A = 4 • • • • - • • (III

Quant au rapport de grandeur de l'objet et de son image , il est donné par la formule :

± = ^ = -^ = P^f (IV)

o p p — tf

[La discussion des formules (III) et (IV) conduirait exactement aux mêmes résultats que ceux qui ont été trouvés pour la réfraction à travers une seule surface réfringente. On verrait qu'en résumé l'objet et son image se déplacent toujours dans le même sens.]

On peut facilement trouver l'équation (I), en partant de la formule relative aux foyers conjugués dans la réfraction à travers une surface réfringente. Il suffit, a cet effet, de calculer la position du foyer conjugué d'un objet, relativement a la face d'entrée de la lentille, puis de considérer cette première image comjno jouant le rôle d'objet par rapport à la face de sortie, et de chercher le foyer conjugué correspondant.

302 OPTIQUE

La formule (III) est encore applicable, elle est même plus exacte, dans le cas où on fait intervenir la notion des plans principaux; niais alors il faut compter la distance p de l'objet à partir du premier plan principal, et la distance p' de l'image k partir du second plan principal; quant à la longueur focale, elle est donnée par la formule :

J (n - l)\n {IV - R) ■+■ e {n - 1)] W

e désignant l'épaisseur de la lentille. Cette valeur de / représente la distance entre le foyer principal et le plan principal voisin.

La position des points principaux se calcule à l'aide des formules suivantes :

h i — e ho = e

n {IV — R) 4- e (n — 1) R'

7ti et ho désignent les distances des points principaux aux surfaces réfringentes voisines.

En faisant, dans l'équation (A), e = 0, on retombe nécessairement sur la formule (nbis) relative au cas où l'épaisseur de la lentille est négligeable.

[Si on compte les distances à partir des foyers principaux , les formules (III) et (IV) prennent la forme 1

dd' = f -et L = -4 == * 1 ' o d f J

152. Calcul de la longueur focale pour les diverses espèces de lentilles. — On a

ordinairement besoin de connaître la longueur focale / d'une lentille, afin de pouvoir calculer la position et la grandeur de l'image correspondante à un objet dont la grandeur et la distance sont données. La formule (II) montre que / dépend des rayons de courbure R et R'.

Or, dans la lentille biconvexe, si R est positif, R' doit être considéré comme négatif) puisqu'il se rapporte à une face dont la courbure est tournée en sens contraire de celle dont le rayon est R. Dans ce cas, la formule (II) devient:

T = (»- i)(-ir + w) W

Pour la lentille plan-convexe, où R' — GO , on a :

Dans le ménisque convergent, R et R' sont tous deux positifs, mais R' est plus grand que R. La formule du foyer conserve alors la forme :

T^-^Ctt-tt) (3)

le second membre étant toujours positif, puisque est plus petit que -g ■

Pour passer de la lentille biconvexe h la lentille biconcave , il suffit de changer les signes de R et R', c'est-à-dire de considérer R comme négatif et R' comme positif. On obtient alors :

Cette formule nous montre que la longueur focale d'une lentille biconcave est égale, au signe près, à celle d'une lentille biconvexe ayant les mêmes rayons de courbure; le

RÉFRACTION DANS LES LENTILLES

foyer est négatif dans la Lentille biconcave , et par suite situe du côté des rayons incidents.

Si la lentille est plan-concavo, R' = cO et par conséquent:

•J = -(«-l)i ® Enfin, dans le. ménisque divergent, R otR' sont tous deux négatifs, mais avec R'> R; d'où résulte :

En résumé, on voit quo les trois lentilles convergentes ont un foyer positif , et que les trois lentilles divergentes ont un foyer négatif; que, d'ailleurs , à égalité de courbure, les valeurs absolues des longueurs focales se correspondent deux à deux. Ces conclusions ne sont exactes qu'autant que la substance de la lentille est plus réfringente que le milieu ambiant, car si le contraire avait lieu, il faudrait remplacer dans les formules n par

son inverse , et alors l'action des lentilles se trouverait renversée : les lentilles du n

premier groupe deviendraient divergentes et celles du second groupe seraient convergentes.

Ll52a. Détermination expérimentale du foyer principal des lentilles. — Les procédés qu'on emploie dans cette détermination sont pour la plupart semblables à ceux que nous avons indiqués pour trouver le foyer des miroirs.

A. Lentille convergente. — 1. On fait tomber sur la lentille des rayons parallèles (rayons solaires) , et on cherche à l'aide d'un écran le sommet du cône réfracté; c'est le foyer principal. — 2. On place la lentille à une distance telle d'un objet que l'image réelle obtenue soit à la môme distance de la lentille ; alors l'intervalle entre les deux foyers conjugués est égal à quatre fois la longueur focale. — 3. On mesure p etp' pour une position quelconque de l'objet et on applique la formule des foyers conjugués.

B. Lentille divergente. — 1. On procède, comme pour les miroirs convexes, en mesurant la grandeur o et la distance p de l'objet , ainsi que la grandeur i de l'image; puis on applique la formule du grossissement. — 2. On associe à la lentille divergente une lentille convergente de foyer plus court , et on cherche la longueur focale F du système. La distance x du foyer de la lentille diver-

gente est alors donnée par la formule -j=r == -yr — ; nous désignons par f

la longueur focale de la lentille convergente auxiliaire (voy. § 154).]

153. Aberration de sphéricité des lentilles. — Les lois précédemment exposées sur la réfraction dans les lentilles ne sont applicables qu'autant qu'on se borne à considérer des rayons lumineux très-voisins de l'axe optique. Du moment que , cette condition n'est pas réalisée , les lentilles se comportent comme le fait une seule surface réfringente (cf. § 147) : le foyer des rayons périphériques est plus rapproché de la lentille que celui des rayons centraux ; l'image d'un point lumineux , au lieu d'être réduite à un point , se présente sous forme d'un petit cercle de diffusion.

Cette aberration, dite de sphéricité, est d'autant plus considérable que l'étendue sur laquelle tombent les rayons lumineux est plus grande , et que la courbure des faces de la lentille est plus forte ; car, dans ce cas, la lumière rencontre la face d'incidence sous un angle plus grand.

304 OPTIQUE

Les lentilles ont reçu une foule d'applications, pour lesquelles il est indispensable de diminuer autant que possible les effets de l'aberration de sphéricité. Le moyen le plus exact consisterait à donner aux faces de la lentille une forme telle que la courbure fût plus grande dans le voisinage du sommet que vers les bords; on obtiendrait ce résultat avec des lentilles à surfaces elliptiques ou paraboliques, car alors l'angle d'incidence des rayons périphériques serait sensiblement égal à celui des rayons centraux , et la réfraction ne leur ferait pas perdre leur homocentricité. Malheureusement , la fabrication de lentilles elliptiques ou paraboliques présente de si grandes difficultés pratiques que , jusqu'à présent, on n'en a pas encore fait usage.

L'aberration de sphéricité dépend aussi de l'indice de réfraction de la substance dont est formée la lentille : elle est d'autant moindre que cet indice est plus grand. C'est ce qu'il est facile de comprendre : imaginons, en effet, un milieu possédant un si haut degré de réfringence que l'angle de réfraction soit égal à zéro pour tous les rayons qui y pénètrent en traversant une surface sphérique ; dans ces conditions, les rayons réfractés, tant ceux de la périphérie que ceux du centre, se confondraient avec les normales et iraient se réunir au centre de courbure. Assurément ce cas n'est pas réalisable, attendu que l'angle de réfraction ne saurait devenir nul pour une valeur de l'angle d'incidence différente de zéro ; car, pour qu'il en fût ainsi , la formule s?n 1 = n

' r ^ sm r

exigerait que n devint infiniment grand. Mais il est évident que , toutes choses égales d'ailleurs , l'intervalle qui sépare le foyer des rayons périphériques de celui des rayons centraux, sera d'autant plus petit que l'indice de réfraction sera plus grand. C'est pour cette raison que les lentilles en flint ont moins d'aberration de sphéricité que les lentilles en crown ; une lentille en diamant serait encore préférable sous ce rapport.

Le moyen qu'on emploie habituellement pour diminuer autant que possible l'aberration de sphéricité consiste à placer devant la lentille un écran percé au milieu d'une ouverture qui ne laisse passer que les rayons centraux ; un pareil écràn porte le nom de diaphragme. Mais la présence du diaphragme, en arrêtant les rayons marginaux , diminue dans le même rapport l'intensité de la lumière transmise par la lentille ; si , par exemple , la portion opaque du diaphragme recouvre la moitié de l'étendue de la lentille , l'éclat de l'image focale ne sera que la moitié de celui qu'elle aurait s'il n'y avait pas de diaphragme. Par conséquent , sous le rapport de l'intensité lumineuse des images, il y a avantage à employer des lentilles dont l'aberration de sphéricité soit assez petite pour qu'on puisse se passer de diaphragme , ou , au moins , en réduire considérablement la zone opaque. L'intensité de la lumière concentrée au foyer d'une semblable lentille est proportionnelle à l'étendue de la surface sur laquelle tombent les rayons incidents.

[On nomme lentilles aplanétiques celles qui sont complètement dépourvues d'aberration de sphéricité.]

La grandeur de l'aberration de sphéricité varie aussi, toutes choses égales d'ailleurs, suivant le rapport qui existe entre les courbures des deux faces de la lentille; la longueur focale étant donnée, il est possible de réduire l'aberration à un minimum déter-

RÉFRACTION DANS LES LENTILLES

miné. [Ainsi, pour une lentille biconvexe de verre d'indice n = -y, on obtient le minimum d'aberration on donnant à la face d'entrée do la lumière un rayon de courbure six fois plus petit que celui de la face d'émergence.

La lentille plan-convexe a presque l'aberration minimum, lorsque les rayons lumineux entrent par la face courbe; mais l'aberration devient quatre fois plus grande si on retourne la lentille.]

154. Association de plusieurs lentilles. — Les lois trouvées pour la réfraction à ha vers une seule lentille peuvent facilement être étendues aux associations de plusieurs lentilles placées l'une à la suite de l'autre et formant un système centré. On démontre qu'il existe entre le foyer F. du système et les foyers ft, /'., , /'. des lentilles qui le composent , la relation :

L'expression , qui est l'inverse de la longueur focale , mesure ce qu'on

appelle le pouvoir réfringent. Traduite en langage ordinaire, l'équation précédente s'énonce de la manière suivante :

Le pouvoir réfringent d'un système de plusieurs lentilles associées est égal à la somme algébrique des pouvoirs réfringents des diverses lentilles qui composent le système.

De là résulte que , si on associe , par exemple, deux lentilles ayant chacune

> 1 une longueur focale égale à 4, la longueur focale du système sera ; l'asso-

dation de trois lentilles pareilles donnerait un foyer égal à -g- , et ainsi de suite.

On peut obtenir de cette manière un système dont l'action réfringente soit très-grande, tout en n'employant que des lentilles à long foyer, et cette association de lentilles offre l'avantage de diminuer la longueur focale , sans augmenter l'aberration de sphéricité.

La loi qui précède n'est applicable que dans l'hypothèse où les lentilles sont très-minces et en contact l'une avec l'autre.

Nous avons dit que l'inverse de la longueur focale mesure le pouvoir réfringent d'une lentille ou d'un système dioptrique quelconque; c'est, qu'en effet, de deux lentilles convergentes ayant des longueurs focales différentes , celle qui , pour une même distance d'un objet , donne l'image la plus rapprochée, est la lentille qui a le foyer le moins long. La force d'une lentille est donc en raison inverse de sa longueur focale.

Si , par exemple , les lentilles A et B ont respectivement pour distances focales 1 centimètre et 100 centimètres; les forces de ces deux lentilles seront

dans le rapport de 1 à • Nous verrons plus loin que cette manière d'éva-

luer le pouvoir réfringent s'applique à toute espèce d'appareil dioptrique et en particulier à l'œil, qui, au point de vue optique, n'est autre chose qu'un système réfringent composé (cf. § 181 et suiv.).

WUNDT, Physique médicale. 20

[La méthode qui consiste a exprimer le degré du pouvoir réfringent par une fraction ayant l'unité pour numérateur et la distance du foyer pour dénominateur, n'est pas commode dans la pratique médicale; elle présente; en effet, deux inconvénients: elle ne permet pas de comparer immédiatement des pouvoirs réfringents donnés, puisque des fractions ne sont comparables qu'autant qu'elles sont réduites au même dénominateur; en second lieu, l'ophthalmologiste se trouve a chaque instant dans le cas de calculer la somme ou la différence de deux pouvoirs réfringents; or les opérations arithmétiques qu'on effectue sur les fractions ordinaires sont toujours, sinon difficiles, du moins longues et fastidieuses. Un moyen ingénieux et simple a été proposé pour parer h ces deux inconvénients : il consiste à prendre pour unité de réfraction le pouvoir réfringent d'une lentille convenablement choisie et à exprimer le pouvoir réfringent de toute autre lentille par un nombre entier qui indique le nombre d'unités de réfraction auquel est égal le pouvoir de la lentille considérée. Supposons, par exemple, qu'on prenne pour unité le pouvoir réfringent de la lentille^ qui a 100 centimètres de longueur focale, et c'est, a notre avis, le seul choix auquel on doive s'arrêter si l'on veut introduire le système décimal dans les mesures optiques : le nombre 1 représentera donc la force d'une lentille do 100 centimètres de longueur focale; une lentille dont la longueur focale ne serait que de 50 centimètres, c'est-à-dire moitié moindre, aurait un pouvoir réfringent double, qu'on représenterait, en conséquence, parle nombre 2, et ainsi de suite.]

155. Applications diverses des lentilles sphériques. Éclairage focal. Chambre noire. Verres de lunettes. — Les propriétés des lentilles ont reçu une foule d'applications; on les emploie principalement : 1° pour concentrer la lumière sur les objets dans le but de les éclairer vivement; 2° pour obtenir des images réelles ou virtuelles.

Éclairage focal. — Les lentilles destinées à servir d'appareil d'éclairage sont évidemment convergentes et ont en général une longueur focale assez grande ; l'objet à éclairer est placé au foyer G' (Fig. 154) ou dans son voisinage immédiat.

[Ce mode d'éclairage est devenu d'un emploi journalier dans la pratique opbtbalmologique pour explorer les parties antérieures du globe oculaire (cornée, chambre antérieure , iris et cristallin) ; il est connu sous le nom d: 'éclairage focal. A l'aide d'une lentille bicon-

Fig. 154. — Lentille convergente employée pour ' vexe de 2 1 /4 à 3 pOUCeS de foyer,

Vcclairai/e focal. , , .. ,

on concentre sur les parties a examiner les rayons émanant d'une source lumineuse artificielle placée à une assez grande distance ; on aperçoit ainsi- des lésions qui échappent à la vue , quand on explore à l'éclairage ordinaire du jour.

Nous avons déjà indiqué (cf. § 133) ^adjonction au laryngoscope d'une lentille convergente, à titre d'appareil d'éclairage; nous la verrons jouer le même rôle dans d'autres instruments, tels que Yurèthroscope (voy. § 201b). |

Chambre noire. — Quand il s'agit d'obtenir des images réelles, c'esl aussi aux lentilles à foyer positif qu'il faut recourir. On a vu (§ 140) que l'image réelle est amplifiée ou rapetissé», suivant la distance à laquelle se trouve l'objet. La chambre noire ou obscure donne des images réduites d'objets éloignés.

RÉFRACTION DANS LES LENTILLES. 307

Cet appareil se compose (rime caisse rectangulaire A (Fig. 155), noircie à l'intérieur; la l'ace antérieure est percée d'une ouverture circulaire dans laquelle s'imi»';i»v un tube mobile portai il. à son extrémité une lentille convergente l; la paroi postérieure g est formée par une ame de verre dépoli. En dirigeant la Lentille l vers un objet éloigné, de manière à ce qu'elle reçoive les rayons lumineux qui en partent, et en tirant le tube jusqu'à ce que le foyer conjugué de l'objet coïncide avec l'écran de verre g, on voit se dessiner sur ce dernier une image renversée et rapetissée de l'objet.

La chambre noire donne des images réelles d'ob- . Fig 155 Chambre noire. jets extérieurs dans des conditions qui rappellent de

très-près ce qui se passe dans l'œil; la seule différence entré ces deux appareils consiste en ce que dans l'œil les images sont produites par un système de plusieurs milieux réfringents , et non par une simple lentille (voy. liv. IV, chap. XIV).

Dans la lunette astronomique, dans la lunette terrestre et clans le microscope composé , il y a aussi une lentille convergente , l'objectif, qui sert à doiiTner une image réelle des objets extérieurs ; cette première image est regardée à travers une seconde lentille , l'oculaire , qui l'amplifie et la rend virtuelle Nous reviendrons sur ces instruments dans le chap. XV.

Verres de lunettes ou Besicles: — On peut se procurer des images virtuelles aussi bien à l'aide des lentilles convergentes qu'avec les lentilles divergentes. Si on dispose devant l'œil une lentille donnant une image virtuelle d'un objet extérieur, l'effet produit équivaut à celui qu'on obtiendrait en transportant réellement l'objet au lieu occupé par son image virtuelle. Or celle-ci est plus éloignée que l'objet, quand elle est fournie par une lentille positive ; elle est, au contraire, plus rapprochée dans la lentille négative. Aussi cette dernière espèce de verre- convient- elle aux yeux myopes, pour leur permettre de distinguer les objets éloignés ; tandis que les presbytes ont besoin de lentilles convergentes pour voir les objets rapprochés ; les hypermétropes se trouvent dans le même cas (cf. § 181e).

[155a. Lentilles cylindriques. — Pour corriger les effets perturbateurs de' la réfraction astigmatique régulière (cf. §§ 148 et 181e), qui nuisent à la netteté de la vue chez certaines personnes , on fait usage de lentilles qui n'exercent pas une action égale dans tous les méridiens. Les verres employés dans ce but sont terminés par des surfaces dont une, au moins, est cylindrique ; on peut les ramener à trois types principaux :

L Verres cylindriques simples (Fig. 156 et 157). — Ces lentilles doivent être considérées comme engendrées par l'intersection de deux cylindres dont [es axes ou les génératrices sont parallèles, ou d'un plan avec un cylindre. Pour donner une idée exacte de leur forme, nous les avons représentés dans les Fig. 156 et 157 : la rangée I donne une coupe perpendiculaire à l'axe , el la rangée II la section faite par un plan contenant l'axe ; a désigne la face antérieure , p la postérieure.

308 OPTIQUK.

Les lentilles cylindriques se divisent, comme les sphériques, en deux groupes :

A. Les verres convergents ou positifs, qui comprennent :

1° La lentille biconvexe (Fig. 156, A).

2° La lentille plan-convexe (B).

3° Le ménisque positif (G).

B Les verres divergents ou négatifs, savoir : - 1° La lentille biconcave (Fig. 157, D).

2° La lentille plan-concave (E).

3° Le ménisque négatif (F).

Fig. 15G. — Lentilles cylindriques positives. — A. Lentille biconvexe. — B. Lentille plan-convexe. — C. Ménisque positif.

ti

Fig. 157. — Lentilles cylindriques négatives. — D. Lentille biconcave. — E. Lentille plan-concave. — Ménisque négatif.

I. Coupes faites par un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre. — II. Sections passant par l'axe du cylindre. — a, face antérieure; p, face postérieure du verre.

Il est facile de voir que, dans le plan mené par l'axe même, ces verres cylindriques n'ont aucune action sur le foyer du système dioptrique auquel on les ajoute, puisque les rayons lumineux qui se propagent dans ce plan sont dans le cas de rayons traversant une lame à faces parallèles ; en d'autres termes, la distance focale est infinie dans le plan mené par l'axe du cylindre. L'effet réfringent est, au contraire, à son maximum pour le plan perpendiculaire à l'axe.

II. Verres bicylindriques. — Ces lentilles ont deux surfaces courbes cylindriques, dont les axes sont croisés. Dans tous les méridiens, il y a action convergente ou divergente, mais l'effet est différent suivant le plan d'incidence des rayons lumineux , à moins que les deux faces n'aient le même rayon de

RÉFRACTION DANS LES LENTILLES

courbure, auquel cas la lentille est dite à la Chàmblant, et agit sensiblement à La manière d'i lentille sphérique. Les faces peuvenl être toutes deux

convexes ou concaves ; ou bien l'une d'elles est convexe, tandis que l'autre est concave.

III. Verres s p h, 'ro- cylindriques. — L'une des faces est sphérique et agil comme telle ; l'autre a une courbure cylindrique et reste sans action sur les rayons situés dans un plan passant par son axe.

On peut se représenter ces lentilles comme une combinaison d'une lentille plan-cylindrique avec une lentille plan sphérique. On se sert seulement de celles qui ont les faces toutes deux ou convexes ou concaves.]

[155b. Réfraction à travers un nombre quelconque de milieux réfringents composant un système centré. — Etant donne un nombre quelconque de milieux réfringents, séparés les uns des autres par des surlaces sphériques centrées, et un objet Po, placé dans le premier miliou, on peut toujours trouver, par le calcul ou par des constructions géométriques , la position de son image P„ dans le dernier milieu, en cherchant successivement pour chaque surface de séparation le foyer conjugué correspondant et le faisant servir d'objet par rapport à la surface suivante. Mais ce procédé, aussi long que fastidieux, n'est pas commode en pratique, car la même série d'opérations serait à recommencer pour chaque nouvelle position de l'objet. C'est ici surtout que les principes de la théorie de Gauss, complétée par Listing, introduisent une admirable Simplification. Ces principes, que nous avons appliqués à l'étude de la réfraction à travers les lentilles (cf. §§ 150a, 151 et 151a), s'étendent à tous les systèmes dioptriques centrés.

11 en résulte que tout système dioptrique, quelque compliqué qu'il soit, peut être remplacé par un système compose de :

1° Ç points cardinaux , savoir:

2 points principaux; 2 points nodaux;

2 points focaux, ou foyers principaux. 2° 4 plans perpendiculaires à l'axe commun, qui comprennent : 2 plans principaux; 2 plans focaux.

Nous ne reviendrons pas sur les définitions et les propriétés de ces points et de ces plans, ni sur leur importance pour la construction des images.

En comptant les distances p et p' de l'objet et de son image, ainsi que les longueurs focales / et /', à partir des points principaux correspondants, on a toujours la formule

générale J- h ^ = 1 pour représenter la loi des foyers conjugués, et la rela-

tion o J— — i J-p- pour exprimer le rapport des dimensions linéaires d'un objet et de

son image dans un plan perpendiculaire à l'axe principal.

Si on désigne par '-p et '-f' les distances des points focaux aux points nodaux correspondants, par h et h' les distances des points nodaux aux points principaux, on trouve les relations suivantes :

? = f et/ = <p' d'où : <f — / — f — cp, c'est-à-dire h = Je'.

En d'autres termes, la distance du foyer antérieur au premier point irodal est égale à la longueur focale postérieure, et la distance du foyer postérieur au second point nodal égale la longueur focale antérieure; de là suit qu'il y a entre les deux points nodaux le même intervalle qu'entre les points principaux.

On démontre encore que - , mQ et m. étant les indices absolus dans le pre-

mier et le dernier milieu.

:iio

Ol'TKJlIli.

Si le doiïiier milieu a la même réfringence que le premier, ma = mo, et par suite:

c'est-à-dire que, dans ce cas ,los doux longueurs focales sont égales et les points nodaux se confondent avec les points principaux.

La, détermination îles points cardinaux d'un système dioptrique peut s'effectuer, Boit à l'aide do l'analyse mathématique, soit au moyen de simples constructions géomé- . triques.

Consulter sur la théorie de Gauss les ouvrages suivants : Gauss, Dioptrischc Untorsuchugen, GOttingen 1840. (Traduction française par Bravais,

in Ann. de chim. et de phys., 1851 (2° série), t. XXXIII.) Hblmholtz, Optique physiologique, § 9, traduction de Javal et Klein, Paris 1867.

Le même sujet est traité sous une forme élémentaire dans : Neumann, Die Haupt-und Bronnpunctc eines Linsensystems, Leipzig 1866. Gavaiiret, Des images par réflexion et par réfraction, Paris 1867.

Martin, Interprétation géométrique et continuation do la théorie des lentilles, de Gauss (Ann.de chim. et de phys., 1867, 4° série, t. X. p. 385).]