CHAPITRE IX

DU MOUVEMENT ONDULATOIRE DES LIQUIDES

85. Formation des ondes liquides. — Dans le chapitre précédent nous nous .sommes occupé du mouvement de translation rectiligne des liquides, et nous n'avons fait intervenir le mouvement curviligne qu'en tant qu'il était le résultat de l'action de la pesanteur sur une masse liquide mue par une impulsion première dirigée horizontalement, circonstance dans laquelle le mouvement du liquide est de tout point comparable à celui des projectiles solides (cf. la fin du § 77). Or il arrive fréquemment que le transport d'un liquide en ligne droite se combine avec un mouvement ondulatoire qui se propage dans le sein de la masse fluide. C'est ainsi qu'il se forme des ondes à la surface d'un licpiide qui s'écoule dans un canal, toutes les fois que l'afflux n'est pas parfaitement uniforme ; de même , des vagues prennent naissance dans un cours d'eau quand le lit présente des aspérités notables, ou quand le vent vient à fouetter la surface liquide.

Ce qui rend possible l'apparition du mouvement ondulatoire dans ces conditions, c'est la mobilité dont jouissent les molécules liquides : si, en effet, à la force qui détermine la progression rectiligne de la masse liquide viennent s'ajouter d'autres influences qui provoquent une rupture d'équilibre entre les différentes molécules, chacune de celles-ci va obéir en même temps aux deux impulsions qui la sollicitent. De là, un mouvement résultant composé de deux autres, l'un dirigé dans le sens suivant lequel s'écoule le liquide, l'autre consistant en oscillations accomplies par chaque molécule autour de sa position première , oscillations qui persistent un certain temps après que la cause perturbatrice a cessé d'agir; puis les molécules liquides finissent par rentrer au repos ou par reprendre une marche parfaitement rectiligne. Pour se rendre compte d'un mouvement aussi complexe , il importe d'étudier d'abord le mouvement ondulatoire des liquides considéré isolément , et d'examiner ensuite les modifications qu'il éprouve quand il se combine avec un mouvement de translation rectiligne.

Etant donné un liquide au repos complet , on y voit apparaître des ondes toutes les fois que l'équilibre est troublé en un point quelconque de la surface libre de ce liquide , soit qu'on y plonge brusquement un corps solide , soit qu'on enlève une portion du liquide ou qu'on en ajoute une nouvelle quantité. ^ ient-on, par exemple, à jeter une pierre dans l'eau ou à laisser tomber une , goutte de liquide à la surface d'une eau tranquille , l'endroit où l'équilibre a été ainsi rompu devient l'origine d'une onde circulaire qui se propage de proche en proche en «'éloignant du point de départ ; cette onde s'affaiblit à mesure qu'elle s'avance et finit par s'éteindre. Dans le cas en question, la zone liquide qui environne la place où l'équilibre a été troublé commence par se soulever au-dessus de son niveau primitif et forme ainsi une onde saillante ou mont (Wellenberg) ; puis, pendant que celle-ci devient onde rentrante ou val{WellenthaT), la zone rentrante est soulevée à son tour, produit une onde saillante,

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et ainsi de suite. Quand, au contraire, la rupture de l'équilibre esl duc à la soustraction d'une petite quantité de liquide, par exemple quand on aspiré le liquide à l'aide d'un tube, le mouvement ondulatoire débute par une onde rentrante : la zone circulaire qui entoure l'endroit où l'équilibre a été troublé commence par être déprimée au-dessous du niveau primitif; dans le temps que l'onde rentrante ainsi produite se tranforme en onde saillante, la zone suivante se déprime à son tour, donne naissance à une onde rentrante , et ainsi de suite.

On voit qu'il y a une différence dans l'ordre de marche de l'onde , suivant qu'elle est produite par propulsion ou par appel: dans le premier cas, le mouvement débute par une onde saillante qui est suivie d'une onde rentrante; on a donc affaire à ce que nous avons appelé une ondulation positive (voy. §§ 30 et 35) ; dans le second cas, c'est une onde rentrante qui marche en tête et, par conséquent, l'ondulation est dite négative.

Nous n'avons parlé que de la formation d'une seule onde circulaire, mais le phénomène ne s'arrête pas là d'ordinaire : les molécules liquides dérangées de leur position d'équilibre ne reviennent pas au repos , après avoir accompli une oscillation unique; en vertu de la vitesse acquise, elles continuent à osciller encore un certain nombre de fois et à former ainsi une série d'ondes alternativement saillantes et rentrantes, qui se propagent de la même manière que la première ondulation ; cependant le mouvement vibratoire s'affaiblit de plus en plus , à mesure que le nombre des oscillations accomplies augmente , et il finit par s'arrêter entièrement. Ces oscillations consécutives s'observent, quel que soit le sens de l'ondulation , qu'il soit positif ou négatif.

Le mouvement vibratoire qui prend ainsi naissance s'explique par les lois de l'équilibre des liquides. Considérons, en effet, un corps solide tombant d'une certaine hauteur et rencontrant la surface d'un liquide : le corps, au moment où il frappe le liquide, possède une force vive par suite de laquelle il pousse devant lui et fait enfoncer les molécules liquides qui font obstacle à sa chute ; ce déplacement du liquide directement choqué par le corps détermine un mouvement en sens contraire des molécules voisines, et celles-ci s'élèvent sous forme d'un rempart circulaire tout autour de la partie déprimée. Or, pour qu'un liquide soit en équilibre, il faut que le niveau de sa surface libre soit horizontal; par conséquent, les molécules liquides qui ont été soulevées retombent par leur propre poids , et comme elles acquièrent , dans cette chute, une certaine quantité de force vive, elles dépassent leur position d'équilibre et descendent au-dessous du niveau général. Agissant à leur tour, comme l'a fait à leur égard le corps solide en tombant, elles déterminent l'ascension des molécules suivantes, et ainsi de suite. Tel est le mécanisme suivant lequel se propage l'onde circulaire positive ; il en est de même de l'onde négative , sauf sous le rapport de l'ordre de succession des ascensions et des dépresssions.

86. Trajectoire des molécules liquides dans le mouvement ondulatoire. —

La trajectoire que décrivent les différentes molécules liquides dans le mouvement ondulatoire, peut être déterminée à l'aide de considérations très-simples. Il est évident, d'abord, que chaque molécule, à tout instant

DU MOUVEMENT ONDULATOIRE DES LIQUIDES

Fig. G8. — Trajectoire décrite par une molécule liquide pendant la durée d'une oscillation entière.

,hi mouvement, se déplace dans le même sens que l'onde dont clic fait partie intégrante. S'agit-il, par exemple, d'une molécule située au point OÙ prend uaissance une onde saillante, celte molécule se déplacera en avant et en haut, puis elle se dirigera en avant et en bas, quand l'onde s'abaissera ; on voit en A (Fig. 68) une flèche dont la forme et la direction indiquent la trajectoire décrite par la molécule en question pendant la durée de l'onde saillante. La flèche figurée en B représente le chemin suivi par la même molécule pendant la durée de l'onde rentrante qui a succédé à l'onde saillante : dans cette phase du mouvement, la molécule revient d'abord on arrière et en bas, puis en arrière et en haut. En réunissant ces deux trajectoires partielles, on a le chemin parcouru par la molécule pendant la durée d'une oscillation entière ; c'est cette trajectoire complète que nous avons figurée en C, en supposant que la hauteur de l'onde saillante soit égale à la profondeur de l'onde rentrante. On voit que dans ce cas chaque molécule liquide se retrouve, à la fin de l'oscillation, exactement dans la position qu'elle occupait au début. La propagation de l'onde est donc tout à fait indépendante de la progression du liquide ; elle ne consiste point dans un transport réel de matière ; c'est la déformation seule de la matière qui se transmet de proche en proche : [Unda non est materia progrediens , sed forma mederice progrediens (E. H. Weber)].

La propagation de l'onde se déduit facilement du mouvement des différentes molécules liquides. Pour plus de simplicité , nous supposerons d'abord que la trajectoire de chaque molécule soit circulaire. Considérons dès lors toutes

les molécules a, b, c, d, e, f, g.

qui prennent part, à un moment

Fig. GO. — Propagation des ondes à la surface des liquides.

donné , à la formation de la surface de l'onde akg (Fig. 69) ; leur position à l'instant considéré est indiquée par le chiffre 1. Chacune de ces molécules parcourra sur sa A n

trajectoire des arcs / de cercle égaux Ç dans des temps égaux. Quand, par exemple, la molécule a sera arrivée

dans la position marquée 2, les molécules b , c, d, e, f auront marché

«l'une même quantité et occuperont aussi sur leurs trajectoires respectives les points qui portent le chiffre 2. En réunissant par une ligne, continue les points marqués 2, on obtient la courbe pointillée bBh qui représente la position de l'onde A, au moment où charpie molécule a parcouru la sixième partie de sa trajectoire. L'onde B a exactement la même l'orme que l'onde A; mais elle occupe une position un peu différente : l'onde s'est déplacée -de manière à ce que son sommet soit venu de A en B. Dans un troisième moment, l'onde continuant à marcher a son sommet en C ; cette troisième position est figurée par la ligne pleine cCi.

Lorsque les molécules auront passé de la position 1 à la position 4, elles

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auront accompli une demi-oscillation ; à ce moment-là, l'onde A sera devenue rentrante, de saillante qu'elle était à l'époque où les molécules occupaient la position 1. Enfin, le même lieu A sera de nouveau le siège du sommet d'une onde saillante, lorsque les molécules seront revenues, après une oscillation complète, prendre les places marquées 1. Les ondes liquides ainsi produites par une rupture d'équilibre qui imprime aux molécules un mouvement d'oscillation le long d'une courbe fermée, correspondent aux vibrations stalionnaires étudiées dans le § 40 ; elles ne sont autre chose que la forme spéciale sous laquelle se présentent les vibrations stationnaires dans les ondes liquides.

Les trajectoires décrites par les molécules liquides dans le mouvement ondulatoire ne sont pas toujours des circonférences, comme nous l'avons supposé dans ce qui précède; elles ont, en général, une forme elliptique, le grand axe de l'ellipse étant parallèle a la surface libre du liquide dans l'état d'équilibre. C'est dans la couche la plus superficielle que la trajectoire elliptique se rapproche le plus de la forme circulaire ; à mesure qu'on descend au-dessous de la surface , l'axe vertical de l'ellipse devient de plus en plus petit, jusqu'à ce que finalement la trajectoire soit réduite à une droite horizontale, le long de laquelle s'exécute le va-et-vient de la molécule liquide. On peut constater directement l'existence de ces oscillations moléculaires , en mêlant au liquide des corps réduits en poudre et possédant la même densité : en excitant alors des ondes , on voit les particules solides décrire les oscillations dont nous avons parlé.

87. Influence de l'inégalité de longueur de l'onde saillante et de l'onde rentrante sur le mouvement des molécules liquides. Ondes avec translation directe ou rétrograde des molécules. — Nous avons supposé jusqu'ici que l'onde saillante était égale en longueur à l'onde rentrante. Lorsque cette égalité n'a pas lieu, le mouvement des molécules liquides en est profondément modifié. Nous supposerons d'abord que l'onde saillante ait une longueur supérieure à

celle de l'onde rentrante ; dans ce cas la molécule liquide parcourt, pendant la période d'ascension et de descente de l'onde saillante , un certain espace ab (Fig. 70, A) ; mais le chemin parcouru pendant la durée de l'onde rentrante est plus petit ; soit bc cette seconde portion de la trajectoire. On voit qu'en pareille circonstance la trajectoire n'est pas fermée et que la molécule ne se retrouve pas, à la fin de l'oscillation, dans la position qu'elle occupait à l'origine du mouvement ; elle a marché d'une longueur égale à ac. Si une deuxième onde vient à atteindre la même molécule, celle-ci décrira, comme la première fois, une courbe non fermée, qui la fera avancer d'une nouvelle quantité et, après quatre ondes successives, cette molécule se trouvera transportée de a en /"(Fig. 70, B).

Fig. 70. — Trajectoire des molécules liquides dans le cas de coexistence du mouvement ondulatoire et du mouvement de translation. Onde avec translation directe des molécules.

Fig. 71. — Onde avec translation rétrograde des molécules.

DU MOUVEMENT ONDULATOIRE DES LIQUIDES

Supposons, au contraire, que le mouve ni débute par une onde rentrante fi que celle-ci soit plus longue que l'onde saillante qui lui succède; en pareil cas chaque molécule oscillante va parcourir, pendant la durée de l'onde saillante, un espace bc (Fig. 71, A) plus petil que le chemin ab correspondant à l'onde rentrante ; il en résultera qu'à la lin de l'oscillation la molécule sera en arriére de sa position première d'une longueur égale à ac ; après quatre ondes successives, elle aurait reculé de a en /'(Fig. 71, B). . De ce qui précède nous tirons les conclusions suivantes :

Toutes les t'ois que dans le mouvement ondulatoire d'un fluide il y a inégalité de longueur entre l'onde saillante et l'onde rentrante , il en résulte un mouvement de translation des molécules oscillantes; lorsque l'onde saillante psi plus longue que l'onde rentrante , le mouvement de translation est direct , c'est-à-dire qu'il s'effectue dans le même sens que la propagation de l'onde ; il est, au contraire, rétrograde ou inverse, c'est-à-dire dirigé en sens contraire de la propagation de l'onde, quand l'onde rentrante l'emporte en lon- • . gueur.

Dans les cas que nous venons d'examiner, le mouvement ondulatoire des liquides est donc toujours accompagné d'un transport réel de matière, et c'est ainsi que la considération de la trajectoire des molécules oscillantes nous conduit à concevoir la coexistence des ondes avec le mouvement de progression de la niasse liquide. Quand, dans un liquide en mouvement, on excite des ondes positives en faisant, par exemple, varier périodiquement la vitesse d'écoulement, chaque molécule liquide décrit une trajectoire semblable à celle de la Fig. 70, B. Plus les ondes positives se succèdent avec rapidité, plus la longueur des ondes saillantes augmente en comparaison de celle des ondes rentrantes ; il arrive donc un moment où la fin d'une onde saillante coïncide avec .l'origine d'une nouvelle onde de même espèce et où, par conséquent, les ondes rentrantes font entièrement défaut ; en A (Fig. 72) est représentée la courbe que décrivent, dans ce cas, les molécules liquides. Pour produire des ondes négatives accompagnées de l'écoulement du liquide, il suffit, de recourir à l'aspiration du liquide renfermé dans un réservoir : chaque coup de piston de la machine aspirante donne naissance à une onde négative qui se propage de proche en proche, pendant que les molécules liquides marchent eu sens contraire et se dirigent vers la pompe. Au lui cl à mesure que les coups de pislon s'accélèrent, les ondes rentrantes deviennent relativement dejilus en plus longues . jusqu'à ce que finalement la trajectoire des molécules liquides prenne la forme représentée en B (Fig. 72).

Fig. 72. — Forme dn mouvement ondulatoire dos liquides avec translation directe (A) ou rétrograde (B) des molécules, dans le cas où chaque onde est réduite à sa moitié positive où négative.

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DK LA. PESANTEUR.