CHAPITRE IV

MOUVEMENTS PRODUITS PAR u' ACTION DE LA PESANTEUR COMBINÉE AVEC D'AUTRES FORCES MOTRICES.

57. Mouvement des projectiles. — Nous avons donné, dans le chapitre précédent, la théorie du plan incliné et celle du pendule, en considérant le mouvement effectué dans ces conditions comme un cas particulier de la chute des corps. Il nous reste à présenter un aperçu général des mouvements que détermine la pesanteur quand elle agit simultanément avec d'autres forces motrices ; l'analyse du mouvement complexe qui résulte de cette combinaison de forces n'offre aucune difficulté notable, quand on suppose que, non-seulement la pesanteur, mais encore les autres forces sont appliquées au centre de gravité du mobile; or cette supposition est licite dans la plupart des cas , et permet alors de trouver à un instant quelconque du mouvement la grandeur et la direction de la résultante, à l'aide du parallélogramme des forces.'

Il arrive fréquemment que ces mouvements composés changent à chaque instant de direction et qu'ils ont ainsi une trajectoire curviligne ; cela tient à ce que la pesanteur, étant une force constante , agit sur le mobile d'une manière continue et uniforme , tandis que les autres forces en jeu n'exercent le plus souvent qu'une action momentanée et d'intensité variable (Cf. § 26).

Le mouvement des projectiles nous offre un exemple de mouvement composé déterminé par l'action simultanée de la pesanteur et de la force avec laquelle un corps est lancé dans l'espace. Cette dernière force, désignée sous le nom de force de projection , n'agit sur le mobile que pendant un temps très-court , et lui imprime une certaine vitesse, en vertu de laquelle le projectile, abandonné à lui-même, se mouvrait indéfiniment en ligne droite et en conservant sa vitesse initiale, si la pesanteur n'inter-

venait à chaque instant pour modifier la direction du mouvement.

Supposons qu'un projectile soif lancé dans la direction OD' qui fait avec l'horizon un angle w (Fig. 39); s'il n'était sollicité par aucune autre force, il se trouverait à la fin de la première seconde en A', à la fin de la deuxième seconde en B', au bout de la troisième en C , et ainsi de

Fig. 89. — Trajectoire parabolique décrite par les pro- Suite. D'autre part, si le mobile étàïl

jectiies. soumis à Tact ion seule de la pesanteur,

il tomberait vers la terre suivant la

verticale et parcourrait dans cette direction un espace A'M, = ^ pendant la

MOUVEMENTS PRODUITS l'Ait I .'ACTION COMBINÉE DE PLUSIEURS FORCES. 01

première seconde , un espace B'Ma — 4 §• pendant les deux premières secondes,

un espace CM, = I) pendant les trois premières secondes, et ainsi de suite,

l'espace parcouru augmentant proportionnellement au carré du temps. Or, en vertu du principe de la composition des mouvements, le projectile occupera à chaque instant la position à laquelle il serait parvenu si l'on avait fait agir sur lui séparément d'abord la force de projection, puis la pesanteur; c'est ainsi qu'à la lin de la première seconde, le corps se trouve en M, , à la fin de la seconde suivante en M2 , et ainsi de suite. En réunissant par un trait continu les différentes positions successivement occupées par le projectile, on obtient, pour trajectoire une ligne courbe OM, M2M- D qui présente la forme d'une parabole dont l'axe est vertical.

[En soumettant la question à l'analyse mathématique, on démontre, en effet, que la trajectoire décrite par un projectile doit être une parabole, si on fait abstraction de la résistance que l'air oppose au mouvement, du mobile.

L'intervalle OD compris entre le point de départ du mobile et son point d'arrivée sur le sol, se nomme l' amplitude, du jet ; on démontre que, pour une même vitesse d'impulsion, V amplitude du jet est proportionnelle au sinus du double de V angle de projection (,j et qu'elle atteint sa valeur maxima quand cet angle est égal h 45° ; à égalité d'angle de projection, V amplitude du jet est proportionnelle au carré de la vitesse cV impulsion. On appelle hauteur du jet, la plus grande élévation à laquelle parvient le projectile ; on trouve que, toutes choses égales d'ailleurs, cette hauteur est proportionnelle au carré du sinus de l'angle o> et au carré de la vitesse d'impulsion.]

58. Mouvements des corps célestes. Lois de Kepler. — On rencontre encore un exemple de mouvements composés produits sous l'influence simultanée de la pesanteur et d'une autre force dans les mouvements des corps célestes. Il s'exerce entre le soleil et les planètes des attractions réciproques qui, comme la pesanteur terrestre, ont pour origine la gravitation universelle. A cette action constante de la gravitation vient s'en joindre une autre dirigée suivant la tangente à la trajectoire décrite par le mobile; on peut se représenter cette dernière force comme le résultat d'une impulsion initiale qui aurait été donnée aux corps célestes à l'origine du mouvement et qui, si elle avait été seule à agir, aurait communiqué h ces corps un mouvement indéfiniment rectiligne et uniforme.

Les mouvements vrais des astres sont extrêmement compliqués, parce que tous les corps célestes s'attirent mutuellement avec une énergie qui, conformément à la loi générale des actions à distance, est directement proportionnelle au produit des masses en présence et en raison inverse du carré de la distance. Mais on obtient une approximation suffisante dans beaucoup do cas en ne tenant compte que des actions exercées par les corps célestes les plus considérables, par ceux que la simple observation nous montre comme des centres autour desquels semblent s'effectuer les mouvements des autres astres; pour notre système solaire, par exemple, il suffit de considérer l'attraction que le Boleil exerce sur les planètes. Dans cette hypothèse, on trouve:

I" Que les orbites des planètes sont des ellipses, dont le soleil occupe l'un des foyers;

2° Que les aires décrites par un rayon vecteur mené du centre du soleil au centre de la planète Bont proportionnelles au temps;

3° Que les carrés des temps des révolutions sont proportionnels aux cubes des grands axes des orbites.

Ces trois lois qui régissent le mouvement des planètes sont appelées lois de Kepler, du nom de l'astronome qui les a découvertes.

I)F. LA PF.*ANTF,tin.

59. Du mouvement curviligne. Force centrifuge et force centripète. — Les mouvements des planètes ne sont qu'un cas particulier du mouvement curviligne en général. Nous ne saurions traiter ce sujet dans toute sa généralité sans nous écarter du but de cet ouvrage; cependant il y a utilité à analyser le mouvement qui se produit clans des conditions semblables mais plus simples; l'exemple que nous allons étudier servira en même temps à faire comprendre comment les choses se passent dans le mouvement des astres.

Imaginons un mobile B (Fig. 40) tournant en cercle autour du point 0 comme centre. La force qui meut le corps le long de la circonférence et qui , dans un temps très-court, lui aura fait parcourir, par exemple, l'arc de cercle BP que

nous confondons avec sa corde , cette force peut être décomposée en deux autres : l'une BH poussant le mobile clans la direction de la tangente BA. , l'autre BG attirant le corps vers le centre de rotation. Si nous supposons le mouvement uniforme, la première de ces forces est le résultat d'une impulsion unique, qui, à l'origine du mouvement, a agi sur le mobile dans la direction de la tangente à la courbe décrite; Fig. 4o. — Explication de la force qUant à la composante normale, elle représente né-

centrifuge. . ,

cessairement une force constante, puisque, si elle venait à cesser d'agir , le corps abandonnerait aussitôt la circonférence sur laquelle il se meut.

Les deux forces dans lesquelles nous venons de décomposer la force motrice ne sont pas purement fictives ; elles existent en réalité ; ce qui le prouve , c'est que d'abord le mobile s'éloigne suivant la tangente , si on vient à rompre le fil qui l'attache au point 0 , et que d'autre part, durant son mouvement , il exerce sur ce point une traction dirigée suivant OB , traction qui , en vertu du principe de l'égalité de l'action et de la réaction , a pour origine une traction égale et de sens contraire du point 0 sur le mobile. Quant à la -force BH , il ne saurait être question pour elle d'une réaction en sens opposé , puisque cette force se réduit à une impulsion unique qui a agi à l'origine du mouvement et que , par conséquent , il n'y a eu d'effet de réaction qu'à cette époque.

On appelle force tangentielle celle qui tend à entraîner le mobile clans la direction de la tangente BA ; force centripète , celle qui le tire vers le centre 0 , et force centrifuge , celle qui est égale et de sens contraire à la force centripète. Quand on fait tourner avec rapidité un corps fixé à l'extrémité d'une fronde, on se convainc de l'existence de la force centrifuge par l'effort de traction qui tend à entraîner la main , tandis que la force centripète est représentée par l'effort que déploie la main pour empêcher la fronde de s'échapper. Au fond , il s'agit là d'un effet de réaction semblable à celui qui se produit lorsqu'on exerce une pression contre un corps : on éprouve une résistance égale en intensité à la pression exercée.

Cela pose, considérons l'élément do chemin BP parcouru par le mobilo et décomposons-le en un mouvement tangentiel BH, et en un mouvement centripète BG; si nous déterminons alors la force correspondante a ce dernier mouvement et si, en outre, nous connaissons la vitesse avec laquelle le mobile parcourt s.-i trajectoire curvi-

MOUVEMENTS PRODUITS l'Ail L'ACTION COMBINÉE DE PLUSIEURS FORCES. 93

ligne, nous avons tous los éléments nécessaires pour obtenir la valeur do la force centrifuge. Or l'arc BP, qui so confond avec sa corde, a pour expression:

BV = vt,

v désignant la vitesso du mobile et t le temps qu'il emploie à, parcourir co chemin BP; d'un autro côté, m étant la masse du mobile et F la force constante qui l'attire clans la direction BO, nous avons (Cf. § 25, équation, [2]) :

BG = ~-^t?

Enfin on sait que- BP est moyenne proportionnelle entre le diamètre du .cercle et le segment BG, c'est-à-dire qu'on a: BP2 = 2 KXBG.

En remplaçant BP et BG par leurs valeurs tirées des équations précédentes, nous obtenons: «M=s.RïUî

dou: 1=TT Telle est l'expression de la force centrifuge ou de son égale, la force centripète.

Ainsi, quand un corps décrit une circonférence d'un mouvement uniforme , la force constante avec laquelle il est attiré vers le centre du cercle est égale au produit de la masse du mobile par le carré de la vitesse du mouvement, divisé par le rayon du cercle.

[Nous pouvons donner une autre forme à l'expressiou de la force centrifuge. Soit Tic temps employé par le mobile à parcourir d'un mouvement uniforme la circonférence entière, c'est-à-dire l'espace 2ttR; la vitesse v du mobils est égale à l'espace divisé par

le temps (Cf. § 23) ; par conséquent, v = — =— . Mettant cette valeur de v dans la formule F = ^r, il vient :

Nous en concluons que, lorsque plusieurs corps de même masse parcourent pendant le même temps des circonférences de rayon différent , les forces centrifuges correspondantes sont jjroportiowielles aux rayons de ces circonférences.']

59a. Applications de la force centrifuge. — La force centrifuge joue un grand rôle dans la rotation de la terre autour de son axe, car chaque point de la surface terrestre se comporte comme le mobile de l'exemple précédent. C'est le développ enient de la force centrifuge qui explique en majeure partie pourquoi l'accélération de la pesanteur décroît à mesure qu'on se rapproche de l'équateur (Cf. §56a); en effet, sous l'équateur, la force

centrifuge est — ^ de l'intensité de la pesanteur et lui est directement opposée, de sorte

que, si la vitesse de rotation de la terre était 17 fois plus grande, la forco centrifuge a l'équateur serait 17- ou 289 fois plus intense et neutraliserait entièrement V attraction terrestre; dans ces conditions le poids des corps serait nul à l'équateur.

L'aplatissement de la terre aux pôles s'explique aussi par l'intervention de la force Centrifuge: à l'époque où notre planète se trouvait encore à l'état liquide, les parties Situées ii l'équateur ont dû s'éloigner davantage du centre de la terre, puisqu'elles occupaient une région où la force centrifuge avait son maximum d'intensité, lo rayon de l'équateur étant plus grand que celui des autres cercles qui lui sont parallèles. Dans lu cas où la vitesse de rotation d'une niasse fluide serait assez considérable pour développer une. force centrifuge supérieure en intensité h l'action de la pesanteur, il peut

04 • DE LA PESANTEUR

même arriver que des portions do matière se séparent entièrement de la niasse prineipale. C'est en partant de ces laits que Kant et Laplace ont édifié, pour expliquer l'origine de notre système solaire, une hypothèse qui a pour elle de grandes probabilités : d'après ces savants, l'ensemble de notre système planétaire aurait commencé par for* mer une seule masse à l'état de fluidité ignée ; le mouvement de rotation venant à s'accélérer de plus en plus, à mesure que la matière se condensait, la force centrifuge aurait fini par détacher de la périphérie de cette masse des portions de matière qui ont ainsi donné naissance aux planètes.

Ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent du mouvement d'un corps assujetti à tourner en cercle autour d'un point fixe est directement applicable au mouvement des planètes. Ces astres sont aussi sollicités par deux forces, un choc originel agissant dans la direction do la tangente à l'orbite de la planète, et une force constante qui attire celle-ci vers le centre du soleil (Cf. § 58). Connaissant la vitesse de translation d'une planète, sa masse et sa distance au soleil, on peut calculer la force centrifuge correspondante, en faisant usage de la formule démontrée plus haut, et la force centrifuge ainsi obtenue doit être égale à la force centripète, c'est-à-dire à l'attraction exercée par le soleil sur l'astre considéré. En procédant de la même manière, on a calculé l'attraction exercée par la terre sur la lune et on a trouvé que la force avec laquelle le globe terrestre attire notre satellite est à l'intensité de la pesanteur à la surface de la terre dans le rapport de 1 à 602. Or, comme la distance de la lune à la terre est égale à GO fois la longueur du rayon terrestre, et que, d'autre part, pour toutes, les forces qui agissent à distance leur intensité diminue en raison inverse du carré de la distance, il en résulte que la force qui fait tomber la lune vers la terre est identique avec la pesanteur terrestre.

[Nous rappellerons en terminant que la force centrifuge a été invoquée pour expliquer le mal de mer, qu'elle a été essayée clans le traitement de la folie pour déterminer, suivant les cas, la congestion ou l'anémie du cerveau, remède plus dangereux qu'efficace, qu'enfin elle modifie dans certaines circonstances les conditions d'équilibre du corps humain, par exemple chez les écuyers qui dans les cirques parcourent avec une grande vitesse une piste circulaire.]

60. Mouvements de locomotion du corps humain. — Il est une catégorie de mouvements composés qui intéressent plus spécialement le physiologiste et le médecin, et qui résultent aussi de l'action de la pesanteur combinée avec d'autres forces physiques; je veux parler des mouvements du corps humain.

On doit en distinguer deux sortes : les uns sont des mouvements de totalité ou d'ensemble , c'est-à-dire des mouvements de locomotion en vertu desquels l'homme déplace son corps; les autres sont des mouvements partiels, c'est-adire des mouvements sur place qui consistent dans le changement des rapports respectifs des diverses pièces du squelette. [Dans le dernier cas, la base de sustentation du corps reste immobile; dans le premier cas, elle se déplace. |

Les mouvements de locomotion que l'homme exécute dans la marche ef dans la course offrent une complication extrême, niais on peut en expliquer les points fondamentaux d'une manière très-simple, à l'aide des principes de mécanique que nous avons fait connaître. Nous supposerons d'abord que le poids du corps humain soit concentré dans son centre de gravité, comme nous l'avons fait jusqu'ici; nous admettrons, en outre, que les forces qui déterminent le déplacement du corps sont appliquées à ce même centre de gravité , et il ne nous restera plus qu'à trouver le mouvement, dont est animé ce point,