CHAPITRE VIII

HYDRODYNAMIQUE.

77. Écoulement des liquides par les orifices en mince paroi. Principe de Toricelli

— Toute particule de liquide tombe, en vertu de la pesanteur, de la même manière qu'un corps solide ; mais si la masse liquide qui obéit à l'action de la gravitation, a une certaine étendue, ses molécules constituantes se séparent facilement les unes des autres, à cause de la faible cohésion qui les unit. Aussi, quand un liquide tombe librement, a-t-il une tendance à se diviser en gouttes isolées. On peut empêcher cet effet, de se produire, soit en faisant couler le liquide le long d'un plan incliné, ce qui ralentit la vitesse de sa chute, soit en le forçant à s'écouler dans l'intérieur d'un tube; dans ce dernier cas, les particules liquides ne peuvent se séparer les unes des autres . sans laisser entre elles un vide à la formation duquel la pression atmosphérique met obstacle. Que l'écoulement ait lieu sur un plan incliné ou dans un tuyau, il en résulte toujours un courant continu de liquide, dont le mouvement diffère de celui des corps solides tombant en chute libre ; car les molécules liquides sont mises en mouvement non-seulement par leur propre

HYDRODYNAMIQUE.

Fig. 58. — Ecoulement d'un liquide par un orifice en mince paroi.

Principe de Toricetti.

poids, mais encore par celui des molécules sus-jarentes, ainsi que l'exige le principe de la transmission des pressions dans les fluides.

Les différents cas que nous venons d'indiquer peuveni être étudiés à l'aide d'un vase cylindrique , tel que celui de la Fig. 58, rempli de liquide jusqu'au niveau mn et dont le fond est •„ a percé d'un orifice xy. La veine liquide qui s'échappe par cette ouverture tombe en chute libre, à partir du moment où elle a franchi le niveau de cet orifice. Le liquide renfermé dans le réservoir se trouve, au contraire, animé d'un mouvement continu dirigé vers l'orifice de sortie, et auquel prend part toute la masse, puisque la pression se transmet également dans tous les sens. Imaginons par la pensée que la colonne liquide pqxy, qui a pour base l'orifice d'écoulement , soit solidifiée : à l'instant où ledit orifice viendrait, à être ouvert, la masse solidifiée se mettrait en mouvement , et sa vitesse, d'abord nulle, s'accélérerait, conformément aux lois de la chute des corps. Mais si cette masse reste liquide, elle presse de tout son poids sur la tranche inférieure , avant même que l'orifice soit ouvert, et, quand cette ouverture vient à se produire, la tranche xy se met en mouvement, non-seulement entraînée par son propre poids, mais encore poussée par la pression totale qu'exerce sur elle la colonne pqxy. Or, comme la pression développée par chacune des tranches qui composent cette colonne liquide est due au poids même de la tranche considérée, il est évident que la pression résultante produit un effet précisément égal à celui que déterminerait la pesanteur agissant successivement sur la tranche xy , si cette tranche était tombée de la hauteur px du niveau du liquide au-dessus du fond du réservoir; nous désignons cette hauteur par H. Le poids de la colonne p q x y représente donc une force qui imprime à la tranche xy une vitesse initiale égale à celle qu'acquerrait cette tranche en tombant verticalement de la hauteur Ii. Si on maintient constant le niveau du liquide dans le réservoir, la force qui agit sur les tranches liquides au fur et à mesure qu'elles se présentent à l'orifice de sortie ne varie pas, et la veine qui en jaillit s'échappe avec une vitesse constante, dont, la grandeur est déterminée par la hauteur H. Cette loi qui règle la vitesse d'écoulement des liquides par les orifices pratiqués en mince paroi porte le nom de principe de Toricetti, du nom du savant qui en a fait la découverte.

[On peut l'énoncer ainsi : la vitesse d'écoulement d'un, liquide par un orifice pratiqué en mince paroi est égalé à celle qu'acquerrait un corps en tombant librement de la hauteur II du niveau du liquide, jusqu'à l'orifice sortie. D'après ce principe, la vitesse d'écoulement a pour expression:

v = \/Jg~H.

de

DE LA PESANTIXK.

On a vu, en effet, § 5;ia, que la vitesse v acquise au bout de t secondes par un corps qui tombe librement ost : v = r/t, que l'espace parcouru dans le même temps est:

e = -^rgi2. En éliminant le temps entre ces deux équations et en appelant H l'espace

parcouru, nous obtenons: v — \/ 2g H, comme expression de ce qu'on appelle la vitesse

due à la hauteur JT, c'est-a-dire de la vitesse que possède un corps qui est tombé de la hauteur H.

La hauteur H se nomme la charge II s'ensuit que la vitesse d'écoulement d'un liquide est proportionnelle à la racine carrée de la charge.]

Il importe toutefois de remarquer que pour établir ce principe , on est parti d'une hypothèse qui n'est jamais réalisée d'une manière rigoureuse ; on a supposé, en effet , que les molécules liquides situées dans le principe en dehors de la colonne pqxy qui est destinée à former la veine liquide, pénètrent successivement dans cette veine sans rencontrer d'obstacle à leur mouvement. Or les choses se passent autrement : considérons , par exemple , les deux molécules M et M', au moment où elles se rencontrent au point R , après avoir paixouru les chemins respectifs MR et M'R : il est évident que ces molécules se contrarieront dans leur marche et d'autant plus que les directions de leurs trajectoires s'éloigneront davantage de la verticale ; car on peut décomposer le mouvement de chacune de ces molécules en deux autres, un vertical IR et un horizontal MI et M'I ; les deux composantes horizontales se détruisent mutuellement, puisqu'elles ont des directions opposées. Cela étant, plus l'orifice de sortie du liquide sera grand , plus les trajectoires des molécules latérales s'écarteront de la verticale, et plus, par conséquent, la vitesse d'écoulement sera diminuée. Ce ralentissement de la vitesse a pour effet de rétrécir rapidement la veine liquide , à mesure qu'on s'éloigne de l'orifice de sortie ; ce phénomène est désigné sous le nom de contraction de la veine ; le maximum de contraction correspond à l'endroit où les filets liquides qui viennent des régions latérales opèrent leur jonction, et la section de la veine en ce point n'est qu'environ les 2/3 de celle de l'orifice d'écoulement. Si on substitue à la section de cet orifice la section contractée, on trouve que l'écoulement a lieu conformément au principe de Toricelli.

La dépense est le volume de liquide écoulé dans l'unité de temps; elle est donc égale au produit de la vitesse par la section de l'orifice d'écoulement. Soit Q la dépense , v la vitesse, et s la section, on a :

Q = sv

formule qui montre que, si la dépense doit rester constante, il faut que la vitesse varie en raison inverse de la section. On voit donc que la vitesse peut être très-grande, bien que la dépense soit très-faible, si la section de l'orifice d'écoulement est très-petite, et réciproquement.

En remplaçant v par sa valeur en fonction de la charge, nous avons :

Q = , \/ïgH et pour le débit au bout du temps t:

V = Qt=*<\/%H

HYDRODYNAMIQUE. 135

En réalité, le volume do liquide écoulé dans le tcnrps / n'a que les 2/3 de cctto valeur, à causo de la contraction de la veine, do sorte que la formule dont on se sert en pratique est : V=2/S st j/ityïï-

Ces relations permettent de calculer soit la dépense à l'aide de la vitesse, soit la vitesse ;i l'aide de la dépense, et do déduire do la vitesse la charge correspondante.

A partir de la xeclioit contractée, le liquide tombe en chute libre. Si la veine liquide était solidifiée, elle tomberait tout d'une pièce, comme le ferait un solide de même section. Mais la masse à l'état liquide peut être considérée, vu sa faible cohésion, comme une réunion de particules solides qui s'échappent l'une après l'autre de l'orifice de sortie. Or, si on laisse tomber successivement deux corps, en mettant un certain intervalle de temps entre les époques de leur départ, la distance qui sépare les deux mobiles augmente continuellement pendant toute la durée de la chute, attendu que la vitesse de chaque mobile croit en raison directe du temps. Le même phénomène tend à se produire quand ce sont des particules liquides qui tombent ; s'il n'existait aucune force cohésive entre les molécules, les différentes tranches du liquide qui s'écoule se sépareraient les unes des autres, et leurs distances mutuelles s'accroîtraient sans cesse avec la durée de la chute; mais la cohésion du liquide intervient ici de la même manière qu'elle l'a fait pour déterminer la contraction de la veine à sa sortie de l'orifice d'écoulement : elle maintient la continuité du jet liquide aux dépens dè son diamètre, qui va en diminuant graduellement; toutefois le rétrécissement dans ce cas s'opère avec bien plus de lenteur qu'au début. Cependant, si la hautçur de chute est considérable, les changements de distance entre les molécules liquides finissent par acquérir une si grande valeur que la veine devient discontinue : les molécules liquides se séparent les unes des autres par petits groupes, et la veine se résout ainsi en gouttes, qui diminuent de grandeur à mesure qu'elles parcourent un espace de plus en plus considérable.

L'orifice d'écoulement est-il percé dans la paroi latérale d'un réservoir, au lieu d'en occuper le fond, cette circonstance n'apporte pas de modification essentielle au phénomène : la vitesse d'écoulement reste toujours proportionnelle

la racine carrée de la hauteur du niveau du liquide dans le réservoir au-dessus de l'orifice de sortie (loi de Toricelli), et la veine éprouve aussi une contraction. Mais, sitôt que le liquide s'est échappé hors du réservoir, il se meut comme le fait un corps lancé horizontalement : la pression hydrostatique a agi comme force de projection horizontale, et l'influence concomitante de la pesanteur fait décrire à la veine liquide une trajectoire parabolique (cf. §§ 26 et 57).

78. Écoulement des liquides dans les tuyaux de conduite. — Quand l'écoulement des liquides, au lieu d'être libre, s'effectue dans des tuyaux de conduite, .il est soumis à d'autres lois que celles qui sont contenues dans le théorème de Toricelli. Le cas qu'on observe le plus ordinairement et qui intéresse en parti culier le physiologiste, est celui où le liquide mouille les parois du tube.

Soit M (Fig. 5(J) un réservoir rempli d'eau jusqu'au niveau H, et don! la paroi latérale est percée à la partie inférieure d'un orifice circulaire 0. Si cet orifice s'ouvrait librement à l'extérieur, le liquide s'échapperait avec la vitesse due a la hauteur H, en formant une veine qui présenterait le phénomène de la

DE LA PESANTEUR

Fig. 5!). — Écoulement dans un tuyau rectiligne et de section uniforme. R R' R" R'" R"" E , ligne des niveaux piézométriqucs indiquant la marche décroissante de la pression latérale.

contraction. Mais vienl-on à adapter à l'orifice un tube cylindrique court et de môme section, ce qu'on appelle un ajutage, les molécules liquides les plus extérieures sont attirées par la paroi interne du tube, dans le cas où la I substance de celui-ci est mouillée par le liquide; elles cheminent, en conséquence, parallèlement à l'axe du tuyau, ne se ] contrarient pas mutuellement dans leur mouvement, et il n'y a pas contraction de la veine, j Aussi la dépense est- j elle plus grande avec l'ajutage qu'elle ne l'est 1 quand l'orifice d'écoulement s'ouvre librement à l'extérieur.

On a trouvé qu'en réalité la dépense effective s'accroît par la présence d'un ajutage cylindrique, de manière à n'être plus que d'environ 1/10 inférieure à la vitesse tliéorique déduite du principe de Toricelli.

Ainsi donc, la vitesse d'écoulement des liquides est augmentée par les ajutages. 11 n'en est plus de même quand on remplace l'ajutage par un tuyau trèslong : l'adhésion du liquide à la surface intérieure du tube devient alors une cause de ralentissement; une couche de 'liquide s'attache aux parois du tuyau, c'est la couche immobile, et l'écoulement s'effectue dans l'intérieur de ce canal à parois liquides; il s'exerce ainsi entre les molécules qui progressent et celles qui restent en place, un frottement qui diminue la rapidité du courant. La résistance développée par ce frottement croit évidemment, toutes choses égales d'ailleurs , avec la longueur du tube. Mais d'une part, la vitesse du courant doit être la même dans toute la longueur du tuyau , puisque la quantité de liquide qui y pénètre est nécessairement égale à celle qui en sort dans le même temps ; par conséquent, la résistance due au frottement ralentit le mouvement du liquide d'une manière uniforme sur tout le parcours du tuyau. D'autre part, à l'orifice* d'entrée 0 existe une pression hydrostatique qui est toujours représentée par la charge, c'est-à-dire par la hauteur du liquide dans le réservoir au-dessus de l'origine du tube. Si le tuyau était réduit aux dimensions d'un ajutage, la vitesse d'écoulement serait proportionnelle à la racine carrée de la charge, abstraction faite de l'écart qui existe entre la dépense effective et la dépense théo- ' rique. Quand, au contraire, le tuyau de conduite est long, la vitesse est moindre que celle qui correspond à la charge totale; il n'y a donc qu'une portion de la force motrice qui soit employée à faire mouvoir le liquide ; le reste de la charge subsiste sous forme de pression hydrostatique; par conséquent, à l'origine du tube se fait sentir une pression qui répond exactement à la quantité dont la vitesse est ralentie, c'est-à-dire à la grandeur de la résistance que le liquide a à vaincre dans tout son parcours à travers le tuyau. Or il faut évidemment qu'en chaque point du tube la force destinée à détruire la résistance soit

HYDR0DYNAMIQ1 E.

égale <'ii grandeur à cette dernière, et connue elle ne peul être empruntée à La portion de la force motrice qui détermine la vitesse d'écoulement, puisque cette vitesse est constante dans toute la longueur du tuyau, c'est nécessairement le reste de la charge, celle qui ne fait pas progresser le liquide, qui sert à vaincre la résistance.

De là résulte qu'au fur et à. mesure qu'on considère des points de plus en plus éloignés de l'origine du tuyau, la pression hydrostatique décroît dans le même rapport que la résistance qui reste à vaincre. Ainsi , à l'orifice d'entrée 0, la pression hydrostatique [ou, comme on l'appelle encore , la pression latérale] est égale à la résistance que le liquide va éprouver dans tout son parcours; en tout autre point du tube, elle n'a plus pour valeur que la résistance qui reste encore à vaincre jusqu'à l'orifice de sortie, et, comme cette résistance est, toutes choses égales d'ailleurs , proportionnelle à la longueur du tuyau, il s'ensuit que la pression latérale diminue en raison directe du chemin parcouru depuis l'origine du tube , et qu'elle devient nulle à l'orifice de sortie E.

On peut facilement représenter par la méthode graphique la marche de la pression latérale. Delà charge totale HO qui existe dans le réservoir M (Fig. 59), il faut d'abord retrancher une portion H/i répondant à la perturbation qu'éprouve le liquide en pénétrant dans le tuyau. Le reste de la charge se décompose alors en deux parts : l'une RO qui continue à se manifester sous forme de pression latérale, et qui correspond à la résistance à vaincre; l'autre Rh qui détermine la progression du liquide. La pression latérale décroit, on l'a vu, proportionnellement au chemin parcouru , et finit par être égale à zéro à l'extrémité terminale du tube. Vient-on à implanter verticalement dans les parois du tuyau de conduite, en différents points A, B, G, D, de petits tubes nommés piézomètres , le liquide s'élèvera dans ces tubes jusqu'à ce que le poids de la colonne liquide soulevée fasse équilibre à la pression latérale au point considéré ; on constate alors que les njveaux du liquide dans les piézomètres se trouvent sur une ligne droite, partant de la hauteur R à l'origine du tuyau, et aboutissant à l'orifice terminal E. Quant à la vitesse du liquide, elle reste constante dans toute la longueur du tuyau; par conséquent, si nous menons parle point h une droite hh' parallèle à RE, les ordonnées comprises entre ces deux lignes seront toutes égales entre elles, et représenteront la vitesse d'écoulement, en chaque point. On voit donc qu'en un endroit quelconque A du tuyau, les forces motrices existantes sont représentées par la somme des ordonnées relatives à ce point; la première de ces ordonnées AR' mesure la force qui se manifeste sous forme de pression latérale ; la seconde, comprise entre R' et le point où l'ordonnée coupe la droite hh\ répond à la partie de la charge qui se traduit par la quantité de force vive à laquelle le liquide doit son mouvement de progression.

Il esl d'usage d'appeler hauteur de larésistance la portion RO de la charge totale HO qui existe dans le réservoir ; hauteur de la vitesse d'écoulement, la portion \\h, el hauteur de la résistance au passage la partie \\h. [Si donc nous désignons par H, la charge totale dans le réservoir, par h la hauteur correspondante -i la vitesse d'écoulement, et par \\ le reste de la force motrice qui

DE LA PESANTEUR

est absorbée. par la résistance totale, nous aurons entre ces trois quantité la relation :

H = h + Il

ou, en remplaçant h par sa valeur en fonction de la vitesse : H =^ -f- R.]

En adoptant les désignations employées dans le principe de la conservation de la force (voy. § 11), on voit que dans une section quelconque du tuyau de conduite, la hauteur de la résistance correspond à ce que nous avons appelé la force de tension, et la hauteur de la vitesse à la force vive. Nous dirons donc que, quand un liquide s'écoule dans un tuyau, la force vive reste constante, tandis que la tension ou pression latérale diminue d'une manière continue jusqu'à ce qu'elle devienne nulle. Cette conclusion semble être en contradiction avec le principe même de la conservation de la force, d'après lequel la tension et la force vive forment une somme qui reste invariable.

La contradiction n'est qu'apparente: en effet, la force de tension qui disparaît par le frottement du liquide contre la couche adhérente aux parois du tube, se retrouve sous forme de chaleur, et la quantité de chaleur ainsi développée est équivalente à la force absorbée par la résistance. La tension qui existe à l'origine du tuyau se convertit ainsi peu à peu en force vive calorifique, et la transformation est complète à l'extrémité terminale du tube.

Il y a donc une différence fondamentale entre le mouvement des liquides dans les tuyaux et celui des corps solides sur une surface contre laquelle ils frottent: dans ce dernier cas, la force vive qui détermine le mouvement est elle-même employée en partie à vaincre la résistance dévelojîpée par le frottement, en sorte que la vitesse du mobile diminue continuellement. Dans le cas des liquides, au contraire, il existe dès l'origine du mouvement une force de tension en quantité précisément égale à celle qui est nécessaire pour détruire la résistance qu'oppose le frottement au cours du liquide; de là résulte que la vitesse d'écoulement est constante, mais que, dès le début, elle est d'autant plus faible que la résistance totale à vaincre est plus grande. Nous pouvons évidemment admettre que le liquide , à mesure qu'il perd de sa force vive par son frottement contre la, couche immobile, en récupère une quantité égale provenant de la transformation de la force de tension qui existe sous forme de pression hydrostatique; dès lors, on doit se figurer que, dans ce cas aussi, les choses se passent comme si la chaleur prenait d'abord naissance aux dépens de la force vive motrice. Mais cette transformation intermédiaire peut être laissée de côté, car, du moment que la force qui détermine la-progression du liquide reste constante, la chaleur développée par le frottement doit être équivalente à la hauteur de la résistance qui existe à l'origine du tube (cf. liv. V, chap. 5).

79. Relation entre la résistance et la vitesse d'écoulement. — Nous avons démontré que l'écoulement d'un liquide dans un tuyau éprouve un ralentissement qui, cœteris paribus , croit avec la longueur du tube. Or ce ralentissement qui se manifeste sous forme de pression latérale, dépend lui-même de la vitesse de progression du liquide , car ce dernier ne frotte contre la couche immobile que quand il est en mouvement. On conçoit, a priori, que le frottement augmente avec la vitesse , car plus le nombre des molécules qui , dans un temps donné, glissent à la surface de la couche immobile est grand, plus aussi est considérable la force nécessaire pour détacher ces molécules de celles qui restent adhérentes aux parois du tuyau. En général donc, la hauteur de la résistance doit augmenter avec la hauteur de la vitesse.

L'observation a montré effectivement que la résistance est proportionnelle à la vitesse, [ou, plus exactement, que la résistance dépend de la vitesse v suivant la relation av-t-bv*]. Comme, d'autre part, pour une vitesse déterminée.

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[a charge destinée à vaincre la résistance doit être d'autant plus grande que le tuyau est plus long et que sa section est plus petite , on a, en appelant R la fauteur de la résistance :

[ou , plus exactement : R = 4 (a v-\- b O ] ; l représente la longueur du

tuyau, supposé circulaire, d son diamètre ; a et b sont des constantes qui dépendent de la nature du liquide.

[On voit donc que :

« Dans des tuyaux cylindriques et de diamètre uniforme , la résistance est «proportionnelle à la longueur du tuyau, en raison inverse de son diamètre, « et qu'elle augmente avec la vitesse. »]

De la première des équations précédentes , on tire : v = — X -y La constante a dé-

pend du frottement des molécules liquides les unes contre les autres ; elle est d'autant plus grande que le liquide a une viscosité plus considérable; on peut donner h cette constante le nom de coefficient de frottement intérieur. Du moment que le liquide mouille le tube, la résistance ne dépend que de ce frottement intérieur et nullement de la force d'adhésion. L'élévation de la température détermine une diminution dans la valeur du coefficient a et par suite une augmentation de la vitesse d'écoulement.

80. Écoulement dans des tuyaux de diamètre variable. — La vitesse d'écoulement des liquides n'est constante dans toute la longueur d'un tuyau que si ce dernier a lui-même une section invariable; quand, au contraire, le tuyau présente des parties élargies ou rétrécies, la vitesse du liquide doit varier en vertu de la même cause qui la rend constante dans les tuyaux de diamètre uniforme ; cette cause est celle qui maintient la continuité de la veine liquide ; il faut, en effet, que les quantités de liquide qui passent dans des temps égaux au niveau de chaque section soient égales. Or le volume de liquide qui trouve place en un point donné du tuyau est d'autant plus considérable que la section est plus grande à ce niveau. Par conséquent, la vitesse.de progression des molécules liquides doit varier en raison inverse du calibre du tuyau. [Telle est la loi formulée déjà par Léonard de Vinci et connue sous le nom de loi de la continuai'. |

Considérons, par exemple, un tuyau composé, comme celui de la Fig. 60, de trois parties de section différente et placées bout à bout : au point de jonction d'un tube étroit avec un tube plus large, il y aura diminution subite de la vitesse ; on constatera, au contraire, une augmentation brusque de vitesse au niveau de la jonction d'une partie large avec une partie rétrécie. En revanche, la pression latérale s'élèvera subitement à l'endroit où le tube s'élargit brusquement, car le liquide, en vertu de l'inertie de la matière, tend à conserver la vitesse qu'il possède, et la perte d'une portion de cette vitesse entraine une augmentation de pression des molécules liquides les unes contre les autres et contre les parois du tuyau. Inversement, l'accroissement de vitesse qui se produit au passage d'une partie large à une partie rétrécie s'accompagne d'une diminution correspondante de la pression latérale.. La rapidité avec laquelle la pression latérale décroit à mesure qu'on s'éloigne de l'origine du