ACTION BÉCIPROOVC DES COIHANTS ET DES AIMANTS

liffrpDts points de MN, la résultante totale passera par MN, et il réfoltc du calcul que celle force est en raison inverse de la plus courte distance du point A au courant.

1 Eb eflet , soit litn un dci éléinenU du courant ; eu désiguant par C Vinlcu- I silé du couraut et par V celle du |M»le du Taimunt ou du sulénoîde , riuti'iiHité deVact'wQ e\crcéc par le |)ùle A sur rélément m/i, ou ds sera

CFdf sin ? CVds cos $ i , ou V- — .

Si «NU désignons p«r a la distanci) AC de l'aiguille au courant, on aura

ads = r*dù ; d'où ds = :

en Tartion da pôle »ur IVlëroent de courant devient

CFr* cos Odô CF eus ùdô ar' a

et, ea intégrant cette expression depuis ô = -^ , jusqu aô=: — ^ , on trouve

— pour iKlion totale du couraut sur le pùlc de Taimant.

! Sik coaraut n'était pas indcHuI, en désignant par ù' et — û" les valeurs 1 de ê pour les éléments extrêmes , on aurait pour la valeur de la résultante ■ Mlle

^„ sin 6' -h sin é"

1081. Action tTun circuit fermé mr un deMpdle» d'un aimant, Urésultante finale passe loi\jonrs par le piMc do Taimant. En efTet, supposons d'abord que le circuit soit circulaire, cl que le pAlc de l'aîmant soit dans le plan du cercle.

Soient A (fig. tjU5; le pôle de Tainiant, mm't le circuit que rélec- Iricilé parcourl dans le sens indiqué par les floches; parle point A mêlions deux tangentes Am cl Am', et deux droites infininienl rapprochées A* el At : elles inlercepleronl sur la circonférence deux arcs gr et st, que rélcclricilé parcourt dans dos sons contraires. Les actions exercées par chacun de ces deux éléments se réduisent, comme nous l'avons vu , à une force perpendiculaire au plan du cercle et passant par le milieu des doux éléments; cos forces sont dirigées en sens contraires et ont dos inlensilos roprosonléos par qr sin Aqr : Aj* el «/ sin At$ : A«*; mais, c(mimo les an^^'les \qr et \tJt ont pour mesure, le premier 1/2 '7*4"^i'*'> ^'^ ^^ second I ,'2 qg^sf^ qui ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite :

300 ÉLECTBICITÉ DYXAJIIQIE.

il s'ensuit que les angles \qr et A</ sont égaux ^ et, par conséquent, que les triangles Xqr et \st sont semblables, et enfin que les arcs rq et si sont proportionnels à leur distance au point A. Alors les intensités des forces sont en raison inverse de leurs distances au point A, et , par suite , leur résultante passe par ce point. Comme il en sera de même de tous les systèmes de droites très-voisines tracées entre les tangentes \m et Am% il en résulte évideomient que les deux parties du circuit mrm' et mf m' produisent deux systèmes de forces parallèles opposées, dont la résultante unique passe par le point A. Ce principe n*est pas borné au cas particulier que nous venons de considérer^ il est général, et s'applique à un circuit fermé d'une forme quelconque.

1082. En eflet, considérons d^abord un élément mm' (fig. 666) et un pôle A d'un aimant ; supposons que Paimant puisse tourner autour d'une droite quelconque AB passant par le pôle , et cherchons le moment de rotation de Télément mm' autour de cet axe. L'intensité de la force appliquée à rélémcnt seraCF sin ^ds : r* (i). Désignons par du le double de Taire du triangle mAm'; on aura du r= r sin ^ds. Alors l'expression (i) devient CF du :r'. La force appliquée a l'élément de courant étant perpendiculaire au plan du triangle mAm', il faut , pour obtenir le moment de rotation , prendre la composante de cette force perpendiculairement au plan OAB , et multiplier cette composante par la distance du point 0 à Taxe de rotation. Or, en désignant par E Tangle des plans mAm' et OAB, la composante sera CF du cosE : r*; et, comme du cos E représente la projection de Taire du sur le plan OAB , en désignant par ô Tanglc que OA fait avec AB , cette aire pourra être représentée par r*dô ; mais la perpendiculaire abaissée de 0 sur AB ayant pour longueur r sin 6 , le moment de rotation sera CF sin ddd. Si nous supposons maintenant que le courant soit LL' ( Gg. 6G7 ) , il faudra intégrer Texpression CFsinôdd, depuis 6' jusqu'à 6", et la valeur de cette intégrale sera CF (cos 6" — cos 6'). Si le circuit est fermé , ô' = 6", et Texpression précédente devient nulle : ainsi , dans ce cas , le moment de rotation est nul ; or, comme Taction n*est pas nulle en général , il faut nécessairement que la force passe par le pôle de Taimant.

Ainsi Taction d'un circuit fermé sur le pAle d*un aimant passe toujours par ce pAle^ or, comme les corps conducteurs qui réunissent les pôles d'une pile et la pile elle-même forment toujours un circuit fermé dans lequel le courant traverse la pile comme les conducteurs^ il s'ensuit que Taction d'un courant sur le pôle d'un aimant se réduit toujours à une force unique qui passe par le pôle de Taimant. Il n'y a à ce principe qu'une seule exception : si l'aimant faisait lui-même partie du circuit , ou si le courant passait par un corps invariablement fixé à Taimant^ cette partie du circuit ne