MOUVEMENT DES COUPS SOLIDES

égales , quand , soumises à l'action de forces égales , elles en reçoivent du us le même temps des accélérations égales. La pesanteur qui nous a servi a déterminer le centre de gravité «les corps est aussi utilisée pour la recherche de * leur masse; elle offre, en effet, l'avantage d'être la force la plus répandue de la nature et de pouvoir être isolée des autres forces. Aussi le poids des corps sert-il de mesure à leur masse.

53. Accélération due à la pesanteur. — Nous avons choisi pour unité de force la force qui , agissant sur l'unité de masse , lui communique , pendant l'unité de temps, une accélération égale à 1 (voy. § 25). Aucune des forces de la nature , la pesanteur pas plus que les autres , ne représente cette unité mécanique. Quand un corps tomhe lihrement vers la terre, l'accélération qui est imprimée à chaque unité de sa masse par la pesanteur est égale à 9m,809, et non pas à 1 mètre. La pesanteur est donc à l'unité de force mécanique dans le rapport de 9,809 à 1; on représente ordinairement ce nombre 9ni,809 par la lettre g.

53". Lois de la chute. — [La pesanteur, étant une force constante, produit un mouvement uniformément accéléré. Or les lois qui régissent ce mouvement (§ 24) nous apprennent que :] la vitesse acquise au bout de t secondes par un corps qui tombe librement est :

v = gl

l'espace parcouru dans le même temps est :

La vitesse de chute des corps qui tombent librement est trop grande pour qu'on puisse la mesurer directement avec un peu de précision ; nous verrons plus loin (§ 56a) comment les oscillations du pendule ont été utilisées pour la détermination de l'accélération due à la pesanteur. Mais quand il s'agit simplement de vérifier les lois de la chute, on peut y arriver à l'aide de la machine d'Atwood qui est disposée de manière à diminuer l'intensité de la force accélératrice et par suite à ralentir le mouvement du mobile 1 .

Cette machine permet de démontrer facilement que : 1° la vitesse acquise par un corps qui tombe librement , en partant de l'état de repos , est proportionnelle au temps écoulé; 2° les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir.

[On peut aussi vérifier ces lois au moyen de Yappareil enregistreur de Poncelet et Morin , dans lequel le corps , en tombant , trace lui-môme sur un cylindre tournant une courbe qui représente le mouvement dont il était animé à chaque instant. Cet appareil offre un grand intérêt, au moins sous le rapport historique, car il peut être regardé, au point de vue du principe de sa construction , comme le type des appareils enregistreurs imaginés par MM. Ludwig, Tlelmholtz , Vierordt, Marey etc., et employés avec tant de succès par ces éminenls physiologistes pour l'étude des mouvements qui s'accomplissent dans l'organisme vivant. |

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m LA PESANTEUR,

Vig. 37. — Chute d'un corps le long d'un plan incliné.

54. Plan incliné. — Quand un corps ne tombe pas librement, mais qu'il est assujetti à suivre un chemin déterminé, comme, par exemple, à router le long d'un plan incliné ou 'à tourner autour d'un axe de suspension , la vitesse de son mouvement n'est pas la même que dans le cas où la chute est libre.

Soit 0 (Fi g. 37) un corps placé sur le plan incliné ED ; ce corps, sollicité par la pesanteur, descendra d'autant plus vite le long du plan que l'angle d'inclinaison EDF de ce plan avec l'horizon sera plus grand. En effet, si le corps tombait librement, il parcourrait clans la première seconde de sa chute

un espace vertical JK = | (Cf. § 24 et 5311) ; mais,

à cause de la présence du plan incliné, il ne peut se mouvoir que dans la direction ED. Pour avoir la vitesse de sa descente , il faut décomposer la force JK suivant la règle du parallélogramme ; on obtient ainsi une composante JH qui représente la force avec laquelle le corps presse sur le plan ; cette composante perpendiculaire est détruite par la résistance même du plan; la composante ,TG = HK, parallèle à la surface du plan, agit seule pour faire descendre le corps. Or la comparaison des triangles

semblables EDF et JHK donne l'égalité des rapports ^ ="Jg f1" nous contre

que le chemin ED parcouru par le corps le long du plan incliné est au chemin EF qu'il parcourrait s'il tombait librement, dans le rapport inverse des forces accélératrices qui agissent dans les deux cas. On en conclut que le mobile, parvenu au bas de sa course, après avoir parcouru le chemin ED, possède la vitesse qu'il aurait acquise en tombant librement de E en F, car si, d'une part, l'intensité de la force qui le fait descendre parallèlement à la surface du plan incliné est diminuée, d'autre part, ce.tt.e force agit sur un espace d'autant plus long. Nous pouvons exprimer ce résultat d'une manière générale, en disant: Quand un corps sollicité par la pesanteur tombe d'une certaine hauteur, arrivé au bas de sa course, il possède toujours la même vitesse , ' quel que, soit le chemin qu'il ait suivi.

En désignant par et l'angle EDF, les formules du mouvement sur un plan incliné sont:

v=pva..agt,

sin. « .'/'-■

55. Du pendule simple. — La théorie des mouvements du pendule repose sur les mêmes principes que celle du plan incliné. On appelle pendule tout corps pesant suspendu par un fil ou par une tige inextensible à un poinl fixe autour duquel il peut osciller.

Dans le pendide mathématique ou pendule simple , on suppose le fil de suspension dépourvu de pesanteur, le mobile réduit à un simple point matériel pesant, èl pouvant se mouvoir sans éprouver aucune résistance due, soit au frottement de l'air, soit au IVoltemenl contre l'axe de suspension.

Représentons par OA (Fig. 38) un semblable pendule à l'état de repos; écartons-le de sa position d'équilibre, amenons-le en OB, puis abandonnons-

MOUVEMENTS DES f'.onps BOLI.DES.

Fig. 38. — Théorie du pendule.

le à lui-même : le point nialériol, sollicité par la pesanteur, descendra avec nue vitesse croissante vers sa première position A, puis, en vertu de la vitesse acquise, il la dépassera en sens contrains remontera jusqu'en un point B', symétrique du point B par rapport à la verticale; arrivé-la, il rebroussera chemin, parcourra de nouveau sa première trajectoire en sens inverse, et ainsi de suite. Le pendule accomplira une série d'oscillations qui sont régies par les lois du mouvement vibratoire développées au § 27. La pesanteur tend , en effet , à retenir le point matériel dans la position A ; mais , l'équilibre ayant été rompu une première fois, il en résulte que le pendule oscille de part el d'autre de sa position d'équilibre; s'il était possible de supprimer toute cause de frottement et par suite de déperdition de la force initiale , le mouvement ne s'arrêterait pas et les oscillations continueraient indéfiniment.

ÎS 'amplitude d'une oscillation est représentée par la longueur-de l'arc BB' ou par la grandeur de l'angle BOB' auquel cet arc sert de mesure; la durée de V oscillation est le temps qu'emploie le pendule pour accomplir son double mouvement de va-et-vient.

L'analogie entre le mouvement du pendule et celui d'un corps qui roule sur un plan incliné consiste en ce que dans les deux cas le corps est sollicité par son poids h tomber, et qu'il est gêné dans ce mouvement par un obstacle qui l'oblige à suivre une route différente de celle qu'il parcourrait s'il tombait librement. Considérons une portion très-petite de la trajectoire circulaire décrite par le pendule: chacun de ces arcs élémentaires est assimilable à un petit plan incliné sur lequel doit se mouvoir le point matériel; on peut donc déterminer à chaque instant du mouvement l'intensité de la force accélératrice; mais cette intensité varie d'un point à l'autre de la trajectoire, puisque celle-ci se compose d'une infinité de plans inclinés élémentaires dont l'angle d'inclinaison augmente à mesure qu'on s'éloigne de la position d'équilibre. Au point B menons la verticale BP égale au poids du mobile et décomposons-la en deux autres : l'une BN, dirigée suivant le rayon OB, exercera sur le centre de suspension une traction qui sera détruite par la résistance de ce point; la composante tangentielle BT agira seule pour déterminer le mouvement du mobile. Au point C le poids du corps est le même fine précédemment, mais la composante tangentielle CT" est évidemment plus petite. 11 est facile de voir qu'en définitive la composante de la pesanteur qui fait tomber le mobile décroît à mesure qu'on se rapproche de la position d'équilibre A, oùelle est nulle. Cependant il importe de remarquer que cette composante n'est pas exactement proportionnelle à. la distance, car le point matériel se ment sur un aro de.oerele et e'est la corde de cet arc qui représente la distance; la, force accélératrice augmente donc un peu plus rapidement que la distance; mais, si on ne considèro que îles amplitudes très-petites, l'arc se confond sensiblement avec sa cordo et on peut alors appliquer aux oscillations pendulaires les lois du mouvement vibratoire , lois qui suppose.nl la proportionnalité exacte de la forcé h la simple distance.

DE LA PESANTEUR

Une première conséquence découle de la théorie du pendule , c'est la suivante :

Quand l'amplitude des oscillations ne dépasse pas une certaine limite , la durée de l'oscillation est indépendante de l'amplitude ; en d'autres termes, les oscillations du pendule sont isochrones.

Nous avons vu que la vitesse finalo d'un corps qui descend le long d'un plan incliné est égale à la vitesse dont serait animé le mobile s'il était tombé librement de la inême hautour. Il en est de même pour le pendule ; en conséquence, quand le point matériel est arrivé en A, après avoir parcouru l'espace BA, il possède une vitesse égalo à cello qu'il aurait acquise en tombant librement suivant la verticale de K en A ;

or KA = -5- </t2, on représentant par t la durée do la chute. Si on considère plusieurs

pendules ayant des longueurs différentes, mais accomplissant des oscillations de même amplitude, les hauteurs de chuta seront sensiblement proportionnelles aux longueurs de ces pendules, et, CQmme la durée de l'oscillation est le double de cello de la chute, il en résulte que : ,

La longueur d'un pendule est en raison directe du carré de la durée de l'oscillation, ou, en d'autres termes, la durée d'oscillation d'un pendule est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur.

On peut facilement vérifier expérimentalement les deux lois qui viennent d'être établies, celle de l'isochronisme des petites oscillations et celle de la proportionnalité des durées des oscillations aux racines carrées des longueurs des pendules. En faisant, par exemple, osciller trois pendules de longueurs respectivement égales à 1, 4, 9, les durées des oscillations sont entre elles comme les nombres 1, 2, 3; on observe, en outre, si les amplitudes sont suffisamment petites, que, pour chaque pendule, la durée de l'oscillation reste la même, malgré les variations de l'amplitude.

Ces lois sont renfermées dans la formule :

T représente la durée d'une oscillation complète , / est. la longueur du pendule , et g l'accélération due à la pesanteur .

Cette formule se déduit de l'équation générale du mouvement vibratoire (§ 29) dont les oscillations pendulaires ne sont qu'un cas particulier.

[La formule du pendule conduit encore à une troisième loi qu'on peut énoncer ainsi : les durées des oscillations sont en raison inverse de la racine carrée des intensités de la pesante%ir.~\

56. Pendule physique ou composé. — Le pendule simple est une pure fiction qu'on ne réalise jamais qu'avec une approximation plus ou moins grande. Le pendule physique ou composé est le seul que nous soyons à même de construire; tout corps pesant qui peut osciller autour d'un point ou d'un axe fixes représente un pendule composé. Chaque point d'un semblable pendule tend, sous l'influence de la pesanteur, à osciller conformément aux lois du pendule simple, c'est-à-dire à décrire des oscillations d'autant plus lentes qu'il est plus éloigné du centre de suspension; mais comme tous ces points sont solidaires les uns des autres, ils doivent nécessairement avoir une mémo durée d'oscil-

MOUVEMENTS DES coups SOUDES. 80

lation intermédiaire entre celles qu'ils auraient s'ils pouvaient se mouvoir indépendamment les uns des autres ; il résulte de là que le mouvement des points les plus rapprochés du centre de suspension est retardé, tandis que celui des points les plus éloignés se trouve accéléré. Entre ces deux positions extrêmes, il y en a donc une correspondant à des points qui oscillent comme s'ils n'étaient pas reliés au reste du système; le point qui jouit de cette propriété porte le nom de centre d'oscillation. La distance de ce point au centre de suspension représente, par conséquent, la longueur d'un pendule simple qui accomplirait des oscillations égales en durée à celle du pendule composé.

Quand un pendule a une forme géométrique et qu'il est homogène dans toute sa masse, l'analyse mathématiqne permet de déterminer la position de son I centre d'oscillation et par conséquent sa longueur.

Mais on peut y arriver plus simplement et même plus sûrement , sans calcul, en employant le système du pendule à réversion, système fondé sur la réciprocité des centres de suspension et d'oscillations : un pendule étant donné avec son point de suspension, si on vient à le retourner, et à le suspendre par son centre d'oscillation, le nouveau centre d'oscillation occupe précisément la position du premier point de suspension, en sorte que la durée des oscillations dans ce second cas reste la même.

Pour trouver la longueur d'un pendule composé , accomplissant des oscillations d'une durée déterminée , il suffit donc de le retourner et de chercher par tâtonnements un point tel qu'en le prenant pour centre de suspension, et en faisant, osciller le pendule, on obtienne la même durée d'oscillation qu'avant le retournement. La distance de ce second point au premier centre de suspension donne la longueur du pendule , longueur qui , introduite dans la formule du pendule simple , rend celle-ci applicable au pendule composé.

56a. Mesure de l'intensité de la pesanteur. — C'est en procédant comme il vient d'être dit, qu'on a déterminé l'intensité de la pesanteur, la valeur de g pouvant être tirée de la formule du pendule. L'expérience ainsi conduitè a montré que, dans un même lieu, g a exactement la même valeur pour tous les corps, quelle que soit leur nature, mais qu'elle varie d'un lieu à l'autre, avec la latitude ; elle augmente de l'équateur au pôle; ù l'équateur, par exemple, g = 9,780; à la latitude de 45% g= 9,805, et au pôle, elle est 9,830. [A Paris, g = 9,8088 (Borda et Cassini), ou plus exactement, en faisant une correction relative à l'inégalité de perte de poids d'un corps dans l'air suivant l'état de mouvement ou de repos du corps , # = 9,8096 (Bessel).]

L'accroissement de l'intensité de la pesanteur à mesure qu'on se rapproche ■ du pôle tient à deux causes : en premier lieu , le globe terrestre étant aplati aux pôles, un point situé dans cette région est plus rapproché du centre de la terre qu'il ne l'est à l'équateur; en second lieu, la force centrifuge qui agit on sens contraire de la pesanteur ésl plus grande à l'équateur (voir au § 59 en quoi consiste la force centrifuge).

DE LA PESANTEUR