CHAPITRE ni

17. Équilibre et mouvement. — Attendu que tous les changements dont la natuHM'st l«' llii'iàtn» peuvt»nt se ramener à des mouvements, la recherche des lois (hi ni(»uvemonl doit ùtre la première question dont les sciences physiques ont à 8'()ccu|)er ; mais avant d'aborder cette étude, il importe de préciser les conditions (lu mouvement en général. Tel est l'objet de la statique ou étude de Téquilibre ; la statique s'occupe, en effet, de déterAiiner la grandeur et la diretïion que doivent avoir les forces qui agissent sur un point matériel quelconque ou sur un corps , pour que ce point ou ce corps reste en repos. Au cas que les forces ' ne se fassent pas équilil)re , il s'agit de calculer la grandeur et la direction du mouvement qui a lieu ; c'est alors à la dynamique , ou science du mouvement consid^ïré dans ses rapports avec les forces, qu'il appartient de chercher les lois suivant lesquelles s'accomplit, dans l'espace et dans le temps, le mouvement d'un pohit matériel ou d'un corps, en partant de la grandeur et de la direction des forces qui agissent à cha(pie instant sur le mobile considéré.

18. Compositioii des forces appliquées à un point matériel libre. — Lorsque des forces quelconques agissent sur un point matériel isolé , il y a trois cas à distinguer : ou les forces sont dirigées dans le même sens , ou elles sont dirigées en sens contraire , tout en étant sur le prolongement les unes des autres , ou enlin , elles forment entre elles un certain angle. Dans lés trois cas , l'effet produit sur le point se déduit du principe de la composition des forces (cf. § 40).

Lorsque deux forces ont la môme «lirection, leur effet est évidemment égal à la somme des effets de chacune d'elles considérée séparément ; quand les deux forces sont dirigées en sens contraire l'une de l'autre, l'effet résultant est dirigé dans le sens de la force la plus grande, et il est égal à la différence dt»s effets des deux composantes.

Paralléloghamme des FORCES. — Si les deux forces qui sollicitent le point à se metli'e en mouvement forment entre elles un «angle , [si elles sont , comme «m dit, concourantes ,] l'une étant dirigée suivant la droite MP, l'autre ayant la direction MQ (Fig. 3) , leur action simultanée auni pour effet d'amener le point M en H , en sup[)osant (jue la première agissant seule eût transporté le |N>int en P et que Faction isolée delà seconde eût fait arriver ce même point en Q.

En effet, imaginons que les

-? ^^^ forces aient agi l'une après l'autre:

le point matériel aurait d'abord parcouru le chemin MP , et ensuite le chemin PR, (pii est égal et parai- • lèl«? à MQ. Or, il est facile de voir ^g quel est en réalité le chemin suivi

par le point loi^squ'il arrive à cette |M)sition finale R, sous l'influence sinitiltanéo drs «Irux fonos. Dans rr but, on peut évidemment partager l'action de chaque foru' (*n autant (FactioiLs élémentaires qu'on le désire : su[)posoiis

Fip. 3. — pArallélotmuiiiuf iliii fi>rct*ii.

(pi*à un moment donné du mouvement, la première force eût amené le point matériel en P', et que la seconde force, agissant de son côté, l'eût fait parvenir en Q' : Faction combinée des deux forces aura pour effet de transporter le point eu R'. Si nous cherchons de cette manière les positions réelles et successives du point matériel dans les instants qui suivent, nous trouvons que le lieu de toutes ces positions est une ligne droite MR, qui forme la diagonale du parallélogramme construit sur les droites MP et MQ.

Les forces qui agissent daîis la direction des côtés MP et MQ sont ce qu'on appelle les composantes; elles peuvent être remplacées, quant à l'effet produit , par une seule force qui agirait suivant la droite MR et qui se nomme la réstdtante. La loi de la composition de deux forces concourantes est connue sous le nom de loi du parallélogramme des forces , précisément en raison du mode de construction que nous venons d'indiquer pour trouver l'effet résultant. Puisque les forces ne peuvent être mesurées que par leurs effets , les droites MP , MQ , MR représentent en grandeur et en direction les deux composanies et la résultante.

Ainsi donc il est parfaitement indifférent, au point de vue de l'effet produit, qu'un corps soit sollicité par une seule force égale en grandeur et en direction àMR, ou qu'il soit soumis à l'action simultanée des deux forces représentées par les deux droites MP et MQ ; on peut, à volonté, remplacer les deux composantes par leur résultante , ou celle-ci par ses deux composantes ; c'est là un résultat d'une grande importance pratique.

Polygone des forces. — Nous venons de démontrer la loi du parallélogramme des forces pour deux forces seulement ; mais il est facile de l'étendre au cas où un nombre quelconque de forces agissent sur un même point matériel. On n'a alors qu'à chercher, au moyen de la construction précédemment indiquée , la résultante de deux des forcés données , puis à composer de la même manière cette résultante avec une troisième force ; la diagonale de ce nouveau parallélogramme représente évidemment la résultante des trois forces considérées. On répète la même construction pour une quatrième force , et on continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données [La dernière résultante obtenue représente la résultante finale de l'ensemble des forces considérées, et la série des droites qui ont été menées parallèlement aux forces données pour trouver les résultantes successives , forme un HyRone, d'où le nom de pohjgotie des forces.l^

Conformément au principe de la composition des forces ainsi généralisé , on peut décomposer une force donnée non-seulement en doux autres , mais encore en un nombre quelconque de forces ; on n'a , à cet effet , qu'à regarder les deux premières composantes comme étant à leur tour les résultantes de deux paires d'autres composantes, et ainsi de suite.

Pahallélipipéde des forces. — Il reste à examiner le cas où le point matériel est sollicité par trois forces concourantes non situées dans un môme plan; on construit alors avec les trois forces données un paralUlijjipède^' delà même manière qu'on construit le parallélogramme dans le cas flo deux forces ; la diagonale du parallélipède donne immédiatemoiit , en grandeur et en direc- ^«i, la résultante cherchée. [Si lé nombre des forces est supérieur à trois, on

trouve la résultante du système en composant successivement les résultantes de trois forces avec deux nouvelles forces.]

19. Compotitioii des forces parallèles on concoiirantes applicpiées à un corps solide. Théorie du lerier. — Le principe du parallélogramme des forces ne suffit plus pour rendre compte de ce qui se passe lorsque les forces sollicitent un corps de dimensions appréciables , au lieu d'a^çir sur un simple point matériel ou sur un corps assez petit pour être assimilé à un point. Considérons , par exemple , un corps apnt la forme d'une barre rigide et soumis à Faction de plusieurs forces; il pourra se présenter, dans ces conditions , un cas qui est tout à fait imiK)ssible lorsqu'on n'a affaire qu'à un seul point matériel : il ^ peut se faire notanunent que les forces tendent à

faire tourner la barre. Le cas le plus simple est celui où deux forces A.P et BQ (Fig. 4) agissent aux extrémités de la barre AB , suivant des directions parallèles et de même sens : il arrive alors que la barre se déplace en totalité dans le sens où l'entraînent Fiff. 4. - Aeuon de deux forces ^tr Ics deux forces et qu'elle tourne en même temps ^ raiièiet tar une barre rigide (le- en s'înclinant du côlé de la force la plus grande,

qui est BQ. Mais, si on vient à empêcher le mouvement de translation de la barre en la soutenant en un point tel que O , il ne pourra plus se produire qu'un mouvement de rotation autour du point fixe. On désigne sous le nom de levier simple toute barre linéaire rigide [droite ou courbe,] s'appuyant ainsi sur un point fixe qui l'empêche de se déplacer en totalité, mais autour duquel elle peut tourner. La force, avec laquelle il faut soutenir le levier pour l'empêcher de se déplacer en totalité , se déduit des conditionsétablios pour l'équilibre d'un point matériel : si les forces motrices sont parallèles et «le même sens, comme le représente la Fig. 4, il faut que la résistance du point d'appui soit au moins égale à la somme des deux forces ; si les forces sont parallèles et de sens contraire , la résistance doit être égale à leur différence [et dirigée dans le sens de la plus petite].

Supposons enfin ({ue les directions des deux forces fassent entre elles un certain angle , comme c'est le cas dans la Fig. 5 pour les forces AF et BP, qui prolongées forment l'angle AIB ; décomposons chacune de ces forces en deux autres et de manière à ce que deux des composantes , AL et BL' , soient égales, de sens contraire et placées sur le prolongement do la droite AB , tandis que les deux autres , AP et BQ , seront parallèles entre elles. [Kn opérant cette décom|)osition suivant les règles du parallélogramme des forces , on peut toujours satisfaire aux conditions indiquées pour le cas particulier, si on a soin de mener les com)>osantes AP et BQ |>arallèlement à la résultante du système des forces primitivement données; nous verrons à l'instant comment on trouve cette résultante, qui est d'ailleurs la même que la résultante des composantes parallèles.] Or les composantes AL et BL', tirant en sens contraire et avec la même intensité, se neutralisent réciprocpiemont et ne déterminent aucun mouvement; les deflx autres composantes AP et BQ entraînent, au contraire, le levier, et, pour emi)êcher ce mouvement de translation, il faut appliquer en un point ({uelconque du levier une force résistante, égale h la résultante des deux

composantes parallèles, c'est-à-dire à leur somme [et dirigée en sens opposé]. Après avoir ainsi ramené l'effet des forces appliquées à une droite aux mêmes règles que celui des forces appliquées à un point matériel , en ce qui concerne le mouvement de translation , il ne nous reste plus qu'à étudier l'action rotatoire des forces sur le levier.

Cela po8^, reprenons la Fig. 5, et considërons les forces parallèles AP et BQ, qui Agissent aux extrëmitës du levier. A ces mêmes cxtrëmitës, et dans la direction de la . droite AB, appliquons deux forces AL et BL^ ëgalcs et do sons contraire: Tëquilibre du système ne sera pas trouble par ces nouvelles forces, puisqu'elles se neutralisent Tëdproqoement Composons ensuite les forces AP et AL, et les forces BQ et BL*; BOUS obtenons ainsi les deux rësul-

tantes AF et BF*, que nous pou- TOUS substituer aux forces primitiret AP et BQ, puisque Tintroinetion des composantes auxiliaire! AL et BL* a été sans influence nr rëtat du système. Prolongeons doBC ces résultantes jusqu'à leur point de concours en I, et imaginons que les droites AI et BI soient it$ tiges solides, mais sans pesanteor, et liëes d'une manière invariable an levier; il est ëvidcnt que b présence de pareilles tiges n'altérera en rien le mouvement du Icrier.

[Or on admet en mécanique, eoBune principe expérimental, qu'on fentf MHS changer Vétat de repos ou ie wioutCBient cTun corps , transporter le peint dC application éC une force n vu point quelconque de sa dtreclÎM, pourru que le second point soit Hé ùwariablement au premier. Ce principe peut être démontré comme «n» c^mscquence de celui de Yégalité ^^^' ^- " Co™Po»»""" d^" '«'<^.^» pamllMc» et théorie du levier

ieCaetUm et de la réaction.] U est donc permis de transporter les pointa d'application des force» AF et BF' au point de concours I de leurs directions, et, h l'aide de cet artifice, reffet de deux forces appliquées h une ligne solide se trouve ramené au cas des (orées agissant sur un point matériel, problème dont nous avons déjà donné la solution. Prenons dès lors IF, égal h AF et IF,' égal h BF'; construisons le parallélogramme des forces, et nous obtenons la résultante IR, qui rencontre le levier au point O. 8i k ce point O on applique une force égale et parallèle h la résultante IK, mais dirigée «I icns contraire, on empêche les forces IF, et IF,', ou leurs égales AF et BF', de produire aucun mouvement du point I; mais ce point est supposé lié invariablement au ^rier; par conséquent, si on soutient le levier au point O avec une force égale à la '«•ohaate IR qui passe par le même point, tout le système restera en repos, c'est-k- ^ ne subira aucun mouvement de translation ni de rotation. On sait d'ailleurs, par ce qui précède [et la démonstration en sera donnée plus loin], que la résultante IK est égale ^ U tomme des deux forces parallèles AP et BQ, et qu'elle est parallèle h leur direction.

Si Ton ne tient qu'à empocher le mouvement de translation .du levier, le choix du point où il faut le soutenir importe peu ; mais il n'en est plus de

même lorsqu^on veut mettre obstacle «^ la fois au mouvement de translation et à celui de rotation : il faut alors appliquer la force de soutien au point 0 , par où passe la résultante des forces motrices ; en plaçant le point d'appui en tout autre endroit de la ligne AB , on empoche , à la vérité , le levier de se déplacer en totalité , mais on lui permet encore de tourner autour de son point d'appui.

La position du point O dépend «évidemment du rapport qui existe entre les grandcon des deux forces parallMcs AI^ et BQ. Pour dëtennincr ce point, je remarque que les deux triangles APF et lOA sont semblables; qu'il en est de même des deux trian^^es • BQF* et lOB; on peut donc poser :