de la superposition des petits mouvements , quand des ondes partent de différents centres d'ébranlement, le mouvement imprimé à une molécule du fluide est égal à la résultaute des petits mouvements qui sont produits sur cette molécule par chacuu des centres d'ébranlement considéré séparément. Le mouvement en retour est détruit par la nature même du mode de communication ( 397 ) , et les mouvements latéraux se détruisent mutuellement , mais seulement quand l'onde n'est point interceptée.

Mais, comme chaque point de l'onde est ébranlé dans une direction déterminée, le mouvement propagé dans celte direction aura plus d'intensité que dans toute autre, et celte intensité ira en décroissant à mesure que les directions de propagation s'éloigneront davantage de la normale à la surface de l'onde, suivant une loi inconnue, mais que Fresncl suppose très-rapide, du moins pour la lumière. Voici maintenant la méthode que Fresnel a employée pour calculer dans tous les cas les effets produits par la diffraction. Dans tous, les ondes sont partiellement interceptées. Lorsque les franges sont produites par un corps indéfini dans un sens, il n'y a qu'une moitié de chaque onde qui dépasse l'écran; lorsque les franges sont formées dans l'ombre d'un corps étroit, les ondes sont seulement diminuées de l'épaisseur du corps; et enfin, quand les franges sont formées par une ou plusieurs feules , les ondes ont seulement la largeur des fentes. Alors Fresnel a calcule les effets produits à une distance donnée par tous les points libres des ondes , et les résultats du calcul se sont toujours trouvés parfaitement d'accord avec l'expérience.

Nous n'entrerons pas dans tous les détails des calculs par lesquels Fresnel a déterminé les effets produits par la diffraction ; nous nous contenterons d'expliquer les apparences observées par de simples considérations géométriques; nous supposerons que le corps lumineux est réduit à une fente étroite, et alors les ondes seront cylindriques; uous supposerons eu outre que la lumière est homogène.

1548. Franges produites par un écran indéfini. Soieut M y (flg. 924) un écran plan indéfini parallèle à la ligne lumineuse qui se projette en C, MD la base de l'onde lumineuse cylindrique qui rencontre le bord de l'écran ; cherchons la quantité de lumière qui parviendra en un point P quelconque situé à une grande distance par rapport à la longueur d'ondulation ; menons la ligne /'Cet divisons l'arc DM, à partir du point A, en parties inégales Am, mm', m'm", An, ri ri, nn", etc., de manière que la différence des dislances des points de division consécutifs au point 1* soit égale a la moitié d'une longueur d'ondulation , et imaginons que ces parties de l'arc MD

soient elles-mêmes divisées en un même nombre très-grand d'éléments. Gela posé, représentons par 2 l'intensité de la lumière qui éclairerait le point P si l'écran n'existait pas; il est évident que dans une position quelconque du point P la quantité de lumière qui y arrivera sera composée de celle qui est envoyée par la demi-onde AD, qui est égale à 1 , et de celle qui sera envoyée par l'arc AM. Si ce dernier arc renferme une seule division , il est évident que les mouvements de ses différents éléments seront d'accord avec ceux des éléments correspondants de la première division de l'autre côté du point A, et les effets s'ajouteront; mais si l'arc AU renferme deux divisions; les effets produits par les éléments correspondants se détruiront sensiblement, et la lumière supportée au point P par l'onde totale MD sera plus petite que dans le premier cas; en continuant à supposer l'arc AM toujours plus grand d'une division , il est facile de voir qu'il y aura accroissement de lumière quand l'arc AM renfermera un nombre impair de divisions. Ainsi , en plaçant un écran à une certaine distance, on devra y voir des lignes alternativement brillantes et obscures.

Il est même facile de déduire de là les trajectoires suivant lesquels les franges se propagent: car, par exemple, pour les franges obscures du premier ordre , la différence des distances du point P aux points A et M étant égale à deox demi-longueurs d'ondulation , la différence des distances du même point Paax points Cet M sera plus grande île CA y et comme celte dernière longueur est constante, on voit que la frange se propagera suivant un cylindre hyperbolique dont la base est une hyperbole ayant ses foyers aux points C et M.

En désignant CM para, par d la différence des distances du point P aux points MttA, par x la distance du point P au point o milieu de CM comptée sur CL, par/- la distance de ce point au bord de l'ombre géométrique , et enfin par A et B les deux axes de l'hyperbole , on aura , en négligeant </',

iJ=a-d, A- = <±=^ = °JZf*!l i

a* q (q — ad

et, en substituant ces valeurs de A et de B dans l'équation de l'hyperbole,

2a {a — 2d)y — 4a<lx' = — a(a-îd)ad.

Mais, comme cette courbe est rapportée à son centre situé au milieu de CM, si on veut transporter les axes au point M, il faudra faire

et l'équation, ainsi transformée et résolue par rapport à x , donne, en négligeant les termes qui contiennent d* et d, par rapporta a,

dx> j x' + a)

Pour obtenir les distances des centres des franges obscures successives au bord de l'ombre géométrique, il suffira de remplacer, dans la valeur dey, «/successivement par *, 2a, 3a, etc. On voit facilement d'après cela que les franges ne sont point à égale

ÏIUITË ÉLÉMENTAIUE DE PHYSIQUE. Jtf7

dislance, et qu'elles se rapprochent les unes des autres d'autant plus qu elles s'éloignent davantage des bords de l'ombre géométrique.

Les maxima et les minima d'intensité des franges iront en diminuant à mesure qu'ils s'éloigneront de l'ombre géométrique, car les divisons efficaces qui sont toujours voisines du point M ont des longueurs d'autant plus petites, et rayonnent d'autant plus obliquement, que le point P s'éloigne davantage.

La lumière qui se propage dans l'intérieur de l'ombre géométrique ne présentera ni maxima ni minima d'intensité, mais elle décroîtra rapidement et d'une manière continue. En effet, chaque point À" de l'ombre reçoit de la lumière d'une demi-onde MD % et si, pour chaque point, on divise celte demi-onde, a partir du point Jf, en arcs tels, que la différence de dislance des points de division au point K soit égale à une demi-longueur d'ondulation , la quantité de lumière qu'enverrait séparément au point K une des divisions diminuerait à mesure qu'elle serait plus éloignée du point jé t à cause de l'accroissement d'obliquité et de la diminution de longueur; par conséquent, la lumière de chacune d'elles pourra être considérée comme composée de deux parties, l'une détruite par une partie de la division précédente, l'autre par une partie de la division suivante : alors le point M sera éclairé par une partie seulement de la première division ; ainsi l'intensité de la lumière décroîtra rapidement et d'une manière continue à mesure que le point s'éloignera du point L.

1549. D'après la manière dont Fresnel a envisagé la diffraction, on n'a point égard au plus ou moins d'épaisseur des bords de l'écran , mais seulement à la partie de l'onde qui peut envoyer des rayons élémentaires aux poiots dont on calcule l'intensité; et le corps opaque ne remplit d'autres fonctions que de supprimer une partie de l'onde : voilà pourquoi le résultat du calcul est indépendant de la nature de ce corps , de sa masse et de l'épaisseur de ses bords. Cependant si leur surface était trop grande, on ne pourrait plus considérer l'onde primitive au moment où elle les quitte comme n'ayant reçu aucune modification sensible, et il faudrait tenir compte dans le calcul des petites franges qu'aurait déjà fait naître son passage contre les parties antérieures. Mais tant qu'ils ont peu d'épaisseur, ou une courbure prononcée, les petites franges aussi produites sont si étroites qu'on peut les négliger et regarder l'onde émergente comme ayant une intensité uniforme dans toute son étendue au moment où elle quitte l'écran, surtout si on calcule les intensités de la lumière à une distance un peu grande de ce corps.

1550. Il est important de remarquer que le décroissemenl rapide de la lumière dans l'ombre géométrique résulte du décroissemenl rapide de la lumière dans des directions qui s'écartent de plus en plus de la normale à la surface de l'onde et de la petitesse des longueurs d'ondulation. S'il n'en était pas ainsi, la lumière se propagerait dans l'ombre à une distance d'autant plus grande que la loi de décroissement serait moins rapide et les longueurs d'ondulation plus grandes ; et, si tous les points de l'onde tendaient à propager également la lumière dans tous les sens , il est évident que l'ombre géométrique serait fortement éclairée. C'est là , sans aucun doute , la raison pour laquelle le son se propage avec une faible diminution d'intensité derrière les obstacles placés perpendiculairement à la direction de la transmission, et pourquoi les ondes formées à la surface de l'eau se reforment complètement derrière un obstacle. Les lois des variations d'intensité du mouvement dans des directions obliques ou normales des ondes ne sont point connues.

1551. Franges formées par une ouverture très-étroite. Lorsque l'écran est seulement percé d'une fente longitudinale très-étroite, d'une longueur indéfinie, il faut chercher pour les différents points éclairés par le faisceau lumineux la résultante de toutes les ondes élémentaires qui émanent de la partie de l'onde primitive

comprise dans la largeur «le celte ouverture ; mais nous pouvons, par des considérations géométriques très-simples, déterminer la disposition de ces franges.

11 peut se former ou des franges dans l'ombre ou des franges dans la partie éclairée, ou en même temps des franges extérieures et intérieures; nous allons essayer de faire comprendre la formation de ees différentes espèces de franges. Soient (fig. 925) rie poiul lumineux, AB l'orifice, EF la projection conique de l'orifice sur Técran AT. Occupons-nous d'abord des franges intérieures; supposons que l'écran X Y ait clé placé de manière que les différences de distance du point P aux points A et M et aux points B et M soient exaclement d'une demi-ondulation : alors toutes les ondes élémentaires parties des différents points de A MB apporteront au point P des mouvements de même signe, et concourront à en augiu nier l'éclat. La même ebose aura évidemment lieu si on suppose que l'écran s'éloigne de l'ouverture, puisque les différences des distances des points I y , P'\ aux points A et M et B et M, deviennent plus petites qu'une demi-ondulation. Prenons maintenant dans la projection de l'ouverture sur l'écran XFun point 0 qui soit tel que OB — OA soit égal à une ondulation entière; en prenant un point N qui divise l'arc AB en deux parties telles que Ton ait

OB - ON = OIV - OA = 1/2 x,

il est évident que les deux ares AÏS et NB enverront au point 0 des mouvements de signes contraires, et que le point O sera le centre d'une baude obscure. De même, si on prenait un point L, pour lequel on aurait

LB — LA = 3/2 x ,

on pourrait diviser l'arc AB en trois parties , telles que les différences des distances des points de division au point L fussent d'une demi-ondulation : alors le point L serait le centre d'une bande brillante. Ainsi il y aura de chaque côté du point P des bandes sombres et brillantes symétriquement placées par rapport à l'axe CP. Il est facile de voir que ces bandes se rapprocheront des bords de l'ombre à mesure que l'écran s'éloignera , et qu'elles disparaîtront complètement lorsque l'écran aura une position A" F', telle que, QB — ÇA = l/ix. Mais si nous rapprochons l'écran XY de l'orifice, le point P sera alternativement le centre d'une baude brillante et d'une bande obscure. En effet , l'écran étant plus rapproché , la différence des distances PB — PM$er9 toujours > que 1/2 x; quand cette différence sera égale à un nombre pair de demi-ondulations, les mouvements provenant des arcs AM et MB se détruiront séparément : car, si 2 ~ représente la différence en question , ou pourra diviser

Tare MB et Tare MA chacun en 2 « parties, dont les différences de distance au point P soient de 1/2 x : alors toutes les ondes élémentaires parties des différents points de deux arcs consécutifs se détruiront sensiblement. Mais si la différence des distances PB et PM était d'un nombre impair de demi-ondulations, on pourrait diviser Tare MB en un nombre impair d'arcs , dont les effets se détruiraient sensiblement , à l'exception d'un seul.

Il est facile de voir, d'après ce qui précède , que , si on prend dans l'ombre géométrique des points o, o, o", qui soient tels que les différences des distauces de chacun de ces points aux points A et B soient égales à un nombre pair de demi-ondulations, ces points seront les centres de bandes obscures; et que, si on prend une série de points l, f t /", etc. , pour lesquels les différences des distances aux points A et B soient d'un nombre impair de demi-ondulations , ces points seront des centres de

bandes brillances. Si maintenant nous remarquons que les conditions qui déterminent la formation des franges intérieures et extérieures sont les mêmes , et que pour les franges d'un même ordre, formées sur un écran dont la distance Tarie, les différences des distances aux points A et B sont constantes; il en résulte que les franges se propagent suivant des hyperboles dont les points A et B sont les foyers. La distance AB étant toujours extrêmement petite , on peut considérer ces courbes comme se confondant avec leurs asymptotes.

Pour obtenir les équation* des lignes suivant lesquelles les franges se propagent sensiblement représentons par A elji les axes de l'hyperbole, par d la différence de longueur des rayons' vecteurs , cl par c la largeur de la fente , nous aurons

ÎA = d et A>+ir= c L; d'où ^ = ^, et en négligeant |: l'équation de l'asymptote , en prenant l'axe imaginaire pour Taxe des x , est alors

Pour les franges obscures, il faudra remplacer d par un nombre pair de demi-longueurs d on ihilaUon, et pour les franges brillantes par un nombre impair : il est alors facile de voir uue I franges sont également distantes, et que leur largeur est proportionnelle à la dist-inr* !i ficèl ro,nèlre * ,a ****** ,0D6 " eUr d ' ondu,aU °n » * «" raison inverse de la largeur de l'ori

L'expérience confirme parfaitement ces résultats théoriques , dans les circonaf ces où l'approximation que nous avons employée est permise. »«an-

Le docteur Yong avait expliqué les phénomènes dont il s'agit par l'interférence des rayons réfléchis sur les bords de l'orifice; mais il est facile de voir que les résultats de l'expérience sont en opposition complète avec ceux qui résulteraient de cette explication, car les franges brillantes devraient occuper la place des franges obscure», et réciproquement.

1552. Franges produites par deux ouvertures. Lorsque l'écran est percé de deux fentes très-fines, au travers desquelles passent Ici rayons émanés d'une ligne lumineuse placée au delà de cet écran, parallèlement aux fentes et h égale distance de chacune d'elles, les franges qui se forment doivent évidemment être i\u>ï>oftee* Ac la même manière que celles qui sont produites par un même rayon réfléchi sut «y ux miroirs légèrement inclinés l'un sur l'autre. En effet, les chemins parcourus jusqu'aux fentes étant égaux , il suffira de compter les chemins parcourus par les rayons à partir des fcn|es pour avoir leur différence de marche. Ainsi, tout ce que nous avons dit pour le cas de deux miroirs pourra s'appliquer ici , du moins tant que chaque fente sera assez étroite pour être considérée comme un seul centre d'ondulation , relativement aux rayons infléchis qu'elle envoie.

En désignant par c la dislance des deux fentes, et conservant la notation de l'article précédent , on est conduit à la môme formule approximative , y = xd : c ; mais , d est égal à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation pour les franges brillantes , et à un nombre impair pour les franges obscures.

1558. Franges produites par un corps très-étroit. Lorsque l'écran , au lieu de n'étendre indéfiniment d'un côté, est assez étroit pour que la lumière iafiécfaie

3(j0 TUA1TÊ ÉLÉMENTAIRE DE PHYSIQUE.

jusqu'au milieu deson ombre ne soit pas tropaffaiblie par le décroissement rapide d'intensité que produit l'obliquité des rayons, il faut tenir compte à la fois dans le calcul de ceux qui viennent des deux côtes, et cbeichsr pour chaque point de l'ombre la résultante générale de toutes les ondes élémentaires qu'y envoient les divers points des deux parties de l'onde primitive siiueVs à droite et à gauche de l'écran. On trouve de celte manière que l'intérieur de l'ombre doit être divisé par une série de bandes obscures et brillantes, de largeur à peu près égale, et dont les positions différent trèspeu de celles qu'on déduirait en considérant les extrémités du corps comme des centres de rayonnement. Mais quand le corps opaque est très-étroit , et le micromètre assez éloigné de ce corps pour que les bandes observées soient très-voisines des bandes extérieures, alors les calculs faits par la méthode que nous avons exposée précédemment indiquent, comme l'expérience, que cette méthode n'est plus exacte. Les résultats du calcul représentent aussi avec une fidélité remarquable les altérations singulières qu'éprouvent souvent daus ce cas les franges extérieures, lorsque les autres sortent de l'ombre; et viennent en quelque sorte se mêler avec elles.

Lorsque les franges que l'on considère sont éloignées des bords de l'ombre géométrique , on peut trouver leurs positions par des considérations très-simples. Soit AG (fîg> un cor P 8 °P a( l ue ' asâez elroit P our V 1 ' 00 P uis *e distinguer des franges dans l'intérieur de son ombre à la distance AB; soient C le point éclairant, BD le carton blanc sur lequel on reçoit les franges; concevons la partie AM l'onde primitive divisée en petits arcs Am, mm', m'm", etc., de façon que les lignes menées du point P, situé dans l'intérieur de l'ombre, à deux points de division consécutifs, diffèrent d'une demi-ondulation : toutes les petites ondes envoyées en P par les éléments de chacun de ces arcs seront en discordance complète avec les ondes élémentaires qui émanent des parties correspondantes des deux arcs entre lesquels il est compris; mais les arcs enverront au point P des quantités de lumière qui décroîtront rapidement, à mesure qu'ils s'éloignent du point A. Alors ou pourra considérer la lumière de chacun d'eux comme composée de deux parties; Tune serait détruite par une partie de la lumière de la division précédente , l'autre par une partie de la lumière de la division suivante : ainsi il ne restera qu'une partie de la lumière émise par l'arc mA, et Tonde résultante répondra à peu près au milieu s de mA, La même chose ayant lieu relativement à l'autre partie G TV de Tonde incidente, le degré d'accord ou de discordance entre les vibrations lumineuses qui se manifestent au point P se trouve déterminé par la différence de longueur entre les deux rayons sP et tP qui émanent des milieux des arcs Am et Gn } ou, ce qui revient au môme, par la différence eotre les rayons AP et GP partis des bords mêmes du corps opaque. Ainsi, lorsque les franges intérieures que Ton considère sont suffisamment éloignées des bords de Tombre géométrique, on peut, sans erreur srnsible, les considérer comme résultant des interférences des ondes qui ont leur centre sur les bords mêmes du corps opaque. Mais, à mesure que le point P se rapproche de B, Tare Am devient plus grand par rapport à Tare mm', Tare mm' devient plus grand par rapport à Tare m'm", etc. ; et de même , dans Tare mA, les éléments qui avoisinenl le point A deviennent sensiblement plus grands que ceux situés vers le point m, et répondent à des différences égales de chemins parcourus. Il en résulte que le rayon efficace sP ne doit plus être la moyenne entre les rayons extrêmes mP et AP, mais se rapprocher davantage de la longueur de celui-ci. De l'autre côté du corps opaque, au contraire , la différence entre les rayons GP et le rayon efficace tP approche d'autant plus d'être exactement égale à un quart d'ondulation que le point P s'éloigne davantage de D. Ainsi la différence des chemins parcourus varie plus rapidement entre les rayons efficaces sP et tP qu'entre les rayons AP et GP : par conséquent , les franges qui avoi*

TRAMS ÉLÉMKN'fAIRK DK MUSIQUE.

sinent le point B doivent être un peu moins éloignées du centre de l'ombre que ne Tindique la construction fondée sur la première hypothèse.

1554. Franges produites par une ouverture circulaire ou un écran de même forme. Dans le cas dont il s'agit , il faut déterminer l'influence des ondes élémentaires qui partent de tous les points de l'orifice ou de tous les points du contour de l'écran. Fresnel a retrouvé par ses calculs toutes les circonstances observées, et que uous avons décrites précédemment (1390).

Dans ce qui précède, nous avons supposé la lumière homogène; il est facile d'en déduire ce qui arriverait dans la lumière blanche , ainsi que les phénomènes analogues produits par la réflexion ( 1 392 ).

1555. Franges produites par les réseaux. Les phénomènes que présentent les réseaux, que nous avons décrits précédemment avec beaucoup de détails (1393), s'expliquent avec une extrême facililé dans le système des ondulations, comme M. Babinet l'a reconnu le premier. Soient Mff {fig. 927) un réseau éclairé par une fente lumineuse S parallèle aux raies du réseau, C la position de l'œil de l'observateur; nous supposerons que CS soit un plan perpendiculaire au réseau , qui passe par le milieu d'une raie obscure du réseau, et que le foyer de lumière soit assez éloigné pour que le plan du réseau se confonde avec une omlc cylindrique. Divisons le réseau , à partir du point A, en parties telles que la différence des distances de deux divisions conséentives au point C soit égale à une demi-longueur d'ondulation, il est évident, d'après ce qui précède, que, si le réseau n'existait pas, les efFets produits par deux divisions consécutives se détruiraient sensiblement, et que l'œil ne recevrait que la moitié de la lumière émanée de la première division. Si maintenant nous considérons le réseau, il existera un intervalle transparent et obscur dont l'étendue coïncidera sensiblement avec deux divisions successives; alors ces deux divisions, qui, dans l'absence du réseau, produisaient des ondes qui se détruisaient par leur interférence, enverront de la lumière au point C. 11 en sera évidemment de même quand l'intervalle d'une raie obscure et d'une raie brillante occupera 2 divisions, 4 divisions , el ainsi de suite : par conséquent on devra apercevoir des franges brillantes successives , et leur position ne dépendra en aucune manière de la largeur relative des raies obscures et transparentes, mais seulement de la somme de ces largeurs; ce qui est parfaitement d'accord arec l'observation de Frauhenhofer.

Toutes les autres lois observées par Frauhenhofer résultent également de cette explication. En effet , joignons les extrémités d et /de l'élément du réseau correspondant à la première raie avec le point C, où se trouve placé l'œil de l'observateur, et du point d abaissons sur C/la perpendiculaire dp:\e» triangles dfp et ACfseroat semblables, et nous aurons df: fp : : Cf: Af t ou s : x : : Cf : Af : : 1 : sin d. Ainsi sin d = * : s , et pour la frange du n e ordre , sin D, on D = n x : *, qui est exactement la formule déduite de l'expérience. Il résulte aussi de là nue la frange qui provient de l'élément du réseau pour lequel la différence des chemins est égale à deux ondulations devrait disparaître , si la raie obscure avait une largeur égale à celle de la raie transparente; il en serait de même pour la troisième frange , si la largeur d'une des raies était 1/3 de l'espace occupé parles dtux raies; et enfin pour la fiante de l'ordre «, si la largeur d'une des deux raies était égale à \\n de la somme des largeurs des deux raies; ce qui est encore parfaitement d'accord avec l'expérience. Nous devons dire cependant que , pour que l'explication précédente fût complète , il serait indispensable de faire le calcul des effets produits par tous les rayon» i\m^ versent le réseau, car, dans ce que nous avons dit précédemment, on ne voi pas nettement pourquoi les éléments du réseau qui sont compris entre ceux que avons considérés n'envoient pas de lumière. La déviation d pouvant se mesura t

mur* &e rarsio.ui, t. u. à

TUA li t ÉLÉMENTAIRE DE PUISl^l/li.

une très-fii amie précision ( 1395 ) , on en déduirai l facilement les valeurs de >. pour lei différentes couleurs.

En terminant la diffraction , nous répondrons à une objection qu'on a souvent reproduite contre le système des ondulations. Nous avons dit que, si on recevait les franges sur un verre dépoli , elles avaient les mêmes apparences que si on les regardait directement ou avec une loupe. Or, on a prétendu qu'il ne pouvait pas en être ainsi, attendu que les rayons, en se propageant directement dans l'œil, suivent des chemins et éprouvent des différences de marche qui dépendent de leurs directions primitives et des milieux qu'ils traversent. Pour répondre à celte objection t remarquons d'abord que, quand des rayons lumineux qui se propagent suivant des lignes courbes quelconques viennent rencontrer la première surface d'une lentille, les rayons convergent au même point que si les rayons incidents étaient reclilignes et dirigés suivant la dernière tangente à leur trajectoire au point d'incidence. Cela posé, considérons une lentille placée dans un faisceau de franges, se propageant suivant des directions quelconques, l'intersection de la première surface de la lentille et du faisceau renfermera des bandes dans lesquelles Téther sera alternativement en vibration, et en repos , et dans les premières l'intensité et la direction du mouvement en chaque point seront déterminées par la direction et l'intensité de la résultante des petits mouvements émanes des différents centres d'ébranlements. Alors ces mouvements se propageront à travers la lentille et produiront à une certaine distance .derrière, sur uo écran , une image semblable à celle qu'on verrait sur la première surface de la lentille , si elle était dépolie; mais elle sera renversée; et à ce foyer il ne se produira pa& de franges par des interférences directes , parce que , quelque grands que soient les rayons de courbure de la lentille , les différences de distances en ondulations d'un point du plan focal aux points lumineux seraient trop grandes. Ainsi , quand on regarde directement des franges à l'œil nu , celles qu'on voit ne sont pas celles qui se forment directement sur la réline, mais celles qui se produisent sur la cornée transparente et qui vont former ensuite leur image sur la réline par réfraction.

Polarisation de la lumière.

1556. Nous avons dit, en commençant l'exposition du système des ondulations, qu« Fresnel avait supposé que les mouvements vibratoires de l'éther avaient lieu, non pas dans la direction du mouvement de propagation, comme dans la transmission du son, mais parallèlement à la surface même des ondes. Dans ce qui précède nous n'avons point rappelé ce principe, parce que les phénomènes étaient les mêmes, quelque direction qu'on ait supposée aux mouvements vibratoires. Mais l'explication de tous les phénomènes relatifs à la polarisation dépend de la direction des mouvements vibratoires de l'éther.

Des expériences décisives (1557) démontrent la réalité de ces mouvements transversaux et leur parallélisme dans la lumière polarisée, et les phénomènes des plaques cristallisées (1570) que ces mouvements sont perpendiculaires au plan de polarisalion. Alors, si on admet que les corps lumineux éprouvent à chaque instaut des perturbations qui changent continuellement la direction du plan de polarisation de la lumière, de sorte que , dans un intervalle de temps très-court, ils émettent autant de lumière polarisée dans un certain plan que dans un plan perpendiculaire , celte lumière se comportera comme un faisceau de lumière formé de deux autres de même intensité, polarisés dans deux plans rectangulaires, et par suite elle ne pourra donntr naissance à aucun des phénomènes que présente la lumière polarisée dans un seul plan, puisque les apparences sont toujours complémentaires quand les plans primitifs

de polarisation sont rectangulaires. D'après cela , dans la polarisation de la lumière par la réflexion ou la réfraction simple ou double , l'action des corps consiste uniquement à ramener les mouvements de l'éther en totalité ou en partie dans un môme plan.

1557* La direction du mouvement oscillatoire dans les ondes lumineuses peut être déterminée par l'expérience. En effet, cette direction est nécessairement parallèle ou perpendiculaire à la surface de Tonde ; mais dans le premier cas , et dans ce cas seulement , si la polarisation consiste dans le parallélisme des petits mouvements , en faisant interférer deux faisceaux de lumière homogène polarisés dans deux plans rectangulaires , il ne se produira pas de franges , quelle que soit d'ailleurs la différence des chemins parcourus : ear le mouvement résultant sera toujours é,jal à la racine carrée des vitesses des ondes élémentaires, et l'intensité de la lumière en un point quelconque de l'espace éclairé par les deux faisceaux sera égale à la somme des intensités de la lumière apportée par chacun des faisceaux. Voici raainVeaa.nl les ex]>érien«es laites par JFresnel.

Considérons un faisceau de lumière introduit dans une chambre obscure à travers deux rentes parallèles : si dans chaque faisceau on place une pile égale de lames minces de mica, sous une assez grande inclinaison pour le polariser presque complètement, et de manière que les plans d'incideuce soient perpendiculaires entre eux les franges disparaissent; elles se reproduisent quand les plans cessent d'être perpendiculaires, et avec un éclat qui croit à mesure que les plans approchent du parallélisme. Ainsi les rayons de lumière polarises suivant le même plan s'iuauencent comme les rayons de lumière non modifiée; mais celte influence diminue à mesure que les jdans de polarisation s'écartent l'un de l'autre, et devient nulle quand ils 80n t ri ! c tangulaires. L'expérience suivante conduit encore à la même conséquence.

On prend une lame de sulfate de chaux ou de cristal de roche parallèle à j'axe et d'une épaisseur bien uniforme; ou la coupe en deux, et l'on place chacune des moitiés sur une dos fentes de l'écran. Supposons qu'on ail tourné ces deux moitiés de manière que les bords qui étaient contigu* dans la lame avant sa division soient restés parallèles , les axes le serout aussi : or, dans ce cas , ou n'aperçoit qu'uu seul groupe de franges au milieu de l'espace éclairé , comme avant l'iulerposiliou de la lame. Mais si on fait tourner une de ces deux moitiés dans son plan, en dérangeant aiusi le parallélisme, on fait naître deux autres groupes plus faibles, situés l'un à droite, l'autre à gauche du groupe du milieu , et qui en sont complètement séparés dans la lumière blanche lorsque les lames ont seulement un millimètre d'épaisseur. Il est à remarquer que le nombre de largeurs de franges comprises entre le milieu d'un de ce» groupes et celui du groupe central est proportionnel à l'épaisseur des Wm«* P° ur cristaux de même nature , ou dont la dottble réfraction a la roènie énergie , comme le cristal de roche et la eh aux sulfatée. A mesure que l'angle des deux axes augmente , ces nouveaux groupes de franges deviennent de plus en plus prononcés, et atteignent enfin leur maximum d'intensité quand les axes des deux lames sont perpendiculaires entre eux : alors le groupe central, qui s'était affaibli graduellement, a tout à fait disparu, et est remplacé par une lumière uniforme. 11 faut en conclure que les rayons qui les produisent par leur interférence ne sont plus capables de s'influencer mutuellement. 11 est aisé de voir, d'après la position des franges, qu'elles résultent de l'interférence des rayons qui ont subi le même mode de réfraction dons les deux lames, puisque, les ayant parcourues avec des vitesses égales, ils doivent arriver simultanément dans le milieu de l'espace éclairé qui répond à des chemins égaux , si d'ailleurs les deux lames sont de même épaisseur et restent toujours l'une et l'autre perpendiculaires aux rayons, connue nous le supposons ici. Ainsi les franges du groupe

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE bE PHYSIQUE.

central étaient formées par la superposition de celles qui résultaient l°de l'interférence des rayons ordinaires de la lame de gauche avec les rayons ordinaires de la lame de droite; 2° de l'interférence des rayons extraordinaires de la première lame avec les rayons extraordinaires de la seconde. Les deux groupes excentriques au contraire résultent de l'interférence des rayons qui ont subides réfractions différentes dans les deux lames; et comme ce sont les rayons ordinaires qui marchent le plus vite dans le cristal de roche ou le sulfate de chaux, on voit que, si on emploie une de ces deux espèces de cristaux , le groupe de gauche doit être formé par la réunion des rayons * extraordinaires de la lame de gauche avec les rayons ordinaires de la lame de droite, et le groupe de droite par la réunion des rayons extraordinaires de la lame de droite avec les rayons ordinaires de la lame de gauche. Or, quand les* axes des deux lames étaient parallèles , les rayons qui avaient éprouvé les mêmes réfractions dans les deux cristaux se trouvaient polarisés suivant la même direction , et ceirx de noms contraires suivant des directions rectangulaires : voilà pourquoi le groupe de franges dn milieu, qui provient de l'interférence des rayons de même nom , était à son maximum d'intensilé, et les autres, qui résultent de l'interférence des rayons de noms contraires, ne paraissaient pas encore. Mais quand les axes des deux lames formaient entre eux un angle oblique, de VS° par exemple, les rayons de noms contraires et ceux de même nom pouvaient agir à la fois les uns sur les autres, puisque leurs plans de polarisation n'étaient plus rectangulaires, et les trois groupes de franges étaient produits. Lorsque enfin les axes deviennent perpendiculaires entre eux, les rayons de même nom se trouvent polarisés suivant les directions rectangulaires, et le groupe central auquel ils donnaient naissance s'évanouit, tandis que les rayons ordinaires de la lame de gauche sont alors polarisés parallèlement aux rayons extraordinaires d« la lame de droite; ce qui fait que le groupe de droite qu'ils produisent atteint son maximum d'intensité. Il en est de même du groupe de gauche, résultant de l'interférence des rayons ordinaires de la lame de droite avec les rayons extraordinaires de la lame de gauche.

Nous rapporterons enfin une dernière expérience qui conduit aux mêmes conséquences. Si, après avoir fait polir un rhomboïde de chaux carhonatée sur deux faces opposées, dressées avec soin et bien parallèles , on le scie perpendiculairement à ces faces , on obtient deux rhomboïdes d'égale épaisseur, et dans lesquels la marche des rayons ordinaires et extraordinaires est exactement pareille sous la même incideuce. En les plaçant l'un devant l'autre, de manière que les rayons partis du point lumineux qui avaient traversé le premier rhomboïde parcourussent ensuite le second, et que leurs faces fussent perpendiculaires à la direction des rayor.a incidents, les sections principales étant à angle droit , les quatre faisceaux que produisent en général les deux rhomboïdes étaient réduits à deux ; le faisceau ordinaire du premier rhomboïde était réfracté extraordinairement dans le second, et le faisceau extraordinaire de celui-là était réfracté ordinairement dans celui-ci. Il résulte de cette disposition que les différences de marche provenant de la différence de vitesse des rayons ordinaires et extraordinaires se trouvent compensées pour les deux faisceaux sortant. Ils se croisent d'ailleurs sous un angle très-petit, et tel que les franges doivent avoir une largeur beaucoup plus que suffisante pour être aperçues; et cependant, quoique toutes les conditions nécessaires à la produetion des franges pour les circonstances ordinaires soient observées , il est impossible de parvenir à les faire paraître.

Il est donc complètement démontré que les rayons polarisés à angle droit n'exercent aucune influence l'un sur l'autre, et par conséquent que les mouvements de Téther ont lieu dans le plan de l'onde, et dans une même direction quand la lumière est polarisée.

1558. Fresnel, en partant de certaines hypothèses très-probables, est parvenu à des formules qui représentent , avec une admirable précision, les intensités des rayons réfléchis ou réfractés, et d'où résultent, non-seulement les phénomènes généraux de polarisation qui se produisent par la réflexion et la réfraction ordinaires, mais encore toutes les lois observées. Un faisceau de lumière naturelle pouvant être considéré comme composé de deux faisceaux d'égale intensité polarisés dans deux directions rectangulaires, disposés d'une manière quelconque, pour arriver à la détermination des phénomènes que présente la lumière naturelle quand elle se réfléchit à la surface des corps ou les traverse, il faut d'abord étudier les modifications que ces circonstances apportent à la lumière complètement polarisée.

1559. Détermination de Y intensité des rayons réfléchis et réfractés lorsque le rayon incident est complètement polarisé dans le plan d'incidence. Fresnel , pour résoudre celte question , admet 1° que , dans la communication du mouvement de Télhcr du premier milieu à celui du second , la force vive de Tonde incidente est égale à (a somme des forces vives de l'onde réfléchie et de Tonde réfractée, c'esl-à-direque le produit delà masse de Tonde incidente, multiplié par le carré de la vitesse de vibration . est égal à la somme des produits des masses des ondes incidentes et réfractées multipliées par les carrés des vitesses respectives; c'est un principe général de mécanique qui existe dans tout système de points matériels dont les vitesses ne varient en grandeur et en direction qu'en vertu de leurs liaisons mutuelles, et qu; est applicableau eboe des corps parfaitement élastiques } 2» que les molécules de l'élher du premier et du second milieu qui sont voisines delà surface de séparation des deux milieux exécutent des oscillations de même amplitude, et que cette vitesse cominuueest égaleà la somme des vitesses de Télher dans Tonde incidente et dans Tonde réfléchie, ou à celle de l'onde transmise, mais toutes décomposées parallèlement à la surface. Ce dernier principe n'est point évideut, et n'a point été démontré.

A l aide de ces deux principes , il est facile de trouver l'intensité de Tonde réfléchie : en effet , si nous désignons par i et r les angles d'incidence et de réflexion , par 1 la vitesse de vibration dans le rayon iucidenl , par r et u les vitesses correspondantes dans les rayons réfléchis et réfractés , nous aurons , en vertu du deuxième principe , dans le cas dont il s agit , où les mouvements sont perpendiculaires au plan d'incidence ,

Pour obtenir l'équation relative à la conservation des forces vives , il faut d'abord déterminer les masses des ondes incidentes réfléchies et réfractées : or, les largeurs des faisceaux incident* et réfractés sont représentées par les lignes GI et DM (flg. 921 ) ; et, comme on a GI — GD cos i et DM = GD cos r, d s'ensuit que ces largeurs sont proportionnelles à cos » et cos r. Les hauteurs des ondes incidentes et réfractées étant les longueurs d'ondulation dans !c premier et le second milieu, et ces longueurs étant proportionnelles à sin i et à sin r, il t'enauit. que les volumes d'élher de Tonde incidente et de fonde réfractée , entre lesquels \a communication du mouvement a lieu , sont proportionnels à cos » sin t et à et» r sin r ; et \ea masses seroul proportionnelles à d cos i* sin » et à d! cos r sin r, del d? élant les densités de lùtlier c ans le premier et le second milieu. Mais dans la communication du mouvemeul dans un Hume élastique on a ©' =e : d, e représentant l'élasticité du fluide et d sa densité; si on suppose que dans les différents corps Télher ne diffère que par la densité, et que son élasUciie re i constante , la densité sera en raison inverse du carré de la vitesse de propagation du mo ment, ou proportionnelle à 1 : sin'* et 1 : sin'r. Par conséquent les masses d'élher oes aeux seront proportionnelles a

sinjços/ sinreosj: , * JSSfJ e , C J>*X.

'Tïiïï <l - sm v~^ 0,1 * suit ei

D'api* cela , le principe de U

c*± = Soir + cost ou ÇMfd^)»^, w •m i sin r sua » swr «or w

En éliminant successivement u et c entre le» équations (a) et (b) , on trouve

tin (t — r) , Ssin rcosi

sin(* + r) 8tn(t + r) ;

alors, en désignant par R l'intensité du rayon réfléchi , et par T celle du rayon transmis ,

comme ces intensités sont proportionnelles aux carrés des vitesses , on a

sin'Q'- r) m . T 4co8'isln!j- m

SI on remplace dans ces formules sin r par sa valeur tirée de la relation aJn i = « sln r } on trouve

M.^T-cosfV et 7*= t — /?.

Si dans cette dernière formule on fait i = 0 , on trouve J? = (n — 1 )• : (« + 1 )» ; et pour i = 90. on a R = 1 . Il est facile,en outre, de reconnaître an moyen de la formule (1 ) que, si on fait croître i d'une manière continue de 0 à 90% la valeur de R ira constamment en croissant : en effet , sin (i — r) est plus grand que sin / — sin r = sin r (« — 1 ), et d'autant plus que l'angle r est plus grand ; sin (t -f r) est au contraire toujours plus petit que sin i -f sin r = sin r(n + 1), et d'autant plus que r est plus grand. Donc , à mesure que t augmente, sin (i — r) prend des valeurs qui excèdent toujours davantage sin r ( n — 1 ) , et sin ( i -f- r) prend des valeurs qui sont toujours , de plus en plus , plus petites que sin r { » + 1 ) : ainsi la valeur de la fraction sin ( i — r) : sin (t -f r) va constamment en croissant. Quant aux variations d'intensité du rayon réfracté, elles se déduisent de celles du rayon incident , car les intensités de ces deux rayons sont complémentaires.

Les formules (1) et (2) peuvent s'obtenir au moyen de celles du choc des corps élastiques. En effet , en désignant par m et m' deux masses , dont la première est animée d'une vitesse représentée par l'unité et la seconde en repos , nous avons vu (147) que le» vitesses des deux masaes après le choc étaient

m — m' fm

V — — ■- — , ei W = ; — —j.

En remplaçant dans ce* deux formules m et «*' par leurs valeurs coa i : aln t et coa r : sin r trouvées plus haut, on retrouve les formules précédentes.

1500. Détermination île l'intensité des rayotut réfléchi» et réfractés lorsque le rayon incident est complètement polarisé dans un plan perpendiculaire au plan <P incidence. Dans ce cas, Fresnel admettes mêmes suppositions que dans le cas précédent j mais alors les molécules d'élherdes deux milieux , voisines de la surface, ont pour vitesse , celle du premier milieu la somme des composantes parallèles à la surface des vitesses de l'étberdans le rayon Incident et le rayon réfléchi, et celles du deuxième milieu la composante parallèle au même plan des vitesses de l'onde réfractée : alors on a les équations

cos » ( v -f 1 ) = u cos r,

çosj cosi . çosr cosi . cosr

«inf «UTT ^sinr" 0U sïn7 (1 V ' ~ ilnT* '

.TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE 1»K PHYSIOUR. SG7 successivement u ttv entre ces deux équations , on trouva

g sinr cos r — tin i cos i tans (t — r)

sin r cos r -f sin t cos i tang ( i + r)

el a sinr cos t

sinrcosr + smt cost"

Ainsi , en désignant par if et par ries Intensités des rayons réfléchis et réfraetés , on a

-tang» (s r) ^ 4 sin» r ces» i /«

^ûng» + r) - <*> el T ~ (starcosT + sinicosir'*

Si on remplace dans ces formules sin r par sa valeur déduite de la relation sin i = n sin r , il Tient

H = (QL^Ej-- »' co » ' V et T=^l-R.

\ V n % — *in»t + n 1 cos t /

Si on suppose tf= 0, il vient i? ^ (m — 1)* : (n + t) 1 . Ainsi, lorsque le rayon incident est normal, l'intensité du rayon réfléchi est la même quand le rayon incident est polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence : il est d'ailleurs facile de voir qu'il doit en être ainsi, car, la surface du corps étant parallèle aux ondes , la direction des mouvements vibratoires est sans influence. Lorsqu'on suppose i — 90", on a R — 1 , comme dans le cas où le rayon incident est complètement polarisé daus le plan d'incideuce ; mais Ici l'intensité du rayon réfléchi n'augmentepas d'une manière continue de i'=0à i=90% car, pour i 4- r=00% l'équation (8) donne R =0 : c'est ce qui devait être , car nous savons qu'alors la réflexion est nulle.

1561. Dètertninatton de l'intensité des rayons réfléchis lorsque le rayon incident est polarisé dans un plan quelconque. A l'aide des formules (1) , (2) , (3) , (4) , on peut facilement trouver les intensités des rayons réfléchis ou réfractés dans toutes les circonstances possibles. Nous nous occuperons d'abord des rayons réfléchis.

Su|»posons d'abord que le rayon incident soit complètement polarisé , mais que son plan de polarisation fasse un angle A avec le plan d'incidence : ce faisceau pourra évidemment êtreconsidéré comme composé de deux faisceaux polarisés, l'un dans le plan d'incideuce, l'autre dans un plan perpendiculaire, et ayant pour intensités cos 1 A et sin* A. Alors l'intensité R du faisceau réfléchi sera donnée par la formule

j. iin '(t-r) . A . tang' (» -r) t , A (5)

Si la lumière était complètement polarisée dans le plan d'incidence , on aurait A == 0 , et on retomberait sur la formule (1). Si le faisceau était au contraire polarisé dans un plan perpendiculaire , on aurait A =s 90°, et on retrouverait la formule (5); et si, dans ce dernier cas , l'angle de réflexion était celui de la polarisation complète , on aurait i + r a= 90', d'où lang ( i + r) «b <s> , el par suit* R = 0.

Si la lumière incidents était complètement polarisée dans un plan incliné de 45« sur le plan

d'incidence , on aurait cos 1 A = sin 1 A = | , et par conséquent

-.1 r sin» (s — r) . tang' ( t — r) i (6) S L sin' ( i + r ) " r tang" + J *

Ce dernier résultat est le même que celui qu'on obtiendrait en supposant U lumière (incidente composée de deux faisceaux ayaut chacun l'intensité 1 /i , et polarisés l'un dans îe ipia i d'incidence, Vautre dans un plan perpendiculaire. On arriverait aussi exactement

formule en considérant le faisceau incident comme composé de deux faisceaux d'intensité \Ji f polarisés dans deux plans rectangulaires disposés d'une manière quelconque par rapport au plan de réflexion : car, en désignant par A et A les angles de ces plans avec le plan d'incidence, on aurait

mais, comme les angles A et ^sont complémentaires, ^ et A' disparaissent, et on retombe sur la formule (0).

Si la lumière incidente était naturelle, on pourrait toujours la considérer comme composée de deux faisceaux ayant chacun une intensité 1 /2 , el polarisés dans deux plans rectangulaires quelconques : par conséquent la formule (G) est applicable à In réflexion de la lumière naturelle.

Si on suppose la lumière naturelle, et qu'après avoir éliminé r dans l'équation (Ô) au moyen de la relation n' sin i=n sin r, n et n' étant les indices des deux milieux, on fasse successivement i = 0 , i + r = 90» et » = 90 , on trouve pour les intensités des rayons réfléchis.

Ainsi l'intensité du rayon réfléchi augmente avec l'inclinaison : par exemple, pour le verre ordinaire, dont l'indice est 5/3 , en supposant que le milieu environnant soit de l'air, les quantités de lumière réfléchie sous ces trois indices sont 0,04 ; 0,148 et 1.

On pourrait facilement, d'après ce qui précède , trouver la somme des intensités des rayons de lumière naturelle qui seraient réfléchis perpendiculairement par une plaque à faces parallèles après un nombre quelconque de réflexions : car, en désignant par r' l'iutensité du rayon réfléchi à la première surface , les intensités des rayons émergents après 1 , 3 , 5 , 7, réflexions , seront

r\ (l-f)'r\ (1 - r')' r 4 , (l-r')'r", (l-r 1 )'*"»; el la somme de ces intensités sera

r , +(l-r)'r'(1+'H»H ...)={±=ja\

En appliquant celte formule au verre ordinaire , au cristal de roche , au sel gemme , à l'eau et au diamant , pour lesquels les indices sont 3/3, 35/10 , 17/1 1 , 53/40, 100/41, el en supposant que le premier milieu soit de l'air, on trouve les résultats suivants.

Réflexion S la Béflealon totale d'une

première «urCace. plaque a face* parallèle*.

Verre commun 0,040 0,077

Cristal déroche 0,048 0,091

Eau 0,0195 0,038

Diamant 0,175 0,397

Sel gemme 0,045 0,087

On voit à l'inspection de ces nombres la cause de l'éclat du diamant. Les nombres delà dernière colonne qui sont relatifs au verre commun , au cristal de roche et au sel gemme sont très-voisins de ceux que M. Melloni a trouvés |»our la quantité de chaleur réfléchie. Ces derniers nombres sont, comme nous l'avons dit , 0,084 , 0,081 el 0,08. Ce rapprochement semblerait indiquer que les indices de réfraction des rayons calorifiques sont les mêmes ou du moins diffèrent peu de ceux de la lumière.

Enfin, si la lumière incidente se composait de lumière naturelle el de lumière polarisée . en

désignant par * l'intensité du faisceau polarisé, l'intensité du faisceau naturel sera 1 - if, ttce dernier pouvant être considéré comme composé de deux faisceaux ayant chacun pour

Intensité 1 * , et polarisés l'un dans le plan d'incidence , l'autre dans un plan perpendiculaire, on aura

r= «in* (i-r) ( k , A , \ , tang'(*-r) ( . . A * 1 ~ * \

1562. Mouvement du plan de polarisation produit par la réflexion. Lorsqu'un rayon de lumière polarisée se réfléchit sur une surface polie, le plan de polarisation du rayon réfléchi n'a pas , en général, la même position que celui du rayon incident ; mais il cal facile delà déterminer. 11 est d'abord évident que, si la lumière incidente était polarisée dans le plan d'incidence ou dans un plan perpendiculaire, le rayon réfléchi serait polarisé dans la même direction : car, dans l'un et l'autre cas , le plan de réflexion étant symétriquement placé relativement aux mouvements vibratoires , il n'y a pan de raison pour que la direction de ces mouvements change plutôt dans un sens que dans l'autre. Supposons maintenant que le plan de polarisation du rayon incident fasse un angle A avec le plan d'incidence , on pourra considérer le rayon incident comme composé de deux rayons polarisés l'un dans le plan d'incidence , l'autre dans un plan perpendiculaire , ayant le premier une vitesse de vibration représentée par cos A et l'autre par sin A; le premier donnera un rayon réfléchi dans lequel la vitesse de vibration sera

cos A lïZf r )' et le * econd un aulre rayon ^fléchi ayant une vitesse de vibration représentée par sin A JiMi^l£>. Mais , si on désigne par A' l'angle du plan de polarisation du ia ng \ « -j- r )

rayon réfléchi avec le plau de réflexion , la direction de ce plan sera celle de la résultante des mouvements dans les deux faisceaux élémentaires réfléchis, polarisés dans le plan de réflexion et dans un plan perpendiculaire : on aura donc

tang A' = *i°-4 X ? M »{?T r ! X < . in / (l ' + r | ou tang A' = tang A «!*« + r\ {g) D cos A ~ tang (» + #•) ~ sin (i — r ) ° ° cos(i — r) * '

Il résulte de cette formule que la direction du plan de polarisation du rayon réfléchi ne coïncide avec celui du rayon incident qu'autant que A est égal à u« ou à 90°, ou bien que, A étant quelconque , on a cos ( i ■+- r) = cos (/ — r) , ce qui exige que i = 0 ou i = 90°.

On voit aussi , à l'inspection de cette formule, que A' est toujours plus petit que A, car, les angles t et r étant toujours < que 90% cos(i + r) est < que cos {i — r) : ainsi la réflexion rapproche toujours le plan de polarisation du plan d'incidence. Lorsque la réflexion a lieu sous un angle tel que i + 90°, A' = 0 ; ainsi , sous l'angle de la iwlarisalion complète , le rayon réfléchi est polarisé dans le plan d'incidence , quelle que soit la direction du plan de polarisation du rayon incident.

Si le rayon incident était formé de lumière naturelle, on pourrait le considérer comme composé de deux faisceaux égaux , polarisés dans deux plans rectangulaires : alors le rayon réfléchi sera composé de deux faisceaux polarisés dans deux plans qui seront plus rapprochés du plan d'incidence, et qui coïncideraient avec lui si la réflexion a lieu sous un angle tel que i + r= 90°. Si on considère chacun des plans primitifs de polarisation comme étant incliné de 45 D sur le plan d'incidence , la formule (8) devient

cos (i «4- r) tap g^= coslt-r) -

En discutant cette formule , il est facile de voir que, sous l'incidence perpendiculaire , les plans de polarisation des deux faisceaux réfléchis sont inclinés de 45* sur le plan de réflexion , et par conséquent sont perpendiculaires entre eux : ainsi le rayon réfléchi est à l'étal naturel le rayon incident } mais, à mesure que l'angle d'incidence augmente, les deux plans de

57a TRAITÉ ÉLEMF.STA1RE DE PHYSIQUE.

polarisation se rapprochent du plan d'incidence , et coïncident avec lui lorsque « +rs=90'. Au delà de cette incidence lei plans de polarisation «'éloignent du plan d'incidence , mais en

tournant dans le même sens, car cos (t+ r) change de signe; enfin, pour l'incidence de 90», les plans de polarisation redeviennent de nouveau rectangulaires, et le rayon réfléchi reprend les propriétés de la lumière naturelle.

1563. Détermination de la quantité de lumière polarisée dans le plqn (T incidence qui *e troute dans le rayon réfléchi. Considérons un faisceau de lumière entièrement polarisé dans l'aiimut A , on a

Or, la quantité de lumière polarisée est égale a la différence des quantités de lumière polarisée dans le plan d'incidence et dans un plan perpendiculaire : par conséquent, en désignant celle quanUlé par K, ou aura

K ~R (cos' A' - sinW ) s= R ( 1 - ï sin' A' )...

En combinant les trois dernières équations , on trouve pour la quantité de lumière polarisée la valeur suivante :

K=z r»in'(»-f) C08 , A + tanfO-r) rf ,

Lsio' (i + r) T tang* (i+r) J

r cos 1 ( i — r) — tang' A cos' ( i + r) -, / 9) L cos 1 ( i - r) -h tang* ^cos 1 (T+ r) J*

Si la lumière Incidente était naturelle, il faudrait la considérer comme étant composée de deux faisceaux ayant une iutensité 1 /2, et polarisés dans des plans inclinés à 45° sur le plan d'incidence : alors on a

cosV = «hV^ = l,

et la formule précédente devient

- 1 r *in> (i-r) , tang'(t-r) -, A ""ï Lsin'(s+r) T tang»t* + fH

LcooM»'-r) + «»M*"+r) J * (»°)

M. Arago a vérifié l'exactitude de cette dernière formule, en déterminant par des expériences nombreuses les incidences sous lesquelles le rayon réfléchi renfermait la même quantité de lumière polarisée , et les résultats des expériences faites sur différentes espèces de verre et sur l'eau s'accordent très-bien avec la formule.

Si le rayon incident , toujours formé de lumière naturelle , était perpendiculaire à la surface réfléchissante, il faudrait faire» 0 dans la dernière formule, qui deviendrait alors K = 0. On obtient le même résultat en supposant t= 00. Ces deux cas particuliers de la formule ont aussi été vérifiés par l'expérience.

Enfin , si on pose i + r = 90, la formule devient

JT= 1 sin' ( r - r\

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE DB PHYStytJK. 57l

résultat identiquement le même que celui que donne la formule (6) qui représente l'intensité totale de la lumière réfléchie : la loi de Breweter est alors une conaéquenoe de la théorie . Si la lumière incidente était complètement polarisée dans le plan d'incidence on au il A = 0 , et la formule devient *

K — ji—r) suV^+r)*

La valeur de AT étant la même que celle que Pou obtient dans les mêmes circonstances noui» l'intensité totale du rayon réfléchi , H s'ensuit que le rayon est complément polarisé dans le plan primitif.

Si le rayon incident était polarisé dans un plan perpeodicu/aire au plan d'incidence, on aurait y#=»0-,

K tang' (i—r) langui +r)*

Le signe — indique que la lumière est polarisée dans un plan perpendiculaire au plan d'incidence; et, comme celte valeur de A" est la même que celle qu'on obtient dans le même cas pour l'intensité totale du rayon réfléchi , il s'ensuit que le rayon réfléchi est complètement polarisé dans le plan primitif. Si i + r = 90', la valeur de AT devient nulle , comme on devait s'y attendre.

Si le rayon incident était seulement en partie polarisé , il serait également très-facile de trouver l'intensité du rayon et la direction du nouveau plan de polarisation , en considérant la lumière comme composée de deux faisceaux , l'un de lumière naturelle , l'autre de lumière complètement polarisée.

1564. Polarisation par des réflexions successives. Lorsqu'un rayon de lumière naturelle se réfléchit sous une incidence diHércnle de celle qui produit la polarisation complète, nous savons qu'il se polariseen partie ; ou, en considérant la lumière naturelle comme formée de deux faisceaux d'égale intensité , polarisés dans des plans inclinés de 45° sur le plan de réflexion . que ces plans se rapprochent du plan d'incidence par le seul fait de la réflexion : on couçoit alors que , si le rayon éprouve une suite de réflexions, les plans de polarisation , se rapprochant toujours davantage du plan d'incidence , finiront, après un nombre suffisant de réflexions, par coïncider avec lui, et alors la lumière se trouvera complètement polarisée.

La formule (8) permet de calculer la position des plans de polarisation après nn nombre quelconque de réflexions. Si nous supposons que la réflexion ait lieu entre deux surfaces parallèles , de manière que les angles de réflexion soient les mêmes , en désignant par A', A", A"'..., les azimuts des plans de polarisation après 1,2, 3... , réflexious , nous aurons évidemment

tang A' = S2£X£±4, cos { t — r )

tang A" = tang A 1 co * ( ' 1 + r) = co *'(* + r) * coaU — r) cos* {i — r)'

tang A'" = tan* A" co8 (l '+ r) = co,l <'+ r ), Z eoTÏ^TT) - cos' (s" - r) '

G cos {i — r) cos» (i — r)

Cos ( s + r) étant toujours plus petit que cos ( « — r ) , on voit que l'azimut du plan de polarisation va en diminuant à mesure que le nombre de réflexions augmente ; mats , comme cet

nul, la polarisation ne peut jamais devenir complète quand i + r diffère de 90*. Cependant, l'azimut de» plans de polarisation devenant très-petit aprèa un nombre de réflexions qui n'est jamais très-considérable, la polarisation devient alors presque totale. M. Brewster a vérifié ces résultats théoriques par une expérience sur le verre ; il a reconnu qu'après cinq réflexions sous un angle de 70% la polarisation était complète : or, la formule donne alors S? pour l'azimut des plans de polarisation.

On pourrait facilement trouver la position des plans de polarisation dans le cas où les angles d'incidence seraient variables, et où les substances réfléchissante* seraient différentes.

Toutes les questions que nous venons de traiter pour le rayon réfléchi peuveolse résoudre de la m^me manière pour le rayon réfracté.

1565. Intensité du rayon réfracté. La formule générale qui représente l'intensité du ravon transmis peut se déduire des formules qui représentent celle intensité dans le cas où le rayon incident est polarisé ou dans un plan perpendiculaire; mais il est plus simple de prendre le complément du rayon réfléchi; on aura ainsi

T - 1 MUi-r) , A tangM»-r)

et, dans le cas de la lumière naturelle,

sin' (i — r) , Ung*(* — r ) -.

siu'< i + r ) tang* l« + r)J"

Sous l'incidence perpendiculaire et sous l'angle de polarisation on trouve

1566. Quantité de lumière polarisée qui se trouve dans le rayon réfracté. On pourrail déterminer cette quantité par la même méthode que nous avons employée pour la réflexion ; mais il est beaucoup plus simple delà déduire de celle qui se trouve polarisée par réflexion dans le plan d'incidence et dans le plan perpendiculaire, car les quantités de lumière polarisées dans chacun de ers plans qui se trouvent dans le rayon réfléchi el daus le rayon réfracté sont complémentaires : ainsi, en désignant par A l'azimut du plan de polarisation du rayon incident, on aura pour la quantité de lumière polarisée daus un plan perpendiculaire au plan d'incidence,

et , dans le cas où la lumière incidente est naturelle ,

K \ sin' (i - r) 1 tang» (»' -__r) 2 sin' [i + r) 2 tang' ( i + r)'

Cette dernière valeur de K est la même que celle qu'on trouverait directement pour la quantité de lumière du rayon réfléchi polarisée dans le plan d'incidence , et elle est équivalente à celle que nous avons donnée en parlant de l'angle du plan de polarisation du rayon réfléchi. Ainsi , pour la lumière naturelle , il y a autant de lumière polarisée daus le rayon réfracté que dans le rayon transmis. C'est la loi qui avaitétc découverte par M. Arago longtemps avant que la théorie l'ail indiquée.

1567. Mouvement du plan de polarisation produit par la réfraction. Le rayon incident , étant polarisé dans un plan formant avec le plan d'incidence un angle A, pourra être considéré comme composé de deux rayons polarisés l'un dans le plan d'incidence , l'autre

dans un plan perpendiculaire , et dont les vitesses de vibration seraient cos A et sln A; chacuu de ces rayons donnera des rayons transmis dont les vitesses de vibration seront

^^ x ynrco i t a t . mJX 2 sin r cos

sin(t + r) ~ sin(t+r)cos(t-r)'

eu remarquant que

sin t cos t' + sin r cos r = sin ( i «f r) cos (1 — r ) ;

d'où Ton déduit facilement que l'augle A' de la résultante avec le plan d'incidence , c'est-àdire l'azimut du plan de polarisation du rayon transmis , est donné par l'équation

cot A*= col A cos (t — r).

Si la lumière était naturelle, pour chacun de ses plans de polarisation il faudrait poser A = 45», d'où col A = 1 , et la formule deviendrait

cot ^ = cos (1 — r).

En supposant que le rayon incident soit d'abord perpendiculaire à la surface du corps, elqu'd s'incline toujours davantage , t — r ira en augmentant , cos (1 — r) en diminuant , et A* en augmentant. La formule générale et la formule relative au cas particulier de la lumière non polarisée ont été données d'abord par M. Brewster comme résultat* de l'expérience ; il se servait d'un prisme disposé de manière que le rayon transmis rencontrait perpendiculairement la seconde surface : alors le rayon émergent avait le même plan de polarisation que le rayon réfracté.

Si le rayon sortait dans l'air par une surface parallèle à la première, en désignant par A" l'azimut du plan de polarisation du rayon émergent , et observant que

cos(t-r)=cos(r-»),

il viendrait col A" = cot A' cos { 1 ' - r ) = cot A cos» ( * - r ) ,

et , pour les deux plans de polarisation de la lumière naturelle ,

, cot^" = cos'(t-r).

M. Brewster a vérifié ces deux formules par un grand nombre d'observations.

Si un faisceau de lumière naturelle traversait successivement une série de plaques parallèles , l'azimut des plans de polarisation du dernier rayon émergent serait donné par la

cot Ai*) = cos" (t — r). 1

i — r étant une quantité < que 90°, AW s'approche toujours davanlage de l'angle droit à mesure que n augmente , mais sans jamais lui être égal. Mais quand la différence est trèspetite , les deux plans partiels de polarisation coïncident sensiblement, et la lumière réfractée parait complètement polarisée dans un plan perpendiculaire au plan de réfraction. Par exemple, M. Brewster a trouvé que la lumière était complètement polarisée par des piles de 8 , 24 et 47 plaques de verre . sous des incidences de 78" 52' pour la première , de 61° pour la seconde et de 45" 54' pour la troisième ; la formule donne pour les azimuts des plans de polarisation des rayons émergents 88" 50', 89° 58' et 88" 27'.

1568. Pour résumer tout ce que nous venons de dire'sur la polarisation par réflexion et par réfraction , conservons les notations précédentes, désignons par r et r 7 les quantités de lumière du rayon réfléchi polarisées dans le plan d'incidence et dans un plan perpendiculaire, par t et f les quantités analogues pour le rayon réfracté , et posons

a=:ahi(t*-r):sin(t + r) et b =lang (i-r) lang (f+f) , nous aurons

r = a 4 cosM, r'rrft'fin'^, i? = r+^, Jr = r-r% tang = y/ ^ = tan ff ^ C08 ( i + r ) : cos ( t — r) ; t = {\ - a*)cot' A , fz={l -b>)Mi*A, T=t + f, K = f - t et tang^/ = y/j^=tang^.cos(i-r).

1569. Polarisation des anneaux coloris formés par les lames minces. M. Arago a observé dans la lumière des anneaux colorés plusieurs phénomènes, dont un surtout est fort remarquable , et qui s'expliquent avec un grande facilité dans le système des ondulations. Voici en quoi ils consistent : lorsqu'on observe les anneaux réfléchis à travers un prisme biréfringent achromatique, placé de manière quesa section principale soit parallèle ou perpendiculaire au pian de réflexion , sous l'incidence perpendiculaire , on aperçoit deux images de même intensité ; par conséquent la lumière des anneaux n'est pas polarisée ; mats si l'inclinaison augmente, une des deux images s'affaiblit, disparaît sous l'angle de polarisation complète du verre, et réparait au delà avec une intensité croissante à mesure que les rayons réfléchi* •'inclinent davantage. L'image qui éprouve ces variations est l'image extraordinaire quand la section principale du prisme est parallèle au plan de réflexion; c'est l'image ordinaire dans le cas contraire. Dans toutes les inclinaisons du rayon incident, les teintes des deux images sont les mêmes ; elles ne diffèrent que par l'intensité. Ainsi la lumière des anneaux colorés est en partie polai isée dans le plan d'incidence , et la quantité de lumière polarisée augmente jusqu'à ce que l'angle de réflexion soit celui de la polarisation complète sur le verre , et diminue au delà.

Les mêmes phénomènes se développent lorsque les anneaux se forment entre une lentille et un miroir métallique, mais avec cette différence caractéristique, que l'image qui reparait au delà de l'incidence de 35° présente des teintes complémentaires de celle qui n'a pas disparu.

Lorsqu'on observe avec un prisme biréfringent les anneaux transmis à travers un système de deux lentilles éclairées par une large feuille de papier, en arrêtant par un écran les rayons qui pourraient produire des anneaux par réflexion, on aperçoit deux images qui éprouvent, par les changements d'inclinaison , les mêmes variations que les anneaux réfléchis : par conséquent, la lumière est polarisée de la même manière. Le prisme biréfringent n'agit que sur la lumière même des anneaux , car un objet placé snr le papier donne toujours deux images de même intensité.

Si on observe directement les anneaux réfléchis formés entre un verre et un prisme biréfringent, le verre étant placé en dessus, les anneaux ne diffèrent en rien de ceux qui se forment entre deux lames de verre ; mais si la plaque cristallisée est placée en dessus , on voit deux systèmes d'anneaux ; et si l'angle d'incidence est de 35", en faisant tourner le système des deux plaques, pour chaque tour complet, l'image disparaît deux fois. Lorsqu'avec le même appareil on observe les anneaux transmis, les images ne changent pas d'intensité quand la lumière traverse d'abord la plaque de verre; dans le cas contraire , les anneaux varient d'intensité comme les anneaux réfléchis.

De tous ces faits, deux seulement exigent une explication particulière : ce sont 1° le parallélisme des plans de polarisation des anneaux réfléchis et transmis, et la tendance *ers une polarisation opposée sous une incidence qui excède celle de la polarisation complète ; 3° le changement qu'éprouve un des deux systèmes d'anneaux à travers un prisme biréfringent , au delà de l'angle de la polarisation complète , lorsque la plaque inférieure est métallique.

Pour rendre compte du premier, il faut considérer la lumière incidente comme composée de ilcux faisceaux d'égale intensité, polarisés, l'un dans le plan de réflexion , l'autre dons un

Titille ELEMENTAIRE DK PHYSIQUE.

plan perpendiculaire , et calculer les intensités des rayons réfléchis a la seconde surface de la lame mince, et de ceux qui sortent après deux réflexions intérieures, en tenant compte des quantités de lumière perdue à toutes les réflexions el les réfractions qu'ils ont éprouvées. Ces Intensité* étant précisément celles des anneaux polarisés dans le plan de réflexion et dans ua plan perpendiculaire , celui qui aura la plus grande intensité déterminera le sens de la polarisation des deux systèmes superposés. En désignant par r» et r" les intensités des rayons réfléchis , pour les rayons incidents polarisés dans le plan d'incidence et dans un plan perpendiculaire , et dont l'intensité est 1, on trouve que les rayons réfléelm à la secoude surface de la lame mince ont pour intensités r* ( 1 —#•»)* et r" { 1 — )*, et que«celles des rayons qui sortent après deux réflexions sont r* ( 1 — r» ) 4 el r** (1 — r'V. Si on remplace r 1 et par leurs valeurs sin' ( t — r ) . sin" (t + r) el tang' (t — r) : tang' ( i + r), ou trouve que les rayons polarisés dans le plan d'incidence ont une plus grande intensité que les autres.

Quant au rail observé lorsque la plaque inférieure est métallique, il se réduit évidemment a ceci : lorsque la lumière incidente est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence , nu delà de l'incidence correspondante à i + r = 00", un des deux système» de rayons réfléchis qui interfèrent éprouve un retard d'une demi-longueur d'ondulation. Ce relard s'explique par la seule inspection de la formule qui représente la vitesse d'oscillation dans le rayon réfléchi. En effet , ces vitesses pour le rayon réfléchi à la première et à la seconde surface de la lame mince sont proportionnelles à

r et r* étant les angles de réfraction correspondants à l'angle d'incidence i dans la lamé mince el dans le dernier milieu. Or, quand i + r dépasse 00', tang ( t -f* r) change de signe , et comme il n'en est pas de même de tang ( i + r') , attendu que, le second milieu étant métallique , r' est beaucoup plus petit que r, et ce changement de signe correspondant , comme on s lit, a une différence de chemin d'une demi-longueur d'ondulation. Celle explication , due à M. Ivory, a été vérifiée directement. 11 résulte évidemment de ce que nous venons dédire que, si on formait des anneaux avec une lame d'air renfermée entre deux lames minces, dont la première aurailun indice pins petit que la seconde, pour les incidences comprises entre t + rj= 90, e! i + = 00, on devrait obtenir îles anneaux à centre blanc lorsque la lumière incidente est polarisée dans un plan perpendiculaire au plan de réflexion ; el quand la lumière est naturelle, deux systèmes d'anneaux, l'un à centre noir, l'autre à centre blanc , superposés, et que l'on pourrait facilement séparer en les observant avec un prisme de chaux carbonatée. L'expérience a complètement confirmé ces conséquences delà Ihéorie.

Le tableau suivant, calculé par M. Brewsler, renferme les quantités de lumière réfléchie réfractées et polarisées, pour le verre dont l'indice de réfraction est 1,525; la quantité de lumière incidente naturelle est 1000, el les angles sont comptés à partir de la normale.

tan g (t — r) tang (i + r)

el

ta ng(t-r') tang (1 + 0'

m TRAITE ÉLÉMENT AIRE DE fUVSlQtlî.