LOIS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT

17. Équilibre et mouvement. — Attendu que tous les' changements dont la n,ïture est le théâtre peuvent se ramener à des mouvements, la recherche des lois du mouvement doil être la première question dont les sciences physiques oui à s'occuper ; mais avant d'ahorder cette étude, il importe de préciser les conditions du mouvement en général. Tel est l'ohjet de la statique ou étude de réquilihre ; la statique s'occupe, en effet, de déterminer la grandeur et la direction que doivent avoir, les forces qui agissent sur un point matériel quelconque ou sur un corps , pour que ce point ou ce corps reste en repos. Au cas que les forces ne se fassent pas équilibre , il s'agit de calculer la grandeur et la direction du mouvement qui a lieu ; c'est alors à la dynamique , ou science du mouvement considéré dans ses rapports avec les forces , qu'il appartient de chercher les lois suivant lesquelles s'accomplit, dans l'espace et dans le temps, le mouvement d'un point matériel ou d'un corps, en partant de la grandeur et de la direction des forces qui agissent à chaque instant sur le mobile considéré.

18. Composition des forces appliquées à un point matériel libre. — Lorsque des forces, quelconques agissent sur un point matériel isolé , il y a trois cas à distinguer : ou les forces sont dirigées dans le même sens, ou elles sont dirigées en sens contraire , tout en étant sur le prolongement les unes des autres , ou enfin, elles forment entre elles un certain angle. Dans les trois cas, l'effet produit sur le point se déduit du principe de la composition des forces (cf. § 40).

Lorsque deux forces ont la même direction, leur effet est évidemment égal à la somme des effets de chacune d'elles considérée séparément ; quand les deux forces sont dirigées en sens contraire l'une de l'autre, l'effet résultant est dirigé dans le sens de la force la plus grande , et il est égal à la différence des effets des deux composantes.

Parallélogramme des forces. — Si les deux forces qui sollicitent le point à se mettre en mouvement forment entre elles un angle , [si elles sont, comme on dit, concourantes ,] l'une étant dirigée suivant la droite MP, l'autre ayant la direction MQ (Fig. 3) , leur action simultanée aura pour effet d'amener le point M en R, en supposant que la première agissant seule eût transporté le point en P et que l'action isolée delà seconde eût fait arriver ce même point en Q.

En effet, imaginons que les forces aient agi l'une après l'autre:

le point matériel aurait, d'abord parcouru le chemin MP , et ensuite le chemin PR, qui est égal et parallèle à MQ. Or, il est facile de voir quel est en réalité le chemin suivi par le point lorsqu'il arrive à celle position finale R, sous l'influence simultanée dos doux forces. Dans ce but, on peut évidemment partager l'action de chaque force en autant d'actions élémentaires qu'on le désire: supposons

Fig. 3. — Parallélogramme des forces.

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qu'à un moment donné du mouvement, la première force eût amené le point matériel en P', et que la seconde force, agissant de son côté, l'eût fait parvenir en O' : l'action combinée des deux forces aura pour effet de transporter le point en R'. Si nous cherchons de cette manière les positions réelles et successives du point matériel dans les instants qui suivent, nous trouvons que le lieu de toutes ces positions est une ligne droite MR, qui forme Ta diagonale du paraUélogràmmë construit sur les droites MP et MQ.

Les forces qui agissent dans la direction des côtés MP et MQ sont ce qu'on appelle les composantes; elles peuvent être remplacées, quant à l'effet produit , par une seule force qui agirait suivant la droite MR et qui se nomme la résultante. La loi de la composition de deux forces concourantes est connue sous le nom de loi du parallélogramme des forces , précisément en raison du mode de construction que nous venons d'indiquer pour trouver l'effet résultant. Puisque les forces ne peuvent être mesurées que par leurs effets , les droites MP , MQ , MR représentent en grandeur et en direction les deux composantes et la résultante.

Ainsi donc il est parfaitement indifférent, au point de vue de l'effet produit, qu'un corps soit sollicité par une seule force égale en grandeur et en direction à MR, ou qu'il soit soumis à l'action simultanée des deux forces représentées par les deux droites MP et MQ ; on peut, à volonté, remplacer les deux composantes par leur résultante , ou celle-ci par ses deux composantes ; c'est là un résultat d'une grande importance pratique.

Polygone des forces. — Nous venons de démontrer la loi du parallélogramme des forces pour deux forces seulement ; mais il est facile de l'étendre au cas où un nombre quelconque de forces agissent sur un même point matériel. On n'a alors qu'à chercher, au moyen de la construction précédemment indiquée , la résultante de deux des forces données , puis à composer de la même manière cette résultante avec une troisième force ; la diagonale de ce nouveau parallélogramme représente évidemment la résultante des trois forces considérées. On répète la même construction pour une quatrième force , et on continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données [La dernière résultante obtenue représente la résultante finale de l'ensemble des forces considérées, et la série des droites qui ont été menées parallèlement aux forces données pour trouver les résultantes successives , forme un polygone, d'où le nom de polygone des forces.]

Conformément au principe de la composition des forces ainsi généralisé , on peut décomposer une force donnée non-seulement en deux autres , mais encore en un nombre quelconque de forces; on n'a, à cet effet, qu'à regarder les deux premières composantes comme étant à leur tour les résultantes de deux paires d'autres composantes, et ainsi de suite.

Pap.allélipipède des forces. — Il reste à examiner le cas où le point matériel est sollicité par trois forces concourantes non situées dans un même plan; on construit alors avec, les trois forces données un parallélipipèdc, delà même manière qu'on construit le parallélogramme dans le cas de deux forces; la diagonale du parallélipède donne immédiatement, en grandeur et en direction, la résultante cherchée. (Si le nombre des forces est supérieur à trois, on

trouve la résultante du système en composant successivement les résultantes de trois forces avec deux nouvelles forces.]

19. Composition des forces parallèles ou concourantes appliquées à un corps solide. Théorie du levier. — Le principe du parallélogramme des forces ne suffit plus pour rendre compte de ce qui se passe lorsque les forces sollicitent uu corps de dimensions appréciables, au lieu d'agir sur un simple point matériel ou sur un corps assez petit pour être assimilé à un point. Considérons , par exemple, un corps ayant la forme d'une barre rigide et soumis à l'action de plusieurs forces; il pourra se présenter, dans ces conditions, un cas qui est tout à fa il impossible lorsqu'on n'a affaire qu'à un seul point matériel : il o peut se faire notamment que les forces tendent à

■"i faire tourner la barre. Le cas le plus simple est ce-

lui où deux forces AP et BQ (Fig. 4) agissent aux I extrémités de la barre AB , suivant des directions pap rallèles et de même sens : il arrive alors que la barre

£ se déplace en totalité dans le sens où l'entraînent

Fig. 4. — Action do deux forces pa- les deux forces et qu'elle tourne en même temps ,

raiièies sur une narre rigide (îo- en s'inclinant du côté de la force la plus grande ,

qui est BQ. Mais, si on vient à empêcher le mouvement de translation de la barre en la soutenant en un point tel que 0 , il ne pourra plus se produire qu'un mouvement de rotation autour du point fixe.

On désigne sous le nom de levier simple toute barre linéaire rigide [droite ou courbe,] s'appuyant ainsi sur un point fixe qui l'empêche de se déplacer en totalité, mais autour duquel elle peut tourner. La force, avec laquelle il faut soutenir le levier pour l'empêcher de se déplacer en totalité , se déduit des conditionsétablies pour l'équilibre d'un point matériel : si les forces motrices sont parallèles et de même sens, comme le représente la Fig. 4, il faut que la résistance du point d'appui soit au moins égale à la somme des deux forces ; si les forces sont parallèles et de sens contraire , la résistance doit être égale à leur différence [et dirigée dans le sens de la plus petite].

Supposons enfin que les directions des deux forces fassent entre elles un certain angle , comme c'est le cas dans la Fig. 5 pour les forces AF et BF', qui prolongées forment l'angle AIB ; décomposons chacune de ces forces en deux autres et de manière à ce que deux des composantes, AL et BL', soient égales, de sens contraire et placées sur le prolongement de la droite AB , tandis que les deux autres, AP et BQ , seront parallèles entre elles. [En opérant cette décomposition suivant les règles du parallélogramme des forces , on peut toujours satisfaire aux conditions indiquées pour le cas particulier, si on a soin de mener les composantes AP et BQ parallèlement à la résultante du système des forces primitivement données; nous verrons à l'instant comment on trouve cette résultante , qui est d'ailleurs la même que la résultante des composantes parallèles.] Or les composantes AL et BL'; tirant en sens contraire et avec la môme intensité, se neutralisent réciproquement et ne déterminent aucun mouvement; les deux autres composantes AP et BQ entraînent, au contraire, le levier, et, pour empêcher ce mouvement de translation, il faut appliquer en un point quelconque du levier une force résistante, égale à la résultante des deux

LOIS DU MOUVEMENT

composantes parallèles, c'est-à-dire à leur somme [et dirigée en sens opposé]. Après avoir ainsi rameur l'effel des forces appliquées à une droite aux mémos règles que celui des forces appliquées à un point matériel , en ce qui concerne le mouvement de translation, il ne nous reste plus qu'à étudier l'acti* m rotatoire des forces sur le levier.

Cela pose", reprenons la Fig. 5, et considérons les forces parallèles AP et BQ, qui agissent aux extrémités du levier. A ces mêmes extrémités, et dans la direction de la droite AB, appliquons deux forces AL et BL' égales et de sens contraire: l'équilibre du système ne sera pas troublé par ces nouvelles forces, puisqu'elles se neutralisent réciproquement. Composons ensuite les forces AP et AL, et les forces BQ et BL' ; nous obtenons ainsi les deux résul- v tantes AP et BP', que nous pouvons substituer aux forces primitives AP et BQ, puisque l'introduction des composantes auxiliaires AL et BL' a été sans influence sur l'état du système. Prolongeons donc ces résultantes jusqu'à leur point de concours en I, et imaginons que les droites AI et BI soient des tiges solides, mais sans pesanteur, et liées d'une manière invariable au levier; il est évident que la présence de pareilles tiges n'altérera en rien le mouvement du levier.

[Or on admet en mécanique, commeprincipe expérimental, qu'on peut , sans changer Vètat de repos ou de mouvement d'un corps, transporter le point d'application d'une force en un point quelconque de sa direction, pourvu que le second point soit lié invariablement au premier. Ce principe peut être démontré comme une conséquence de celui de Y égalité

Fig. 5.

Composition des forces parallèles et théorie du levier

de l'action et de la réaction.] H est donc permis de transporteries points d'application des forces AF et BF' au point de concours I de leurs directions, et, à l'aide de cet artifice, l'effet de deux forces appliquées à une ligne solide se trouve ramené au cas des forces agissant sur un point matériel, problème dont nous avons déjà donné la solution. Prenons dès lors IF, égal à AF et IF,' égal à BF'; construisons le parallélogramme des forces, et nous obtenons la résultante IR, qui rencontre le levier au point O. Si à ce point O on applique une force égale et parallèle à la résultante IR, mais dirigée en sens contraire, on empêche les forces LF, et IF,', ou leurs égales AF et BF', de produire aucun mouvement du point I; mais ce point est supposé lié invariablement au levier; par conséquent," si on soutient le levier au point O avec uno force égale à la résultante IR qui passe par le même point, tout le système restera en repos, c'est-àdire ne subira aucun mouvement de translation ni de rotation. On sait d'ailleurs, parce qui précède [et la démonstration en sera donnée plus loin], que la résultante IR est égale à la somme des deux forces parallèles AP et BQ, et qu'elle est parallèle à leur direction.

Si l'on ne tient qu'à empêcher le mouvement de translation du levier, le choitf du point où il faut le soutenir importe peu; mais il n'en est plus de

même lorsqu'on veut mettre obstacle à la fois au mouvement de translation et à celui de rotation : il faut alors appliquer la force de soutien au point 0, par où passe la résultante des forces motrices; en plaçant le point d'appui en tout autre endroit de la ligne AB, on empêche, à la vérité, le levier de se déplacer en totalité, mais on lui permet encore de tourner autour de son point d'appui.

La position du point 0 dépend évidemment du rapport qui existe entre les grandeurs des deux forces parallèles AP et BQ. Pour déterminer ce point, je remarque que les deux triangles APF et IOA sont semblables; qu'il en est do même des deux triangles BQF' et IOB; on peut donc poser: