D* AUTRES FORCES MOTRICES

57. M oavomentdet projectiles. — Nous avons donné, dans le chapitre précédent, la théorie du plan incliné et celle du pendule, en considérant le mouvement effectut*^ dans ces conditions comme un cas particulier de la chute des corps. Il nous ivste ik présenter un a|>erçu général des mouvements que détermine la pesanteur quand elle agit simultanément avec d'autres forces motrices ; l'analyse du mouvement complexe qui résulte de cette combinaison de forces n'offre aucune diflioulté notable, quand on suppose que, non-seulement la pesanteur, mais enooiv les autn's fondes sont appliquées au centre de granté du mobile; or cette supposition est licite dans la plupart des cas , et permet alors de trouver i un instant quelconque du mouvement la grandeur et la direction de 'la résultante, à Tiiide du |>arallélogninune des forces.

Il arriw frtV|uemmeiit que ces mouvements composés changent à chaque instant de direction et qu'ils ont ainsi une trajectoire curviligne: cela tient à (V que la pesanteur^ étant une torce constante , agit sur le mobile d'une manière ctvntinue et unifonne , tandis que les autres foives en jeu n'exercent le plus stHivenI qu'une action momentanée et d'intensité variable (Cf. § 26).

Le mouxtsnent dt^ projectiles uiuisoifreun exemple de mouvement compœé délenuiiie ^vir l'action simultanée de la pesanteur et de la force avec laquelle un a^r|^ es! lainré ilans l't^space. iVtte dernière forve , désignée sous le nom de /«»iw «If» |>iN>/<H'tit>*i , n'agit sur le mobile que pendant un temps très^^ourt , cl lui iu)(uiiue une ivriaino \itesse, en vertu de laquelle le projectile , abandonné à luhmWHik^. s«^ uhHuniit imtetiniuK^nt en ligne dr\nte et en conservant sa vitesse initiale . si la pesanteur n*interxenaît à chaque instant pour modi* lier la direction du mouvement.

Sup^kicf^ku^: qu'on projectile soit lancé «iins U dinvtioA OIX qui fait avec llK^rtKHi un ju^le m k^ig. 39;; sH ifetût <v4lîcit«^ p\r aucune antre Ikyve. d se trvMiierût à la dn de la |Mrvt%iîèf\* secooile <*© A\ à la fin de ^ ^ b iWuxièa^ secvodii» en B*. an boni

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rCVENTS PRODITITS PAR L' ACTION COMBINÉE DE PLUSIEURS FORCES. 91

seconde , un espace B'M, = 4 2. pendant les deux premières secondes,

5 C/M5 =^ ^ Q P^ï^dant les trois premières secondes , et ainsi de suite,

Mircouru augmentant proportionnellement au carré du temps. Or, en principe de la composition des mouvements , le projectile occupera instant la position à laquelle il serait parvenu si Ton avait fait agir sur ément d*abord la force de projection , puis la pesanteur ; c'est ainsi ti de la première seconde , le corps se trouve en M, , à la fin de la seivante en M, , et ainsi de suite. En réunissant par un trait continu les s positions successivement occupées par le projectile , on obtient pour e une ligne courbe OMj M, M, D qui présente la forme d'une parabole îestverûcal.

nettant la question k Tanalyso mathëmatique , on dëmontre, en effet, qne la décrite par un projectile doit être une parabole, si on fait abstraction de la que Tair oppose au mouvement du mobile.

ille OD compris entre le point de dëpart du mobile et son point d^arrivi^c se nomme Vamplitude du jet ; on dëmontro que , pour une même vitesse d*imamplitude du jet est proportionnelle au siniu du double de l'angle de projection o) Mm »a valeur maxima quand cet angle est égal h 45^ ; h égalité d'angle de protwtpliiude du jet est proportionnelle au carré de la vitesse d'impulsion. On appelle i jet, la plus grande ëlëvation k laquelle parvient le projectile ; on trouve que, >se8 égales d'ailleurs, cette hauteur est proportionnelle au carré du sinus de t au carré de la vitesse d'impulsion.]

ftTementa des corps célestes. Lois de Kepler. — On rencontre encore un

le mouvements composes produits sous Tinfluence simultanée de la pesanteur ntre force dans les mouvements des corps célestes. Il s'exerce entre le soleil lëtes des attractions réciproques qui, comme la pesanteur terrestre, ont pour gravitation universelle. A cette action constante do la gravitation vient s'en e autre dirigée suivant la tangente h la trajectoire décrite par le mobile; on présenter cette dernière force comme le résultat d'une impulsion initiale qui donnée aux corps célestes à l'origine du mouvement et qui, si elle avait été ir, aurait communiqué h ces corps un mouvement indéfiniment rectiligne et

ivcments \Tais des astres sont extrêmement compliqués, parce que tous les stes s'attirent mutuellement avec une énergie qui, conformément à la loi gé-

actions à distance, est directement proportionnelle au produit des masses en t en raison inverse du carré de la distance. Mais on obtient une approximamte dans beaucoup de cas en ne tenant compte que des actions exercées par élestes les plus considérables, par ceux que la simple obRcrvation nous montre i centres autour desquels semblent s'effectuer les mouvements des autres asnotre système solaire, par exemple, il suffit de considérer l'attraction que le ce sur les planètes. Dans cette hypothèse , on trouve :

les orbites des planètes sont des ellipses, dont le soleil occupe l'un des

les aires décrites par un rayon vecteur mené du centre du soleil au centre de sont proportionnelles au temps;

les carrés des temps des révolutions sont proportionnels aux cubes des grands orbites.

ii lois qui régissent le mouvement des planètes sont appelées lois de Kepler, du astronome qui les a di'couvertes.

î>2 DE LA PESANTEUR.

59. DnmouYament curviligne. Force centrifuge et force centripète. — Les mouvements des planètes ne sont qu'un cas particulier du mouvement curviligne en général. Nous ne saurions traiter ce sujet dans toute sa généralité sans nous écarter du but de cet ouvrage; cependant il y a utilité à analyser le mouvement qui se produit dans des conditions semblables mais plus simples; Texemple que nous allofts étudier servira en même temps à faire comprendre comment les choses se passent dans le mouvement des astres.

Imaginons un mobile B (Fig. 40) tournant en cercle autour du point 0 comme centre. La force qui meut le corps le long de la circonférence et qui , dans mi temps très-court, lui aura fait parcourir, par exemple, l'arc de cercle BP que

nous confondons avec sa corde , cette force peut étrp décomposée en deux autres: l'une BH poussant le mobile dans la direction de la tangente BA , l'autre BG attirant le c^rps vers le centre de rotation. Si nous supposons le mouvement uniforme, la première de ces forces est le résultat d'une impulsion unique, qui, à l'origine du mouvement, a agi sur le mobile dans la direction de la tangente à la courbe décrite; Fig. 40. - E^^on de u forte ^^^^^ ^ j^ composauto normale , elle représente nécessairement une force constante, puisque, n eBe venait à cesser d'agir , le corps abandonnerait aussitôt la circonférence sur la* quelle il se meut.

Les deux forces dans lesquelles nous venons de décomposer la force motrice ne sont pas purement fictives ; elles existent en réalité ; ce qui le prouve , c*és( que d'abord le mobile s'éloigne suivant la tangente , si on vient à rompre le 81 qui l'attache au point 0, et que d'autre part, durant son mouvement , il exerce sur ce point une traction dirigée suivant OB , traction qui , en vertu du principe de l'égalité de l'action et de la réaction , a pour origine une traction égale et de sens contraire du point 0 sur le mobile. Quant à la force BH , il ne saunil être question pour elle d'une réaction en sens opposé , puisque cette force te réduit à une impulsion unique qui a agi à l'origine du mouvement et que, par conséquent , il n'y a eu d'effet de réaction qu'à cette époque.

On appelle force tangentielle celle qui tend à entraîner le mobile dans h direction de la tangente BA ; force centripète , celle qui le tire vers le centre 0, et force centrifuge y celle qui est égale et de sens contraire à la force centripète.. Quand on fait tourner avec rapidité un corps fixé h l'extrémité d'une frondei on se convainc de l'exi.stence de la force centrifuge par l'effort de traction qoi tend à entraîner la main , tandis que la force centripète est représentée par l'effort que déploie la main pour empêcher la fronde de s'échapper. Au fond, il s'agit L^ d'un effet de réaction semblîible à celui qui se produit lorsqu'on exertt une pression contre un corps : on éprouve une n'^sistince égale en intensité à h [>ression exercée.

C*ela pone, coiii«idéroiis l\'Iemoiit do chemin IIP parcoiirn par le mobUe et d^eom^ Honn-le en un mouvement tangentiel BH, et en un mouvement centripète BG; ri noua d^tenninona alora U force correapondante a co dernier mourement et ai, en Mtre, noua coniuûaaiina la vitcaae avec lafiueUe le mobile parcourt aa trajectoire evnri-

MOUVEMENTS PRODUITS PMK l' ACTION COMBINÉE DE PLUSIEURS FORCES. 93

ligne, nous ayons toiu les éléments nëcessaîres pour obtenir la valeur de la force centrifoge. Or Tare BP, qni se confond avec sa corde, a pour expression :

BP = vt, r désignant la vitesse du mobile et t le temps qu'il emploie à parcourir ce chemin BP; d'an tatre côte, m ëtant la masse du mobile et F la force constante qui l'attire dans la direction BO, nous avons (Cf. % 25, équation , [2]) :

BG = ^-~-i^ 2 m

Enfin on sait que BP est moyenne proportionnelle entre le diamètre du cercle et le

fe|;Bient BG, c^est-à-dire qu*on aiBF^ = 2 RXBG.

En remplaçant BP et BG par leurs valeurs tirées des équations précédentes, nous ob-

don: Jb = ^-

Telle est Texprcssion de la force centrifuge ou de son égale, la force centripète.

Ainsi , quand un corps décrit une circonférence d'un mouvement uniforme , la force œnstante avec laquelle il est attiré vers le centre du cercle est égale au produit de la niasse du mobile par le can*é de la vitesse du mouvement, divisé par le rayon du cercle.

(Noos pouvons donner une autre forme à Texpressiou de la force centrifuge. Boit T le temps employé par le mobile à parcourir dVn mouvement uniforme la circonférence entière, c*est-à-dire Pespace 2irR; la vitesse v du mobils est égale à Tespace divisé par

le temps (Cf. § 2S) ; par conséquent, v = . Mettant cette valeur de v dans la for-

■ale F = -^, il vient :

Nous en concluons que, lorsque plusieurs corps de même masse parcou^ ftut pendant le même temps des circonférences de rayon différent ^ les forces ce^Urifuges correspondantes sont proportionnelles aux rayons de ces rirconférences,]

69». Applicationi do la force oontrifage. — La force centrifuge joue un grand rôle (Uns la rotation de la terre autour de son axe, car chaque point de la surface terrestre •e comporte comme le mobile de Texemple précédent. C'est le développement de la force emtriftige qui explique en majeure partie pourquoi Taccélération de la pesanteur décroît «mesure qu*on se rapproche de réquateur(Cf §56"); en effet, sous Tcquatcur, la force

centrifuge est ^ ^ de Tintensité de la pesanteur et lui est directement opposée , de sorte

)Be, si la vitesse de rotation de la terre était 17 fois plus grande, la force centrifuge À réquatenr serait 17- ou 289 fois plus intense et neutraliserait entièrement Vattractian terrestre; dans ces conditions le poids des corps serait nul à Téquateur.

L*aplatîssement de la terre aux pôles s*explique aussi par Tintervcntion de la force eentrîfage: à Tépoque où notre planète se trouvait encore à Tétat liquide, les parties ôtnëes à Téquateur ont dû s'éloigner davantage du centre de la terre, puisqu'elles occupaient une région où la force centrifuge avait son maximum d'intensité, le rayon de réqnatenr étant plus grand que celui des autres cercles qui lui sont parallèles. Dans le cas où la vitesse de rotation d'une masse fluide serait assez considérable pour dévelr>pper nne force centrifuge supérieure en intensité k l'action de la pesanteur, il peut

94 DK LA PKSANTEUU.

même arriver que dos portions do madère se stSparent entièrement de la niasse principale. C^est en piirtant de ces faits que Kant et Laplace ont ëdifië, pour expliquer Terig^nc de notre système solaire , une hypothèse qui a pour clic de grandes probabilité : d*après ces savants, Tenscmblc do notre système planëtairo aurait commence par former une seule masse k Tctat de fluidit<$ îgnëe ; le mouvement de rotation venant à s'aecdlérer de pluH en plus, h mesure que la matière se condensait, la force centriAige surait fini par détacher de la périphérie de cette masse des portions de matière qni ont ainsi donné naissance aux planètes.

Ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent du mouvement d*un corps assigetti k tourner en cercle autour d'un point fixe est directement applicable au mouvement des planètes. Ces ajtres sont aussi sollicités par deux forces, un choc originel agissant dsu la direction de la tangente k T orbite de la planète, et une force constante qui attire celles vers le centre du soleil (Cf. § 58). Connaissant la vitesse de translation d*une planète, sa masse et sa distance au soleil, on peut calculer la force centrifuge correspondaatc, en faisant usage de la formule démontrée plus haut, et la force centrifuge ainsi obtenue doit être égale k la force centripète, c'est-k-dire k Tattraction exercée par le êv leil sur Tastre considéré. En procédant de la même manière, on a calculé Tattraetiofl exercée par la terre sur la lune ot on a trouvé que la force avec laquelle le globe ter rostre attire notre satellite est k Tintonsité do la pesanteur k la surface de la terre dsM le rapport de 1 k 60^. Or, comme la distance de la lune k la terre est égale a 60 fois k longueur du rayon terrestre, et que, d'autre part, pour toutes les forces qui agissent à distance leur intensité diminue en raison inverse du carré de la distance, il en refaite que la force qui fait tomber la lune vers la terre est identique avec la pesanteur te^ rostre.

I Nous rappellerons en terminant que la force centrifuge a été invoquée poor expliquer le mal de tner, qu'elle a été (»ssayée dans le traitement de la foKe pour déterminer, suivant les cas, la conj^estion ou Tanémie du ceneau, remède plus dangereux qu'eflicace , cprenlin elle modifie dans certaines circonstances les conditions d'équilibre du corps humain, par exemple chex les écuyers qui dans les cirques parcourent avtH* une grande vitesse une piste circulaire. |

60. MouYementa de locomotion du corps humain. - Il est une catégorie de mouvements com]K)sés qui intéressent plus spécialement le physiologiste et le médecin, et qui résultent aussi de l'action de la pesanteur combinée avec d'autres forces physiques; je veux parler des mouvetnents du corps humain.

On doit en distinguer deux soiles : les uns sont des mouvements de totalité ou d'ensemble , c'est-à-dire des mouvements de locomotion en vertu desqaeb l'honune déplace son corps ; les autres sont deis mouvements partiels , c*ei»t-à* dire des mouvementu sur place (fui consistent dans le changement des rap« ports respectifs des diverses pièces du scjut^lette. |Dans le dernier cas, la liase de sustentation du corps reste innnobile ; dans le premier cas, elle se déplace.]

Les mouvements de locomotion (jue Thonmie exécute dans la niarche et dans la coui'se oilrent uiie complication extrénie, mais on peut en expliquer les points fondamentaux d'une manière très-simple , à Taide des principes de iné* canique ((ue nous avons fait connaître. Nous supposerons «faliord (|ue le poids du corps humain soit concentré dans son centre de p:ravité , comme nous l'avons fait jus4}u'ici; nous admettrons, en outre, que les forces qui déler» minent le déplacement du corps sont appliquées à ce même centre de i^ravité , et il ne nous restera plus qu*à trouver le mouvement dont est animé ce point.