COURBES (LENTILLES

149. Diverses espèces de lentilles sphériques. — La lumière suit une route plus compliquée quand , au lieu de rencontrer sur son passage une seule surface réfringente, elle traverse plusieurs milieux transparents séparés les uns des autres par des surfaces courbes. Ne voulant examiner que les cas les plus

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intéressants au point de vue pratique, nous supposerons dans tout ce ehapitre que les milieux réfringents traversés par la lumière constituent un système dioptrique centré, c'est-à-dire que les centres de courbure des diverses surfaces do séparation sont situes sur une môme droite, qui est l'axe optique principal du système.

Le cas le plus simple est celui dans lequel un milieu transparent est limité par deux surfaces courbes qui le séparent de deux autres milieux ayant un môme indice de refraction, mais différent de l'indice du milieu intermédiaire. Un pareil système se trouve réalisé dans les lentilles.

On nomme lentille un milieu transparent et solide, terminé par deux faces courbes placées en regard l'une de l'autre et très-rapprochées. [Suivant le genre de courbure des faces, on distingue dos lentilles sphériques, cylindriques, dupliques, paraboliques. Les lentilles sphériques et les lentilles cylindriques sont les seules que le médecin ait besoin de connaître;] elle- sont généralement faites en verre.

En combinant des surfaces sphériques entre elles ou avec des surfaces planes, on obtient six espèces de lentilles, qui sont représentées en coupe dans les Fig. 143 et 144.

Ces diverses espèces de lentilles se divisent en deux groupes : les lentilles convergentes ou positives et les lentilles divergentes ou négatives.

Premier groupe : Lentilles convergentes. — Ce groupe comprend :

1° La lentille biconvexe (Fig. 143, I), dont les deux faces sont convexes et ont des courbures égales ou inégales ;

2° La lentille plan-convexe (II) :

l'une des faces est plane, l'autre est convexe ;

3° Le ménisque convergent (III) :

l'une des faces est convexe, l'autre est concave et moins courbe.

Les lentilles de ce groupe se reconnaissent pratiquement à ce qu'elles sont plus épaisses au centre que sur les bords. Elles jouissent, comme on le verra , de la propriété d'augmenter la convergence des rayons lumineux et d'avoir, par suite , des foyers réels. Second groupe : Lentilles divergentes. — On trouve dans ce groupe : 1° La lentille biconcave (Fig. 144, I), dont les deux faces sont concaves et ont la même courbure ou des courbures différentes ;

2« La lentille plan-concave (II), avec une face plane et l'autre concave ; 3° Le ménisque divergent (III), qui présente une face concave et une convexe ; mais le rayon de courbure de la face convexe est plus grand que celui de la face concave.

Dans les lentilles de ce groupé, les bords sont plus épais que le centre. La divergence des rayons lumineux est augmentée et les foyers sont virtuels.

r. îr. m.

Fig.143. - Formes diverses des lentilles sphériques convergentes. — I. Lentille biconvexe. -II. Lentille plan-convexe. — IU.

Ménisque convergent.

i. il m.

Fig. 114.— Formes diverses des lentilles sphériques divergentes. — I. Lentille biconcave. — II. Lentille plan-concave. — III.

Ménisque divergent.

KKI'U ACTION DANS LES LENT1LUCS.

149a. Phénomènes généraux de la réfraction dans les lentilles sphériques. Foyers conjugués et foyers principaux. Plans focaux. —La réfraction de la lumière dans) les lentilles découle directement des considérations développées dans le chapitre précédent au sujet des surfaces" réfringentes sphériques.

En effet, soient IK (Fig. 145) la face d'entrée d'une Lentillé biconvexe et PI un rayonincident quelconque. Ce rayon , passant d'un milieu (l'air, par exemple) dans un autre plus réfringent (le verre), se rapprochera de la normale ei prendra la direction IE. Arrivé à la seconde face, il la traversera en s'écartant de la normale, puisqu'il entrera alors dans un milieu moins réfringent (l'air).

Or, comme la courbure de cette seconde face est de sens contraire à celle de

la première , le rayon ,

Fig. 145. — Formation du foyer conjugué d'un point lumineux , dans les lentilles convergentes.

pour s'écarter de la normale, devra se rapprocher de l'axe principal et suivre le chemin EP'. Le rayon se réfracte donc à deux reprises, au point d'incidence et au point d'émergence, et chaque fois clans le même sens de manière à venir couper l'axe en un point P'. Tous les rayons lumineux partis du point P iraient, après la réfraction, se réunir au point P' ; celui-ci est, par conséquent, le foyer conjugué du premier, et c'est un foyer réel.

La lentille biconvexe a donc pour effet de faire converger les rayons lumineux en un point unique, et il est facile de voir que son action réfringente est supérieure à celle d'une seule surface de même courbure ; elle a une valeur double.

En suivant la marche des rayons lumineux dans la lentille plan-convexe et le ménisque convergent , on verrait aisément que ces deux espèces de lentilles sont aussi convergentes.

Les lentilles divergentes , au contraire , augmentent la divergence des rayons lumineux qui les traversent. Le rayon PI , par exemple , en traversant la face d'entrée de la lentille biconcave (Fig. 146), se rapproche de la normale , ce qui l'écarté de l'axe principal , vu le sens de la courbure de cette face ; soit IE le trajet du rayon dans l'intérieur de la lentille; au point d'émergence il subit une seconde réfraction qui l'écarté encore davantage de l'axe principal et lui donne la direction EL , laquelle , prolongée en sens contraire de la marche de la lumière, coupe l'axe en un point P', situé en avant de la lentille du même côté que Fie- 14c - Formation du foyer «m.

u v • , n ■ . t., , , « . , . . , „ jugud d'un point lumineux dans les

I objet. Ce point P' est le foyer conjugué du point P; Jle„tilles (livergenteS. il est virtuel. ,

Quand les rayons qui tombent sur la lentille sont parallèles à l'axe optique, leur point de concours porte le nom de foyer- 'principal, Dans la lentille con-

vcrgentc (Fig. 147), ce loyer est réel; il est marqué en F'. Dans la lentille divergente (Fig. 148), le foyer principal F est virtuel. On distingue ici, du reste, comme dans la réfraction à travers une seule surface réfringente, un foyer

Fig. 147. — Foyers principaux de la lentille convergente.

Fig. 148. — Foyers principaux de la lentille divergente.

principal antérieur et un postérieur ; mais dans les lentilles les deux foyers sont à égale distance des faces réfringentes , et par suite les deux longueurs focales sont égales.

[En menant par les foyers principaux des plans perpendiculaires à l'axe optique, on obtient les plans focaux, qui jouent dans les lentilles le même rôle que dans la réfraction par une seule surface réfringente.]

149°. Formation des images dans les lentilles sphériques. — Nous venons de voir que les rayons homocentriqnes qui se présentent pour traverser une lentille restent très -sensiblement homocentriques après la réfraction et concourent , eux ou leurs prolongements, en un point, qui est l'image réelle ou virtuelle du point lumineux d'où émanent les rayons incidents. L'effet d'une lentille est semblable à celui d'une surface courbe unique , séparant deux milieux inégalement réfringents.

Si, au lieu d'un seul point lumineux, on en considère une réunion, c'est-àdire un objet, la lentille en donnera une image réelle ou virtuelle, suivant le cas. Supposons qu'il s'agisse d'abord d'une lentille convergente; et soit DE (Fig. 149) un objet placé à une grande distance de la lentille, plus loin que le double de la longueur focale : il se formera de l'autre côté, au delà du foyer F,

une image d e, réelle, renversée et plus petite que l'objet. Plus l'objet s'éloigne , plus son image se rapproche du foyer principal F; elle se fait en ce point, quand l'objet est

situé à l'infini. Imaginons, au contraire, que la distance de l'objet diminue de plus en plus ; l'image correspondante s'éloignera du foyer principal F, tout en restant réelle et renversée, mais en devenant plus grande que l'objet, à partir du moment où ce dernier sera à une distance double de la longueur focale. Si . par exemple, e d représente l'objet, DE sera dans ce cas son image. Lorsque l'objet est éloigné du foyer antérieur d'une dislance égale à la longueur focale.

Fig. 149. — Formation des images réelles dans les lentilles convergentes.

HÉl-'RACTION DANS LES LENTILEES,

Formation des images virtuelles dans les lentilles convergentes.

son image est à la même distance au delà du foyer postérieur et lui est égale en grandeur.

Plaçons maintenant l'objet DC (Fig. 150) entre la lentille convergente PQ et son foyer principal F'; dans ce cas, les rayons lumineux partis do chacun des points de l'objet conserveront , après la réfraction , un certain degré de divergence, et il en résultera une image D'C virtuelle, droite et amplifiée.

L'image, située du même côté de la lentille que l'objet , est d'autant plus éloignée et plus grande que l'objet est plus prèsv du foyer F'.

Quant aux lentilles divergentes, elles donnent toujours des images virtuelles, droites et rapetissèes , à moins que l'objet ne soit lui-même virtuel. Ainsi , les rayons lumineux émis par la flèche DE (Fig. 151) , située en avant de la lentille biconcave II', divergeront, après la réfraction, de façon à fournil' une image virtuelle D'E', située du même côté entre le foyer principal F et la lentille. Pendantque l'objet s'avance de l'infini jusqu'au milieu réfringent, son image ne parcourt que l'intervalle compris entre le foyer principal et la lentille.

[Pour construire les images dans les lentilles, on procédera en suivant les règles indiquées pour la construction des images produites par la réfraction à travers une surface unique; mais, comme les lentilles doivent toujours avoir une épaisseur négligeable, on supposera les deux faces confondues en une seule , et si on se sert des axes secondaires , on les fera passer par un point spécial qui porte le nom de centre optique , et dont il va être parlé dans le paragraphe suivant.]

150. Marche des rayons lumineux dans l'intérieur des lentilles. Centre optique.

— Dans chaque lentille , le rayon lumineux qui coïncide avec l'axe optique AA' (Fig. 152) traverse sans subir de déviation ni de déplacement latéral , puisqu'il est perpendiculaire à la fois aux deux faces du milieu réfringent. Il n'en est pas de même des rayons qui passent par l'un ou l'autre des centres de courbure F et F' des deux faces de la lentille. Un rayon , dirigé, par exemple, suivant. LF, traverse la face PDQ sans déviation, mais il change de direction à sa sortie par la face opposée PD'Q; inversement, le rayon quia la droite L'F'

Fig. 151. — Formation des images virtuelles dans le3 lentilles divergentes..

298 OPTIQUE

pour prolongement n'est dévié de sa route qu'en traversant la face d'émergence PDQ. Ainsi, tandis que, dans !a réfraction par une seule surface réfringente, le centre de courbure est en même temps le centre optique, c'est-à-dire un point tel que tous les rayons incidents dont la direction passe par ce point n'éprouvent pas de déviation en pénétrant clans le second milieu, les centres de* courbures perdent toute importance, du moment que la lumière traverse

Toutefois, dans un système centré qui , comme celui des lentilles, ne se compose que de deux surfaces réfringentes, il existe un point dont le rôle est analogue à celui que joue le centre de courbure dans le cas d'une seule surface réfringente. En effet, à tout point de l'une des faces PDQ (Fig.

152) répond sur l'autre face PD'Q un point tel que les plans tangents menés par ces deux points sont parallèles ; supposons que L et L' réalisent cette condition. Parmi tous les rayons incidents qui passent par le point L, il y en a nécessairement un qui se réfracte dans l'intérieur de la lentille de façon à émerger par le point L' . Or, si les plans tangents aux points L et L' sont parallèles entre eux, le rayon incident et le rayon émergent doivent être parallèles l'un à l'autre , puisqu'ils se trouvent dans le même cas que s'ils avaient traversé une lame à faces parallèles. Soit VL le rayon incident qui suit dans l'intérieur de la lentille le chemin LL' pour émerger parallèlement à sa direction première, suivant L'T, et soit R le point d'intersection du rayon intérieur LL' avec l'axe optique. On démontre que la position de ce point R est constante pour une même lentille, quel que soit le système des points, d'incidence et d'émergence considéré , pourvu qu'ils appartiennent à deux éléments parallèles. Le point R ainsi déterminé s'appelle le centre optique de la lentille.

Tout rayon lumineux qui , après avoir traversé la face d'entrée , passe par le centre optique, représente en quelque sorte un axe secondaire ; car, de tous les rayons émis par un point situé en dehors de l'axe principal , c'est le seul qui , en traversant la lentille , ne soit pas dévié angulairement : il éprouve seulement un déplacement latéral , d'autant plus faible que le point lumineux est plus rapproché de l'axe principal.

Dans une lentille dont les deux faces ont le même rayon de courbure , le centre optique est situé au milieu de l'épaisseur DD'. Si les deux rayons de courbure FL et F'L' sont inégaux, le centre optique est situé du côté de la lace

RÉFKM'.TMIN DANS LES LENTil.l.KS.

[a plus courbe el d'autant plus près que le rayon de cette face est plus petil par rapport ;\ celui de l'autre; aussi, quand l'une des laces est plane, le centre optique est-il situé sur la l'ace courbe.

[Pour déterminer géométriquement la position du centre optique, il suffit de mener par les centres de courbure F et F' (Fig. 152) deux rayons FL et F'L' parallèles entre eux : la droite qui joint les extrémités L et L' coupe l'axe principal au centre, optique R.]

15011. Points nodaux. — Prolongeons le rayon incident VL (Fig. 152) et le rayon e'mergent correspondant L'T jusqu'à leur rencontre avec l'axe principal; nous obtenons ainsi deux points qu'on appelle points nodaux ; l'un, N, est lepremier point nodal ou point, nodal antérieur; l'autre, N', est le second point nodal, ou point nodal postérieur.

Nous vorrons dans le paragraphe suivant que ces deux points sont, l'un par rapport à l'autre, deux foyers conjugués, en sorte que tous les rayons incidents dont les directions rencontrent l'axe optique au premier point nodal prennent, en émergeant, des directions qui coupent cet axe au second point nodal. On en conclut que : a tout rayon incident dont la direction passe par 1% premier point nodal , correspond un rayon émergent qui est parallèle au rayon incident et dont la direction passe par le second point nodal.

Ces deux rayons parallèles, l'un incident, l'autre émergent, portent le nom de rayons ou lignes de direction; [nous les appellerons aussi lignes directrices, ou simplement directrices]. Leur rôle dans les appareils dioptriques est le même que celui des axes secondaires dans la rétraction par une seule surface réfringente : le foyer conjugué d'un point lumineux situé en dehors de l'axe principal se trouve toujours sur la seconde des lignes de direction correspondantes h ce point; et pour déterminer la position de ce foyer conjugué, il suffit de chercher le point où la ligne de direction est coupée par un autre rayon émergent parti du point lumineux.

Dans les lentilles simples, dont l'épaisseur a toujours une valeur assez petite pour pouvoir être négligée, les deux points nodaux sont si voisins l'un de l'autre qu'il est permis de les supposer confondus avec le centre optique. Aux lignes directrices on substitue alors une droite passant par le centre optique et faisant fonction d'axe secondaire. C'est ainsi qu'on a procédé pour construire les images des Fig. 149, 150,151.

151. Des plans et des points principaux. — Dans les lentilles, et en général dans tout système dioptrique dont le premier et le dernier milieu ont de même indice de réfraction, les points nodaux se confondent avec deux autres points qui présentent une grande importance.

Keprenons la Fig. 152 et considérons cette fois le centre optique R comme étant lui: même un point lumineux; les rayons, tels que RL et EL' qui en partent, prendront, au sortir de la lentille , les directions LV et L'T, et paraîtront alors émaner des deux points N et N'; il en serait de même pour tous les autres rayons émis par le centre optique. Les points N et N' sont donc les images virtuelles du centre optique regardé successivement à travers la face PDQ et la face PD'Q de la lentille. Ainsi, le point R sera vu en N par un œil placé en avant de la face PDQ, et en N' par un œil placé derrière la face PD'Q.

D'une manière générale, toute image qui, pour un observateur regardant la faccl'DQ, paraît située en N, est vue en N' par un observateur placé de l'autre côté de la lentille; par conséquent, si l'on considère la réfraction à travers tout le système, le point N est le foyer conjugué de l'image N' relative à la face P D' Q, et réciproquement ce dernier point est le foyer conjugué de l'imago qui se fait en N à travers la face P D Q.

Cela posé, prenons la Fig. 153, dans laquelle II et II' représentent les points N ei N' de la figure précédente. Par ces points menons deux plans AY et A' Y' perpendiculaires à l'axe optique TT'; pour deux points, tels que A et A' pris sur ces plans à égale distance de l'axe, il existera la même relation qu'entre les points II et 11' : une image Bituée en A sera vue en A' par un œil placé à la droite de la lentille, et une image

OPTIQUE

située en A' paraîtra so trouvor en A pour un obsorvatour placé à gauche. Il en serait do même pour tout autre couple do points pris sur les plans AY ot A'Y'; ces deux plans sont donc les images l'un de l'autre; ils portent le nom de plans principaux; l'un ost le plan principal antérieur, l'autre est \o, plan principal postérieur. Les points H et H' par lesquols passent ces plans s'appellent les points principaux.

Pig. 153. — Points et plans principaux ; lignes de direction dans les lentilles.

Nous avons déjà dit que, dans les lentilles, les points principaux se confondent avec les points nodaux; mais ces différents points sont distincts toutes les fois que le milieu dans lequel se meuvent les rayons lumineux émergents n'a pas la même réfringence que celui d'où partent les rayons, incidents.

[Les plans principaux jouissent de cette propriété, à savoir que, a tout rayon incident qui rencontre le premier plan principal en un point quelconque , répond un rayon émergent qui coupe le second plan principal en un point situé du même côté et a la même distance de Vaxe principal du, système.]

En appliquant aux diverses espèces de lentille les principes qui viennent d'être exposés, on arrive facilement à déterminer, pour chaque cas en particulier, la position des points principaux; on trouverait ainsi qu'ils sont placés, dans la lentille biconcave, de la même manière que dans la lentille biconvexe. Dans les lentilles plan-convexe ou plan-concave, la face plane pouvant être considérée comme une surface sphérique dont le rayon est infiniment grand, l'un des points principaux coïncide avec le sommet de la face courbe. Dans les ménisques convergents ou divergents, les points principaux sont situés en dehors de la lentille, du côté de la face qui aie plus petit rayon de courbure.

Dans la réfraction par une seule surface réfringente, de même que dans la réflexion par les miroirs, il n'y a qu'un seul point principal, lequel est au sommet même de la surface; le centre de courbure représente le point nodal unique, qui, dans ce cas, ne se confond pas avec le point principal.

151a. Construction géométrique des images à l'aide des plans principaux. — Supposons qu'il s'agisse de trouver l'image d'un point quelconque P (Fig. 153): menons le rayon incident PI parallèle si l'axe optique et prolongeons-le jusqu'à ce qu'il ait coupé les deux plans principaux en A et A'; le point A' est l'image du point A; par conséquent, tout rayon incident dont la direction rencontre le premier plan focal en A, donne un rayon émergent qui coupe le second plan principal en A'. D'autre part, comme le rayon PI est parallèle à l'axe, il émerge suivant la droite A 'F' qui passe par le foyer principal. Traçons ensuite les directrices PH et HT'; la dernière rencontre le rayon A'F' au point P', qui est l'image du point P.

[On peut se dispenser do mener les directrices du point P et déterminer le foyer conjugué P' en faisant passer par le foyer antérieur F un rayon incident qui rencontre le premier plan focal en Y; le rayon émergent correspondant doit être parallèle à l'axe; la droite YP' représente ce rayon.]

RÉFRACTION DANS. LES LENTILLES

Nous avons vu (§ 149b) à quoi se ramène cette construction, quand l'épaisseur de la lentille est négligeable, ce qui est le cas général; les deux points principaux se confondent alors en un soul, qui est en môme temps le centre optique, et les deux plan» principaux se réduisent h un seul plan qui passe par le contre optique.

151''. Formule des foyers conjugués dans les lentilles. — Si on désigne par p la distance d'un objet à la lentille supposée réduite à un plan, par p' la distance de l'image au même point, par R et R' les rayons de courbure des deux faces , par n l'indice de réfraction de la lentille par rapport au milieu dans lequel elle est plongée, on trouve entre ces cinq quantités la relation :

Cette formule , analogue à celle qui régit les foyers conjugués dans le cas d'une seule surface réfringente (cf. § 146) , suppose que l'épaisseur de la lentille est négligeable, et que, par suite, les deux plans principaux sont réunis en un seul passant par le centre optique. On obtient la longueur focale en

posant dans l'équation précédente p =oo , et par suite — = 0, ce qui donne :

. jP

d'où l'on tire pour la longueur focale :

On obtiendrait la même valeur en faisant dans l'équation (I) , p' = oo ; par conséquent , les deux foyers sont à égale distance de la lentille.

En mettant dans la formule (I), à la place du second membre, la quantité-^

qui lui est égale en valeur, nous arrivons à l'équation classique :