OA 10 OB I0

PF ~" AP ®* QF* "" BQ * Rappelons-nous que QF' = PF par construction, et adoptons les notations soÎTaotet:

AP =/, BQ =/, OA = /, OB = r.

Les deux proportions précëdentcs prennent alors la forme :

/ jo .r___io.

PF — y e« pp - f De la première, on tire :/^ = 10 X PF; do la seconde, on dëduit i/T = lO X PF.

On a doncenfin :fl = f l\ (1) Los disLincos l et V du jwint d'appui du levier aux points d'application «les forces se nomment les bras de levier. La loi représentée |>ar l'équation (4) ptMil dtV^ loi*s être traduite en langage ordinaire de la manière suivante : pour qu'un levier reste en équilibre sous l'action de deux forces parallèles qui tendent î\ le faire tourner en sens contraire , il faut que les produits des forces jmr les bras de levier correspondants soietit égaux , ou, en d'autres termes , que les forces soient inversement proportionnelles à lettrs bras de levier. [Cette pro|)osition n'est vraie que dans les conditions où nous nous sommes placés , c'est-à-dire lorsque les forces sont [parallèles et qu'elles ont leurs points d'application en ligne droite avec le point d'appui. Mais, en faisant intervenir la considération des moments des forces, on arrive à une loi générale, qui 8'appli({ue aussi bien au levier courbe ou coudé sollicité par des forces concourantes ou parallèles, qu'au levier <lroit sollicité par des forces parallèles.] On apiH'lle moment d'une force [par rapport à un point] le produit de l'intensité de la force (^.R (Fig. G) par la jHTiHîndiculaire AF abaissée de ce point sur la di\)ite qui i*t»présenti» la direction de la force. [Le point d'appui A du levier éUuit pris pour centre des moments,] la loi est la suivante : jK>ur qu'un levier

soumis à l'action de deux forces qui tendent à le faire tourner en st^s contraire "^.* reste en équilibre, il faut que les mametiis

de ces forces stnent ètjakix^ c'est-à-dire qu'on ait : Cl\ X AF = HP X AE.

Lorsque deux forces tendent à imprimer des déplacements en sens contraire , il est Ix dans les habitudes courantes de la mécanique piir. «. - L«Ti«r du pmukr i^nn\- %uiiifiti» (||« regarder rmidesmomentscommej>ostlî/'

et 1 autre comme négatif: en se conromiant à «vtlo convention, on |MMit énoncer la loi n^lative à l'équilibrtMl'un levier sous la forme snivantt* : la somme ahjihritpie des moments des forces doit être nulle. Celte propusilion est \Taie, quel que soit d'ailleurs le nombre des forces.

[On poat reprdftontor algëbriquomont la loi gt^nëralo qui vient d*«tro formulde on dernier lieu par Tëquation :

fd-hfd' = 0 (2),

en d(^«ignant par d et (T los longueurs des perpendiculaires abaissées du point d*appui ior les directions des forces / et /*, et eu donnant aux moments les signes qui leur con- Tienncnt.

Si le levier est droit et les forces parallëlos, comme le représente la Pîg. 5, il est facile de voir que les perpendiculaires d et d^ sont respectivement proportionnelles aux bras de levier / et T; on remplaçant, dans Tëquation (2K les quantités c2 et cT par les quantités { et r qui leur sont proportionnelles, on se replace dans les conditions de la Fig. 5, et on retombe alors sur Tëquation (1), ce qui montre bien que celle-ci n^est qu'un cas particulier do réquation générale relative à la somme des moments dos forces. Dans la Fig. 6, où les forces ne sont pas parallèles, il n'y a point proportionnalité entre les bras de levier AC, AB, et les distances AF, AE, du point d'appui A aux directions des forces.] Nous avons dit précédemment que la grandeur de la résultante qui tend h imprimer 10 levier un mouvement de translation, est égale à la somme des composantes parallèles igitunt aux extrémités des bras de levier; il est facile du démontrer sur la Fig. 5 qa effectivement IB= AF-t-BQ. Par le point F\ menons F\K, parallèle à la droite AB; UHU obtenons ainsi deux triangles IKF\ et RKF,', qui sont respectivement égaux aux triangles BQF* et APF, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun

à chacun. On en tire :

RK = AP etIK = BQ;

d'où : m = AP -h BQ, c. q. f. d.

[On n'a considéré jusqu'ici que le cas où les deux composantes parallèles à la résultante sont de même sens; on a trouvé que dans ces conditions la résultante passe entre les composantes et est égale à leur somme. Le problème est tout aussi facile à résoudre lorsque les deux composantes parallèles sont de sens contraire; le résultat seul diffère en ce que la résultante est alors égale à la différence des composantes, qu'elle passe en dehors d'elles du côté de. la Htts grande, et ([u'elle est dirigée dans le môme sens que cette dernière ; quant à la position du point où la résultante coupe la droite qui joint les points d'application des composantes, elle doit satisfaire à la loi de l'égalité des moments.

Mais il se présente ici un cas singulier qui mérite au moins d'être mentionné : c'est celui où les deux forces , tout en étant parallèles et de sens contraire , sont égales en intensité : alors la résultante est nulle. Un pareil système se nomme couple et a pour effet de faire tourne r le corps auquel il est appliqué, jusqu'à ce que les deux forces soient directement opposées Tune à l'antre. Un couple, n'ayant pas de résultante , ne peut être tenu en équilibre par un point fixe ; il faut deux points fixes pour empêcher la rotation du corps Momis à l'action d'un couple.

Je vais indiquer maintenant un procédé géométrique simple et rapide pour trouver à la fob le point d^application et la grandeur de la résultante de doux forces parallèles. {Citent AP et BQ deux forces parallèles et de même sens appliquées aux extrémités de U diviite AB (Fig. 7). On change ces forces de place, de manière à ce que Tune vienne oceQper la position do Tautre, et réciproquement, en ayant soin toutefois de reporter fuie des forces en sens contraire de sa direction primitive ; on joint les extrémités Q* et F des forces dans ces nouvelles positions par une droite qui coupe la ligne AB SB point O; ce point est celui par où passe la résultante, comme il ent facile de le ^nontrcr par la considération des deux triangles scinlilables AOQ' et B()l*\ Par le Mb! 0 menons une parallèle à la direction des forces jusqu'à sa rencontre avec la

droite QK , iticncc parallèlement k P*Q* : la droite OR représente en grandeur et en direetiuu la rëttultante cherchée. Si les composantes parallèles étaient de sens contraire, t«l

est le cas des forces AP et BQ, on

hi

répéterait la construction précédente dans ces nouvcUes conditions; on joindrait les extrémités Q*P* des for* ces changées de place, et Ton obtiendrait le point d'appUcation O*, de la résultante 0'R\]

19>. Conditioiis d'équilibre d'oa corps solide. — Nous avons établi la loi du parallélogramme des forces et celle de l'égalité des moments en raisonnant sur des points et des lignes géométriques ; néanmoins, ces lois ren-

Flg. 7. — CoiurtrucUuu géomëtrlqiio permettant de d<$tennlner ferment tOUt CO (lUi est néoes- 1« point d*»pplic«tion ut U iprandeur de U résultante de' . , * . < . . «

deux foreee paraiiëiea. saire pour qu on puisse déuder,

le cas échéant, si un corps matériel Houiiiis à Faction de forces de grandeur et de direction connues restera en équilibre ou se mettra en mouvement. Les seules formes de mouvement posHii)le dans la nature sont , en effet , le mouvement de iranaXaiion et celui de Toiaixon,

Pour qu'un corps solide sollicité par des forces reste en repos , il faut :

\^ Que la résultante défmitive de toutes les forces qui agissent sur ce corps »oit nulle ;

^1^ Que lu sonune des moments des forces soit également nulle.

Si la ii^sultante n'est |kis nulle , le corps éprouvera un mouvement de translation dans le sens de la résultante; si la somme des moments des forces n'est 1KI8 («gale À zéro , il en résultera un mouvement de rotation dans le sens du moment le plus grand.

20. Rapport antre U force et la vitesse de rotation dans la levier. — Nous avons maintenant à rechercher la vitesse avec laquelle s'accomplit le mouvement qui a lieu lorsque la résultante des forces ou la souune de leurs moments u'esl pat nulle. 1^ question est sans grande importance en ce qui concerne le mouvement do translation : dans oe cas , la grandeur de la résultante sert de mesure au mouvement ({ui s'effectue, puisque nous ne mesurons l'intensité d'une force que |mr Teffet qu'elle proiluit, c'est-à-dire par le mouvement auquel elle donne naissance.

L«»s choses se |>ass(M)t dilTéivmment dans le mouvement de rotation. Considérons de nouveau les deux forces iVP et BQ qui se font équilibre aux eztré* miti»s du levier W\ ^Fig. 5); supiwsons qu'on vienne a rompre l'équilibre en augmentant Tintensité de Tune des forces , par exemple de la force BQ : Tex* tréniité B du levier s\d>aissera jus4pfen B\ pendant que l'autre exlrémité s'élèvera en A\ i>r les arcs AA' et VAS sont entre eux comme les bras de levior com'siHtntUuits OA et OB, ce qui montre que, lors de la rupture de lÏH|uiUbrv, les |H>ints d*application des forces se déplacent avec des \\\

t|ui sont entre elles comme les longueurs des bras de levier correspondants. D'ailleurs y pour que l'équilibre subsiste, il faut que les forces soient inversement proportionnelles à leurs distances du point d'appui ; il s'ensuit que b force qui sufGt exactement à amener la rupture de l'équilibre, doit aussi être en raison inverse du bras de levier auquel elle est appliquée.

De là y cette conséquence importante au point de vue théorique et pratique, à savoir qu'on peut suppléer à la force par la vitesse , et réciproquement , à la vitesse par la force; ainsi , la force AP , qui agit sur le bras de levier le plus long, est la plus petite; mais, en revanche, la vitesse avec laquelle a lieu le déplacement du point d'application de cette force est d'autant plus grande ; de même, la force BQ qui agit sur le bras de levier le plus court compense, par la grandeur de son intensité, le peu de vitesse qu'elle imprime au mouvement de «m point d'application. Supposons, pour fixer les idées, qu'en B' (Fig. 5) se trouve un poids à soulever, et en A' la main d'un homme qui exerce une presaon sur le levier : l'intensité de la force nécessaire dans ces conditions pour faire équilibre au poids est plus petite que la grandeur de ce poids, et elle l'est d'autant plus que le bras de levier sur lequel elle agit est plus grand par rapport à celui auquel est appliqué le poids. La pression exercée par l'homme ïient-elle à éprouver un léger accroissement , aussitôt le poids est soulevé ; mais pour que ce poids s'élève seulement de B' en B , il faut que la main de l'homme parcoure le chemin A'A qui est au déplacement BB' dans le rapport delà longueur du bras de levier OA à celle de OB. Supposons maintenant que Thomme agisse en B et que le poids soit placé en A : alors , pour qu'il y ait équilibre, il doit exister, entre l'intensité de la force exercée en B et le poids, le même rapport qu'entre les bras de levier OA et OB. Si ensuite la force développée par l'homme augmente d'intensité, le levier tournera autour de son point d'appui, de manière à ce que le poids s'élève de A en A', pendant que le point d'application de la force motrice se déplacera d'une quantité BB', et les chemins ainsi parcourus par les points d'application des forcés seront entre eux comme les longueiu*s des bras de levier correspondants.

Le levier est fréquemment employé , comme on le voit dans l'exemple précédent , pour soulever des fardeaux, [c'est-à-dire pour vaincre des résistances ) ; aussi désigne- t-on sous le nom de bras de levier de la résistance le bras qui est destiné à produire un effet tel que celui que nous venons d'indiquer, et on appelle bras de levier de la puissance le bras auquel est appliquée la force notrice. Cela posé , toutes les fois que , dans l'emploi du levier, on cherche à obtenir une vitesse considérable de préférence à une grande force, il faut que le bras de levier de la puissance soit plus petit que celui de la résistance; quand, au contraire, la résistance à vaincre nécessite un grand développement de force, et qu'on n'a pas besoin de beaucoup de vitesse, on doit donner au bras de levier de la puissance une longueur supérieure à celle du bras de levier de la résistance.

2D". Dirers genres de levier. — [On distingue trois sortes de leviers, d'après la position du point d'appui par rapport aux points d'application des forx^es.J Le levier est dit du premier genre ou inter mobile, lorsqu'il a son point d'appui placé entre les points d'application des deux forces ; tel est le levier que nous

avons (^)nsi4ioro juMiu^ici (voy. notamment la Fig. G). Mais la puissance et la rt^sistincp |MMivent iMi*e silut^cs toutes deux d'un même côté du point d'appui ; (M»H conditions se trouvent réalisétîs daiLs la Fig. 8, où le point d'appui est en A ; la résisUuice n»pn!'sentée par la droite GR est appliquée en C ; le point d*appUcation de la puissance RP est en B : on a ainsi un levier du deuxième \ (jeure on inieirrêsisiant , dans lequel le point d'ap-

\^ T^P plication de la résistance est placé entre le point

Xj, (Pappui et le point d'application de la puissance.

A ~~^\ ' I Dans ce cas , la puissance a toujours l'avantage.]

^ -^R / Lorsque c'est , au contraire , le point d'application

^^/b de la puissance qui est situé entre le point d'appui

et le point d'application de la résistance , on a le KiK. ^. - ^'^;^J^ aiHixUNnH. j^,^.j^,j. ^j^j troisième genre ou levier interpuissant

(Fig. 0) [dans lequel la puissance a toujours le désavant;ige , mais oiu en iwanche, le déplacement que le point d'applicatîoo de la r^sistauie éprouve sous rinfluence d'une augmentation de la puissance, est oonstannuent su|)éneur à l'espace parcouru |)ar le point d'application de

la puissance.]

La seule forme de levier que nous ayons indiquée jus» qu*ici est le levier droit , c'est-à-dire une barre rectiligne, dans la([uelle, p;ir conséquent, le point d^appui et les (Kunts d'application des forces sont placés sur la rnéiiK^ droite. H existe une autre forme de levier, où les deux bnis sont deux droites qui forment entre / ^ elles un cert;iin angle; tel serait dans la Fig. 6 le cas

ns.î».- Lowraum.ui.^m« ^*« •^'^'^'«^ ^-^^ ^y^^* 1^"^ ^"Ls AF et AE , et pour c«»K (KÛnt d*appui le point A. Un pareil levier est dit an^

Ifîdiùre ou coudé, H. Frincipt dM YîlMaat virUiAllat. ~ La relation réciproque que nous avons ^luiKv^ à piv|K>s du levier, entre la puissance et la \itesse tie déplacement de son l^nut d*;Applioation vu nous i^^nuettre de donner aux conditions d^équilibre du ie\ier uik» aulrv* expression que celle de régalité des moments. En effet , puisque W$ arv*s A A* i^ BIV «Fig. 5> Siuit entre eux comme les bras de lerier corrvï^IKunlauls prvt^vrtiouuels eux-mêmes aux longueurs des perpendiculaires olKiissêes du (KÙut d'appui sur les forces « il sVnsuit que les moments des forces «Mit aus^ |4rv>p^>rtiv>nut'ls aux pnxluits des forces (lar les arcs qui représentent les cheuùus qik* |Kirvinin*ut dans le nW^me temps U>s extK^mités des bras de W>k*r. iHi j^eut donc dirv» qu** rêquiUbre a lieu qTiond : /V = /^tr'; /' et /* repr\'*^'nLjmt K^ forces , e et t^* rvpr^^*iiUu\t les t^s^vices jvurcourus par les points d'apphcatiou vie ces forc^*s. i>r il t*st êùdent qu\ui j.vut reiuplacer Tare AA' |Kir un autre .iM<i>i (H'tit q*foti le voudra, à couilitiou toutefois «piVn diminue la k»uu*ieur »k' Tare lUV -lias le mèiiie rjLj»^>i»rt . <».ip^vi<.ni< qu'vHi d«Miœ à ces orvs tles valeur* uttiuititent ^vtite-i , nuas v:iMiser>a!it toujours eutre elles le |H»rt vi.Milu . Il l*M repi^^^Hitt^* \^^ W^^uxU^ni f> "/*''* "?t*rA eucore vraie ce COS. Fu réalité , U>rsquo k*-i t«»nvs -re :"'"«t o^'u-ibre . il ne «^^ pn^luit ftts de «lêpiaceuieut nièuie uttuuuieuc («iHiC . tl \ a ><*iLleuieut Wii%Jauce jl la pcvdut:)

LOIS DU SIOUVEMENT.

Fig. 10. — Démonstration du principe des vitesses virtuelles*

de déplacements dont les vitesses soient entre elles comme les arcs AA' et BB' ; un dit alors que les vitesses sont virtuelles. Ainsi donc , la loi de l'égalité des moments qui exprime les conditions d'équilibre du levier peut être remplacée par ce qu'on appelle le principe des vitesses virtuelles , dont voici l'énoncé : />oiir que Véquilibre ait lieu, il faut que la somme algébrique des produits des forces par les vitesses virtuelles correspondantes soit nulle.

Ce principe est aussi applicable au mouvement de translation. Considérons, en effet , la force AF (Fig. 40) et décomposons-la en deux autres perpendiculaires entn^ elles, AP' et AL. Si

le point A était libre d'obéir à ,, .^

chacune de ces forces séparément , il serait transporté en L par l'action de la composante AL «tt en P' par l'action de la composante AP', dans le même temps ipie celui qu'il mettrait à arriver en F sous l'influence de la force * AF qui le sollicite en réalité ; à proprement parler, nous n'avons tlonc pas décomposé la force donrtêe , mais plutôt la vitesse AF du mouvement qu'elle serait capable d'imprimer au point A. Or ce point fait partie d'un système sollicité encore par d'autres forces qui concourent à maintenir l'équilibre; il en résulte que la force considérée ne détermine pas de mouvement réel , mais ♦end seulement à en produire^ et qu'en conséquence les composantes AL et AP' représentent des vitesses virtuelles. En répétant successivement sur toutes les Ibrces qui sollicitent le système AB la décomposition qu'on a fait subir à la première force , on arrive finalement à poser, comme condition d'équilibre, en fe qui concerne le mouvement de translation , que la somme algébrique des Mtesse virtuelles parallèles à AB et la somme des vitesses virtuelles perpendi- "jlaires à AB doivent être toutes deux nulles. Il va sans dire que les vitesses 'ie sens contraire doivent aussi être affectées de signes contraires. [De ce qui précède , on peut tirer les conclusions suivantes : Ce que Von gagne en force , on le perd en espace parcouru , en vitesse ou (il temps; et réciproquement, ce que Von gagne en espace parcouru y en vif»'<'>c ou en temps , 07i le perd en force.

11 est facile de voir que cet énoncé n'est autre chose que le principe des vit'«<es virtuelles présenté sous une autre forme.]

Le principe que nous venons de faire connaître a, sur ceux qui concernent le parallei 'gramme des forces et Tëgalité des moments des forces appliquées au levier, l'avantage rétrc plus général, en ce qu'il renferme les conditions d'équilibre relatives îi la fois au uvixrrcment de translation et h. celui de rotation ; il est, en outre, plus fécond pour la '«'ifnce . parce qu'il introduit la notion de la vitesse, qui a aussi une grande importance •'3 statique, car, rigoureusement parlant, dire que des forces se font équilibre signifie lie l'ëquilibre a lieu entre les vitesses que ces forces tendent h développer.

WUM)T, Physique médicale. 3

Le principe des vitesses virtuelles est celui qui conduit le plus aisëment à une expression math<$matique des conditions de rdquilibrc. Appelons, en effet, / bi force AP (Fig. 10),/* la force BF\ /**,/*", etc., les autres forces qui agissent encore sur le corps considërd; désignons par a. Tangle P*AF, par ol l'angle QBF' et par a", a'", etc.% le» angles analogues correspondants aux autres forces ; les composantes paraUëles à Taxe AB auront alors pour valeurs respectives les expressions / sin a , /* sin a\ /" sin a", etc., et les composantes perpendiculaires seront représentées par/cosa, /* cos»', /" cos a", etc. En regardant, pour les deux systèmes do forces, comme positives les forces qui sont dirigées dans un sens et comme négatives celles qui tirent en sens contraire, on arrive à prouver que l'équilibre a évidemment lieu, en ce qui concerne le mouvement de translation, quand:

/sin a +/ sin a + f «in «;'+ = 0 ^1)

/cos a H-/* cos a +/' cos a" + ^0 (2)

Pour trouver la cimdition dVquilibre relativement au mouvement de rotation, do point O, par où passe la résultante de toutes les forces qui tendent k faire toumcr le levier AH, abaissons sur les directions des forces les perpendiculaires OD et OD*; transportons ensuite les points d'application de ces forces sur leurs prolongements en D et en V>\ ce qui ne change rien k Tétat du système, comme nous Tavons vu précédemment, à condition toutefois qu'on suppose les points D et D' liés invariablement aux points A et B. Nous avons ainsi remplacé le levier droit Af)C par le levier coudé DOD' et nous savons que ce levier ne tournera pas si la force AF, qui agit sur le bru de levier OD, tient en équilibre la force BF', qui sollicite le bras de levier OD\ ()r, imaginons que le levier tourne riHuellemeiU de Tangle ^ : Tare décrit par le point D sera égal h d^y i*i Tare parcouru p|u: le point D' aura une longueur cT^, en appelant d et cT les bras de levier OD et 0D\ Le principe des vitesses virtuelles exige pour IVquilibre que /ciS =/<i*p ou simplement /i =y''ti\

Supposons maintenant qu'au lieu de deux forces il y en ait un nombre quelconque f, /*,/", ^'"\ etc., et désignons par </, ff, d", d'*\ etc., les bras de levier perpendiculaires k ces forces ; regardons comme positives les forces qui tendent k faire tourner le levier dans un sens, et comme négatives celles qui tendent k le faire tourner en sens inverse. Pour qu*il ne se produise pas de rotation autour du point O, il faut qu'on ait:

fd -h/fV -^fUr -+- = 0 (3)

11 est clair, d'ailleurs, que le choix du point pris comme centre de rotation est entièrement arbitraire, lorsqu'on cherche k résoudre dans toute sa généralité la question de savoir si un système matériel peut ou non tourner : un corps qui ne se meut paf autour d'un point arbitrairement choisi n'éprouve, en général, aucun mouvement de rotation; au lieu du point O, nous pouvons prendre tout autre point comme centre de rotation. Par conséquent, l'énoncé suivant reufenue la condition générale d'équilibre en ce qui concerne le mouvement de rotation : tn d'un point quelconque on mené deâ droites perpendiculaire» ëur les directions des forces ^ il faut, pour que le corps ne tourne pas , que la joome alfféhrique des produits des forces par les perpendiculaires correspondantes soit éyale à zéro.

£n résumé, on voit que pour établir les conditions d'équilibre d'un cor])S solide, il faut faire usage de trois équations, k savoir les équations (1) et (2), qui concernent le mouvement de translation, et l'équation (3), qui regarde le mouvement de rotation. [Noon devons cependant faire remarquer que ces trois é<}uatiims ne suffisent pas k représenter, dans toute leur généralité, les conditions d'équilibre d'un corps solide; elles ne sont applicables que dans le cas particulier où les forces qui sollicitent le corps sont toutes situées dans un mr^mo plan. Si l'on veut traiter le pn»blème d'une manière tout à fait générale , il faut décomposer chaque force en trois autres parallèles k trois axes porpen* diculaires entre eux, et Ton obtient ainsi, mui pas trois, mais six équations d'équilibre, dont trois pour chaque geure de mouvement.]

1 Par suite d'âne errear de graviire, on a mU daa« U figure 10 lee lettres rf et iT à U pUee de « et «*.

22. âpplicatioiiB du principe du parallélogramme des forces et de celui du levier. — On aurait de la peine à trouver dans la nature ou dans les arts un exemple de production de force ou de vitesse qui ne nécessite pas Tapplication du principe du parallélogramme des forces, ou de celui du levier, ou des deux à la fois. Les mouvements des différentes pièces du squelette humain s'opèrent presque exclusivement par l'intermédiaire de leviers (cf. § 65). Nos instruments les plus indispensables sont aussi des leviers , car à tout moment nous avons besoin de transformer la force en vitesse ou la vitesse en force; parmi les leviers les plus usuels, nous citerons les tenailles , les ciseaux , les pinces ; dans l'emploi de chacun de ces instruments , on a à se demander si on veut obtenir surtout de la force ou de la vitesse , et quelle est la quantité de force ou de vitesse dont on a besoin. Les tenailles représentent un système de deux leviers accouplés destiné à produire de la force ; plus on veut que l'effet obtenu soit puissant plus il faut raccourcir le bras de levier de la résistance et augmenter celui auquel on applique la puissance ; on peut avec une seule et même paire de tenailles modifier, suivant les circonstances, l'intensité d'action de l'instrumenton n'a qu'à lui donner , lorsque la chose est praticable , la forme d'un levier du deuxième genre, qui permet de faire varier facilement la distance entre le |N)int d'application de la résistance et le point d'appui. Dans la pince , le levier eai du troisième genre , non pas qu'on ait besoin d'obtenir une grande vitesse (k déplacement, mais afin que la force avec laquelle les mors de l'instrument saisissent les objets soit modérée. Les ciseaux sont en quelque sorte des tenailles tranchantes; ils représentent, comme ce dernier instrument, un système de deux leviers du premier genre, mais ayant des bras à peu près égaux. [Le principe d'un grand nombre d'instruments de chirurgie repose sur le Kier plus ou moins modifié ; nous citerons entre autres les ciseaux , les pinces à dissection et autres, le levier et la clef des dentistes, le levier des accoucijeurs etc. ; certains appareils employés dans les recherches de physiologie médicale utilisent aussi les propriétés du levier : on en trouve un exemple dans le «sphygmographe.]

On fait encore un fréquent usage de machines simples , qui ne sont autre cliose que des formes particulières du levier ; telles sont la balance , la poulie etc. ; mais comme l'action de la pesanteur intervient dans le jeu de ces appareils , nous en parlerons au chapitre consacré à l'étude de la pesanteur <.voy. § 49 et suiv.) .

23. Da Bunivemeiit uniforme. — Quand une force, après avoir mis on mouvement un corps ou un point matériel, vient tout à coup à cesser d'agir, le corps n'en continue pas moins à se mouvoir en ligne droite, et, en vertu du principe de l'inertie de la matière , le mouvement doit devenir uniforme à partir du moment où le mobile est soustrait à l'action de la force motrice. Si, par exemple, c'est un choc qui détermine le mouvement et qu'aucune (orce ultérieure n'inter\'ienne, le corps parcourra des espaces égaux dans des temps égaux ; d'où résulte que, connaissant le chemin parcouru par le mobile pendant un temps déterminé, on peut calculer d'avance l'espace qu'il parcourra pendant un temps quelconque.

Afin de pouvoir comparer entre elles les vitesses de plusieurs mobiles qui

se meuvent tous avec une vitesse constante pour chacun d'eux , mais différente d'un mobile à l'autre , on est convenu de prendre pour unité de mesure l'espace parcouru pendant l'unité de temps, c'est-à-dire pendant une seconde; c'est la grandeur de cet espace parcouru pendant une seconde qui représente ce qu'on appelle la vitesse dans le mouvement uniforme. Par conséquent, l'espace e parcouru pendant un temps quelconque t évalué en secondes , est é^l au produit de la vitesse v , par le temps.

Jly

" ! 1 [ ! On a donc : e = vt

I ; ; , rctr = ^, A; ëtant une constante. .,!!'; La fig. 11 reprëgentc la formule: c = rt,

^ i i i ! ! ! ' c'est-à-dire la relation qui existe entre le

II : ; temps et Tcspacc parcouru dans le mouve- ! i I I r ment uniforme.

A iJ c U K i- IV J[ X gi^ av^nt r instant initial h partir duquel

Plff. 11. — Rcprd«entaUon graphique de la loi des on compte le temps t, Ic corps a dv\a parospaccfl dans le mouTement uniforme , on do la . . ,« .

loi dcBvltcasea dans le mouvement uniformément couru un certain espace (?o, 1 espace parcouru

accëlërë. au bout du temps t sera : e = ? ,, -+- r^].

24. Du mouyement aniformément accéléré. — Nous venons de voir que le mouvement d'un corps devient uniforme dès que la force motrice cesse d'àjçir. Considérons maintenant ce qui se passe quand la force continue à solliciter le mobile : dans ce cas, il est impossible que le mouvement soit uniforme: en vertu du principe de l'inertie de la matière^ il faut que le mouvement s'accélère de plus en plus.

Le cas le plus simple est celui où la force reste constante pendant toute la durée de son action. Décomposons par la pensée l'intervalle de temps pendant lequel la force agit, en un grand nombre d'intervalles élémentaires égaux entre eux: pendant le premier instant , la force communique au point matériel une certaine vitesse, qui conserverait indéfiniment la même valeur si l'action de la force se bornait à cette première impulsion ; mais la force, continuant à solliciter le corps, détermine, pendant le deuxième instant, un accroissement de vitesse précisément égal à la vitesse communiquée durant le j)remier instant ; le même fait va se reproduire pendant les intervalles de temps suivants. On jieut donc se représenter l'eflet d'une force constante comme équivalent à une série de chocs ou d'impulsions d'égale intensité se succédant régulièrement, avec cette circonstance particulière que les chocs se répètent à des intervalles tle temps infiniment rapprochés et que , par suite , la vitesse croit d'une manière continue, au lieu d'augmenter par saccades. Vaccélération de ïa vitesse est d'ailleurs uniforme, c'est-à-dire que la quantité dont s'accroît la vitesse pendant chaque intervalle élémentaire de temps est constante , puisque l'intensité avec laquelle agit la force reste la même.

Supposons maintenant qu'au bout de la première second^ la force cesse d'agir : le mobile continue alors à se mouvoir avec une vitesse uniforme , et, à partir de ce moment, l'espace qu'il parcouii; dans une seconde peut évidemment ser\'ir de mesure à l'accélération que la force a développée en agiss;int pendant la durée d'une seconde; car la vitesse initiale du mobile était nulle ^

lorsque Faclion de la force ne s'était pas encore fait sentir, et si on retranche l'une de l'autre la Altesse qui existe au commencement d'un certain intervalle de temps et celle qui a lieu à la fm du môme intervalle , la différence repréf^nte Taccélération produite durant le temps considéré. Puisque la vitesse augmente d'une manière uniforme, c'est-à-dire que l'accélération est la même pour chaque seconde, la comparaison des vitesses qui existent au commencement et à la lin d'une seconde quelconque conduirait toujours au même résultat, quelle que soit l'époque considérée ; si on prend de préférence l'origine (lu mouvement comme point de départ, c'est uniquement pour faciliter les calculs, puisque dans ce cas la vitesse acquise au bout de la première seconde donne immédiatement l'accélération. Une fois que l'accélération a été mesurée, il est possible de déterminer d'avance la vitesse dont le mobile sera animé à une époque quelconque de son mouvement ; il sufût de faire le produit de raccélération trouvée, par la durée du temps écoulé depuis l'origine du mouvement jusqu'à l'instant considéré.

Désignons Taccëlëration par y, le temps par t^ et nous aurons pour la vitesse v au Wnt du temps t, l'expression :

» = Yf Cette formule suppose que Ton compte les temps à partir de l'instant où commence le moarement; si tel n'est pas le cas, il faut tenir compte de la ^dtessc dont était animé le mobile à l'origine des temps ; eu introduisant cette vitesse initiale v^ , on obtient l'expretsion :

V = r,+ Y t (1 àis)

Poor trouver l'espace parcouru par un mobile sous l'influence d'une fotco uniformément accélératrice, commençons par déterminer l'espace parcouru pendant la premiëre seconde. La vitesse initiale est nulle; à la fin de la premiëre seconde, la vitesse est égale À 7; le chemin parcouru dans cet intervalle de temps est donc plus grand que zéro et plus petit que Y; il doit être évidemment égal à la moyenne des deux valeurs, c'est-à-dire h

^ , puisque la vitesse croît uniformément. Ainsi, un mobile qui serait animé d'une vi-

t^Sfc unifonne égale à ' parcourrait, dans le même temps, le même chemin que

«, partant de l'état de repos, avec une vitesse initiale nulle, il se mouvait d'un mou- '^«nent uniformément accéléré et s'il acquérait une vitesse finale égale à Y- Coiisidé" loni* un temps quelconque t; la vitesse acquise au bout de ce temps est Y^»

yt *inii qu'on l'a vu ; la vitesse moyenne est donc -' , puisque r, = 0 ; au point matériel

»€ mouvant d'un mouvement uniformément accéléré nous pouvons en subtitucr un «ntre po<(sédant une vitesse uniforme égale à ---. Cela posé, dans le mouvement uni-

yt

foTBie, l'espace parcouru dans le temps t est e = vt; or ici, v^-^' Donc l'espace par-

art

Cï^nm par un mobile sous l'influence d'une force uniformément accélératrice est donné PK r^qnatîon : e = -[y. (2)

[Traduite en langage ordinaire , cette formule signifie que , dans le mouvcnï»*Dt uniformément accéléré, Vespace parcouru jyar un mobile partant de ^fta( de repos est égal à la moitié du produit de V accélération par le can^é ^ temps écoulé.

En résumé, les lois du mouvement uniformément accéléré sont les suivantes :

l® L'accélération est constante ; 2® La vitesse est proportionnelle au temps écoulé ; 3« L'espace parcouru est proportionnel au carré du temps.

Ces deux demiëres lois supposent que Toriginc des temps correspond k Torigine da mouvement et k celle des espaces. On a vu que, dans le cas où la vitesse initiale avait la valeur ro» la vitesse acquise au bout du temps t était :

Dans les mêmes conditions, Tespace parcouru au bout du temps <, est:

Si, en outre, avant Tinstant à partir duquel on compte les temps, le mobile a dëjà parcouru l'espace c^, la formule des espaces prend la forme générale :

Les formules (1 bis) et (2 bis) comprennent aussi le cas du mouvement uniformémeni retardé y dans lequel la vitesse décroît do quantités proportionnelles aux temps écoulés; il suffit, pour les rendre applicables dans ces conditions, d'affecter Faccélératîon Y du signe — .

I^a loi des vitesses v = Y^ ^'^^ 1^ mouvement uniformément accéléré, est représentée dans la fig. il par la droite OK*, dont Tinclinaison sur Taxe des abscisses est proportionnelle k l'accélération.

La loi des espaces e= *- - est figurée par la parabole AK de la fig. 12, où les or-

données qui mesurent les espaces parcourus sont comptées au-dessous de Taxe des abscisses.]

25. Mesure des forces. Quantité de mouvement. Travail et force vire. — Les forces ne peuvent être mesurées qu*à Taide des vitesses qu'elles déterminent. Quand il s'agit de forces constantes, le moyen le plus commode de les mesurer est fourni par la connaissance de l'accélération que la force pro- • duit dans l'unité de temps ; mais il importe de remarquer que la grandeur de l'accélération ne dépend pas seulement de l'intensité de la force motrice ; elle dépend aussi de la masse du corps sur le(|uel agit la force : il est évident , en eflet, qu'une force capable d'imprimer à un point matériel unique une accélération Y 5 lïc déterminera qu'une accélération 100 fois plus petite, si elle agit sur un système de 400 points matériels liés entre eux d'une manière invariable, car l'effet de la force se répartit uniformément sur tous les points. Or, un corps composé de 100 points matériels a une masse 100 fois plus grande que celle d'un point unique; nous pouvons donc dire : Veffet d*ufie force est directement proportionnel à l'intensité de la force et en raison inverse de la masse du mobile.

Kn désignant Tintensité de la force par/, la masse du mobile par m, nous voyons que Taccélération sera toujours proportionnelle à •^-.

Si nous supposons que Vunité de force commimiquc k Tunité de masse une accëlë* ration 4*, la force / imprimera K la masse m Taccélération -^ 'f . Or, le choix de ronit^ de force est indifférent, et, comme on nu peut arriver, en général, à la mcsiuro dos

forcer que par la connaissance dps effets qu'elles produisent, ce qnUl y a de plus simple, c'est de prendre comme unitë la force capable de produire un effet dgal à Tuuite , c* est-à-dire celle qui communique à Tunitë de masse Taccëlëration 1 ; 8*11 en est

ainsi, la force / imprimera à la masse m une accëlëration -^. [(Yn aura donc : 7 = -•^, d'où /= my, (1)

Ainsi , une force a pour mesure le produit de la masse du corps sur le-qvel elle agit par l'accélération qu^elle imprime à cette masse.

Dans le cas d'une force constante, le mouvement est uniformëmcnt acc^ërJ et on a

m § 24) qu'alors t7 = T^ d'où y =——, En mettant cette valeur de y dans l'ëquation (1),

il vient, après avoir chasse le dénominateur :

Jî=:mv (2)

Le produit mv de la masse du mobile par sa vitesse à Tépoque t, se nomme la fjuantité de mouvement; on désigne quelquefois sous le nom àHmpulsion •le la force pendant le temps t, le produit ft. On voit par la formule (2) que, ^i nous considérons la vitesse acquise au bout de l'unité de temps , la force a tittisi pour mesure la quantité de mouvem^ent correspondante.^

Quant à l'espace parcouru dans le temps f, sous l'influence do la force constante/,

il est :

e=4--^«» (3) En éliminant le temps t entre les ëquations (2) et (3), on arrive k l'ëquation :

Telle est la relation qui existe, à tout instant, entre la vitesse du mobile au moment considéré et l'espace qu'il a parcouru dans cet intervalle de temps; on voit que cette relation est indc^pendante de la durëe du mouvement.

L'équation (4) nous montre que : à un instant quelconque du mouvement, k produit de Vintensité d'une force constante par la longueur du chemin quelle a fait parcourir à un corps dans le sens de sa direction depuis i'orifjitie du mouvement, est égal à la moitié du produit de la masse de ce corps par le carré de la vitesse dont le mobile est animé à V instant con^ sidéré.

On donne, en mécanique, le nom de travail d'une force au produit fe de la force f par le chemin e qu'a parcouru le mobile dans la direction de la force, et on appelle force vive le produit mv^ de la masse ni par le carré de la vitesse ''dont est animée cette masse. [Il serait plus rationnel de donner, contrairement à l'usage généralement établi , le nom de force vive à l'expression ^- ;

'M c'est toujours la moitié de la quantité mv^ qui entre dans les calculs de mécanique.

On peut donc énoncer en deux mots la relation qui existe entre le travail et i:< Ibrce vive , en disant que :

Le travail d'une force est égal à la force vive. Nous supposons ici, comme ^ns tout ce paragraphe,' que le mobile part de l'état de repos et que c'est à l^artir du moment correspondant que l'on compte les temps et les espaces.]

La connaissance de la relation qui existe entre le travail d'une force et la force vive dëvcloppëe est d'une grande importance, car elle permet do calculer Tune quelconque de» quantités qui entrent dans cette équation, quand on connaît toutes les autres. Je suppose, par exemple, qu'on veuille savoir la grandeur do la force que doit développer une locomotive pour que, après avoir parcouru un espace e, elle possède une vitesse r: dans ce cas, les données sont f , r et m, r» étant la masse de la locomotive et de la charge qu'elle entriuno avec elle ; en introduisant les valeurs de ces quantités dans Yéquation (4), nous en tirons la valeur de l'inconnue/.

Autre exemple : nous lançons avec la main une boule et nous voulons déterminer la ritesse r du mobile au moment où nous le lâchons; il nous suffit, pour effectuer le raleul, de connaître la masse m de la boule, Fespace e parcouru par la main qui lance le projectile, et le poids maxinmm que notre bras peut élever en Taîr; ce poids représente Tintensité / de la force que le bras est capable de développer dans le jet d'un corps.

26. Des mouyemento effectués sous l'influence de plusieurs forces. — Le inotivemtMit que prend un point matériel ou un corps soumis à Faclion simultanée de plusieurs forces se déduit facilement des lois précédemment formulées. Lorsqu'un corps est sollicité en même temps par deux forces instantanées ^ par deux chocs, dont les directions forment entre elles un certain angle, la diagonale du parallélogramme constniit sur les deux droites qui représentent en grandeur et en direction les vitesses des forces , donne non-seulement la direction du chemin que suivra le mobile , mais encore la grandeur de la vitesse résultante ; ce résultat, nous Tavons démontré dans le § 18.

Supposons maintenant qu'une force instantanée sollicite le point matériel A dans la direction AB (Fig. 12) et qu une force constante agisse en même temps dans la direction AC , il est facile de trouver le mouvement résultant : il est ^ ^ représenté, à chaque instant, par la diago-

'* nale du parallélogramme construit sur les chemins élémentaires que le corps parcourrait dans un temps infiniment petit sous l'influence de chacune des deux forces considérée isolément. Or, ces diagonales successives changent continuellement de direction et tendent à devenir parallèles à la direction de la force accélératrice, puisque les esjKices parcourus sous Tinfluence de cette dernière force augmentent continuellement \^r rapport aux espaces corresponj \ dants |>arcourus sous rinfluence de la force

I \ instantanée : il en résulte que la trajectoire

^ "~ * décrite pr le mobile est une ligne courbe.

Pif. 11. — Tr^j**toirv partboiiqm* rvprvMtatent et Tanalysc mathématique njontre que celte

w »o«T««M«t «ffcctw ftH» riBicinioe ateni eourl»e cst ce qu'ou appelle une itaraboie.

!••«« <r«»« f*rc« cvB«taDtc et d ait« foret tB*- ■ i .

Nous verrons, à propos de l étude de la

pt»santeur, que la courbe en quc^ion représente la trajectoire suivie par les pn>jtvtiles , et nous aurons alors occasion de revenir sur les applications des lois du mouvement à reflet simultané de plusieurs forces.

Quant à présent, nous n'avons plus à nous occuper que d'un seul cas.

dans lequel il s'agit aussi de Taclion simultanée de plusieurs forces; ce cas est celui d'un point matériel ou d'un système de points sollicité par deux (Troupes de forces, dont les unes tendent, par leur action incessante, à maintenir le point dans une position déterminée et invariable, tandis que les autres, à action plus ou moins passagère, dérangent le point matériel de sa position d'équilibre. Nous sommes ainsi amenés à traiter des mouvements vibratoires et ondulatoires ; cette étude est d'une importance capitale , par suite des applications nombreuses qu'elle présente dans les différentes parties de la physique ; aussi croyons-nous devoir y consacrer un cha* pitre particulier.