CHAPITRE VI

HYDROSTATIQUE

67. Transmission des pressions dans les liquides. Principe de Pascal. — Toute molécule liquide tond, avons-nous vu, à tomber verticalement; la chute a lieu effectivement quand aucun obstacle ne s'oppose au mouvement. Si, au contraire , la molécule considérée repose sur un plan résistant qui l'empêche d'obéir à l'action de la pesanteur, elle ne tombe pas, mais elle exerce alors sur ce plan une pression en rapport avec la grandeur de sa propre masse.

Soit ABGD (Fig. 44) un vase renfermant un certain volume de liquide qu'on peut regarder comme composé d'un très-grand nombre de molécules. Décomposons par la pensée cette masse liquide en un nombre infiniment grand de tranches ou couches horizontales d'une épaisseur

infiniment petite; soient ab, cd , ef, rnn

ces tranches élémentaires. Il est évident que la première tranche ab presse de tout son poids sur la deuxième tranche cd, que la troisième tranche supporte à son tour le poids des deux premières réunies , et ainsi de suite jusqu'à la dernière tranche mn , qui supporte le poids de toutes les autres ; finalement , la pression exercée sur le fond BC du vase est donc égale au poids de toute la masse liquide abmn. De même, une tranche quelconque ik prise, clans l'intérieur de la masse , supporte une pression équivalente au poids de tout le liquide abik situé au-dessus. Si, au lieu d'une tranche entière, on n'en considère qu'une fraction, telle que x'y\ cette portion de surface ne supportera que le poids de la colonne liquide pqx'y' ; s'agit-il d'une portion xy du fond du vase, la pression exercée sur cette surface a pour valeur le poids de la colonne p q xy.

On voit donc que toute molécule située dans l'intérieur d'un liquide supporte une pression dirigée de haut en bas et égale au poids de la file des molécules placées au-dessus. Or il a été dit, dans le paragraphe précédent, que la caractère fondamental de l'état liquide consiste dans la facilité avec laquelle les molécules de la matière se déplacent les unes par rapport aux autres , dans tous les sens, sous l'influence des plus légères forces extérieures. S'il en est ainsi, la molécule ce' , par exemple , pressée par la file px' des molécules sus-jacentes, cherchera à fuir aussi bien dans la direction x'i ou x'k que dans la direction x' x; mais, comme elle est retenue dans sa position par la résistance des molécules environnantes , elle exercera autour d'elle en tout sens une pression précisément égale à celle qu'elle supporte elle-même. [C'est de cette manière que, dans les liquides, la pression exercée en vit point quelconque de leur masse se transmet également dans tous les sens; telle est la forme habituelle sous laquelle on énonce le principe de Pascal ou principe d'égalité de pression.

DE LA. PESANTEUR

De plus, on vertu du principe de l'égalité de l'action et de la réaction , la molécule considérée subit à son tour, de la part des molécules environnantes , une pression égale à celle qu'elle leur communique; la molécule x\ par exemple, est pressée clans tous les sens avec une force représentée par le poids de la colonne liquide jp ce'. De là, cette autre conséquence extrêmement importante, à savoir que, dans un liquide en équilibre , chaque molécule est également pressée dans tons les sens.']

Considérons maintenant un point quelconque a des parois latérales du vase de la Fig. 44 : il résulte du principe qui vient d'être établi que ce point supporte une pression dirigée normalement à la surface de la paroi et représentée par le poids de la file aa des molécules sus-jacentes. Par la même raison, la pression qui s'exerce sur la surface «[ï est égale au poids d'une colonne liquide ayant pour base cette surface même et pour hauteur la distance ay du niveau du liquide au centre de gravité de la surface considérée. Ce qui est vrai pour la paroi du vase, l'est aussi pour toute portion de surface prise dans l'intérieur de la masse liquide.

Cela posé , remplissons entièrement de liquide un vase ABCD (Fig. 45) clos de toute part; supposons qu'on remplace une portion pq de la paroi supérieure par un piston P prenant très-juste dans l'ouverture qui lui est ménagée et qu'on charge ce piston d'un poids h; cela revient à supposer la surface p q surmontée d'une colonne liquide de poids égal à h.

Il est évident, dès lors, que toute surface prise dans l'intérieur du liquide ef égale en étendue à la surface pq supportera, en sus du poids de la colonne liquide sus-jacente, une pression égale à h; tel est le cas des surfaces xy ou x'y\ Il en sera de même des pressions exercées sur les parois latérales du vase , puisque la pression se transmet également dans tous les sens ; ainsi , la surface p'q' sera aussi pressée

Fig. 45. — Proportionnalité do la pression à la gran- de dedans Cil dehors par Une force deur de la surface pressée (Principe de Pascal.) égaje a h j abstraction faite de la pression afférente au poids du liquide. En admettant donc que cette surface p'q' soit remplacée par un piston P' , il faudrait, pour le maintenir en place, y appliquer une force dirigée de dehors en dedans, et égale à la pression /( transmise par le liquide , sans compter la force nécessaire pour faire équilibre au poids de la colonne liquide qui presse sur ce piston. Si la surface considérée, au lieu d'être égale à'pq, a une étendue double, elle supportera évidemment une pression double, c'est-à-dire 2 h ; si elle a une étendue triple , elle sera soumise à la pression 3 h. En un mot, la pression totale qui' supporte une surface prise dans l'intérieur d'un liquide ou sur les 2JCirois du vase est proportionnelle à l'étendue de la surface considérée. 67a. Principe de la presse hydraulique. — La conclusion à laquelle nous ve-

HYDROSTATIQUE

nons d'aboutir offre un moyen d'obtenir de grands effets à l'aide de forces relativement peu intenses. Remplaçons par un piston P" la portion de paroi a p, et supposons que cette surface a p ait une étendue double île la surface p (/ : exerce-t-on alors sur le piston P une pression h, la pression transmise au piston P" sera égale à 2 h; on pourra donc obtenir, à l'aide de ce dernier, un effet mécanique extérieur deux fois plus grand que celui qui répond à la force employée à produire le mouvement du piston P ; l'effort développé par le piston P" sera capable, par exemple, de soulever un poids 2 h ou de comprimer un corps avec une force égale à 2 h, etc. Si nous donnons au piston P" une surface cent fois plus grande que celle de l'autre piston, nous centuplons aussi la puissance du premier. Tel est le principe sur lequel repose la construction de la presse hydraulique.

Nous venons de montrer en vertu de quel mécanisme on peut, à l'aide de forces modérées , produire des effets extrêmement puissants ; mais il faut se garder d'en conclure que nous avons ainsi créé de la force ; on sait que cela est impossible; en réalité, dans la presse hydraulique comme dans le levier du deuxième genre, nous ne faisons que transformer la vitesse en force : si, en effet, le piston P" a une surface deux fois plus grande que celle du piston P, il transmet, à la vérité, une pression deux fois plus forte, mais, par contre, il se déplace avec une vitesse deux fois plus petite , puisque le corps de pompe dans lequel il se meut contient, à égalité de longueur, deux fois plus de liquide que le corps de pompe du piston P. [En un mot , ce qu'on gagne en force, on le perd en vitesse (Cf. § 21)].

68. Pression sur le fond d'un vase. — De cette propriété des liquides de transmettre également dans tous les sens la pression exercée en un point quelconque de leur masse , découlent les conditions d'équilibre de ces corps et les effets de pression auxquels ils donnent naissance en vertu de leur poids.

"Relativement à la pression qu'un liquide , sollicité par la pesanteur, exerce sur le fond du vase qui le contient, il est évident, d'après le principe de Pascal, que. cette pression est égale au poids de la colonne liquide qui a pour base la surface du fond considéré, et pour hauteur la distance de ce fond au niveau du liquide dans le vase ; c'est dire que la pression dont il s'agit est complètement indépendante de la forme du vase. Considérons, par exemple, les trois vases C, D, E , (Fig. 46 , 47, 48) qui possèdent des formes différentes, mais qui sont remplis d'eau jusqu'à la même hauteur et dont les fonds ont la même étendue en superficie.

Dans ces trois va- — ses , la pression 4C- — Pression sur 10

i j, , , fond , égale nu poids du

sur le fond est liquide.g identiquement la

même, car elle est égale à fr/i8, si nous désignons par b la surface du fond, par h la hauteur du niveau du liquide au-dessus du fond et par S la densité du liquide ; or ces trois quantités b , /i , S sont les mêmes dans les trois cas.

Fig. 47. — Pression sur lo fond, inférieure au poids du liquide.

Fig. 48. — Pression sur lo fond, supérieure au poids du liquide

110 DE LA PESANTEUR

[Il en résulte que , dans le vase C (Figj 46) la pression sur le fond est égale au poids môme de toute la masse liquide; en D (Fig. 47) cette pression est plus petite que le poids du liquide contenu dans le vase; elle est, au contraire , plus grande en E (Fig. .48). Ainsi, la pression exercée sur le fond d'un vase par le liquide qu'il contient peut être , suivant les cas , égale , supérieure ou inférieure au poids de la masse fluide renfermée dans le vase; on se rend aisément compte de ces faits en décomposant les pressions normales aux parois en pressions horizontales et en pressions verticales : les premières se détruisent deux à deux , tandis que les dernières agissent, suivant leur direction, dans le môme sens que la pression sur le fond ou en sens contraire].

68°. Équilibre des liquides dans les vases communiquants. — C'est encore le principe de Pascal qui détermine les conditions d'équilibre d'un liquide contenu dans des vases communiquants ; on nomme ainsi le système de deux ou plusieurs vases , tels que B et C (Fig. 49) réunis entre eux par un tube A permettant aux masses liquides renfermées dans chaque vase de communiquer l'une avec l'autre. Quand un pareil système contient un seul liquide, il faut, pour qu'il, y ait équilibre, que les surfaces libres du liquide dans les divers vases soient toutes situées clans un même plan horizontal ; en un mot , le niveau du liquide doit se trouver partout à la même hauteur.

En effet , considérons une molécule liquide placée dans le tube de communication : cette molécule ne restera en équi-

Eig. 49. — Équilibre libre que si les pressions qu'elle supporte dans tous les sens des liquides dans les gon|. ,waies et opposées deux à deux ; or ces pressions ne dé-

vases communiquants. ° 11 • ,

pendent que de la surface de 1 élément considéré et de la hauteur du liquide au-dessus du plan horizontal qui renferme la molécule ; par conséquent cette hauteur doit être la même dans les deux vases.

Lorsqu'au lieu d'un seul liquide , les vases communiquants en contiennent deux de densités différentes et non susceptibles de se mélanger, le liquide le plus lourd, s'il est en quantité suffisante, remplit le fond des deux vases ainsi que le tube de communication, et les deux liquides s'élèvent au-dessus de leur surface de séparation à des hauteurs qui sont en raison inverse de leurs densités.

Cette propriété des vases communiquants permet de comparer entre elles les densités de liquides différents et non miscibles. [C'est sur ce principe que sont fondés les appareils imaginés par Boyle , Feuillée et Babinet pour déterminer la densité des liquides. M. Bertin1, par une disposition fort ingénieuse, a rendu cette méthode essentiellement pratique et applicable , par exemple, dans certains cas déterminés , aux recherches médicales sur la densité de l'urine ou d'autres liquides de l'économie ; sans doute , la méthode dont il s'agit laisse à désirer sous le rapport de la précision , mais elle offre le précieux avantage d'être d'un emploi rapide.]

68h. Application du principe des vases communiquants à la circulation du sang. — Ce qui est vrai pour deux réservoirs s'applique à un système d'un

1 BERTIN. Sur un nouveau densimetre hydrostatique (Journal l'Institut, du 13 mars 1S59; et Mémoires de la Eocic'td des sciences naturelles de Strasbourg, 18G1 , t. V).

HYDROSTATIQUE

nombre quelconque de vases communiquants, el reste encore vrai quand les liquides, au lieu d'être soumis à l'action seule de la pesanteur, ont à supporter, dans l'un ou l'autre des réservoirs, l'action supplémentaire d'une pression extérieure. Le système vasçulaire des animaux, par exemple, peut être assimilé à un ensemble de vases communiquants , dans lequel l'action du cœur développe périodiquement une inégalité de pression, prenant une certaine quantité de sang veineux pour la l'aire pénétrer de force dans les artères. C'est en vertu de cet excès de pression à l'origine du système artériel sur celle qui existe à l'autre extrémité du système circulatoire que le sang circule; car, dans les vaisseaux sanguins de l'organisme animal, de même que dans un système de vases communiquants, la pression tend constamment à s'égaliser sur tous les points. En somme, la force qui détermine la progression du sang, consiste dans une rupture de l'équilibre hydrostatique, et la circulation n'est autre chose que le fait même du rétablissement continuel de cet équilibre.

69. Perte de poids que subit un corps solide quand il est plongé dans un liquide- Principe d'Archimède. — On a vu que les molécules liquides exercent les unes sur les autres, ou contre les parois du vase qui les contient, une pression précisément égale à celle qu'elles ont elles-mêmes à supporter; elles se comportent de la même manière à l'égard des corps solides qui viennent à être plongés clans une masse liquide.

Or la pression qu'un point quelconque du corps immergé éprouve de la part du liquide, dépend uniquement de la hauteur de la colonne liquide placée audessus du point considéré. La face supérieure du corps abcd , par exemple (Fig. 50), supporte une pression égale au poids de la colonne a dp g; la face inférieure bc est pressée , de bas en haut , par une force égale au poids de la colonne bcpq. De même, tout point des faces laté- A raies , tel que k ou l, est soumis à une pression dont la grandeur est déterminée par la distance de ce point au niveau du liquide dans le vase; ces pressions latérales sont , d'ailleurs , comme les pressions qui s'exercent sur les faces supérieure ou inférieure , dirigées normalement à l'élément de surface considéré. Il s'ensuit que toutes les pressions latérales se font équilibre deux à deux et qu'on n'a plus à tenir compte que des pressions qui portent sur la face supérieure et sur l'infé- ' rieure; or ces dernières , étant opposées l'une fc^^^^TS 1 autre et de grandeur inégale , ont une résul- fluide (Principe d'Archimède). tante ('gale à leur différence; cette résultante, dirigée de bas en haut, agit sur le corps en sens contraire de la pesanteur et lui fait ainsi perdre une partie de son poids précisément égale au poids du liquide déplacé. On peut donc dire, d'une manière générale, que : tout corps plonge dans une masse fluide perd une partie de son poids égale au poids du fluide déplacé. Tel est l'énoncé de la loi connue sous le nom de Principe d'Archimède.

[La force qui tend ainsi à soulever le corps est appelée force de jioussée ou

1>E LA PESANTEUlt.

simplement poussée du fluide; son point d'application n'est autre chose que le centre de gravité de la masse fluide déplacée; elle est, comme nous l'avons dit, verticale et dirigée de bas en haut.]

70. Poids spécifiée des solides et des liquides. — Le principe d'Arcliimède fournit un moyen de déterminer la masse relative des corps [c'est-à-dire leur densité.] On a vu , § 52 , que la masse d'un corps a pour mesure l'intensité de la force avec laquelle il est attiré par le fait de la pesanteur, ou, en d'autres termes, son poids, [car il existe entre le poids P d'un corps et sa masse M, la relation P = Mg, en représentant par g l'intensité de la pesanteur (Cf. §25), relation qui montre que la masse d'un corps est proportionnelle à son poids]. Les masses relatives de deux corps sont donc entre elles comme les poids de volumes égaux de ces corps; il suffit, en conséquence, de comparer entre eux les poids de volumes égaux des différents corps, pour obtenir leurs masses relatives. Cette comparaison nécessite l'adoption d'un certain corps pour unité de masse, et on a choisi, daiis ce but, l'eau prise à son maximum de densité, c'est-à-dire à la température de + 4°.

Le rapport du poids d'un corps au poids d'un égal volume d'eau à + 4° est, ce qu'on appelle, le poids spécifique de ce corps, de telle sorte que le poids spécifique d d'un corps est égal au quotient qu'on obtient en divisant le poids absolu P de ce corps par le poids V d'un égal volume d'eau :

On obtiendra donc le poids spécifique d, en déterminant d'abord le poids absolu du corps, puis le poids d'un égal volume d'eau, et en prenant le rapport de ces deux poids. Cette opération fournit en même temps le volume du corps dont on cherche le poids spécifique , car le nombre qui exprime en grammes le poids d'une certaine masse d'eau , représente aussi le volume de cette même masse exprimé en centimètres cubes.

[Nous pouvons encore définir le poids spécifique , le poids de l'unité de volume du corps considéré; si, en effet, dans l'équation précédente, on fait V = 1 , ce qui revient à considérer l'unité de volume du corps, on trouve d — P, c'est-à-dire le poids spécifique égal au poids même du corps sous l'unité de volume.

Le poids spécifique n'est pas la même chose que la densité qui, elle, peut être définie la masse de l'unité de volume d'un corps ; mais il est facile de voir que ces deux grandeurs , poids spécifique et densité , sont proportionnelles l'une à l'autre et sont, par conséquent, représentées par les mêmes nombres.

: Mettons, en effet, l'équation (1) sous la forme:

P = Yd (2)

D'autre part, on a :