OA 10 , OB

= -nr et

PF ~ AP DU QF' — BQ Rappelons-nous que QF' = PF par construction, et adoptons les notations suivantes:

AP =/, BQ = /', OA = l, OB = V.

Les deux proportions précédentes prennent alors la forme :

= ■ — ■?— et T,„ = -

PF / "u PF ~~ f Do la première, on tire:/Z = 10 X PF; de la seconde, on déduit :/'?' = 10 X PF.

On a donc enfin :fl = fV. (1) Les distances l et V du point d'appui du levier aux points d'application des forces se nomment les bras de levier. La loi représentée par l'équation (1) peut dès lors être traduite en langage ordinaire de la manière suivante : pour qu'un levier reste en équilibre sous l'action de deux forces parallèles qui tendent à le faire tourner en sens contraire , il faut que les produits des forces par les bras de levier correspondants soient égaux, ou, en d'autres termes, que les forces soient inversement proportionnelles à leurs bras de levier. [Cette proposition n'est vraie que dans les conditions où nous nous sommes placés , c'est-à-dire lorsque les forces sont parallèles et qu'elles ont leurs points d'application en ligne droite avec le point d'appui. Mais, en faisant intervenir la considération des moments des forces , on arrive à une loi générale , qui s'applique aussi bien au levier courbe ou coudé sollicité par des forces concourantes ou parallèles, qu'au levier droit sollicité par des forces parallèles.] On appelle moment d'une force [par rapport à un point] le produit de l'intensité de la force CR (Fig. 6) par la perpendiculaire AF abaissée de ce point sur la droite qui représente la direction de la force, [Le point d'appui A du levier étant pris pour centre des moments,] la loi est la suivante : pour qu'un levier

soumis à l'action de deux forces qui tendent à le faire tourner en sens contraire reste en équilibre, il faut que les moments de ces forces soient égaux, c'est-à-dire qu'on ait : CR X AF = BP X AE.

\ Lorsque deux forces tendent à imprimer

des déplacements en sens contraire, il est i$ dans les habitudes courantes de la mécanique Fig. g. — Levier du premier genre sollicité {|e rGgarder l'un des moments comme positif

par (les forces non parallèles. , , ,i

et l'autre comme négatif; en se conformanl à celle convention, on peut énoncer la loi relative à ['équilibre d'un levier sous la forme suivante : ht somme algébrique des moments des forces doit être n ulle Cette proposition est vraie, quel que soit d'ailleurs le nombre des forces.

LOIS DU MOUVEMENT. 29

[On peut représenter algébriquement la loi générale qui vient d'être formulée en dernier lieu par l'équation :

fd+fcV = Q (2),

en désignant par d et </,' les longueurs des perpendiculaires abaissées du point d'appui sur les directions dos forces / et /', et on donnant aux moments les signes qui leur conviennent,

Si le levier est droit et los forcos parallèles, comme le représente la Pig 5 il est facile de voir que les perpendiculaires d et cZ' sont respectivement proportionnelles aux liras do levier l et V\ en remplaçant, dans l'équation (2), les quantités d et d' parles quantités l et F qui leur suiit proportionnelles, on se replace dans les conditions de la Pig. 5, et on retombe alors sur l'équation (1), ce qui montre bien que celle-ci n'est qu'un cas particulier do l'équation générale relative à la somme des moments des forces. Dans la Pig. 6, où les forcos ne sont pas parallèles, il n'y a point proportionnalité entre les bras de levier AC, AB, et les distances AP, AE, du point d'appui A aux directions des forces.]

Nous avons dit précédemment que la grandeur de la résultante qui tend h imprimer au levier un mouvement de translation, est égale à la somme des composantes parallèles agissant aux extrémités des bras do levier; il est facile do démontrer, sur la Fig. 5 qu' effectivement 111 = AP-t-liQ. Par le point F', menons F',K, parallèle à la droite AB; nous obtenons ainsi deux triangles IKP', et RKF,', qui sont respectivement égaux aux triangles BQF' et APF, comme ayant un côté égal adjacent h deux angles égaux chacun à chacun. On en tire :

EK = AP et.IK = BQ; d'où : IR = AP + BQ, c. q. f. d.

[On n'a considéré jusqu'ici que le cas où les deux composantes parallèles à la résultante sont de même sens; on atrouvé que dans ces conditions la résultante passe entre les composantes et est égale à leur somme. Le problème est tout aussi facile à résoudre lorsque les deux composantes parallèles sont de sens contraire ; le résultat seul diffère en ce que la résultante est alors égale à la différence des composantes, qu'elle passe en dehors d'elles du côté de la plus grande, et qu'elle est dirigée clans le même sens que cette dernière; quant à la position du point où la résultante coupe la droite qui joint les points d'application des composantes, elle doit satisfaire à la loi de l'égalité des moments.

Mais il se présente ici un cas singulier qui mérite au moins d'être mentionné : c'est celui où les deux forces, tout en étant parallèles et de sens contraire , sont égales en intensité : alors la résultante est nulle. Un pareil système se nomme couple et a pour effet de faire tourner le corps auquel il est appliqué, jusqu'à ce que les deux forces soient directement opposées l'une à l'autre. Un couple, n'ayant pas de résultante, ne peut être tenu en équilibre par un point fixe ; il faut deux points fixes pour empêcher la rotation du corps soumis à l'action d'un couple.

Je vais indiquer maintenant un procédé géométrique simple et rapide pour trouver à la fois le point d'application et là grandeur de la résultante de deux forces parallèles. Soient AP et BQ deux forces parallèles et do même sons appliquées aux extrémités de la droite AU (Fig. 7). On change cos forces do place, do manière à co quo l'une vienne occuper la position de l'autre, et réciproquement, en ayant soin toutefois de reporter l'une dos forces en sens contraire de sa direction primitive; ou joint les extrémités Q' et 1" dos forces dans ces nouvelles positions par une droite qui coupe la ligne A13 au point O; co point est celui par oïï passe la résultante , comme il est facile de le démontrer par la considération dos deux triangles semblables AOQ' et BOT. Par le point O menons une parallèle à la direction dos forcos jusqu'à sa rencontre avec la

Ti

droite QR , menée parallèlement à P'Q' : la droite OR représente en grandeur et en direction la résultante cherchée. Si les composantes parallèles étaient de sens contraire, tel

est le cas des forces AP et BQ, on P répéterait la construction précédente

,A dans ces nouvelles conditions; on

/ i joindrait les extrémités QT' des for-

0 / jjj 0 ces changées de place, et l'on ob-

tiendrait le point d'application 0', de la résultante 0'R\]

19». Conditions d'équilibre d'un corps solide. — Nous avons établi la loi du parallélogramme des forces et celle de l'égalité des mo- ; / ments en raisonnant sur des

j / points et des lignes géométri-

■£ ques ; néanmoins , ces lois . ren-

Fig. 7. — Construction géométrique permettant de déterminer ferment tout Ce qui est néceSle point d'application et la grandeur de la résultante de ^ déci(j

deux forces parallèles. , , .

le cas échéant, si un corps matériel soumis à l'action de forces de grandeur et de direction connues restera en équilibre ou se mettra en mouvement. Les seules formes de mouvement possible dans la nature sont, en effet, le mouvement de translation et celui de rotation.

Pour qu'un corps solide sollicité par des forces reste en repos , il faut : 1° Que la résultante définitive de toutes les forces qui agissent sur ce corps soit nulle ;

2° Que la somme des moments des forces soit également nulle.

Si la résultante n'est pas nulle , le corps éprouvera un mouvement de translation dans le sens de la résultante; si la somme des moments des forces n'est pas égale à zéro , il en résultera un mouvement de rotation clans le sens du moment le plus grand.

20. Rapport entre la force et la vitesse de rotation dans le levier. — Nous avons maintenant à rechercher la vitesse avec laquelle s'accomplit le mouvement qui a lieu lorsque la résultante des forces ou la somme de leurs moments n'est pas nulle. La question est sans grande importance en ce qui concerne le mouvement de translation : dans ce cas, la grandeur de la résultante sert de mesure au mouvement qui s'effectue, puisque nous ne mesurons l'intensité d'une force que par l'effet qu'elle produit , c'est-à-dire par le mouvement auquel elle donne naissance.

Les choses se passent différemment dans le mouvement de rotation. Consi dérons de nouveau les deux forces AP et BQ qui se font équilibre aux extrémités du levier AB (Fig. 5); supposons qu'on vienne à rompre l'équilibre en augmentant l'intensité de l'une des forces, par exemple de la force BQ: l'extrémité B du levier s'abaissera jusqu'en B', pendant que l'autre extrémité s'élèvera en A'. Or les arcs AA' et BB' sont entre eux comme les bras de levier correspondants OA et OB, ce qui montre que, lors de la rupture de l'équilibre, les points d'application des forces se déplacent avec des vitesses