X =,■ VT

équation qui permet de calculer l'une des trois quantités )>, V, T, quand on commit les deux antres.

<>n trouve ordinairement plus commode de remplacer la durée d'une oseiUatiorj par le nombre des oscillations accomplies dans l'unité de temps.] Désignons par n le nombre "ea vibrations en une seconde [et nous aurons évidemment:

Tirant de là la valeur de T, et la mettant dans l'équation précédente], il vient:

•VVU.VDT, PliysiqHO m idtcftlc,

PIIÉNO.M KN KS ET Lois PHYSIQUES EN GÉNÉRAL.

[Cette dérni&re équation est souvent employée pour calculer la longueur d'onde X ou le nombre n des vibrations accomplies dans une seconde.]

On voit donc que, lorsqu'un mouvement vibratoire passe d'un milieu dans un autre , qui a la propriété de propager plus rapidement les vibrations , la longueur de l'onde croit dans le même rapport que la vitesse de propagation. Les ondes sonores, par exemple, se propagent environ quatre fois plus vite dans l'eau que dans Pair; aussi leur longueur est-elle à peu près quatre fois plus grande clans le premier milieu que dans le second.

33. Ondes sphériques , superficielles ou linéaires. — Jusqu'ici nous n'avons guère considéré que des cas théoriques qu'on ne rencontre pas dans la nature; en réalité , le mouvement vibratoire ne s'observe pas plus dans de simples files de molécules que dans un point matériel isolé; il arrive le plus ordinairement, on pourrait même dire toujours, que la molécule qui se met à vibrer en premier lieu est entourée de toutes parts d'autres molécules dont elle trouble l'équilibre, de sorte que le mouvement vibratoire de la première molécule se propage dans toutes les directions de l'espace. De plus , nous avons déjà fait remarquer qu'à l'origine jniême du mouvement, c'est, non pas un point unique, mais un groupe de molécules qui entre en vibration et qui communique son mouvement à d'autres molécules. Si donc le point 0 (Fig. 17) représente le

groupe de molécules qui est le premier à vibrer, nous devons regarder ce point comme un centre, à partir duquel vont rayonner dans tous les sens et en nombre infini une série de condensations et de dilatations. Par conséqueRt, l'onde ne se propage pas suivant une ligne unique ; elle n'est pas linéaire ; elle s'avance sous forme d'une surface courbe, entourant le centre d'ébranlement dont elle s'éloigne progressivement en grandissant.

La surface de l'onde est une sphère , si le milieu dans lequel elle se propage est physiquement homogène [ou plutôt isotrope*] , car alors du centre d'ébranlement partiro ni , suivant toutes les directions , des ondes linéaires dans lesquelles les condensations et les dilatations se succéderont d'une manière identique. En faisant passer un plan par le centre d'une onde sphérique , on obtient une coupe clans laquelle les condensations et les dilatations successives sont représentées par des cercles concentriques. Un exemple fera mieux saisir la manière dont se passent les choses : Soit 0 (Fig. 17) un point matériel environné d'air de toute part; que ce point vienne tout à coup à vibrer : à l'instant même, le mouvement vibra -

1 [Nous disons qu'un corps ou un milieu est physiquement homogène lorsqu'il possède en chacun de ses points la m@me constitution physique. Chaque point d'un milieu homogène peut en outre présenter des propriétés identiques dans toutes les directions , ou des propriétés différentes dans les diverses directions ; nous appellerons milieux isotropes ceux des milieux homogènes de la première espèce , et milieux anisotropes ceux de la seconde; nous empruntons ces distinctions, qui nous paraissent importantes, à Y Introduction à la hante optique, ia A. Heer, traduction française parPorthommo, 1858.]

Fig. 17. — Propagation du mouvement vibratoire dans toutes les directions , sous forme d'une onde sphérique. La figure représente une coupe passant par le centre de l'onde et seulement le quart de la coupe.

toiro de ce point va se communiquer aux molécules d'air de la couche la plus voisin.- ; et ces molécules, après s'être éloignées du centre d'ébranlement dans la direction des rayons OG, OG' etc., retourneront en sens contraire et osciller ront de pari et d'autre, de leur position initiale : il en résultera des vibrations longitudinales, qui chemineront dans toutes les directions et dont llensemble formera une onde sphérique progressive. [Quand le milieu est anisolrope , et c'est le cas des corps cristallisés, à l'exception de ceux qui sont cristallisés dans le premier système , la vitesse de propagation du mouvement vibratoire n'est pas la même dans toutes les directions ; il s'ensuit que la surface de l'onde n'est pas sphérique.]

Dans une foule de circonstances , le mouvement vibratoire ne peut pas se propager eu tout sens, parce qu'il en est empêché par la forme même du corps ; une oncle à trois dimensions , -telle qu'une onde sphérique , ne prendra pas naissance dans un corps qui n'a, pour ainsi dire, qu'une ou deux dimensions , comme une corde ou une membrane. A la vérité , si le corps dont les molécules vibrent est plongé dans un milieu indéfini , tel que l'air, les oscillations , après leur passage dans ce milieu , engendreront des ondes sphériques. Mais, pour ce qui est des ondes formées dans une corde ou une verge , elles peuvent être considérées comme représentant sensiblement des ondes linéaires , et par conséquent comme soumises aux lois qui régissent le mouvement vibratoire dans une file de molécules. S'il s'agit d'une membrane ou, en général , d'un corps déforme quelconque, mais ne s'étendant qu'en surface , il se produira une infinité d'ondes linéaires , toutes situées dans la surface du corps vibrant, et qui , par leur juxtaposition , donneront une onde superficielle; on a un exemple d'onde superficielle dans la Fig. 47 , qui représente la coupe d'une onde sphérique.

Quand on a affaire à des ondes sphériques, on peut souvent, pour en simplifier l'étude , se contenter de considérer une seule des ondes linéaires dont l'ensemble constitue l'onde sphérique; mais il est des circonstances où la considération de l'onde linéaire ne permet pas de donner une explication assez complète des phénomènes ; on a alors recours à l'onde superficielle, qui suffit à tous les cas , à condition toutefois de ne pas perdre de vue qu'elle ne représente qu'une coupe déterminée faite dans toute la niasse vibrante.

34. Production des vibrations longitudinales. — Les vibrations longitudinales, c'est-à-dire celles qui donnent naissance à des ondes condensantes et dilatantes, se produisent dans les solides, les liquides et les gaz. C'est ainsi qu'en exerçant une pression ou une traction momentanées sur l'extrémité d'une lige de verre ou de métal, dans le sens de sa longueur, on peut déterminer dans ces corps la formation do vibrations longitudinales. De môme, un liquide ou un gaz renfermés dans un vase hermétiquement clos sont parcourus par dos vibrations longitudinales , quand, à l'aide d'un piston traversant la paroi du vase , on soumet la masse fluide à une compression momentanée.

Qu'il s'agisse de corps solides ou fluides, le degré de la condensation produite, c'est-à-dire la hauteur de l'onde, dépend de l'intensité delà compression exercée sur le corps , tandis que la longueur et la vitesse de propagation de ' onde sont déterminées exclusivement par la force élastique dos molécules

matérielles qui vibrent. Cette distinction entre la hauteur et la longueur des ondes est importante; nous aurons à l'examiner de plus près quand nous en serons à l'étude de l'acoustique, laquelle n'est en grande partie qu'une application des lois des vibrations longitudinales; quant à présent, nous nous bornons aux considérations générales qui précèdent.

35. Vibrations transversales. — Jusqu'ici nous n'avons raisonné que dans le cas où , étant donné un système de points matériels disposés par rangées rectiligncs , chaque molécule oscille de manière à se rapprocher ou à s'éloigner de la suivante, sans que la droite qui passe par les deux molécules considérées change de direction; en d'autres termes, la trajectoire décrite par. chaque molécule pendant son oscillation est rectiligne, dirigée dans le sens de la longueur dé la file des molécules et, par conséquent, dans le sens suivant lequel se propage le mouvement vibratoire. Telle est l'orientation des vibrations longitudinales.

Or, le déplacement des molécules oscillantes s'effectue d'une manière différente, quand le mouvement vibratoire est produit par un choc instantané venant frapper une molécule dans une direction perpendiculaire à la droite qui unit celte molécule à la suivante. Soit, par exemple, A, B, C, D, E, une file de molécules matérielles (Fig. 18), et supposons que, sous l'influence d'un

choc dirigé perpendiculairement à la ~ 5 droite A E , le point A soit poussé en bas de manière à venir occuper la position A'; ce déplacement de la mo- "jj? * lécule A , ayant poùr effet d'augmenter la distance qui la sépare de la molécule suivante B ou B', détruira l'équi-

; — •; 4;, libre qui existait primitivement entre

• i les forces attractives et répulsives de

?i" 31 ces deux molécules; la force attractive

deviendra prépondérante et tendra à entraîner le point B' vers A'. Mais, au

JC C" PS"

•b"" u" moment où le point B' se mettra en

mouvement, le point C, dont il tend à s'éloigner, l'attirera à son tour vers , lui ; la molécule B' sera donc sollici-

Fjg. ls. — Mode de propagation des ondes '

transversales] tée à la fois par deux iorces représen-

tées en grandeur et en direction par les droites de jonction B'A'elB'C; en conséquence, elle suivra la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces , ce qui aura pour résultat de lui faire décrire une trajectoire perpendiculaire, comme celle de la première molécule, à la file des molécules. Or, pendant que le point B' se dirige en bas et arrive en B", la molécule A' revient à sa position initiale , et , à un moment donné, les molécules sont disposées, comme on le voit en A" B" C" D"E". Puis, en vertu de la vitesse acquise, la molécule A" dépasse, en sens contraire, sa position d'équilibre et monte au-dessus de la ligne A" E", jusqu'à une distance A'" précisément égale à la quantité dont elle s'était

})V MOUVEMENT VIBRATOIRE ET ONIU'I.ATOIRE. 53

éeautée de cette ligne sous l'impulsion du choc primitif; en même temps le point B'.' revient à son tour à sa position initiale B ou B'", et le mouvement se communique à une troisième molécule G'". Les points matériels oscillants vont donc se trouver dans la position figurée en A'" B'"C"':P"'; le moment d'après, ils occuperont les positions indiquées en A."" B"" G"" D"" E"", et ainsi de suite.

Les vibrations qui s'effectuent ainsi perpendiculairement à la droite suivant laquelle se propage le mouvement, sont dites transversales ; on voit que leur mode de propagation est semblable à celui des vibrations longitudinales , avec cette seule différence que les vibrations longitudinales donnent naissance à une succession de condensations et de dilatations , tandis que, clans les vibrations transversales les molécules oscillantes éprouvent de simples déplacements latéraux alternatifs , qui se suivent d'ailleurs avec autant de régularité que les condensations et les dilatations.

Au lieu de points largement espacés comme, ceux de la Fig. 18, nous pouvons en imaginer une foule d'autres placés dans l'intervalle des premiers ; la Fig. 19 nous montre la disposition de ces molécules oscillantes à une époque du mouvement, qui est celle à laquelle se rapporte la phase A"" B""C""D"" - E"" de la Fig. 18. En joignant tous /' j

ces points par un trait continu , on £ p : — h, ~\ îb

obtient une courbe ondulée ABCDE (Fig. 19) entièrement semblable à

Celle qui nOUS a Servi à représenter ■ Fig. 19. — Forme d'une onde transversale

les vibrations longitudinales ; mais ,

tandis que clans cette dernière forme de mouvement, la courbe n'était, qu'une image figurée rendant sensible aux yeux les alternances de condensation et de dilatation, ici, dans le cas des vibrations transversales, chaque point de la courbe nous donne la position réelle cle la molécule oscillante à l'instant correspondant.

On vient cle montrer que le mouvement oscillatoire, quand il s'agit de vibrations transversales , est aussi représenté par une ligne sinueuse offrant des parties alternativement convexes et concaves , c'est-à-dire des éminences ou protubérances ..(Wellenberg , mont de l'onde) et des dépressions (Wellenthal, val de l'oncle); ici, comme pour les vibrations longitudinales, l'intervalle compris entre deux protubérances ou deux dépressions consécutives représente la longueur de l'onde. Il est , du reste, facile cle voir que les positions des molécules oscillantes sont identiquement les mêmes à chaque fois que le mouvement vibratoire a marché d'une longueur d'onde. En outre, si le mouvement débute p.H le déplacement cle la molécule matérielle au-dessous cle sa position d'équilibre, ronde qui en résulte est dite négative, par analogie avec la désignation usitée pour les vibrations longitudinales; les Fig. 18 et 19 se rapportent à ce p L'onde est , au contraire, positive quand la molécule oscillante commence l"i s'élever au-dessus de sa position d'équilibre ; dans ce cas, le mouvement progresse, ayant en tête une demi-oncle à convexité supérieure.

En résumé; les lois des vibrations longitudinales, exposées §§ 31 et 32,

s'ont applicables aux vibrations transversales ; nous comprenons dans ces lois , non-seulement celles qui concernent la durée de la vibration , mais encore les relations qui existent entre la durée de la vibration , la longueur de l'onde ei la vitesse de transmission du mouvement.

36. Production des vibrations transversales. — La formation des ondes à la surlace des liquides nous offre un exemple très-connu de vibrations transversales. Les coi'ps solides peuvent aussi devenir le siège de vibrations de cette espèce ; c'est ainsi qu'en agitant rapidement l'extrémité d'une corde tendue lâchement, on y détermine la formation d'ondes transversales progressives. Enfin , ce sont les vibrations transversales de l'éther qui donnent naissance aux phénomènes lumineux [et calorifiques]. Selon les circonstances dans lesquelles se produisent les vibrations transversales , elles éprouvent des modifications particulières , que nous ferons connaître , quand nous nous occuperons de la mécanique des liquides, de l'étude du son et de la lumière.

Les conditions qui déterminent la forme des ondes transversales sont évidemment les mêmes que celles qui président aux ondes longitudinales. Dans un milieu homogène [et isotrope] , les vibrations transversales se propagent sous forme d'ondes sphériques ; elles se réduisent à des ondes superficielles quand elles prennent naissance à la surface d'un corps , et à des ondes linéaires quand la forme du corps se rapproche de celle d'une ligne. Il est , d'ailleurs , souvent possible, pour simplifier, de ramener l'étude d'une onde sphérique à celle de l'onde linéaire ou superficielle correspondante.

Nous venons de montrer, dans ce qu'elles ont d'essentiel et de général, les différences qui existent entre les vibrations longitudinales et les vibrations transversales ; le mouvement ondulatoire de ces deux formes de vibrations est soumis à des lois communes , dont il nous reste à faire connaître les plus importantes. Dans les développements qui vont suivre, nous supposerons toujours que nous avons affaire à des ondes transversales ; mais nos raisonnements seront également applicables aux ondes longitudinales, puisque ces deux formes de mouvement se représentent graphiquement de la même manière.

37. Interférence des ondes. — Dans l'étude que nous avons faite jusqu'ici de la propagation des vibrations sous forme d'ondes, nous n'avons examiné que le cas où cette transmission de mouvement s'effectue au sein d'une agrégation homogène de points matériels , en l'absence de toute influence perturbatrice. Or différentes circonstances peuvent troubler la régularité du mouvement vibratoire : c'est ce qui arrive toutes les fois que deux ou plusieurs ondes , marchant dans la même direction ou dans des directions différentes , viennent à se rencontrer ; dans ce cas , il se produit une interférence des vibrations.

D'autre part, quand des ondes rencontrent la surface d'un corps dont les molécules ne sont pas en état de vibrer à l'unisson des premières, elles éprouvent un changement de direction 5 qui est connu sous le nom de réflexion . Enfin, une onde peut passer d'un premier corps clans un second, dont les points matériels soient autrement groupés ; elle se propage alors dans le nouveau milieu avec une vitesse différente de celle qu'elle possédait dans le premier corps; il résulte de ce changement de longueur d'onde le phénomène désigné sous le

nom de réfraction. Nous allons examiner successivement l'interférence , la réflexion et la réfraction des ondes.

Imaginons que deux ondes se rencontrent : la molécule placée à leur point d'entre-croisement sera sollicitée à la fois par deux mouvements , et ces deux mouvements se composeront de façon à imprimer à la molécule un mouvement résultant , dont l'intensité et la direction s'obtiendraient de la même manière qu'on trouve la résultante de deux forces. Représentons, par exemple, par les deux ondes linéaires ABC et. A' B' C de la Fig. 20, deux mouvements vibra-

Fig. 20. — Interférence de deux ondes.

toires partis de deux points opposés A et A', marchant à la rencontre l'un de l'autre et se superposant clans l'espace situé entre B et B' : pour avoir le mouvement résultant des molécules comprises dans cet intervalle , il faut , en chaque point de la ligne des abeisses , mener une ordonnée égale à la somme ou à la différence des ordonnées correspondantes de chacune des deux ondes composantes , suivant que ces dernières ordonnées sont situées d'un même côté de l'axe des abeisses ou qu'elles sont dirigées en sens contraire. Enjoignant par un trait continu les extrémités des nouvelles ordonnées, on obtient la courbe de l'onde résultante, courbe représentée dans la Fig. 20 par la ligne sinueuse a'b' c' df hi' ... [On voit que l'interférence des ondes ou des vibrations n'est pas autre chose que le résultat de la composition des mouvements.]

La Fig. 20 nous montre que, dans les endroits où deux demi-ondes positives, c'est-à-dire les protubérances des deux ondes, se rencontrent, il en résulte une protubérance plus élevée ; clans les endroits où deux demi-ondes négatives , c'est-à-dire les dépressions de deux oncles , se superposent, il se produit une dépression plus considérable; enfin , là où un mont interfère avec un val , le mouvement est détruit en partie ou en totalité ; dans les points où les ordonnées des ondes composantes sont rigoureusement égales, mais de sens contraire, les molécules matérielles restent au repos.

38. Réflexion des ondes. — Lorsqu'une onde rencontre une paroi résistante, elle est réfléchie [c'est-à-dire renvoyée dans le milieu d'où elle vient]. Voici comment s'explique le phénomène de la réflexion.

Soit abede (fig. 21 , I) une onde qui vient rencontrer en e une paroi solide ; nous supposons la direction de l'onde perpendiculaire au plan de la surface réfléchissante. Si la paroi solide n'existait pas, l'onde continuerait sa marche en avant et il arriverait, par exemple, un moment (II) où le sommet de la protubérance correspondrait à la place actuellement occupée par la paroi , et où le point c se trouverait, par conséquent, avoir avancé d'un quart de longueur d'onde ; niais la

PHENOMENES ET LOIS PHYSIQUES EN OÊNÉtlÀL.

cl'

paroi solide, en vertu de la résistance qu'elle oppose au mouvement des molécules oscillantes, les empêche de poursuivre leur roule et les renvoie en sens opposé, c'est-à-dire dans la direction ec; il en "résulte , immédiatement en ayant de la paroi, une demi-protubérance e'd', dont la hauteur est double de celle de la protubérance de l'onde incidente. Les molécules matérielles repoussées dans la direction ec donnent naissance à une onde réfléchie qui va se propager en sens contraire de l'onde incidente abede, c'est-à-dire suivant ec. Dans la demi-protubérance câ", la moitié des molécules se rapprochent de la paroi, tandis que l'autre moitié s'en éloignent déjà. Au fur et à mesure que les premières molécules renvoyées par la paroi rétrogradent, de nouvelles molécules viennent se heurter contre cet obsLacle , et sont réfléchies à leur tour ; aussi , quand l'onde incidente s'est avancée une deuxième fois d'un quart de sa longueur, en tout d'une demi-longueur, existe-t-il , en avant de la paroi , une protubérance entière réfléchie , c'està-dire une demi-longueur d'onde réfléchie c'dV (III) ; pendant qu'il se formait ainsi contre la paroi une protubérance réfléchie , la dépression abc de Fonde incidente arrivait au contact de ce même obstacle. A ce moment-là , on a donc en cet endroit une demi-onde positive et une demi-onde négative , 'V" qui se recouvrent mutuellement , et qui , par conséquent , interfèrent de manière à se neutraliser, c'est-

^ à-dire à laisser les molécules au repos. Puis, l'onde

V| <^ — ;> ■~-ZZZ~-'> réfléchie continuant sa marche rétrograde, s'éloigne

^ 21. - Explication de la ré- de PU,S GU PluS de la P.*™ 5. s'être déplacée

flexion d'une onde linéaire, d'un quart de longueur d'onde , la protubérance

réfléchie occupe la position marquée IV, ayant à sa suite la moitié d'une dépression c'b ; mais en même temps la dépression abc de l'onde incidente s'est rapprochée de la surface réfléchissante d'un quart de longueur d'onde; il y a donc, à ce moment-là, contre la paroi, coexistence de deux moitiés égales de dépression, l'une appartenant à l'onde incidente, l'antre à l'oncle réfléchie ; il en résulte une demi-dépression de hauteur double c'iA Enfin, l'onde incidente s'étant encore avancée d'un quart de sa longueur, la place où elle se trouvait primitivement est maintenant occupée par une onde réfléchie a'b'c'd' (V), ayant les mêmes dimensions, mais disposée en sens inverse et marchant dans une direction opposée.

Quand la portion dilatante de l'onde incidente, c'est-à-dire une dépression, esl la première à rencontrer la surface réfléchissante., la réflexion s'opère en passant par la même série de phases que dans l'exemple précédent, mais en suivant un ordre précisément inverse: on voit d'abord apparaître une dépression de profondeur double, ensuite les molécules rentrent au repos durant la superposition de la demi-onde négative réfléchie à la demi-onde po-

sitive directe; puis se montre une protubérance de hauteur double, et enfin une onde entière réfléchie.

La plupart du temps, on a affaire , non pas à une onde isolée, mais à une série d'ondes qui viennent les unes après les autres frapper contre une paroi solide. Dans ce cas, chaque onde réfléchie interfère successivement, avec les ondes incidentes, au fur et à mesure qu'elle les rencontre; il y a là à la fois interférence et réflexion d'ondes. Le phénomène est facile à analyser à l'aide des considérations développées dans le présent paragraphe et dans le précédent.

39. Direction de l'onde réfléchie. — On vient de voir comment s'opère la réflexion d'une onde dont, la direction est normale à la surface réfléchissante. Il faut entendre par direction d'une onde , celle de la droite qui passe par les molécules auxquelles le mouvement vibratoire est successivement communiqué; c'est ainsi que la direction d'une onde longitudinale est normale à un plan donné , lorsque les molécules en oscillant se meuvent suivant des droites perpendiculaires à ce même plan; si, au contraire, l'onde est transversale, les molécules vibrent parallèlement au plan qui est perpendiculaire à la direction de l'onde.

Nons avons vu qu'une onde dirigée normalement à la surface réfléchissante ne change pas de direction par le fait de sa réflexion; elle éprouve seulement un renversement du sens de sa propagation. Il n'en est plus tout à fait de même, lorsque la direction de l'onde incidente fait avec la surface réfléchissante un angle différent de l'angle droit; c'est ce que nous allons montrer.

Soit CD (fig. 22) une surface re'fle'chissante, et AI la direction d'une onde condensante; supposons que la molécule oscillante située à l'extrémité de la file vienne choquer la surface au point I avec une vitesse représentée en grandeur et en direction par la droite IF. Décomposons cette vitesse en deux autres, l'une IN perpendiculaire à la surface, l'autre IT parallèle à cette surface; la composante tangenticllc IT ne subira aucune modification par le fait du choc, puisque, si elle agissait seule, elle aurait pour effet de faire glisser la molécule oscillante parallèlement au plan de la surface réfléchissante. La composante normale IN, au contraire, sera remplacée, après le choc, par une composante IN' de même grandeur, mais dirigée dans le sens opposé : en effet, au moment du choc, la molécule oscillante cède aux molécules de la surface réfléchissante qui sont voisines du point I la partie de sa force vive correspondante h la composante normale de la vitesse; puis; dans l'instant suivant, si la matière dont se compose l'obstacle fixe est parfaitement élastique, et nous supposons cette condition remplie, La force vive cédée par la molécule oscillante lui est restituée intégralement, en vertu du principe de la conservation de la force; mais la vitesse qui est ainsi rendue à [a molécule oscillante, est dirigée en sens inverse de la composante normale primitive; Soit IN' la nouvelle vitesse normale, égale., niais de sens contraire, à IN.

On voit donc qu'après le choc, la molécule oscillante, est animée de deux vitesses: l'une IT parallèle h la surface fixe, et la même que celle qui existait avant le choc; 1 autre IN' normale h la surface, mais dirigée en sens contraire de la composante normale primitive; par conséquent, \:\ molécule oscillante va se mouvoir dans la direction

Fig. 22.

— Démonstration des lois de la réflexion des ondes linéaires.

•r><^ PHÉNOMÈNES ET LOIS PHYSIQUES EN GÉNÉRAL.

de la résultante UT', ut comme les deux nouvelles composantes Bont égales en grandeur aux anciennes, les deux parallélogrammes correspondants sont égaux, et par suite, l'angle A'IN' est égal h L'angle AIN'. La direction de l'onde réfléchie et celle de l'onde incidente sont doue situées dans un même plan perpendiculaire h là surface réfléchissante, et les angles que font avec la normale h la surface, au point d'incidence, les directions des ondes incidentes et réfléchies; sont égaux.

39a. Lois de la réflexion. — On appelle angle d'incidence l'angle de la direction AI de l'onde incidente avec la normale IP à la surface réfléchissante , et angle de réflexion, l'angle de la direction A'I de l'onde réfléchie avec cette même normale. Les lois de la réflexion peuvent alors s'énoncer ainsi :

1° Les directions de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sont dans un même plan avec la normale à la surface au point d'incidence.

2° L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.

Si l'onde incidente est dirigée perpendiculairement à la surface réfléchissante, l'angle d'incidence, et par suite l'angle de réflexion, sont tous deux nuls; il en résulte, comme on l'a vu au § 38, que l'onde réfléchie suit la même route cpie l'onde incidente, mais en sens opposé.

Les lois précédentes ne s'appliquent pas seulement aux cas où la surface réfléchissante est plane, comme le montre l'exemple choisi pour la démonstration ; elles sont encore vraies quand la surface réfléchissante est courhe. Il suffit alors de mener par le point d'incidence F (Fig. 23) un plan tangent à la surface et une perpendiculaire à ce plan ; soit XX' la trace de ce plan tangent , et FQ la normale : on rentre ainsi dans le cas d'une surface réfléchissante plane.

Il est facile d'étendre aux ondes sphériques les lois de la réflexion trouvées o pour les ondes linéaires ; on

n'a qu'à examiner comment s'opère la réflexion des différentes ondes linéaires dont se compose l'onde sphérique.

Fig. 23. — Réflexion sur une suiface courbe.

Pour les hesoins de la démonstration, il nous suffira de considérer la section plane d'une onde sphérique. Soit O (fig. 24) le centre de l'onde, c'est-à-dire son point de départ, et MN la surface fixe contre laquelle elle se réfléchit; soient OA, 01, 01', OM etc., les directions d'un certain noinhre d'ondes linéaires comprises dans la section plane de l'onde sphérique : l'onde dirigée suivant OA, c'est- a -dire suivant une perpendiculaire h, la surface réfléchissante, sera renvoyée dans la même direction et reviendra sur ellemême ; 01 sera réfléchi dans la direction IRj OI1 dans la direction IR' etc., de manière

Fig. 24. — Réflexion d'une oncle sphérique, par une surface plane.

h (•<• que, pour chacune do ces oncles, l'angle do réflexion soit égal à l'angle d'inci denco; [K; l'K' etc., représentent les normales aux points d'incidence [, T.... En prolongeant les directions des ondes réfléchies jusqu'à ce qu'elles se rencontrent, on trouve qu'elles vont toutes concourir en un point unique 0', symétrique du point 0, c'est-àdire situé de l'autre côte de la surinée réfléchissante, sur le prolongement de la normale qui passe par le point d'origine do l'onde incidente, et à une distance de la surface égalo à ccllo do co mémo point d'origine.

Lors donc qu'une onde sphérique rencontre une paroi résistante , elle donne naissance à une onde réfléchie, qui, par sa direction, semble être la continuation directe d'une autre onde sphérique dont le centre serait symétrique tic celui de l'onde incidente, par rapport à la surface réfléchissante.

Il est entendu, d'ailleurs, qu'une paroi résistante ne réfléchit une onde sphérique de la manière qui vient d'être indiquée qu'autant que la paroi en question est plane.

Si l'onde sphérique rencontre une surface courbe , les normales aux différents points d'incidence ne sontplus parallèles entre elles, et la réflexion s'opérant dans ces conditions produit certains effets particuliers, sur lesquels nous reviendrons à l'occasion des ondes lumineuses ; car c'est surtout dans cette branche de la physique que l'étude de la réflexion par les surfaces courbes offre un grand intérêt.

40. Vibrations stationnaires. — Au début de nos considérations sur le mouvement vibratoire, nous avons montré comment un point matériel, soumis à des forces qui le fixent dans une position déterminée , peut être amené à exécuter des oscillations en nombre infini , une fois qu'il a été écarté de sa position d'équilibre par un choc. Nous avons eu soin d'ajouter aussitôt qu'en réalité , la plupart du temps , les oscillations ainsi excitées ne tardent pas à s'arrêter à cause des résistances qu'elles ont à vaincre.

11 n'en est plus de même quand des obstacles fixes sont disposés de manière à se renvoyer mutuellement et indéfiniment la même ondulation ; dans ces conditions, le mouvement vibratoire persiste longtemps. C'est ce qui arrive , par exemple , quand on fait vibrer une corde tendue et fixée à ses deux extrémités A et X (Fig. 25) ; supposons qu'on exerce sur le milieu de cette corde une traction transversale : on détermine la formation d'une

demi-onde AbX, qui tend à se propager à la fois L

à droite et à gauche ; mais , comme les points A et X sont fixes , cette oncle se réfléchit successivement de l'un à l'autre , suivant le mode

indiqué au § 38 ; il en résulte que la corde Fig. 25. — Onde stntioiimiira produite par continue à vibrer pendant longtemps et paraît des réflexions successives, renflée.

L'influence de la réflexion sur la persistance des vibrations se montre avec plus d'évidence encore, si on considère une série d'ondes égales et se suivant sans interruption. Imaginons qu'une onde ainsi composée d'une série de renflements et d'excavations coure de D en I (Fig. 26) : arrivée en I , elle est renvoyée en sens contraire vers D, puis revient de nouveau vers I, et ainsi de suite. Ces réflexions successives ont pour effet de renforcer les vibrations de chacune des parties TC , CF etc. de la corde, vibrations qui , sans cela,

s'affaibliraient très-rapidement; par suite, la corde continue à vibrer un temps plus ou moins long, en offrant alternativement la forme que représente la ligne ondulée pleine et celle qui est figurée par la ligne pointillée. On voit donc

dant que les points de séparation C, F, Eetc. restent constamment immobiles.

On nomme vibrations stationnaires celles qui s'accomplissent suivant le mode que nous venons d'indiquer ; on désigne sous le nom de nœuds de vibration les points tels que C , F , E , qui ne prennent pas part au mouvement et qui restent constamment au repos. [Les renflements compris entre les nœuds sont ce qu'on appelle des ventres.]

Il est facile de produire dans une corde des vibrations stationnaires correspondant à une longueur d'onde qui soit dans un rapport simple avec la longueur totale de la corde : veut-on , par exemple , que la longueur de l'onde soit , comme dans la Fig. 25 , le tiers de la longueur de la corde , il suffit de fixer le point C, à l'aide du doigt ou de toute autre manière, afin de l'empêcher de

vibrer, la distance IG représentant —g — de la longueur totale de la corde ou la

moitié de la longueur d'onde qu'on veut obtenir ; pendant qu'on immobilise le point G, on fait vibrer la portion de corde IC, en l'ébranlant par son milieu : l'onde qui prend ainsi naissance se propage dans toute l'étendue de la corde et y produit des vibrations stationnaires qui correspondent à la longueur d'onde voulue.

En procédant d'une manière toute semblable à l'égard de plaques et de membranes élastiques, on y détermine aussi des vibrations stationnaires; la surface de ces corps se partage alors en un certain nombre de portions vibrantes séparées par des lignes nodales , c'est-à-dire par des lignes dont tous les points sont au repos. Les colonnes d'air renfermées dans des tubes peuvent également être le siège de vibrations stationnaires. L'étude du son nous offrira des exemples de ces différentes formes de vibrations stationnaires.

On peut facilement mettre en évidence l'existence des nœuds dans les cordes vibrantes, en plaçant de distance en distance, à cheval sur la corde, des corps très-légers , tels que des morceaux de papier ou des copeaux de bois : dès que la corde commence à vibrer, les cavaliers de papier qui sont placés sur des nœuds ne bougent pas, tandis que les autres sont jetés à terre par les vibrations. On rend visibles les lignes nodales des plaques et des membranes vibrantes, en en saupoudrant la surface de sable ou de poussière : les grains de sable se rassemblent le long des lignes nodales, aussitôt que la plaque ou la membrane est mise en vibration ; il en résulte des figures régulières dont la forme peut varier de bien des façons pour une seule et même plaque , suivant la manière dont vibre le corps. Les figures ainsi fournies par les plaques el les membranes vibrantes sont connues sous le nom de figures acoustiques ou figures de Chladni et de Savart.

Fig. 2C. — Sdrio d'ondos stationnaires.

qu'en somme la corde entière se résout en un certain nombre de cordes plus petites, IG, GF, FE etc. , qui vibrent chacune pour leur propre compte , pen-

41. Passage des ondes d'un milieu dans un autre plus dense. — En exposant les lois de la réflexion , nous avons raisonné dans l'hypothèse que la surface rencontrée par l'onde longitudinale ou transversale est parfaitement fixe el. rigide. A vrai dire, cette condition ne se trouve jamais réalisée ; mais les vibrations communiquées à la masse du corps réflecteur ont souvent une intensité si faible qu'on peut en faire abstraction. Il n'en est plus de môme quand une onde arrive à la surface de séparation de doux milieux, dont le second, tout en étant plus dense que le premier, ne l'est pourtant pas assez pour que les vibrations qui lui sont transmises puissent être négligées. Dans ce cas, il y a aussi réflexion de l'onde incidente, et cela se comprend aisément : si nous nous reportons , en effet, à la Fig. 22, nous voyons que le point I, qui appartient au second milieu , tout en participant au mouvement vibratoire des molécules attenantes du premier milieu, ne saurait vibrer avec une intensité aussi grande ; il agira donc, pour déterminer la réflexion de l'onde, comme s'il représentait un obstacle fixe ; seulement , cette fixité n'étant que relative , l'action réfléchissante du second milieu sera moindre. Mais ce n'est pas tout : l'onde incidente ne se borne pas à être • réfléchie, elle se propage aussi dans le second milieu où elle prend le nom d'onde transmise ou réfractée.

Soit MN (Fig. 27) une surface de séparation entre deux milieux de densité différente ; l'onde incidente se trouve à gauche dans le milieu le moins dense. Je prends l'onde au moment où elle occupe la position indiquée en II (Fig. 21); c'est le moment où le sommet I de la protubérance arrive au contact de la surface de séparation. Si cet obstacle ne se trouvait pas sur le trajet de l'onde, celle-ci cheminerait comme le montre la courbe ponctuée ICD (Fig. 27); mais , par suite de la présence de la surface MN, la demi-onde primitive BIC se scinde en deux et donne naissance, d'une part à une onde réfléchie de hauteur I It , dont la marche est rétrograde; d'autre part, à une onde dont la marche s'effectue dans le même sens que colle de l'onde incidente, et qui a pour hauteur la distance du point L à la droite AD. La protubérance rétrograde s'ajoute à la protubérance primitive et produit la protubérance Bl4 , qui devient l'origine d'une onde réfléchie, comme dans le cas de la réflexion totale (cf. § 38); avec cette seule différence qu'ici la réflexion étant partielle, la hauteur de l'onde réfléchie est diminuée de celle de l'onde transmise ; la somme dos hauteurs de L'onde réfléchie et de l'onde réfractée doit être égale à la hauteur de l'onde incidente. Plus la différence de densité des deux milieux est faible, plus la hauteur de l'onde réfléchie est petite par rapport à celle de l'onde incidente et plus aussi la hauteur de l'onde réfractée se rap-

Fig. 27. — Changement de la vitesse de propagation d'u ne onde linéaire, lorsque celle-ci passe d'un milieu dans un autre de densité différente.

proche de celle de l'onde primitive. Mais, tandis que l'onde réfléchie ne se distingue de l'onde incidente que par sa hauteur et le sens de sa marche, l'onde réfractée ên diffère encore sous un autre rapport. Le second milieu étant, en effet, plus dense que le premier, offre plus de résistance au mouvement vibratoire; cette circonstance, il. est vrai, ne modifie pas la durée de l'oscillation, car les molécules du milieu le plus dense, recevant leur mouvement des molécules du milieu le moins dense, doivent vibrer à l'unisson de ces dernières. Si la durée de la vibration conserve la môme valeur en passant d'un milieu dans l'autre , il en est autrement de la longueur d'onde : celle-ci est plus petite dans le milieu le plus dense , puisque , les molécules y étant plus rapprochées les unes des autres, elles y occupent, à nombre égal, une longueur moins grande que dans le premier milieu.

De ce que la longueur d'onde X diminue, tandis que la durée de vibration T ne varie pas , il résulte, en vertu de l'équation 1= VT (cf. § 32), que la vitesse de propagation V de l'onde réfractée doit être moindre que celle de l'onde incidente , et ce ralentissement de la vitesse de marche de l'onde, par le fait de son passage dans un milieu plus dense, augmente avec la différence de densité des deux milieux.

42. Passage de l'onde d'un milieu dans un autre moins dense. — Si on suit la même marche de raisonnement que précédemment, il est facile de prévoir les changements que subit une onde en passant d'un milieu plus dense dans un autre qui l'est moins. Dans ce cas, l'onde incidente arrivée au contact de la surface de séparation donne aussi naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise ou réfractée.

Soit AB (Fig. 28) une file de molécules; celles qui sont situées à gauche de I font partie du milieu le plus dense ; à droite se trouvent celles du milieu le

moins dense ; la molécule I appar- •••••••• • • • tient en quelque sorte à la fois aux

deux milieux et les sépare l'un de

Vie- 28. - File de molécules appartenant à deux milieux pautre. Supposons qu'une Ollde de

de densité différente, pour expliquer les particularités ,rr ■

relatives à l'onde réfléchie et à l'onde transmise, dans le Condensation parcoure cette il le (le

cas où l'onde incidente se trouve dans le milieu le pius molécules de A en B arrivée en I ,

elle détermine en cet endroit une condensation plus forte qu'en tout autre point de son trajet antérieur, car la molécule I, appartenant déjà au milieu le moins dense, y rencontre moins de résistance à vaincre pour comprimer les molécules suivantes. De là, production, à partir de 1, d'une demi-onde condensante plus considérable en hauteur que toutes celles qui l'ont précédée, et cette demi-ondé condensante, en se propageant dans le milieu de droite, esL l'origine de Ponde Lransmise. Mais, si la demi-onde condensante est représentée par une protubérance plus élevée, la demi-oncle dilatante qui marche à sa suite et qui prend naissance à la gauche de I surpassera -aussi en profondeur les dépressions antérieures de l'onde incidente; cet accroissement de profondeur de la demionde dilatante équivaut à la formation dans le milieu le moins dense d'une oncle de dilatation , c'est-à-dire d'une onde qui déhute par une dilatation ; cette onde va marcher de I en A et former l'onde réfléchie. — L'onde incidente est-

elle transversale au lieu de Longitudinale, cola ne change rien au résultat de la réflexion-: si une onde transversale ai-rive à la surface de séparation des deux milieux, elle communique à la molécule I une vibration transversale dont l'amplitude surpasse celle des vibrations des molécules qui précèdent, car les Forces attractives qui s'exercent entre la molécule I et les molécules environnantes du milieu le moins dense sont plus faibles que les attractions mutuelles des molécules du milieu le plus dense. La demi-onde positive produite à la droite de la surface de séparation ayant une amplitude plus grande, il en est de même de la demi-oncle négative qui se forme à la gauche du point I, et qui, en raison de cet accroissement d'amplitude, est le point de départ d'une onde réfléchie. Dans le cas où l'onde incidente commencerait par une dépression (onde de dilatation) , l'onde réfléchie débuterait par une protubérance.

Ainsi donc, que l'onde incidente soit transversale ou longitudinale, l'onde réfléchie à la surface d'un milieu moins dense est toujours telle, que sa première demi-onde soit de nom contraire à celui de la première demi-onde incidente. La somme des hauteurs de l'onde réfléchie et de l'onde transmise est d'ailleurs égale à la hauteur de l'onde primitive.

Quant à la longueur d'onde du mouvement vibratoire , elle augmente par le passage de l'onde dans le milieu le moins dense , et comme la durée de l'oscillation ne varie pas , la vitesse de propagation du mouvement devient plus grande.

42*. [Caractère différent de l'onde réfléchie, suivant que la réflexion s'effectue dans le milieu le plus dense ou dans le milieu le moins dense. — Des considérations développées dans les deux paragraphes précédents découle un résultat, qu'il importe de mettre en relief, car, faute, de se le rappeler, on se trouverait dans l'impossibilité de faire accorder la théorie avec l'expérience dans l'explication de certains phénomènes d'interférence où les ondes ont subi des réflexions préalables. Le résultat dont je veux parler est le caractère différent que présente l'onde réfléchie, suivant qu'elle est renvoyée clans le milieu le plus dense ou dans le milieu le moins dense.

On vient de voir que , si la réflexion s'opère dans le milieu le plus dense , la première demi-onde incidente et la première demi-onde réfléchie sont de nom contraire, l'une étant positive quand l'autre est négative, et inversement ; dans ce cas, l'onde réfléchie est, en quelque sorte, la continuation non interrompue de l'onde incidente, de façon qu' après la réflexion d'une oncle entière, l'onde réfléchie occupe la même position cpie l'oncle incidente immédiatement avant la réflexion et a sa protubérance et sa dépression disposées clans le même ordre. Quand, au contraire , l'oncle incidente se trouve clans le milieu le moins dense (cf. § 41), elle produit par la réflexion de sa première moitié une demi- ■ onde réfléchie de même nom : à une protubérance incidente succède, sans intermédiaire, une protubérance réfléchie; la dépression qui devrait venir se placer entre ces deux protubérances pour que l'onde réfléchie pût être regardée comme la continuation de l'onde incidente fait défaut; la réflexion a supprimé une demi-longueur d'oncle, et on exprime, en effet, ce résultat en disant qu'il y a,

dans ce cas, perle de -g- 1.]

(>4 PHÉNOMÈNES ET LOIS PHYSIQUES EN CÉNÉIlAE.

43. Réfraction des ondes. — Nous avons supposé jusqu'ici que la direction de l'onde incidente était perpendiculaire à la surface de séparation dos deux milieux, et nous avons vu que dans ces conditions l'onde i en passant dans lit second milieu, subit un changement de vitesse de translation, mais conserve sa direction première. Il n'en est plus de même quand l'onde incidente est inclinée sur la surface d'entrée du second milieu.

Pour comprendre ce qui se passe dans ce cas, nous sommes obligé d'avoir recours à une section plane d'onde sphérique; nous prendrons cette onde à une li es-grande distance de son centre d'ébranlement , afin que sa surface puisse, sur une petite étendue, être confondue avec un plan , et que, par conséquent, deux, ondes linéaires voisines aient des directions sensiblement parallèles entre elles et perpendiculaires à la surlace de l'onde. Soit donc LU/. \ (Fig. 29) une portion de section plane d'une onde semblable, limitée par les

deux ondes linéaires ou rayons, LI et L'A, trèsvoisins l'un de l'autre et obliques par rapport à la surface KM; par le point 1 menons une perpendiculaire à la direction des ondes linéaires jusqu'à sa rencontre en P avec le rayon L'A : la droite IP ainsi tracée représente le lieu géométrique de tous les points qui sont dans le même état de vibration , c'est-àdire la surface de l'onde à un moment donné, savoir au moment où elle rencontre en I la surface réfringente. Ainsi , quand le mouvement vibratoire est arrivé au point I pour le rayon LI, il n'est encore qu'en P pour le rayon L'A. Considérons ensuite le moment où le point P de l'onde rencontre à son tour la surface en A; or, pendant que le mouvement vibratoire marchant dans la direction PA s'est transporté de P en A dans le premier milieu , le mouvement vibratoire qui se propageait suivant LI, a passé dans le second milieu et y a parcouru un certain espace; si, comme nous le supposons ici, le second milieu est plus dense que le premier, la vitesse de propagation de l'onde y est plus petite; dès lois . la distance PA, franchie dan le premier milieu par le point P de l'onde, est plus grande que le chemin parcouru dans le second milieu parle point!; le rapport des deux chemins est égal à celui des vitesses correspondantes. Du poinl I comme centre avec un rayon égal au l'apport des vitesses, décrivons dans le second milieu une demi- circonférence , et du point A menons une droite tangente à cette circonférence en T ; joignons IT. La droite AT représente la surface de l'onde réfractée , à l'instant où son point À est en contact avec la sur-

m MOUVEMENT VlKlïA'l 01 lîK l'.T ONDULA TOIISK.

face réfringente; IT prolongé ou IG est la direction de Tonde dans le second milieu. Or puisque AT n'est pas parallèle à II', comme il est Hu ile de le voir, 1C n'est pas le prolongement de LI; l'onde a donc élé déviée de sa direction première en passant dans un autre milieu. La déviation de l'onde dans ces circonstances porte plus spécialement le nom de réfraction. — Si, an point d'incidence I d'une des ondes linéaires, on élève la normale IN à la surlace d'incidence, on voit que la réfraction d'une onde qui passe d'un milieu moins dense clans un milieu plus dense, a pour ed'et de rapprocher de la normale la direction de l'onde.

11 va sans dire que l'effet inverse se produit quand l'onde passe d'un milieu plus dense dans un milieu moins dense : l'onde est réfractée de façon à s'éloigner de la normale. Il suffit, 'pour s'en convaincre, de reproduire le raisonnement précédent , en prenant pour onde incidente celle qui clans la Fig. 29 représente l'onde réfractée, et inversement.

43°. Lois de la réfraction dans un milieu isotrope. — Soit i (Fig. 29) l'angle que fait la direction de l'onde incidente avec la normale, r l'angle de l'onde réfractée avec la même normale ; on a , comme il serait facile de le démontrer :

sini V sinr — V '

V étant la vitesse de propagation de l'onde dans le premier milieu, et V celle de l'onde dans le second milieu.

On voit que l'angle de réfraction donne le moyen de déterminer le rapport.

des vitesses de propagation clans les deux milieux. Le quotient sin 1 ou — ^—

sin r V

s'appelle Y indice de ré fraction relatif des deux milieux et se représente par la lettre n.

[De ce qui précède découlent les conséquences suivantes :

1° Les directions de l'onde incidente et de l'onde réfractée sont dans un même -plan avec la normale à la surface au point d'incidence ;

2° Le rapport des sinus de l'angle d'incidence et de l'angle de réfraction est constant pour deux mômes milieux.

Supposons que la droite AB (Fig. 30) représente ta surface de séparation entre deux milieux, dont, l'inférieur propage le mouvement vibratoire plus lentement que le supérieur ; soient ab la direction d'une onde incidente et hf la direction de l'onde réfractée correspondante. Par le point à incidence b , menons de perpendiculaire à AB, et du même point comme centré décrivons une circonférence de rayon égal à l'unité. L'angle d'incidence est alors abd, et l'angle de réfraction est cbf. Si des points a et f, où la circonférence précédemment décrite coupe les directions de l'onde incidente et de l'onde réfractée, on abaisse des perpendiculaires sur la normale de, les droites ainsi tracées, ax et fy représentent , la première le finua de Vaiigle d'incidence, la seconde le sinus de l'angle de réfraction-, WUNDT, Phyalqua médicale. ' 0

as»

Fig. 30. — Loi (lu rapport des sinus do l'angle d'incidence et do l'angle do réfraction.

et", en vertu de la loi énoncée plus haut, le rapport entre ces deux sinus est constant pour doux mômes milieux, quelles que soient les valeurs absolues des lignes trigonométriques qui mesurent les angles d'incidence et de réfraction.

Ces lois sont semblables à celles de la réflexion des ondes (Cf. § 39a) ; la seconde seule en diffère; mais on peut l'aire disparaître cette différence apparente en remarquant, avec M. Babinet, que, si on pose le rapport ^-^= — 1?

la seconde loi de la réfraction s'applique aussi à la réflexion.

Les lois qui viennent d'être établies ne sont vraies d'une manière générale qu'autant que la réfraction a lieu clans un milieu isotrope , auquel cas , l'onde

réfractée étant sphérique (Cf. § 33) , le rapport ^, est constant quelle que soit

la direction considérée. Si le milieu est anisotrope , l'onde qui s'y propage n'est pas sphérique et il en résulte des phénomènes particuliers dont il sera traité dans l'optique (voy. liv. ryj cEap. 21).]