CHAPITRE IV

27. Oscillations d'nn point autour de sa position d'équilibre. — Quand un point matériel est retenu dans une position déterminée par Faction continue de forces constantes, s'il vient à être sollicité par une nouvelle force tendant à le déranger de sa position d'équilibre , il oppose à cette force perturbatrice une résistance en rapport avec l'intensité des forces qui le maintiennent en place. La force perturbatrice est-elle constante, le point matériel est obligé de prendre une nouvelle position d'équilibre ; mais , s'il s'agit d'une force instantanée , comme Test un choc unique , le* point matériel accomplira de part et d'autre de sa position primitive une série de vilrt'ations ou à^ oscillations.

Soit M (Fig. 13) un point matériel recevant un choc dirigé dans le sens MA: si ce point était entièrement libre, c'est-à-dire soustrait à l'action de toute force autre que le choc primitif, il se

mettrait eu mouvement et, en a a' m

vertu du principe de l'inertie, il

^ .. -4 • j»f • A « Flg. 13. — Mouvement oscillatoire d'un point niAtdricI.

continuerait indéfiniment a se

mouvoir avec une vitesse uniforme dans la direction MA ; mais, comme il est sollicité par des forces qui tendent à le retenir dans la position M , il va éprouver un ralentissement graduel de vitesse, jusqu'à ce (ju'il ait atteint une |>f>sition, telle que A, où la vitesse soit entièrement nulle; l'instant d'après, la force qui tend à ramener le mobile en M, continuant à agir, le point matériel rp\iendra sur ses pas avec une vitesse croissante jusqu'à ce qu'il se retrouve à f^*n point de départ; arrivé là, il dépassera cette position primitive, en vertu de la vitesse acquise, et ira jusqu'en un point B situé à la même distance do M que le point A, puisque Taccélération qu'il a gagnée eu allant de A en M e«t précisément égale au ralentissement qu'il éprouve en allant de M en A ou en B. Panenu en B , le mobile rebroussera de nouveau chemin , gagnera la pr>»ition M avec une vitesse croissante , la dépasî^era comme la première fois, et ainsi de suite; il accomplira donc de part et d'autre de sa position d'équilibre an nombre infini d'oscillations.

On appelle amplitude de la vibration l'espace compris entre les deux positions extrêmes A et B de la molécule vibrante ; le temps employé par le point

i!2 PHKNOMÈNES ET LOIS PHYSIQUES EN GÉNÉRAL.

matériel pour accomplir son double mouvement de va-et-vient , de A en B, puis de B en A, représente la durée de la vibration.

Si la force qui ramène le mobile à sa position d'équilibre était constante , le mouvement vibratoire effectué dans ces conditions ressemblerait au fond au mouvement uniformément varié dont les lois ont été indiquées dans le chapitre précéilent : le mouvement serait uniformément accéléré depuis le point A, où la vitesse est nulle, jusqu'au point M, où elle atteint son maximum ; de M jusqu'en B, le mouvement serait uniformément retardé, et ainsi de suite. Mais, quand on suppose que les forces qui sollicitent la molécule vibrante à revenir constamment au même point ont toujours la même intensité , on fait une hypothèse qui n'est pas réalisée dans la nature ; en général , plus le mobile a été écarté de sa position primitive , plus la force (jui tend à l'y ramener est intense. Imaginons, par exemple, que la droite MB (Fig. 13) représente une tige élastique dont l'extrémité B soit fixe ; tirons sur l'autre extrémité M de manière à allonger la tige de la (piantité MA' , puis abandonnons -la à elle-même ; la traction venant à cesser , la tige , en vertu de son élasticité , reprendra sa longueur primitive MB. Dans une deuxième expérience , tirons la tige de manière à produire un allongement égal à MA : quand nous n'exercerons plus de traction , la tige reviendra encore sur elle-même , mais avec une force plus grande que la première fois ; si le second allongement MA a été double du premier MA', la force avec laquelle l'extrémité tirée reprendra sa position primitive M sera aussi deux fois plus grande; car la force avec laquelle une tige élastique revient à sa longueur primitive est évidemment égale à la force élastique développée, et celle-ci croit dans le même rapport que l'allongement. Or, quelles que soient les forces qui sollicitent un \\ouA matériel à reprendre constamment la même position , les choses se passent toujours comme elles viennent d'être intliquées dans l'exemple précédemment choisi : le point matériel étant dérangé de sa position d'équilibre y est ramené par une force dont l'intensité est en raison directe de la distince qui sépare la molécule vibrante de sa position d'équilibre. Par conséquent , l'accélération du mouvement doit aussi croître proportionnellement à cette même distance, et il en résulte (fue la durée de la vibration reste constante , quelques vanations que subisse d\tiUeurs Vam^tlitude de la vibration , puisc^ue les vibrations s'exécutent avec d'autant plus de rapidité que leur amplitude est plus grande. D'autre J>art, on conçoit que la durée de la vibration varie en S4»ns invei'se de la force qui tend primitivement à maintenir la molécule oscillante dans sa position d'équilibre et qui ensuite la ramène dans cette [position.

28. Application du principe de la consenration de la force an mouyement Tîlira-

toire. — hv» rv«ultatA qui viennent d'être ënoncé» peuvent se déduire d*nne manière très-simple du principe de la consenation de la force dont il a été parlé an § 11. DéfignoBs par 9 1& force qui sollicite un point matériel, dont la mas«te est prise pour imite , k revenir à sa po8iti(»u d'équilibn» M, lorsqu'il en e8t écarté d'une distance égale à Tunîté; si ou considère une mas^e w, Taccélération imprimée K cette niasse par la force

3» sera 7-= ' ♦ en vertu de ce qui a été dit au § 25, d*où on tire : ^=m^; et si IVcar-

JM

tentent est égal à o, raccélération aura pour mesure 7<i= a, ct>nf»»nnément à ITiT-

ptthèse que nous avons admise, K savoir que Tintensitë de la force qui attire la masse oscillante vers le point M est proportionnelle à la simple distance ; comme d^ailleturs U force accélératrice en question agit de maniëre k diminuer la distance a, il faut évidrnunent la considérer comme une quantité négative; nous aurons ainsi, en appelant P raccelération produite par la force qui sollicite la masse oscillante à revenir à sa position d'équilibre: r=Y^ ^^ — î-a. On voit que, quand o = 0, c'est-k-dire quand le

mubfle se trouve en M, Taccélération r==0, et quand a est égal à la demi-amplitude , r atteint sa valeur maxima. [On peut donc remplacer Taccélération variable P par une accélération constante égale à la moyenne des deux valeurs extrêmes.] Cela posé y considérons la force vive du mobile : elle a pour expression le produit

., fir^ (Cf. § 25) qui est égal à zéro, quand la masse oscillante est k Tune des extré*

mités de sa course, car la vitesse correspondante à cette position est nulle. Pendant que le mobile revient sur ses pas, la force vive augmente, et elle atteint son maximum

tu point M; à ce moment-là, on a:^^^ — = J ■ a , en désignant par a la demi-ampli-

tnde de Toscillation; en effet, dans le trajet de M en A, il y a eu transformation gradnelle de la force vive en force de tension dirigée en sens contraire jusqu^à ce que, la \a masse oscillante étant parvenue en A, la transformation fût complète ; et, quand le mobile retourne vers le point M, la force de tension à laquelle il obéit repasse tout t-ntière à Tétat de force vive; il faut donc, en vertu du principe do la conservation de la force, que la force vive soit égale k la force de tension dont elle dérive. [Or la force de tension a pour mesure le travail effectué par la force, et il serait facile de

9 et ^fl^ 1 démontrer que ce travail est égal k; -^ <* = -o J Nous voyons par ce qui pré-

cède que la force vive d^une masse oscillante croît avec Tamplitude de la vibration.

l>ans les vibrations sonores de Tair et des corps qui émettent des sons, ainsi que dans les vibrations lumineuses de Téther, Tamplitude de la vibratibn rëgle VirUensité du *-n ou de la lumiëre; la durée de la vibration en détermine la qualité (hauteur du son n ton, couleur de la lumière). Le fait précédemment indiqué, que la durée de Toscil- Ution est indépendante de raniplitude, nous explique comment il se fait qu'un même ton ou une même couleur puissent passer par différents degrés d'intensité.

29. Loi de la durée des Tibrations d'une molécule. — Il doit nécessairement y •noir une relation déterminée entre le temps qu'une molécule oscillante met a accomplir une oscillation et la force qui tend à maintenir le mobile dans sa l^'sition d'équilibre :. quand cette force devient plus grande , il faut évidemii.»*nt que la rapidité des vibrations augmente aussi, et, par conséquent, que i*iir durée diminue. Si Ton désigne la durée d'une vibration par t, la force •j'ii tend à ramener la masse oscillante à sa position primitive par v, on dé-

liiontre que la relation entre t et y ou son égal — ^- est donnée par l'équation

>'iivante :

tu

• représente le rapport de la circonférence au diamètre, c'est-à-dire le nombre 3,14159....

I/«'Hjuation qui précède montre que la durée de la vibration est proporttoHnelle à la racine carrée de la masse du corps qui oscille, et en raison îtnerf^ de la racine carrée de la force accélératrice qui sollicite le corps à

revenir constamment à sa position primitive. On peul donner une autre forme à l'énoncé de celle loi, en disant que le carré de la vitesse de vibration est pi*o}H)rtionnel à la force accélératrice, et en raison inverse de la maf^^e.*

90. Vibrations longitudinales. Ondes condensantes et dilatantes. — La nature n'offiv jamais à notre obsenation de points matériels iï^olés ; les corps que nous y ivncontmns sont toujours formés d'un nombre très-considéralde d'atomes ou de moKVules; si donc cbaque atome ou chaque molécule représente un |H>int matériel , nous pouvons regarder un corps comme étant un agréjrat de |H>ints matériels. Or les considérations que nous avons développées, en ex|K>s;uit la tht'orie atomistique (§ 1 i) , ont montré q le les particules dont se conqH)s*»nt lt*s corps exeivenl les unes sur les autres des actions dont l'intensité dé[)end de la distince respective qui sépre ces parti4*ules : il en résulle que, si un |Hnnt quelcon(|ue d'un corps vient à entrer en vibration , l'état d'équilibre des moléi'ules voisines doit se trouver détruit. Quant au mouvement vibnitoire, d'une «;:rande simplicité aussi lon^emps qu'on se lK>rne à considérer un point imii|ue , il tlevient compliqué du moment qu'il se communique successivement à une série de |H>ints matériels , et c'est ce dernier cas qui se présente le plus fi*ét|uemment dans la nature.

Soient, jiar exemple, trois [HÛnts .\, B, C vFii:. ii), pbcés en ligne droite et maintenus en é«piilibre |iar des forces attractives et répulsives , de manièn^

^^ à ce que la distance AB soit é^ale

^ ^ c à B( !. Nous admettrons que ks

forces en ipu^tion suivent , tians T 7~» c leurs variations, les lois sur les-

((uelles repose la théorie atomique de la constitution des corps . c'està-dire «(ue les forces répulsives

, diminuent plus rapidement que

^' K*s forces attractives , quand la distance augmente : dansci*<con- " ^ -' "^' dit ions, si une force extérieure

nc.14. MAk a« pcvM^Cmtka 4âi Tt^rma^M» Wo^ttaiii&Altf*. \iotlt à diuiinucr la distaïKV de

deux p«.Hiits matériels . ces points se ivjK»usseiit mutuellemeut ; ils doi\ent, au contraire, s'attir»*r lors«|u'îls s'écartent l'uu de l'autre. SupjK^s^Mis donc qu'un cIkv frappe iii<tantat.éuient It* point A et le jH.msse dans la dirwtion de B : lo ^Kunt A , Si^u< riuipuI>ion de re cIkv . se raj*pn.vhera du p^»uit B avec une vitt*sse décrotssaute : arrivé eu A\ il r\*fieudra à sa |H.içiitL«.Hi primitive a>ec une \itt*îsse de plus *»ii plus grand»*. Le |»tnnt B à s^m tour, s«.nis Tiurtueuce de faction répulsif»» développée» [\xr le rappn*^ hement du jH.»int A . se mettra eu uionvement et n»arrhera \er< •'. ; nuits I* ui«Hi\eruetit de B ^vissera jvir les mêmes phases qu»^ celui lie A il m^ raleutin jusqu'à ce que, <a vitesc?e étant nulle . dans b |.Hiisitiou B**, puLs chaii;^eaut de si^:«e, le mobile B revietiue sur >es pas a\*v une ûte*ise cr»fssante.

* ![TMr Ahm r trppmmi *a i>fWii«oi iW m anâeflMiai|«M ki 'a :>iramùr lu akia^vatea: vt&rmOiuT

En vertu de la vitesse acquise durant la période de retour, les points A et H dépassent en sens contraire leur position initiale , vont jusqu'en A"* et \r\ reviennent de nouveau , après avoir rebroussé chemin , et recommencent indéfiniment le mouvement de va-et-vient, qui les fait osciller de part et «l'autre de leur position d'équilibre. Ce mouvement oscillatoire va se transmettre de la même manière au point C, et de proche en proche à un nombre quelconque de points de plus en plus éloignés.

On voit donc cpie, si dans un système de plusieurs points matériels liés entre eux par des forces attractives et répulsives qui les tiennent en équilibre on vient à faire osciller \m quelconque de ces points , les vibrations ainsi développées se communiquent successivement à tous les autres points du système et < eliii-ci unit par vibrer en totalité ; mais , comme il faut un certain temps au mouvement pour se propager ainsi à travers une série de points, il s'ensuit fie les différents points oscillants ne sont jamais au même instant à la même •li<tance de leur position d'équilibre : pendant (jue A revient à sa position initiale, B s'éloigne de la sienne, et ainsi de suite.

Il résulte de cette inégalité de phase de vibration des différents points oscillants que dans chaque endroit du système il se produit des alternatives de ra|»prochement et d'écartement des molécules matérielles, c'est-à-dire une ottidemation et une dilatation: ainsi, à l'époque du mouvement figuré en A''B"C", il existe une dilatation en A" B" et une condensation en B"C"* plustard, à l'époque figurée en A"" B"" C"", il survient une condensation en A'"'B*"' et une dilatation en B"" G"". Si l'on imagine une série d'autres points «li'«po8és à la suite des premiers , les mêmes alternatives de condensation et de Hilatation s'y reproduiront de place en place, et l'endroit qui, à un moment tlminé, était le siège d'une condensation , se trouvera, l'instant d'après, corr»*«pondre à une dilatation, ou inversement. Lu file des molécules oscillantes est d<»nc parcourue d'une extrémité à l'autre par une condensation qui chemine •l'une manière continue, en passant successivement d'un endroit au suivant, et t «'îfe condensation est suivie d'une dilatation qui se transmet de la même matiit're et avec la même vitesse.

Il est évident d'ailleurs que le phénomène ne subirait aucun changement

' ^^nliel si , au lieu de considérer seulement deux points matériels voisins se

r;i|iprochant et s'écarlant alternativement l'un de l'autre , on admettait qu'un

';nn«i nombre de points prissent part à chaque condensation et à chaque dila-

tition. Imaginons, par exemple , qu'entre A et B, ainsi qli'entro B et C , i! y

•iiî une foule d'autres molécules matérielles , et supposons que le choc primitif

'l'ii produit les vibrations, pousse vers le point B simultanément toutes les molé-

• Mles situé<'s entre Aet B : il en résultera un rapprochement de toutes ces mo-

l»*"uies, c'est-à-dire une condensation, qui se propagera suivant le mode décrit

prm*demment , avec cette seule différence que dans le cas actuellement consi-

♦K-ré, un grand nombre de points participeront simultanément au mouvement

'!«• «ondeiisation ; il en sera de même pour le mouvement d'expansion qui suit

la rondensation. Telle est la forme sous laquelle se présentent presque tous les

mouvements vibratoires delà nature, car ils s'accomplissent, en général, dans

'♦»-« agrégations de points matériels qui sont clans une dépendance mutuelle à

regard les uns des autres. Cette solidarité des diverses particules élémentaires des corps produit un autre résultat : Textinction rapide des vibrations , lorsqu'elles ne sont pas entretenues parle renouvellement continuel de la cause qui leur donne naissance ; dans un corps , en effet , le mouvement de chaque molécule oscillante éprouve des résistances qui n'existent pas dans le cas où on ne considère qu'un seul point matériel oscillant librement et, par conséquent, indéfiniment.

Con^me il ne s'agit, en définitive, que de déterminer Tordre suivant lequel se succèdent les condensations et les dilatations dans un corps mis en vibration d'après le mode indiqué plus haut , nous n'avons pas à nous occuper davantage des mouvements de chaque point en particulier dont l'ensemble constitue la vibration , et nous pouvons représenter de la manière suivante les vibrations qui ont lieu dans le sens longitudinal. Figurons, par une droite horiiontale AE (Fig. 15) , une file de molécules oscillantes, dans leur position d'équilibre ; en

chaque point de cette droite, qui sert de ligne des abscisses, éle-

V y^ " * vous une ordonnée dont la lon-

gueur soit proportionnelle au degré de condensation ou de dilatation relatif au point considéré ; il faut avoir soin de placer For-

ng. 15. - Repn?.enUtion g^pl^ae de. ribrations ^«""^ aU-desSUS OU aU^ieSSOU?

longitndiiuaM. de Taxe des abscisses, suivant

qu'elle représente une condensation ou une dilatation ; puis on joint par un trait continu les extrémités de toutes les ordonnées, et on obtient ainsi les courl)es ABCD et A'B'CD'E*. La ligne ondulée xVRCl) ivprésente , par exemple , la disposition des molécules oscillantes à rinstaiit où le mouvement vibratoire parti de A s'est propagé jusqu'en D ; ou voit que la condensation, à partir de A , où elle est nulle, augmente jusqu'à un certain maximum, puis diminue jusqu'en H, où elle redevient nulle ; elle passe alors au-dessous de Taxe des abscisses , l'est-ii-dire qu'elle se transforme en dilatation qui traverse les mêmes phases que la condensation , et ainsi de suite. La disposition figurée en ABCD n'est que momentanée ; elle éprouve une succession de transformations, dont nous pouvons nous faire mie idée, en déplavant par la pensée la courbe sinueuse ABCD le long de Taxe des abscisses. Considén>ns , par exemple , le mouvement vibratoire à Tinstant où il atteint le point E, et il suffit, dans ce but , de faire avancer la courl>e des ondulations de manière à ce que Textrémité D vienne en E; nous avons alors la courlte A'BX'D'E', qui nous montre les molêcult*s cv5i'illantt*s disposées dans un ordre précisément inverse de celui qui existait en AlU^ : là où il y avait auparavant une condensation , nous trouvons maintenant une dilat;ition, et iiivers«^nient.

On peut toujours représenter, conune nous venons de le faire , jKir une courbe à ondulations , le mouvement vibratoire d'un système de pinnts matériels « et c'est pour cette raison que les mouvement^ de ce geiin» [sortent aussi le nom de nuntrenients ondulatoires. Diins le cas qui vient d'être étudié en «lemier lieu, le mouvement oscillatoire des molécules s'elfeitue dans le sens de la Ion-

^eur suivant laquelle se propage le mouvement, et il y a une succession régulière de parties alternativement condensées et dilatées ; on dit alors que les vibrations sont longitudinales , et on appelle demi-onde condensante ou condensée ou encore onde positive, la portion du mouvement qui correspond à une condensation des molécules ; demi-onde dilatante ou dilatée ou encore o%\de négative f la portion du mouvement pendant laquelle a lieu la dilatation. Les parties convexes des courbes de la Flg. 15 représentent les ondes condensantes ; les parties concaves répondent aux ondes dilatantes ; l'intervalle AC , <iai comprend l'ensemble des deux demi-ondes condensantes et dilatantes , est connu sous le nom de longueur d'onde. Il ne sera peut-être pas inutile de faire remarquer que ces courbes à ondulations né donnent pas la forme réelle de la trajectoire décrite par les molécules dans leur mouvement de va-et-vient ; ces caurbes ne sont qu'une manière commode de représenter la loi du mouvement c'est-à-dire l'écartement des molécules correspondant à chaque époque du mou- Tement.

En résumé, quand le mouvement Vibratoire a progressé d'ime longueur d'onde , la position des molécules oscillantes est la même qu'au début du mou- Tement, c'est-à-dire qu'à l'endroit où il y avait une onde condensante, il y en a de nouveau une , et on retrouve une onde dilatante là où primitivement il en existait une; après une marche d'une demi - longueur d'onde (courbe A'B'CD'E'), l'onde condensante a été remplacée au même endroit par une onde dilatante, et inversement. Lorsque la rupture d'équilibre qui donne naissance au mouvement vibratoire est l'effet d'une condensation instantanée , l'onde condensante précède toujours l'onde dilatante (courbe ABGD) ; une dilatation instantanée produit un mouvement ondulatoire , qui ne diffère du précédent qu'en ce que l'onde dilatante y précède l'onde condensante.

31. Amplitude et durée de la vibration dans un milieu élastique. — Deux circonstances peuvent faire varier la forme et les dimensions de l'onde condensante ou dilatante.

En premier lieu , le degré de la condensation et de la dilatation est plus ou moins considérable, suivant l'intensité du choc initial qui a provoqué les vibrations : si l'ébranlement est intense, l'amplitude des vibrations de chaque molécule en particulier est grande; par suite, les molécules oscillantes sont d'autant plus rapprochées aux endroits qui correspondent à l'onde condensante et d autant plus écailées lors du passage de l'onde dilatante. On peut facilement représenter graphiquement le degré de l'amplitude de la vibration en donnant à la convexité et à la concavité de l'onde une hauteur plus ou moins grande.

En second lieu, la vitesse de la vibration dépend, d'ime |)art, comme dans le mouvement oscillatoire d'un point matériel isolé , de la force avec laquelle chaque molécule du corps tend à revenir à sa position d'écjuilibre ; d'autre part, de la distance relative des molécules, c'est-à-dire de la densité du corj)s. La force en vertu de laquelle les molécules d'un corps tendent à reprendre leur position d'éfpiilibre , quand elles en ont été dérangées, s'appelle force élastii^ue ; elle peut être attractive ou répulsive ; elle est attractive , par exemple , dans une corde ou une membrane tendues ; car les molécules d'un corps solide, soumis à des tractions en sens inverse, font effort pour se rap-

procher les unes des autres; la force élastique est, au contraire, répulsive dans les gaz , car elle y résulte des actions répulsives que les molécules gazeusi^s exercent les unes sur les autres, et elle a pour mesure la pression du gaz sur 1«^ parois du vase qui le contient. Que la force élastique soit attractive ou répulsivi» , elle peut toujours être augmentée ou diminuée par des forces extérieures : c'est ainsi qu'elle augmente <lans une corde avec la tension , dans un gaz avec*, la température. Or, tontes les fois qu'un corps éprouve un accroissement de foiTe élastique, ses molécules vibrent avec plus de rapidité que dans le cas où le corps j>ossède une élasticité moindre : en effet, plus la tension d'une corde, fKir exemple, est considérable, plus Teffort qu'elle fait pour reprendre sa longueur primitive est grand , et cet effort est précisément égal à la force qui tend la corde et qui l'empèclie de céder à l'effort de raccourcissement ; on voit donc qu«» la force avec laquelle les molécules d'un corps reviennent à leur iM>sition d'équilibre croît avec la tension. Un gaz ou tout autre corps dont on augmente la force élastique se comporte exactement comme le fait une conle dans les mêmes circonstances ; on j)eut donc dire , d'une manière générale , que la grandeur de la force élasti({ue mesure la grandeur de la résistance opposée par cbaque molécule d'un corps à toute cause qui tend ù l'écarter de sa |)Osition d'équilibre ; or nous avons vu (§ 29) que la vitesse de vibration d'un point matériel croît eii raison directe de la racine carrée de la force qui tend à ramener le point oscillant à sa position initiale; appliquant cette loi au mouvement vibratoire des corps , nous dirons que les carrés des %'itesses de vibration />oiir chaque molécule sont proportionneU à la force claMiquc du corps considéré.

D'autre part, la vitesse de vibration des molécules d'un corps dé()end nêcess;ûnMnent de leur distance mutuelle, distance ({uileur est assignée par la constitution même du cor|v; considéré et qui détermine la densité : les carrés des vitesses de vibration sont en raison inverse des densités des corps,

Vax aê«i)n>Ant \u\r r la ftirco t^lastiquo d'un ct.rps. par d «a clensitv, un a, pour U dari*o t do lu vil»rat*K»n do chaque molécule, IVxprcsjiioii :

l'otte fomiulo peut se tleduirc iiiimvdiatemcnt de retiuatitiu t =. 2î? 1 / relative à

la duri'e de la \il>ratii»n d'uu point matériel istde (cf. ^ ?0'. Kn effet, dan« le ca* d'un corp«, c'e»t-X-dîre d'un ««ystènu- de pointit matériel* lie** le» un» aux aatres, la force 9 nV*t atftre obo5e que la force (Hastitiue, c'est-à-dire Taction mutuelle de* molécnlcv les une* »ur le* autre*, action en vertu de laquelle elle* opp.t^fut nne r\^*i*tance plu* oa woiu< enerp»iue à tuute force extérieure' «jui tend à lo< depl.icor. t^unnt H l.i densité do Corp*, elle est proportionnelle à la masi^e w.

U est facile de voir que la ivlation qui vient dVtiv ét;iblie entrt» la durée de la \ibration, la (Wnsitê et IVlasticité du milieu dans K^piel s'aocottq>lisseDt les o<ciUation»« , i\v <*appUipie qu'au cas t>ù, !mo rupture d'équilibre venant à se prinluin^ subileuHMit entii' le< moKvules d'un cor|>s, c%»lb»s-ci, alundonnées à el l«»s- menues , continuent à os<ùller [H'udant un temps phw ou moins lon^ , ^^aiis y é'ri* <t>llicilét*s |Mr de nou\eau\ ébranlements. On peut donner aux vibra-

UoiLs de ce genre le nom de vibrations propres des corps ; leur vitesse d'oscillation est constante pour chaque corps.

Les \ibration8 propres d'un corps peuvent se transmettre à d'autres milieux , et alors elles conservent , en général , dans le nouveau milieu la vitesse qu'elles avaient dans le premier. Quand , par exemple , une corde vibre , l'air environnant reçoit un choc à chaque vibration de la corde ; il en résulte que les molécules aériennes oscillent à leur tour et accomplissent dans l'unité de temps le même nombre de vibrations que les molécules de la corde. La durée de ces vibrations transmises peut donc être très-variable dans un seul et même milieu^ Cette loi générale est sujette , dans certaines circonstances déterminées, à des exceptions, dont il sera parlé plus loin (liv. III et IV).

32. ?itetse de propagation des vibrations. Longueur d'onde. — Plus les vibrations d'un système de points matériels liés entre eux sont rapides , plus la distance qui sépare une onde de la suivante doit être petite. Imaginons , en effet , qu'un choc agisse sur le point  dans la direction A£ (Fig. 16) et considérons

ce qui se passe jusqu'au moment ^ ^

où le point A est revenu à sa po- /^, , ^^ âtion initiale': dans cet intervalle de temps le choc se transmettra à un plus grand nombre de molécules, si la vibration est lente

que si elle est rapide ; dans le ^ • i/sj^t • j^' • j.» ••••*'' ^' premier cas, on aura une onde

IpIIp niiP rpllp «ni P«5t fimirée pn *"**• ^^' " <^°»^»'^« ^^ U vitesse de propagaUon des mouwiie que ceue qui e&i uguiT^e eu ye^enta vibratoires dans un môme miUcu, qucUe que soit

ÂBC; dans le second cas, on la longueur do l'onde.

aura l'onde A' B' G' ; il en sera évidemment de même pour toutes les ondes suivantes. Ainsi, la longueur de l'onde est en raison inverse de la vitesse de la vibration ou , ce qui revient au même, en raison directe de la durée de la vibration.

On comprend dès lors que des vibrations de durée différente se propagent avec une égale vitesse dans le même milieu ; en d'autres termes , la vitesse de propagation du jnouvement vibratoire est constante pour chaque milieu.

Il p«t possible de ddterminer la longueur d'onde correspondant H un milieu donnd, l'/rsqu'on connaît la durëo des vibrations et leur vitesse de propagation dans ce milieu. J^oit V la vitesse de propagation de Tonde, c'est- k-dire l'espace parcouru pendant une Inonde par le mouvement vibratoire; [soit Tla durëe d'une osciUation, et X la longueur «i ondf , c'est-à-dire l'espace parcouru par le mouvement vibratoire pendant le temps T; iwiiifl aurons, en appliquant la formule du mouvement uniforme :

X =: VT, «^'qn.ition qui permet de calculer l'une des trois quantités ^ , V, T, quand on connaît les deux antres.

<Jn trouve ordinairement plus commode de remplacer la durée d'une oscillation par le iK>mbrc des oscillations accomplies dans l'unité de temps.] Désignons par n le nombre des vibrations en une seconde [et nous aurons évidemment :

nT=\.

Tinnt de là U valeur de T, et U mettant dans l'équation précédente], il vient:

Wt'aîuT, Pbjrtlqut BJdlealc. 4

5() IMlftNOMÈNKS KT LOIS PHYSIQUES EN GÉNÉRAL.

|(%*tt(« (loniiorc (MpiKtion tmt nouvcnt cmployc^o pour calculer la longueur d^ondc X ou lo nombre n clou vilirationH accomplies dans une seconde.]

On voit donc que, lorsqu'un mouvement vibratoire passe d'un milieu dans un nutn* , qui a la propriété de propager plus rapidement les vibrations, la lon- ^utMir dt* l*onde croit dans le môme rapport que la vitesse de propagation. Les ondoM Honores , par exemple , se propagent environ quatre fois plus vite dans IVau qu(» dans Tair ; aussi leur longueur est-elle à peu près quatre fois plus grande dans It» premier milieu que dans le second.

33. Ondes sphériques , superficielles on linéaires. ^ Jusqu'ici nous n'avons gut^ro considéré (pie des cas tbéoriques qu'on ne rencontre pas dans la nature: en réidité , le mouvement vibratoire ne s'observe pas plus dans de simples files de mokVules que dans un point matériel isolé; il arrive le plus ordinairement, on |H>urrait même diiv toiyours, que la molécule qui se met à >ibrer en premier lieu est entourée de toutes parts d'autres molécules dont elle trouble rétpdlibrt^ « do sorte que K^ mouvement vibratoire de la première molécule so pro)Kige dans toutes les diivctions de Tespace. De plus , nous avons déjà fait ri'man|uor quW Torigine mémo du mouvement^ c'est ^ non pas un point unique, mais un grou|H' île molécules (pii entre en vibration et qui communique son mouvement à «rauti*!^ molécules. Si donc le point 0 (Fig. 17) représente le 4 grou|»e de molécules qid est le premier à

%i ^^ ^\^ comme un centro, à partir duquel vont

rayonner dans tous les sens et en nombre intini une série de condensations et de dilatations. Par consét|uenty Tonde ne se pi\t|Kige |ias sui\aiit une ligne unique ; eUe n ^^ '\ \ \ n'est jKis /iiic^uVt' : elle s'avance sous fonne

f [ .^ \ '\ *» \ d'une surface courU» , entomrant le centre

\-^ ' -^^^ -^ ^'^' d'ébranlement dont elle s'éloigne progrès-

Vi^ ^ «^\7 - ^ ^ fc C sivement en gmmlissiant.

La surface de Tomie est une spitère , à le \mh omm wttiv» I» jhnrvtkMu . «n» «>ntt« uulieu daus li\|uel elle se propage est j^yM- 4^m^ «* ^.r,^^ i-à te^ rv^nr-^nt. ^ueN^^nt honuy^ve [ou plut.U isotrope*].

wuivHMK w ^|u*f« Jv u <vap<. var alors du centra' d\*l»nudement partiront,

sui\aut toutes lt*< dîrvctiiuis « d^'« oude< liutMires dons U'squelles les Ikhis et lo^ dilalAtkms s^^ succêderv>Qt d'une manière ideuti4ue. Kln £ùsant ttu |.4;ui (VIT le oeiilrv d'uue ^>nde <i*h^'i*nfit . ou obtieut uue coupe dons laqiidle • Ws v.vïKlensaliv»its et k»s dilatatious succes5^i>es sont rv(H-é:$eutée< par des cercles ceuceutriquets. l'u exemple fera ULiÂ*a\ sùkr U uiouière dont se pa^oseni les choses Soit O Fi;^. 17* uu (vint uiateriel eu\trouuê d'air de toute part; oue vv point \teujue ^.*ue à v-vuip à \ibr»;r à riiLsKtaiit m«;me« le uuLHiveoietit TÎbn-

toire de ce point va se communiquer aux molécules d'air de la couche la plus voisine ; et ces molécules , après s'être éloignées du centre d'ébranlement dans la direction des rayons OG, OG' etc., retourneront en sens contraire et oscilleront de part et d'autre de leur position initiale : il en résultera des vibrations longitudinales , qui chemineront dans toutes les directions et dont l'ensemble formera une onde sphérique progressive. [Quand le milieu est anisotrope , et c'est le cas des corps cristallisés, à l'exception de ceux qui sont cristallisés dans le premier système , la vitesse de propagation du mouvement vibratoire n'est pas la même dans toutes les directions ; il s'ensuit que la surface de l'onde D'est pas sphérique.]

Dans une foule de circonstances , le mouvement vibratoire ne peut pas se propager en tout sens , parce qu'il en est empêché par la forme même du corps ; une onde à trois dimensions , telle qu'une onde sphérique , ne prendra pas naissance dans un corps qui n'a, pour ainsi dire, qu'une ou deux dimensions, comme une corde ou une membrane. A la vérité, si le corps doot les molécules vibrent est plongé dans un milieu indéfini , tel que l'air, les oscillations , après leur passage dans ce milieu , engendreront des ondes sphériques. Mais , pour ce qui est des ondes formées dans une corde ou une leilge , elles pefuvent être considérées comme représentant sensiblement des ondes linéaires , et par conséquent comme soumises aux lois qui régissent le Biouvement vibratoire dans une file de molécules. S'il s'agit d'une membrane ott, en général , d'un corps de forme quelconque , mais ne s'étendant qu'eu surface , il se produira une infinité d'ondes linéaires , toutes situées dans la surhce du corps vibrant , et qui , par leur juxtaposition , donneront une onde superficielle; on a un exemple d'onde superficielle dans la Fig. 17 , qui représente la coupe d'une onde sphérique.

Quand on a affaire à des ondes sphériques, on peut souvent, pour en simplifier l'étude , se contenter de considérer une seule des *ondes linéaires dont l'ensemble constitue l'onde sphérique ; mais il est des circonstances où la considération de l'onde linéaire ne permet pas de donner une explication assez complète des phénomènes ; on a alors recours à l'onde superficielle, qui suffit à tous les cas , à condition toutefois de ne pas perdre de vue qu'elle ne représente qu'une coupe déterminée faite dans toute la masse vibrante.

34. Production des vibrations longitudinales. — Les vibrations longitudinales, c'est-à-dire celles qui donnent naissance à des ondes condensantes et dilatantes, se produisent dans les solides, les liquides et les gaz. C'est ainsi qu'en exerçant une pression ou une traction momentanées sur l'extrémité d'une tige de verre ou de métal , dans le sens de sa longueur, on peut déterminer dans ces corps la formation de vibrations longitudinales. De môme, un hquide ou «n gaz renfermés dans un vase hermétiquement clos sont parcourus par des vibrations longitudinales , quand , à l'aide d'un piston traversant la paroi du vase , on soumet la masse fluide à une compression momentanée.

Qu'il s'agisse de corps solides ou fluides, le degré de la condensation pro-. Alite, c'est-à-dire la hauteur de l'onde , dépend de l'intensité de la compression exercée sur le corps , tandis que la longueur et la vitesse de propagation de l'onde sont déterminées exclusivement par la force élastique des molécules

^r2 PIIÉNOMÈN£:S ET LOIS PHYSIQUES EN GÉNÉRAL.

inatôriollos <|iù vibivnt. (letto distinclion entre la hauteur et la longueur des on«l«^s o>t importante ; nous aurons à rexaniiner de plus près quand nous en M»ix>ns à Tôludo <U» racouslitpie , laquelle n'est en grande ^lartie qu^ine applî- * ration dos lois des vibrations longitudinales ; quant à présent j nous nous bornons aux considérations générales qui précèdent.

35. ?ibrations iransTarsales. — Jusqu'ici nous n'avons raisonné que dans le ras où , étant donné un système de jwints matériels disposés par rangées rectilignes , chaque molécule oscille de manière à se rapprocher ou à s'éloigner de la suivante, sans que la droite qui passe par les deux molécules considérées change de diivclion ; en d'autivs termes, la trajectoire décrite par chaque mohVule |HMuiant ^on oscillation est rectiligne, dirigée dans le sens de la longueur de la file des molécules et, |Kir conséquent, dans le sens .suivant lequel se pro- IKi^e le mouvenuMit vibratoire. Telle est Torientation des vibrations longitudinales.

l^r. le déplacement di»s molécules oscillantes s'effectue d'une manière diffé* rtMite , quand le mouvement vibratoire est prinluit |vir un choc instantané venant frapivr une molécide dans une direction p(T|H>ndiculaire à la droite qui unit cotte moKvulo à la suivante. Soit, |Kir exemple, A , B, C, D, E, une file iK* molécules matérielles ^Fig. 18K et sup|K>sons que, sous Tinfluence d'un

^ cluv ilirigé )H>rpendiculairement i la

V II c 11 K dn»ito A E . le point A soit poussé en

Ikis do nianière à venir occuper la po» sition A* : ce déplacement de la mohVule A , ayant pour effet d'augmenter la distaïKV qui la sépare de la nudéculo suix-ante B ou B'. détruira l'équilibre qui existait }Himitiveinent entre h^i forws attractives et répulsives de ct*s deux molécules; la force attractive de\iendn pcvpondéraute et tendra à ontraiiKT le |¥>int B' ver» A\ Mais, au mounnU où le point B' se mettra en n.inneuK^nt, le point C dont il tend ,1 sok^ipier , Tattirvra à son tour vers lui : \a iiK^lê^ule h" sera donc sollîdttv .t l.% to(s (KàT deux lorvvs représent(\^ on praiîdeur et en direction par ici »*!v t-,-^ ôo ».Hv::x^n r*' V'otIViV: vn i\M.>«Nj\ioncx», elle sui\n la diagonale du |v\r,*V.ck\:rAv.:v.o cvM\>:nu: >*.ir ct's %k«jv K»n.vs , cv qui aura pour résultat de l'ù tAirx* «H\rii\* v.îv îrjHvtoin» jvriviKiicuUirv , ^vhiuw celle de la preaniève Mkt|«x-uk*, À U t";*o v^"^ i'.\^*\uU>^ i^r, j>»*tHijuîî q\it^ le f^>înt B' se dirige en e* Anrn^* ci". !•'*. K* »•■ -o.-.iV A* rfwvî .% sa ixv«:x»n initiale, ei« à an mo- ' Amné, k^ ! o\\-.:'.K> x^. ; vl:>iv^>«\*< . ^vmîv.vt^ *>a le \oit en A*'B'' C • IVis, «• wr"; xk* U xxvss<' Av>|ui>**, U c^^'^I^-ule A** dépasse, en Cftoriire , sa :vv<x:>:r, ô.\^f.l:^.^^e ci ::x>«i:e iu^->âessus de la ligne X^ E*', i iMe dbtfjincv A'** p(rvcioi^ti:<^c.: è^ie À U ^intitrf doal elle t^étail

écartée de cette ligne sous Timpulsion du choc prmiitif ; en même temps le point B" revient à son tour à sa position initiale B ou B''', et le mouvement se communique à une troisième molécule C"\ Les points matériels oscillants vont donc se trouver dans la position figurée en A"' B"' G"' D'" ; le moment d'après, ils occuperont les positions indiquées en A"" B"" G"" D'"' E"", et ainsi de suite.

Les vibrations qui s'effectuent ainsi perpendiculairement à la droite suivant laquelle se propage le mouvement , sont dites transversales ; on voit que leur mode de propagation est semblable à celui des vibrations longitudinales , avec cette seule différence que les vibrations longitudinales donnent naissance à une succession de condensations et de dilatations , tandis que, dans les vibrations transversales les molécules oscillantes éprouvent de simples déplacements latéraux alternatifs , qui se suivent d'ailleurs avec autant de régularité que les condensations et les dilatations.

Au lieu de points largement espacés comme ceux de la Fig. 18, nous pouvons en imaginer une foule d'autres placés dans l'intervalle des premiers ; la Fijç. 19 nous montre la disposition de ces molécules oscillantes à une époque du mouvement, qui est celle à laquelle

« rapporte la phase A"" B"" G"" D'"' E '" de la Fig. 18. En joignant tous

ces points par un trait continu , on k i rr ^i ; je

obtient une courbe ondulée ABGDE ' . i

(Fig. 19) entièrement semblable à ji "

celle qui nous a servi à représenter Fig. 19. — Forme d'une onde transvenale

b vibrations longitudinales ; mais ,

tandis que dans cette dernière forme de mouvement, la courbe n'était qu'une image figurée rendant sensible aux yeux les alternances de condensation et de dilatation , ici , dans le cas des vibrations transversales , chaque point de la courl)e nous donne la position réelle de la molécule oscillante à Tinstant correspondant.

On vient de montrer que le mouvement oscillatoire, quand il s'agit de vil*ratioiis transversales , est aussi représenté par une ligne sinueuse offrant des |*arties alternativement convexes et concaves , c'est-à-dire des éminenees ou protubérances (Wellenberg, mont de l'onde) et des dépressions (Wellenthal , ni/ de l'onde); ici, comme pour les vibrations longitudinales, Tintervalle comprii» entre deux protubérances ou deux dépressions consécutives représente la ^mqueur de l'onde. Il est , du reste, li<cile de voir que les positions des molécules oscillantes sont identiquement les mômes à chaque fois que le mouvement vil»ratoire a marché d'une longueur d'onde. En outre , si le mouvement débute par le déplacement de la molécule matérielle au-dessous de sa position d'équilibre, Tonde qui en résulte est dite négative, par analogie avec la désignation UMlée pour les vibrations longitudinales ; les Fig. 18 et 19 se rapportent à ce cas. L'onde est, au contraire, positive quand la molécule oscillante commence par 8'élever au-dessus de sa position d'équilibre ; dans ce cas , le mouvement progresse, ayant en tète une demi-onde à convexité supérieure.

Kn résumé, les lois des vibrations longitudinales, exposées §§ 31 et 32,

5i PHÉNOMÈNES ET LOIS PHYSIQUES EN GÉNÉRAL.

S4>nt applicablos aux vibrations transversales ; nous comprenons dans ces lois, non-souloniont colles qui concernent la durée de la vibration , mais encore les relations qui existent entre la durée de la vibration , la longueur de Tonde et la vitesse de transmission du mouvement.

36. Production des Tibrations transrersales. — La formation des ondes à la surface dos liquides nous offre un exemple très -connu de nbrations transversales. Lt^s cor|)s solides peuvent aussi devenir le siège de vibrations de cette osjhVo ; oVsl ainsi qu'en agitant rapidement l'extrémité d'une corde tendue l;\iiionuMit« on y détermine la formation d'ondes transversales progressives. Kniin « ce si^nt les vibrations transversales de l'étlier qui donnent naissance aux phénomèut^ lumineux [et calorifiques]. Selon les circonstances dans lesquelles se pix^luîsont les vibrations transversales , elles éprouvent des modifications |Kirtioulièrt^s , «pie nous forons connaître , quand nous nous occuperons de la nuVanique dt^ liquides, de Tétudo du son et de la lumière.

Iji*s conditions qui déterminent la forme des ondes transversales sont évidemment U^ mémos q\H^ colles qui président aux ondes longitudinales. Dans un milieu honu^rono [et isolr\^}x^] , les vibrations transversales se propagent sous R^mie d'ohdos sph«^n*iues : elles se réiluisent à des ondes «i^ier/îcie/Zes quand elK*s prtMinent naiss;inoe à la surface d'un corps, et â des ondes linéaires quand la forme du corps se rapprooln? de celle d*une ligne. Il est , d'ailleurs , s*Mi\ont pi visible , jvnir simpblîor, de ramener l'étude d'une onde sphérique i ivllo do IVndo linéaire ou su|vrfiiiollo i\"^rrespi^ndante.

Nous venons do monln^r, dan< oo tju'ollt^ ont d't^sentiel et de général, les dilTonnut's qui existent ontn* les vibrations lon^tudinales et les vibrations tran^vor^do^ ; lo unnivomont ondulatoiry* do cos deux formes de vibrations est ^mmis À dt*> lois «>>mumiH^ , dont il n«^u< nMe à fiiirv connaître les plus im- |vr1.int*^. IVins lt>i do\olopivtnont< qui vo!*.t s'.r.vrv». n«"*us supposerons touj\Mir^ ^^uo iKMis av^Mîs .uT.ùre à iks on.los trinsvrrsxle^; mais nos ndsonne- «HMils s^-rvM^t ty;\louvut .ippUiubWs *\;x oî>k-< l>>nptudinales, puisque ce» \Wu\ tonîvs »k* u*. .vivement '««^ nj rv^^ ::*.•: l* ^i|'îii'|i2e2i"ient de la même roa-

3?. laurf«mc# des osées. — lVii> IV vî ir ::•: :> :s ivon< Cùte jusqu'ici de h |wv^^(v^r^ùn\ iWs vibr*tknî> sov.> fv^nv.o d'o'vy-s, r.-rus n'iT»>Ds examiné que le OA* où iVtîo !rAv.s:v.:s5>».vî do :v;."^u\v:^>:^v.: s'r?£^::-i* lu fein d'une agrégitioB bvMi^vxMvi* iV i\\:r.:< nu:orit^is. iv. î\ib<k'',',.v -.-o !>u:j:* ir.rV^eiKi? perturbatrice. iV d«)Vr\*«*.«'^ * !î\vr.<.\u;x*^ iy^;\«-V:: •^'*. ibiiT *a T\-r-ilirl".é ou mouvement ri- KtaîvH'v^ *\^î *v .;.;: Arrtv\' :^-.;:i^ '.:^ :-< :*:-■ .>~-\ %": rrî4eurs onde», mar* \K&v.: »iiv,s U ir,;*:'.v »î;îx\;:.^". .*v. ,••••.< .vs ■ :>>:::••-> i^Trwiles , viennent i se rwvw.'itîvr , xl\"> ,v *a< , \\ <^ :'^.xv..: v,v* i v*"-- v • /•' >** vibration*.

KAutr^* jvirc . ^*;\iNÎ ,v< ^^tx^-.-^t r;'",v":,-v'..:*.« s-v.-îVrv ïir^ ci>rp^ dont les mok\uW tv s»,n:\: i\t.< i***, rt*: ^k* v.S:v: v "..; .:>s»c .>:> 7cvr3^^vs , elles êpnHivent wn dkju^^w^rt *v .* n,viï.'v. , :*: .•*< .;"" : ^:-> !»f ^'ii S* rJ-fUji^yn. Enfin. «Nfeevutole |v*xt •5Vt>5<*'' .■.".:.. ç"^".vv-- .v.^* .v*.-> *::- •v*-*r»r. y:r.\ les points ntt- Mlriilii ioie«t Autrtr'-KV : iT*.*v.*.v^ . .• •: >«:• -.'^.•.i»^- r ■ ^ -.tT,-* W :»uTe9u milieu imwvwie x^"*** .v/^.o.v-v .V .v" ■• :/;■•■ ;v.->5*»-.'. • v.-.s > «renùer corps: il «le \V c^*.^^xrv'-: »v V^^-v - *. *.»S; '*: :r»-o:c.<r«» \>êsî;p)é sous le

nom de réfraction. Nous allons examiner successivement l'interférence , la réflexion et la réfraction des ondes.

Imaginons que deux ondes se rencontrent : la molécule placée à leur pciint d'entre-croisement sera sollicitée à la fois par deux mouvements , et ces deux mouvements se composeront de façon à imprimer à la molécule un mouvement résultant , dont l'intensité «t la direction s'obtiendraient de la même manière qu'on trouve la résultante de deux forces. Représentons, par exemple, par les deux ondes linéaires ABC et A' B' C de la Fig. 20, deux mouvements vibra-

Fig. 20. — Interfûrenco do deux ondes.

loires partis de deux points opposés A et A', marchant à la rencontre l'un de Taulre et se superposant dans l'espace situé entre B et B' : pour avoir le mouvement résultant des molécules comprises dans cet intervalle , il faut , en chaque point de la ligne des abcisses , mener une ordonnée égale à la somme ou à la Jifférence des ordonnées correspondantes de chacune des deux ondes com]X)>santes , suivant que ces dernières ordonnées sont situées d'un même côté de l'axe des abcisses ou qu'elles sont dirigées en sens contraire. En joignant par un Init continu les extrémités des nouvelles ordonnées, on obtient la courbe de l'oncje résultante, courbe représentée dans la Fig. 20 par la ligne sinueuse n\)cdfh%\.. [On voit que l'interférence des ondes ou des vibrations n'est pas autre chose que le résultat de la composition des mouvements.]

La Fig. 20 nous montre que, dans les endroits où deux demi-ondes positives, c'est-à-dire les protubérances des deux ondes, se rencontrent, il en résulte une protubérancç plus élevée ; dans les endroits où deux demi-ondes né- ;ratives, c'est-à-dire les dépressions de deux ondes, se superposent, il se produit une dépression plus considérable ; enfin , là où un mont interfère avec un val , le mouvement est détruit en partie, ou en totalité ; dans les points où les ordonnées des ondes composantes sont rigoureusement égales , mais de sens contraire, les molécules matérielles restent au repos.

38. Réfleiion des ondes. — Lorsqu'une onde rencontre une paroi résistante, elle H réfléchie [c'est-à-dire renvoyée dans le milieu d'où elle vient]. Voici comment s'explique le phénomène de la réflexion.

Soit abcde (fig. 21 , 1) une onde qui vient rencontrer en e une paroi solide ; nous supposons la direction de l'onde perpendiculaire au plan de la surface réflé- < hissante. Si la paroi solide n'existait pas, l'onde continuerait sa marche en avant et il arriverait , par exemple, un moment (II) où le sommet de la protubérance correspondrait à la place actuellement occupée par la paroi , et où le point c se trouverait, par conséquent, avoir avancé d'un quart de longueur d'onde ; mais la

36 PHÉNOMÈNES ET LOIS PHYSIQUES EN GÉnABAL.

paroi solide, en vertu de la résistance qu'elle oppose atf mourement des molécules oscillantes, les empêche de poursuivre leur route et les renvoie ei sens opposé, c*est-à-dire dans la direction ec; il en résulte, immédiatemem en avant de la paroi, une denii-protubéi-ance e' rf , dont la hauteur est double di celle de la protubérance de Tonde incidente. Les molécules matérielles repous

sées dans la direction ec donnent naissance à un onde réfléchie qui va se propager en sens contrain

^"^ ^ de Tonde incidente ahcdCj c'est-à-dire suivant ee

Dans la demi-protubérance ccTj la moitié des mole , y-'éV cules se rapprochent de la paroi , tandis que Tauth

Il __jt- r^^^ moitié sVn éloignent déjà. Au fur et à mesure qw

^^-— -^' ^ les premières molécules renvoyées par la paroi ré-

trogradent, de nouvelles molécules viennent si \ iR^urter contre cet obstacle , et sont réflécliies à leui

^. ■••- -> • . tour ; aussi , quand Tonde incidente s'est avança

^ a -i' une ileuxièmo fois d'un quart de sa longueur, ei

tout d'une demi-longueur, existe-t-il, en avant di la |KinM , une prolul>érance entière réfléchie , c'est-

à-dire une tlemi- longueur d'onde réfléchie c'<f€

1^ ' "^ 'V^ ^, (,111): |>endant qu'il se formait ainsi contre la paro

une protubérance réfléchie, la dépression abc d Tonde incidente arrivait au contact de ce mèm obstacle. A ce moment-là , on a donc en cet endroi une demi-onde positive et une demi-onde négative qui se nvouvrent mutuellement , et qui , par consè <|uent , interii'rent de manière à se neutraliser, c'esl ^ -. à-<lire à laisser les molécules au repos. Puis, Tond \\ V ~^ ^. réfléi-hio continuant sa marclie rétrograde, s'éloign

»V «• iLxri*c*ti • d. u r^ ^r *''"'' "'" J'^*^^ **^ *^ P^'* ^ ^P»*^ s'^*^ déplacé «<.->.i«Mi d'une ccjc iui««irv. d^ui quart do lougueur d'onde , la protubéranc

réfléchie occuiv la position niarquée IV, vf^i

à s;i suite la nu>itié d'une déprt^on c'6 : mais en même temps la dépressioi

ixhc do Tomle incidente s'est rappiwhée île la surface réfléchissante d^un quai

de longueur d'onde ; il \ a donc « à ce moment-là, coutrv la paroi« coeusteno

iW deux moitiés . ôpilt»s ik* dôprt^ssion. Tune appartenant à Tonde incidente

Tautn* à Tondo rèflèthie ; il en résulte une demi-^lépresiiion de hauteur douhli

o'^'. Kntin, Toiulo incidente s'étant enoor\^ avancée d'un quart de sa longueur

la place où t lie st« tnuivai! primitixenuMit t^t niainteivint o\*cupée par une onde

ivfléchie %\\}SiKf ^V», ayant U*^ menues dimensions, mais disposée en sens

luxers^* tH mar\*luiut lUms une dirtvtii>n opjK^v.

Quamt la (H^rtiiMi dilatante do Tomle incidente, c^est-à-dire unedépressioD,

f«l la première à rencoutn^r la surfare réflô\* hissante , la réflexion s'opère en

par la nW^me sêrù* \k* phas<^ tpi^ dans Texeinple précédent, mais SIHlvanl un onln' pnVî<émont in\ors«' * on wMt d'alvrd ap^viraître une dé-

*le jMrx^Rmdonr douMo , on<ui*o U*s moKVuU*s rtMitn.'nt au repos du- IMI la Mi|vr|HV(iti\ni «lo Kt %louu*ondo iKv^^ti^o r^^flèchie à la demi-onde po-

sitiTe directe; puis se montre une protubérance de hauteur double, et enfin une onde entière réfléchie.

La plupart du temps, on a affaire , non pas à une onde isolée, mais à une série d*ondes qui viennent les unes après les autres frapper contre une paroi solide. Dans ce cas, chaque onde réfléchie interfère successivement avec les ondes incidentes, au fur et à mesure qu'elle les rencontre; il y a là à la fois interférence et réflexion d* ondes. Le phénomène est facile à analyser à Taide des considérations développées dans le présent paragraphe et dans le précédent.

39. Direction de l'onde réfléchie. — On vient de voir comment s*opère la réflexion d'une onde dont la direction est normale à la surface réfléchissante. Il £ml entendre par direction d'une onde , celle de la droite qui passe par les molécules auxquelles le mouvement vibratoire est successivement communiqué; c*est ainsi que la direction d'une onde longitudinale est normale à un plan donné , lorsque les molécules en oscillant se meuvent suivant des droites perpendiculaires à ce même plan; si, au contraire, l'onde est transversale, les molécules vibrent parallèlement au plan qui est perpendiculaire à la direction de Tonde.

Nons avons vu qu'une onde dirigée normalement à la surface réfléchissante ne change pas de direction par le fait de sa réflexion ; elle éprouve seulement un renversement du sens de sa propagation. Il n'en est plus tout à fait de même , lorsque la direction de l'onde incidente fait avec la surface réfléchissante uu angle différent de l'angle droit; c'est ce que nous allons montrer.

Soit CD (fig. 22) une surface rëflëcliissante, et AI la direction d^une onde conden- Mote; supposons que la molécule oscillante situëe à roxtrëmitd de la file vienne choquer la surface au point I avec une vitesse reprëscntëe en grandeur et en direction par U droite IF. Di^composons cette vitesse en deux .

•otref, Tune IN perpendiculaire à la surface,

rtntre IT parallèle à cette surface; la compo-

MDte tangenticlle IT ne subira aucune modifî- ^ -^

ctdon par le fait du choc, puisque, si elle agis-

^ seule, elle aurait pour effet de faire glisser

U molécule osciUante parallèlemeut au plan do ^^

Uiurface reflëchissantc. La composante uonnale ^ " ;"""

IN, aa contraire, sera remplacée, après le choc,

ptr une composante DT de même grandeur, mais /."/' . . J!|

dirigée dans le sens opposd : en effet, au mo- .^-^

ment du choc, la molécule oscillante cède aux Ji^'^

iBolécalcs de la surface réfléchissante qui sont

voiiineB du point I la partie de sa force vive ,

, f . , '^ ^ 1 j 1 Fig. 22. — Démonstration des lois de la re-

c-rreipondante à U composante normale do la ^^^^^^ ^^^ ^^^^^ j,„ ,^,^^

^ttMe; puis, dans Tinstant suivant, si la matière

dont le compose Tubstacle fixe est parfaitement élastique, et nous supposons cette condition rempUe, la force vive cédée par la molécule oscillante lui est restituée intégralc- Bient, en vertu du principe de la conservation de la force; mais la vitesse qui est ainsi f^iidne à la molécule oscillante est dirigée en sens inverse de la composante normale primitive; soit IN' la nouveUe vitesse normale, égale, mais de sens contraire, à IN.

<>n voit donc qu'après le choc, la molécule oscillante est animée de deux vitesses: Tune IT parallèle à la surface fixe, et la même que celle qui existait avant le choc; l'antre IV normale à la surface, mais dirigée en sens contraire do la composante nornuJe primitive; par conséquent, la molécule oscillante va se mouvoir dans la direction

•V< PHl'^NOMÈXKS KT IX»IS PHYSIQUES EX GÉNÉRAL.

do U Tt'MilUnh:' 1P\ et <^>mine les deux noarelles componaates «ont égales en if^nuideiir •u\ «uoionuo», lo5 doux pAnmo1«»jn^m!uc« ct»nv»p<>nd«ats «ont égaux, et par suite, VAïXjilo .V*IN* o*t c'i^l k r*nclo AIN'. La din^ctiun de Tunde rrfléchie et celle de Tonde incidi^nto vont d^MK* sitiirr» d^ns un môme pljin perpendiculaire k la surface réfléchissante, et )«> an^K'« quo fout a^tv la normale k la surface, au point d*incidcnce, les dîf^vtîow* de* onde* ineidiuti*:» et rêdtVhies. s«»nt épiux.

n*. Lois de U rèfltnoa. — On app«^Ue nngl^ ifiundence Tan^e de la dîrec- IhMi Al ik^ VoniK^ uicùkMito avtv \a nonnaJo IP à h surface réfléchissante, et rt»..?V 1*^ fV/î^.ri.Mi, r.tMjrto tlo la tlirtvUon .VI de Tonde réfléchie avec cette nKM))c ivvniuik^. Ia^ K>i< «W la réflexion peuvent alois s'énoncer ainsi :

1^ |j^ dinvtKM^s tV* TtMHio iiwidente el de Fonde réfléchie sont dans no n^nv )4ai> a^cv la nomialo à la surfniv ati point d'incidence. ^î' l.'aî^^ do ré>fle\i*>n osl c'çral à ran»:le d'incitienic.

Si r»v>»i^ ii>cit)ont(^ «^ din^z^v per|%endii:ulaireiiîent à la «nrlaoe rêOécliis- ^«v. ran^rV d^n^-^V^iV* rt jvar ^lito Tan^rie 6^ rêfleiion, sont tous deux «*il>. U c« i>'i5alîr, i^^ninv »>n Ta vu a\i j-^. que Tcnide réfléchie suit la »W*nv nvrtr *^:k^ l^^vr.k iniiik^ite • nv\i> en s«i> op}w>é-

1*^ kM> prwv.Wîîts lie s'âpfdîquenl pas seulement

* Au\ ^-as iMi la surtaiv reflcviiî^ssante e?i plane, comme

\ t k* wt^ïîtjv rox«i'.j^ <'i/^tsâ pi*ur la démoosCration ;

fîk*!^ 5<-*tï: f-iKwe ^"raks quand la izutiice réfléchis- ^ ^ , 5s^î.tr fsJ c-*>uri><*. Ti >-iif2]: il>rs de mener parle

pi>iî>i iVînri.'k-^tV F Fu. :î;"ï un fdan tau^rent à la M.ï'îjf.v i< uTk- }ii^rf«c-n.ij: ./i.-îiT:'^ :i i>e fdan: «>it XX* Ia tra.^^ »v *>r pJa» iati^**!*: , «•: Fô la normale : on roTiîn-^ airrsà •lan* >^ i-«i< c'nT^r «nrfaoe rêfléchis-

î'i. Il,- . ,••.•>>•, .'TA ,.j>.i.^ <ri^c':^: »:■> hs '!.».*> tV là réflexion trouvées

*- ]».ii;r h*s i«iid(^ linéaires ; on

i/i q-i/i. fx&irnncr comment ^'/«•f-T! *.•■ rï-fl*xion de» difv-rfîjî;'^ <*Tiôt^ lÎTiéaines dont

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Ti-ir *» "* )«r*s>iîns de la dén* -ir*r-«îi -t . Z r-'P» fiulBra de

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k ce que, pour chacune de ceg ondes, Tangle de réflexion soit égal à Tanglo d'incidence; IK, FK* etc., représentent les normales aux points d'incidence I, T.... En prolongeant les directions des ondes rëflëchies jusqu'à ce qu'elles se rencontrent, «m trouve qu'elles vont toutes concourir en un point unique O', symétrique du point O, c'est-àdire situe de l'autre côté de la surface rëfléchissanto, sur le prolongement de la normale qui passe par le point d'origine de l'onde incidente, et à une distance do la surface ^gale à ceUo de ce même point d'origine.

I/)rs donc qu'une onde sphérique rencontre une paroi résislanle , elle donne naissance à une onde réfléchie, qui, par sa direction, semble être la continualion directe d'une autre onde sphérique dont le centre serait symétrique de celui de Tonde incidente, par rapport à la surface réfléchissante.

Il est entendu, d'ailleurs, qu'une paroi résistante ne réfléchit une onde î4)hérique de la manière qui vient d'être indiquée qu'autant que la paroi en question est plane.

Si Tonde sphérique rencontre une surface courbe , les normales aux diflérenls points d'incidence ne sontplus parallèles entre elles, et la réflexion s'opéranl dans ces conditions produit certains eflets particuliers , sur lesquels nous reviendrons à l'occasion des ondes lumineuses ; car c'est surtout dans cette branche de la physique que l'étude de la réflexion par les surfaces courbes offre un grand intérêt.

40. Vibrations stationnaires. — Au début de nos considérations sur le mouvement vibratoire , nous avons montré comment un point matériel , soumis à de? forces qui le fixent dans une position déterminée , peut être amené à exécuter des oscillations en nombre infini , une fois qu'il a été écarté de sa position d'équilibre par un choc. Nous avons eu soin d'ajouter aussitôt qu'en réalité, la plupart du temps , les oscillations ainsi excitées ne tardent pas à d'arrêter à cause des résistances qu'elles ont à vaincre.

Il n'en est plus de même quand des obstacles fixes sont disposés de manière à «e renvoyer mutuellement et indéfiniment la même ondulation ; dans ces conditioas, le mouvement vibratoire persiste longtemps. C'est ce qui arrive, par exemple , quand on fait vibrer une corde tendue et fixée à ses deux extrémités A et X (Fig. 25) ; supposons qu'on exerce sur le milieu de cette corde une traction transversale : on détermine la formation d'une demi-onde AbX, qui tend à se propager à la fois

adroite et à gauche ; tnais , comme les points A

et X .sont fixes, cette onde se réfléchit suc- ^"--^. .^-'^

ce«*ivement de l'un à Tautre, suivant le mode ^"

indiqué au § 38 ; il en résulte que la corde rig. 25. - ondo stationnairc produite pur continue à vibrer pendant longtemps et paraît des reflexious succcsHivcK.

renflée.

L'influence de la réflexion sur la persistance des vibrations se montre avec plus d'évidence encore, si on considère une série d'ondes égales et se suivant sans intemiption. Imaginons qu'une onde ainsi composée d'une série de renflements et d'excavations coure de D en I (Fig. 26) : arrivée en I , elle est renvoyée en sens contraire vers D , puis revient de nouveau vers I , et ainsi de suite. Ces réflexions successives ont pour efl'et de renforcer les vibrations de chacune des parties IC, CF etc. de la corde, vibrations qui , sans cela.

Flg. 2C. — Scorie d*ondet tUtlonnaires.

s'affaibliraient très-rapidement; par suite, la corde continue à vibrer un temps plus ou moins long , en offrant alternativement la (orme que représente la ligne ondulée pleine et celle qui est figurée par la ligne pointillée. On voit donc

qu'en somme la corde entière se résout en un certain nombre de cordes plus petites, IC, CF, FE etc., qui vibrent chacune pour leur propre compte , pendant que les points de séparation G, F, Eetc. restent constamment immobiles. On nomme vibrations atationnaires celles qui s'accomplissent suivant le mode que nous venons d'indiquer ; on désigne sous le nom de nœuds de m^ bration les points tels que G , F , £ j qui ne prennent pas part au mouvement et qui restent constamment au repos. [Les renflements compris entre les nœuds sont ce qu'on appelle des ventres.']

Il est facile de produire dans une corde des vibrations stalionnaires correspondant à une longueur d'onde qui soit dans un rapport simple avec la longueur totale de la corde : veut-on , par exemple , que la longueur de l'onde soit , comme dans la Fig. 25 , le tiers de la longueur de la corde , il suffit de fixer le point G , à l'aide du doigt ou de toute autre manière , afin de l'empêcher de

vibrer, la distance IG représentant — ^— de la longueur totale de la corde ou la

moitié de la longueur d'onde qu'on veut obtenir ; pendant qu*on immobilise le point G, on fait vibrer la portion de corde IG, en l'ébranlant par son milieu : l'onde qui prend ainsi naissance se propage dans toute l'étendue de la corde et y produit des vibrations stationnaircs qui correspondent à la longueur d'onde voulue.

En procédant d'une manière toute semblable à l'égard de plaques et de membranes élastiques , on y détermine aussi des vibrations stationnaircs ; la surface de ces corps se partage alors en un cert«ii% nombre de portions vibrantes séparées par des lignes nodales , c'est-à-dire par des lignes dont tous les points sont au repos. I^s colonnes d'air renfermées dans des tubes peuvent également être le siège de vibrations stalionnaires. L'étude du son nous offrira des exemples de ces différentes formes de vibrations stationnaircs.

On peut facilement mettre en évidence Texistence des nœuds dans les cordes vibrantes , en plaçant de distance en distance , à cheval sur la corde , des corps très-légers , tels que des morceaux de papier ou des copi'aux de bois : dès que la corde commence à vibrer, les cavaliers de papier qui sont placés sur des nœuds ne bougent pas , tiiidis que les autres sont jetés à terre par les vibrations. On rend visibles les lignes nodales «les plaques et des membranes vibrantes, en en saupoudrant la surface de sable ou de poussière : les grains de sable se rassemblent le long des lignes nodales, aussitôt que la plaque ou la membrane est m'iso en vibration ; il en résulte des figures régulières dont la forme peut varier de bien des façons pour une seule et même plaque , suivant la manière dont vibre le corps. Les figures ainsi fournies par les plaques et les membranes vibrantes sont connues sous le nom de figures acoustiques ou fifjurcH de (lldadni et de Savart,

41. Pâitage des ondet d'un milieu dan^ on antre pins dense. — En exposant les lois de la réflexion , nous avons raisonné dans Thypothèsc que la surface rencontrée par Tonde longitudinale ou transversale est parfaitement fixe et rigide. A vrai dire , cette condition ne se trouve jamais réalisée ; mais les vibrations communiquées à la masse du corps réflecteur ont souvent une intensité si faible qu*on peut en faire abstraction. Il n'en est plus de même quand une onde arrive à la surface de séparation de deux milieux , dont le second , tout en étant plus dense que le premier, ne l'est pourtant pas assez pour que les vibrations qui lui sont transmises puissent ètrô négligées. Dans ce cas , il y a aussi réflexion de Tonde incidente , et cela se comprend aisément : si nous nous reportons, en effet, à la Fig. 22, nous voyons que le point I, qui appartient au second milieu , tout en participant au mouvement vibratoire des molécules attenantes du premier milieu , ne saurait vibrer avec une intensité aussi grande ; il agira donc , pour déterminer la réflexion de Tonde , comme s'il représentait un obstacle fixe ; seulement , cette fixité n'étant que relative , l'action réfléchissante du second milieu sera moindre. Mais ce n'est pas tout : Tonde ^| incidente ne se borne pas à être réfléchie, elle se propage aussi dans le second milieu où elle prend le nom d'onde transmise ou réfractée.

Soit MN (Fig. 27) une surface de séparation entre deux milieux de den.«ité différente ; Tonde incidente •^ trouve à gauche dans le milieu le moins dense. Je prends Tonde

IQ moment où elle occupe la pO- Fig. 27. — changement de Urltcwc de propagation d'à ne ût^An lné\i,ntt/i^ ^n 11 fW'tiT 9^ \ • ondc Hnc'airc , lorsqac cellc-cl passe d'un milieu daM un aUOn mcnquee en ll ^rig. ^i;, .^re de densité différente.

c'est le moment où le sommet I de

la protubérance arrive au contact de la surface de séparation. Si cet obstacle ne 9e trouvait pas sur le trajet de Tonde, celle-ci cheminerait comme le montre la courbe ponctuée IGD (Fig. 27) ; mais , par suite de la présence de la surface MN , la demi-onde primitive BIC se scinde en deux et donne uai«sancc, d'une part à une onde réfléchie de hauteur I Ij , dont la marche M rélroçrade ; d'autre part , à une onde dont la marche s'eftectue dans le même sc»ns que celle de Tonde incidente, et qui a pour hauteur la distance du point I, à la droite AD. La protubérance rétrograde s'ajoute à la protuliérance primitive et produit la protubérance Blj , qui devient l'origine d'une onde réfléchie , comme dans le cas de la réflexion totale (cf. § 38) ; ïvec cette seule difl'érence qu'ici la réflexion étant partielle , la hauteur de l'onde réfléchie est diminuée de celle de Tonde transmise ; la somme des liantenrs de Tonde réfléchie et de Tonde réfractée doit être égale à la Ittuleur de Tonde incidente. Plus la difl'érence de densité des deux milieux «t (aible, plus la hauteur de Tonde réfléchie est petite par rapport* à celle de Tonde incidente et plus aussi la hauteur de Tonde réfractée se rap-

proclie de celle de l'onde primitive. Mais, tandis que l'onde réfléchie ne se distingue de l'onde incidente que par sa hauteur et le sens de sa marche, l'onde réfractée en diflère encore sous un autre rapport. Le second milieu étant, en eflet, plus dense que le premier, ofTre plus de résistance au mouvement vibratoire ; cette circonstance , il est vrai , ne modifie pas la durée de l'oscillation, car les molécules du milieu le plus dense, recevant leur mouvement des molécules du milieu le moins dense , doivent vibrer à l'unisson de ces dernières. Si la durée de la vibration conserve la même valeur en passant d'un milieu dans l'autre, il en est* autrement de la longueur d'onde: celle-ci est plus petite dans le milieu le plus dense , puisque , les molécules y étant plus rapprochées les unes des autres , elles y occupent , à nombre égal , une longueur moins grande que dans le premier milieu.

De ce que la longueur d'ondp X diminue, tandis que la durée de vibration T ne varie pas, il résulte, en vertu de l'équation X=VT (cf. § 32), que la vitesse de propagation V de l'onde réfractée doit être moindre que celle de l'onde incidente , et ce ralentissement de la vitesse de marche de l'onde, par le fait de son passage dans un milieu plus dense, augmente avec la diflérence de densité des deux milieux.

42. Passage de l'onde d'un milieu dans un autre moins dense. — Si on suit la même marche de raisonnement que précédemment,* il est facile de prévoir les changements que subit une onde en passant d'un milieu plus dense dans un autre qui l'est moins. Dans ce cas, l'onde incidente arrivée au contact de lai surface de séparation donne aussi naissance à une onde réfléchie et à une oa^c transmise ou réfractée.

Soit AB (Fig. 28) une file de molécules ; celles qui sont situées à gauche d4E*l font partie du milieu le plus dense ; à droite se trouvent celles du milieu W

moins dense ; la molécule I appsmJC' ^••••••J • • • 5 ^^^^^ ^" quehjue sorte à la fois ^ ^^

deux milieux et les sépare Tun à

^'i' ^- "".^"'i' "»f '^"^" aprarten.nt « deux milieux l^j^^jj^C. SuppOSOHS qu'UHO OUde *

uc densitu dlfforcntc, pour expliquer Icu particularitct .** * ,

reUtlves à l'undo n<fl<Vliic et a Tonde tninsniiMc. dann lo COndeUSatlOn parCOUrO CettO file W

cas où rondo ineidcnto w trouve dans lo milieu le piut moléculeS de A OU H I arrivée CI^B- !•

elle détermine en cet endroit uJ^nc

condensation plus forte qu'en tout autre point de son trajet antérieur, la molécule I, appartenant déjà au milieu le moins dense, y rencooR^'V moins de résistance à vaincre pour comprimer les molécules suivantes. 1^ là, proiluction, à partir de I, d'une demi-onde condensante plus consid^ rable en hauteur que toutes celles qui l'ont précédée, et cette demi-onde condensante, en se propageant dans le milieu de droite, est l'origine de Voïï^àe transmise. Mais, si la demi-onde condensante est représentée par une protuWraiice plus élevée, la demi-onde dilatante qui marche à sa suite et qui pre»*' naissance à la gauche de I surpiissera aussi en profondeur les dépresaiocs antérieures de l'onde incidente ; cet accroissement de profondeur de la dencii* onde dilatante équivaut à la formation dans le milieu le moins dense d'u*^ onde de dilatation , c'est-à-dire d'une onde cpii débute par une dilatation ; cet-te onde ^•a mai-cher de I en A et former l'onde réfléchie. — L'onde incidente eî=?^-

DU MOÛVI-IMENT VIBRATOIRE ET ONDULATOIRE. 63

elle transversale au lieu de longitudinale, cela ne change rien au résultat de la réflexion : si une onde transversale arrive à la surface de séparation des deux milieux, elle communique à la molécule I une vibration transversale dont Tamplitude surpasse celle des vibrations des molécules qui précèdent , car les forces attractives qui s^exercent entre la molécule I et les molécules environnantes du milieu le moins dense sont plus faibles que les attractions mutuelles des molécules du milieu le plus dense. La demi-onde positive produite à la droite de la surface de séparation ayant une amplitude plus grande , il en est de même de la demi-onde négative qui se forme à la gauche du point I , et qui /en raison de cet accroissement d'amplitude, est le point de départ d'une onde réfléchie. Dans le cas où l'onde incidente commencerait par une dépression (onde de dilatation), l'onde réfléchie débuterait par une protubérance.

Ainsi donc, que Fonde incidente soit transversale ou longitudinale, l'onde réfléchie à la surface d'un milieu moins dense est toujours telle, que sa première demi-onde soit de nom contraire à celui de la première demi-onde incidente. La somme des hauteurs de l'onde réfléchie et de l'onde transmise est d'ailleurs égale à la hauteur de l'onde primitive.

Quant à la longueur d'onde du mouvement vibratoire , elle augmente par le passage de l'onde dans le milieu le moins dense , et comme la durée de l'oscillalion ne varie pas, la vitesse de propagation du mouvement devient plus prande.

42*. [Caractère différent de l'onde réfléchie, suivant que la réflexion s'effectue itti le milieu le pins dense ou dans le milieu le moins dense. — Des considérations développées dans les deux paragraphes précédents découle un résultat qu'il importe de mettre en relief, car, faute de se le rappeler, on se trouverait dans l'impossibilité de faire accorder la théorie avec l'expérience dans l'explication de certains phénomènes d'interférence où les ondes ont subi* des réflexions préalables. Le résultat dont je veux parler est le caractère difl'érent que présente l'onde réfléchie, suivant qu'elle est renvoyée dans le milieu le plus dense ou dans le milieu le moins dense.

On vient de voir que , si la réflexion s'opère dans le milieu le plus dense , Ij première demi-onde incidente et la première demi-onde réfléchie sont d<î iH)m contraire, l'une étant positive quand l'autre est négative, et inversement ; dans ce cas, l'onde réfléchie est, en quelque sorte, la continuation non internmipue de l'onde incidente , de façon qu'après la réflexion d'une onde entière, l'onde réfléchie occupe la même position que l'onde incidente immédiatement atant la réflexion et a sa protubérance et sa dépression disposées dans le même ordre. Quand , au contraire , l'onde incidente se trouve dans le milieu le moins dense (cf. § 41), elle produit par la réflexion de sa première moitié une demionde réfléchie de même nom : à une protubérance incidente succède, sans intermédiaire, une protubérance réfléchie ; la dépression qui devrait venir se placer «h-e ces deux protubérances pour que l'onde réfléchie pût être regardée comme la continuation de l'onde incidente fait défaut ; la réflexion a supprimé une demi-longueur d'onde, et on exprime, en efl*et, ce résultat en disant qu'il y a,

dan< ce cas , perte de -^ À.]

43. Réfraction des ondes. — Nous avons supposé jusqu'ici que la direction de l'onde incidente était perpendiculaire à la surface de séparation des deux milieux , et nous avons \m que dans ces conditions Tonde , en passant dans le second milieu , subit un changement de vitesse de translation , mais conserve sa direction première. Il n'en est plus de même quand Tonde incidente est inclinée sur la surface d'entrée du second milieu.

Pour comprendre ce qui se passe dans ce cas , nous .sommes obligé d*avoir recours à une section plane d'onde sphérique ; nous prendrons cette onde à une très-grande distance de son centre d'ébranlement , afin que sa surface puisse, sur une petite étendue, être confondue avec un plan , et que, par conséquent, deux ondes linéaires voisines aient des directions sensiblement parallèles entre elles et perpendiculaires à la surface de Tonde. Soit donc LIL'Â (Fig. 29) une portion de section plane d'une onde semblable , limitée par les

deux ondes linéaires ou rayons, LI et L'A, trèsvoisins l'un de Tautre et obliques par rapport à la surface KM ; par le point 1 menons une perpendiculaire à la direction des ondes linéaires jusqu'à sa rencontre en P avec le rayon L'A : la droite IP ainsi tracée représente le lieu géométrique de tous les points qui sont dans le même état de vibration, c'est-àdire la surface de Tonde à un moment donné, savmr au moment où elle rencontre en I la surface réfringente. Ainsi , quand le mouvement vibratoire est arrivé au point I pour le rayon LI, il n'est encore qu'en P pour le rayon L'A. (Considérons ensuite le moment où le point P de Tonde rencontre à son tour la surface en A ; or, pendant que le mouvement vibratoire marchant dans la direction PA s'est transporté de P en A dans le premier milieu , le mouvement vibratoire qui se propageait suivant LI, a passé dans le second milieu et y a parcouru un certain espace ; si , comme nous le supposons ici , le second milieu est plus dense que le premier, la vite.sse de propagation de Tonde y est plus petite ; <lès lors , la distance PA, franchie dan le premier milieu par le point P de Tonde, est plus grande (|ue le chemhi parcouru dans le second milieu par le point I ; le rapport des deux chemins est égal à celui des vitesses correspondantes. Du point I comme centre avec un rayon égal au rapport des vitesses , décrivons dans le second milieu une demi-cinx)iiférence , et du point A menons une droite tangente à cette circonférence en T ; joignons IT. La droite AT représente la surface de Tonde réfractée , à l'instant où son point A est en contact avec la sur-

Ffg. 20. — DcvUtion tnliiG par U direction d'une onde, Ion de ion pëMMMf^t d'un milieu dans un autre de densité dllTt'rente.

face réMiigente; IT prolongé ou IC est la direction de l'onde dans le second milieu. Or puisque AT n'est pas parallèle à IP, comme il est facile de le voir, IG n'est pas le prolongement de LI ; l'onde a donc été déviée de sa direction première en passant dans un autre milieu. La déviation de l'onde dans ces circonstances porte plus spécialement le ngpn de réfrcLCtion. — Si, au point d'incidence I d^un&^des ondes linéaires , on élève la normale IN à la surface d'incidence, on voit que la réfraction d'une onde qui passe d'un milieu moins dense dans un milieu plus dense, a pour effet dé rapprocher de la normale la direction de l'onde.

Il va sans dire que l*effel inverse se produit quand l'onde passe d'un milieu plus dense dans un milieu moins dense : l'onde est réfractée de façon à s'éloigner de la normale. Il suffit, pour s'en convaincre , de reproduire le raisonnement précédent , en prenant pour onde incidente celle qui dans la Fig. 29 représente Tonde réfractée, et inversement.

43*. Lois de la réfrwtion dians un milieu isotrope. — Soit i (Fig. 29) l'angle que fait la direction de l'onde incidente avec la normale, r l'angle de l'onde réfractée i\tc la même normale ; on a , comme il serait facile de le démontrer :

mii __ V Unir "" 'T" '

Y étant la vitesse de propagation de l'onde dans le premier milieu , et V celle de Tonde dans le second milieu.

On voit que l'angle de réfraction donne le moyen de déterminer le rapport

des vitesses de propagation daps les deux milieux. Le quotient ^^" *

smt

— ou TM-

sm r V

s'appelle Yindice de réfraction relatif des deux milieux et se représente par la lettre n.

[De ce qui précède découlent les conséquences suivantes :

1** Les directions de Vonde incidente et de l'onde réfractée sont dans un même plan avec la normale à la surface au point d'incidence ;

2» Le rapport des sinus de l'angle d'incidence et de Vangle de réfraction tit constant pour deux mêmes milieux.

Supposons que la droite AB (Fig. 30) représente la surface de séparation entre deux milieux, dont rinférieur propage le mouvement vibratoire plus lentement que le supérieur ; soient ah la direction d'une onde incidente et hf la direction de Tonde réfractée correspondante. Par le point d'incidence b, menons de perpendiculaire à AB, ci du même point comme centre décrivons une circonférence de rayon égal à l'unité. L'angle d'incidence est alors abd , et l'angle de réfraction est dbf. Si des points a et f, où la circonférence précédemment décrite coupe les directions de Tonde incidente et de l'onde réfractée , on abaisse des perpendiculaires sur la nonnalc de y les droites ainsi tracées, ax et fy représentent, la première le *j/it« de Vangle d'incidence y la^ seconde le sinus de l'angle de réfraction y

WUKDT, Phyiiquo médicftle. 6

Fig. 30. — Loi du rapport des •Inus de Tangle d*incide&ce et do Tangle do rt^fraction.

el« en vertu de la loi énoncée plus haut, le rapport entre ces deux sinus est constant pour deux mêmes milieux , quelles que soient les valeurs absolues des lignes trigonométriques qui mesurent les angles d*incidence et de réfraction.

Ces lois sont semblables à cell^de la réflexion des ondes (Cf. § 99*) ; la seconde seule en ^ffère; mais on peut faire disparaître cette différence appa-

rente en remarquant, avec M. Babinet, que, si on pose le rapporta— := — ^1,

la se«xknde loi de la réfraction s^applique aussi à la réflexion.

Les lois qui viennent d^étre établies ne sont vraies d'une manière générale

qu^autant que la réfraction a lieu dans un milieu isotrope , auquel cas. Fonde

y réfractée étant sphérique (Cf. § 33) , le rapport est constant quelle que soit

la direction considérée. Si le milieu est atùsoirope^ Tonde qui s'y propage n'est pas sphérique et il en résulte des phénomènes particuliers dont il sera traité dans Toptique (\'oy. liv. iv, chap. 21).]

UYRE IL

44. Nature de la pesanteur. — Sous le nom de pesanteur , on désigne la force qui tend à faire tomber les corps vers la terre. On regarde cette force comme le résultat des attractions qui, d'après la théorie atomistiquc, s'exercent entre tous les atomes pondérables : un corps tombe ou tend à tomber, pane que ses atomes et ceux du globe terrestre s'attirent mutuellement. Nous voyons se manifester des phénomènes d'attraction du même ordre , toutes les foU que deux masses matérielles sont assez considérables ou assez rapprochées Tune de l'autre pour déterminer un effet appréciable.

Le mouvement de toutes les parties de notre système solaire reconnaît la même cause que la chute des corps à la surface de la terre. Cette force générale, dont la pesanteur terrestre n'est qu'un cas particulier, porte le nom de gravitation ou pesanteur universelle.

[N'otu avons ya, § 14<^, que Tcntitë métaphysique dësignëo sons le nom de force tttradive est nne abstraction qui n^expliqne rien et qui exprime seulement ce fait, à MToir qne les molëcules mattSriellcs se rapprochent ou tendent à se rapprocher les unes ^ autres, conune si elles s^ attiraient mutuellement. Newton lui-même, en formulant les l*)!! de la gravitation, s*est garde, au moins dans les commencements de sa carrière, de K prunoncer sur la cause de Tattraction : " «Tcxprime par le mot attraction^ dit TantoK " dit Principes mathématiques de la philosophie natureUe, Teffort que font les corps ^QHr " > Approcher les uns des autres, soit que cet effort résulte de Tactîon des corps qui. sa "ciierchent mutuellement ou qui s*agitent Tun l'autre par des émanations, soit qull "refaite de Taction de Téther, de Tair ou de tout autre milieu, corporel ou incorporel, ' qm pousse Tun vers Tautre, d'une manière quelconque, tous les corps qui y nagent i> ^'e Kint les disciples de Newton qui, exagérant la pensée du maître, ont considéré la pinte comme une force particulière inhérente à la matière dite pondérable. Or, nous itrons déjà dit et nous le répétons ici, on ne saurait admettre à la fois, d'une part, que *> matière est inerte, d'antre part qu'elle possède une qualité en vertu de laquelle elle ^ met d'elle-même en mouvement; ce sont là deux idées contradictoires qui s'excluent iQnc l'autre. L'inertie de la matière étant un axiome inattaquable et inattaqué, il faut '^'eter ridée d'une» force attractive et ne voir dans le rapprochement des corps les uns *«> antres que des effets d'impulsion provenant do chocs extérieurs. En ce qui concerne Hiticolièremcnt la gravitation, nous nous faisons l'écho des opinions les plus récentes, ^ diaant qu'elle peut être considérée comme un effet des mouvements des atomes ^e'rei qui environnent de toutes parts la matière pondérable et qui la choquent inces- *^>>u:Dt dans tous les sens : on conçoit qne, si l'action de ces chocs n'est pas symé- ^oe antour d'une molécule ou d'un corps pondérable, le corps en question se mettra ^ mouvement dans la direction de la résultante des chocs qui ont la plus grande "^^ttae d'énergie; cette condition se trouve réalisée quand deux corps pondérables sont ^ présence l'un de l'autre, et l'inégalité d'intensité des chocs auxquels ils sont alors ^^soii cit dirigée précisément de façon à t»pércr le rapprochement de ces corps.

Ce n*c8t pas ici le lieu de m V tendre davantage sur la cause de la pesanteur; jo me borne aux indications sommaires qui viennent d'être donnt^es et jo renvoie le lecteur désireux de pënëtrer plus avant dans le sujet à Texcellcnt opuscule déjà cité de M. Baigey, sur la Phytit£ue moderne^ auquel nous avons emprunté le passage relatif à Topinion de Newton.}

44*. Plan da livre consacré à l'étnde de la pesanteur. — [La pesanteur a^it avec la môme intensité sur tous les corps, quelle que soit leur nature;] mais les effets de cette action présentent dés caractères différents suivant la constitution moléculaire des corps ; or, de toutes les causes physiques qui font varier la constitution moléculaire , la principale et la plus générale réside dans Tétai d'agrégation de la matière. Il y a donc lieu de diviser l'étude des phénomènes de la pesanteur en trois parties correspondant aux trois états de la matière , état solide, liquide et gaieux. Dans chacune de ces parties nous commencerons par faire connaître les propriétés des corps qui se présentent sous Tétat considéré; nous examinerons ensuite les phénomènes que produit la pesanteur q\ian(l elle agit sur les corps offrant cet état d'agrégation. En toute rigueur, il n'est pas possible de séparer ainsi d'une manière absolue les propriétés des corps des phénomènes qu'y détermine la pesanteur, car les caractères différentiels des divei^ états de la matière sont en grande partie le résultat des actions combinées de la pesanteur et de forces moléculaires analogues. Nous avouons, en outre, qu'il nous faudra, en certains endroits, joindre à l'étude de la pe« sauteur celle d'autres forces qui déterminent, comme elle, des mouvements de totalité des corps , déplacements assez considérables pour être directement perçus; telle est, par exemple, la force musculaire, qui agit concurremment avec la pesanteur dans la locomotion du corps humain et dans le mouvement des projectiles lancés par la main de l'homme. En ce qui concerne la force musculaire , nous n'en rechercherons pas l'origine , nous nous bornerons à étudier les effets, qui sont semblables à ceux de la pesanteur, en ce sens qu'< peut toujours remplacer la force musculaire par un poids d'une grandeur di terminée , agissant dans une direction donnée et pendant un temps sufûsais^^

Quoi qu'il en soit, nous diviserons le présent livre en trois sections, qui teront respectivement les titres de Mécanique des corps solides^ Mécanit des liquides et Mécanique des gaz.

On admet que les forces attractives qui s'exercent entre les atomes de la matière boidentiques, quant k leur origine, à Tattraction qui détermine les phénomènes de pesanteur et de la gravitation. Mais les forces attractives ne sont pas seules k jouer rdle dans la cohésion et Télasticité des corps; coi\jointement avec elles agissent 1»" forces répulsives qui s'exercent entre les atomes impondérables, de sorte que les ph nomënes observés sont totgours le résultat des actions combinées de ces deux de forces; de Ik Tlmpossibilité, déjà signalée au § 9, de déterminer les lois qui régisse les forces moléculaires attractives et répulsives; de là aussi la difficulté de savoir si

loi f :z 9 ~Àt 1 ^^ exprime les variations de Tintensité d'une force en fonction d

masses matérielles et de leur distance, est encore applicable au cas des distances ex mement petites qui séparent entre eux les divers atomes des corps. Un seul point eertain, c'est que, quand la distance augmente, les forces répulsives diminuent plus rapidement que les forces attractives, et cette circonstance nons explique oo Il se fkit qae, pour de grandes distances, les forces attractives restent seules à fester Unt action.