CHAPITRE VI

HYDROSTATIQUE

87. TrantaiiBsioii des pressions dans les liquides. Principe de Pascal. — Toute molécule liquide tend, avons-nous vu, à tomber verticalement ; la chute a lieu effectivement quand aucun obstacle ne s'oppose au mouvement. Si, au con* traire , la molécule considérée repose sur un plan résistant qui l'empêche d'obéir à l'action de la pesanteur, elle ne tombe pas , mais elle exerce alors sur ce plan une pression en rapport avec la grandeur de sa propre masse.

Soit ABGD (Fig. 44) un vase renfermant un certain volume de Hquide qu'on peut regarder comme composé d'un très-grand nombre de molécules. Décomposons par la pensée cette masse liquide en un nombre infiniment grand de tranches ou couches horizontales d'une épaisseur

infiniment petite; soient ah, cd, ef, mn

ces tranches élémentaires. Il est évident que la première tranche ah presse de tout son poids mr la deuxième tranche cd, que la troisième tranche supporte à son tour le poids des deux premières réunies , et ainsi de suite jusqu'à la dernière tranche mn , qui supporte le poids de tontes les autres ; finalement , la pression exercée sur le fond BC du vase est donc égale au poids de toute la masse liquide ahmn. De même, une tranche quelconque t^ prise dans l'intérieur de la masse , supporte une pression équivalente aa poids de tout le liquide ahik situé au-dessus. Si, au lieu d'une tranche entière, on n'en considère qu'une fraction, telle que x'y\ cette portion de surface ne supportera que le poids de la colonne liquide pqx'y' ; s'agit-il d'une portion xij du fond du vase, la pressbn exercée sur cette surface a pour valeur le poids de la colonne pqxy. On voit donc que toute molécule située dans l'intérieur d'un liquide supporte nue pression dirigée de haut en bas et égale au poids de la file des molécules placées au-dessus. Or il a été dit, dans le paragraphe précédent , que la caractère fondamental de l'état liquide consiste dans la facilité avec laquelle les molécules de la matière se déplacent l^s unes par rapport aux autres , dans tous les sens, sous l'influence des plus légères forces extérieures. S'il en est ainsi , la molécule x' , par exemple , pressée par la file px' des molécules sus-jacentes, cijerchera à fuir aussi bien dans la direction xH ou x'k que dans la direction J^x; mais, comme elle est retenue dans sa position par la résistance des moJécules environnantes , elle exercera autour d'elle en tout sens une pression précisément égale à celle qu'elle supporte elle-même. [C'est de cette manière que, dans les liquides ^ la pression exercée en un point quelconque de leur masse se transmet également dans tous les sens; telle est la forme habituelle sous laquelle on énonce le principe de Pascal ou principe d'éga^ liié de pression.

Fig. 44. — Transmission des pressions dans les liquides.

De plus , on vertu du principe de l'égalité de l'action et de la réaction , la molécule considérée subit à son tour, de la part des molécules environnantes , une pression éjçale à celle qu'elle leur communique; la molécule x\ par exemple, est pressée dans tous les sens avec une force représentée par le poids de la colonne liquide px. De là, cette autre conséquence extrêmement imporUmte, à savoir que, dans un liquide en équilibre y chaque molécule e»t également presnée dans tons les sens,^

Considérons maintenant un point (juelconque a des parois latérales du vase de la Fig. il : il résulte du principe (fui vient d'être établi que ce point supporte une pression dirigée normalement à la surface de la paroi et représentée par le poids do la file ai des molécules sus-jacentes. Par la même raison, la pression qui s'exerce sur la surface aS est égale au poids d'une colonne liquide ayant pour base cotte surface môme et pour hauteur la distance orf du niveta du liquide au centre de gravité de la surface considérée. Ce qui est vrai poar la paroi du vase, l'est aussi pour toute portion de surface prise dans rintériair de la masse liquide.

Cela posé , remplissons entièrement de liquide un vase ABGD (Fig. 45) dos de toute |>aii; supposons qu'on remplace une portion pq de la paroi supérieure par luî piston P prenant très-juste dans l'ouverture qui lui est ménagée et qtfon chai'ge ce piston d'un poids h ; cela revient à supposer la surface p q «up*

p montée d'une colonne liquide de p<»ds

égal à h.

Il est évident, dès loi*s, que toute surface prise dans l'intérieur du liquide et égale en étendue à la surface pq supportera , en sus du poids de la colonne liquide sus-jacente, une pression égale à h ; tel est le cas des surfiices XI/ ou xy\ Il en sera de même des pressions exercées sur les parois Utéi*ales du vase , puisque la pression ae transmet également dans tous les sent ; ainsi, la surface p'q' sera aussi

Fie. 4&. ~ i*n>|K^rtionii*iitê de u pr«ssioo à u rru- de dedans en dehors par une force deur de u^urfice pn.«*Vf ,iM»dpe de p*«*L) ^^^\ç ^ ;, .ib^tniction faite de la pression aiïén*nte au pinds du liquide. En admettant donc que cette surface p^q* mai remplactV |Kir un piston P' , il faudrait , pour le maintenir en place , y appliquer une force dirigée de dehors en dedans , et égale à la pression h transoiise par le li<iuide « s;m$ compter la force nécessiiire pour faire équilibre au poids de la colonne liquide qui presse sur ce piston. Si la surface considéi^, an lieu d'être ég;ile à /x/. a une étendue double, elle supportera éridenunent une pressiim double, o*eSi-à-iiir*^ i h : si elle a um^ étendu»* triple, elle sera sou- *mise à la pr**ssion **< U, Vax un mot , /<i />#vs.sic>ii totale que sup^torte %ine *Mrf€ice pri.<e dniês Vintèeieur d'un liquide ou si#r /e^s ^ntrois du vase est prO" iMfriionneile à i étendue de la surfaee eim^idêeêe, f7>. FriAdfe de la prtsta hydraaliqae. — La conclusion à liquelle nous ve-

HYDROSTATIQUE

ioè

aons d'aboutir offre un moyeu d'obtenir de grands effets à l'aide de forces relativement peu intenses. Remplaçons par un piston P" la portion de paroi a p , Bt supposons que cette surface a p ait une étendue double de la surface p q : exerce-t-on alors sur le piston P une pression h , la pression transmise au piston P" sera égale à 2 h; on pourra donc obtenir, à l'aide de ce dernier, un effet mécanique extérieur deux fois plus grand que celui qui répond à la force employée à produire le mouvement du piston P ; l'effort développé par le piston P" sera capable, par exemple, de soulever un poids S h ou de comprimer un corps avec uhe force égale à S h, etc. Si nous donnons au pisto|;i P" une surùce cent fois plus grande que celle de l'autre piston, nous centuplons Miari la puissance du premier. Tel est le principe sur lequel repose la constfuction de la presse hydraulique.

Nous venons de montrer en vertu de quel mécanisme on peut, à l'aide de forces modérées , produire des effets extrêmement puissants ; mais il faut se garder d'en conclure que nous avons ainsi créé de la force ; on sait que cela est impos- Ale; en réalité, dans la presse hydraulique comme dans le levier du deuxième genre, nous ne faisons que transformer la vitesse en force : si, en effet, le piston P" lane surface deux fois plus grande que celle du piston P, il transmet, à la vérité, ■ne pression deux fois plus forte, mais, par contre, il se déplace avec une vitesse taix fois plus petite , puisque le corps de pompe dans lequel il se meut contient, à égalité de longueur, deux fois plus de liquide que le corps de pompe du piston P. [En un mot , ce qu'on gagne en force, on le perd en vitesse (Cf. § 21)]. it. Pression sur le fond d'un vase. — De cette propriété des liquides de (rans- ■ctln; également dans tous les sens la pression exercée en un point quelconque (ie leur masse , découlent les conditions d'équilibre de ces corps et les effets de pression auxquels ils donnent naissance en vertu de leur poids.

Relativement à la pression qu'un liquide , sollicité par la pesanteur, exerce «nrlc fond du vase qui le contient, il est.évident, d'après le principe de Pascal, que cette pression est égale au poids de la colonne li(juide qui a pour base la surlace du fond considéré, et pour hauteur la dislance de ce fond au niveau an liquide dans le vase ; c'est dire que la pression dont il s'agit est complète* ^f^it indépendante de la forme du vase. Considérons, par exemple, les trois vases C, D, E, (Fig. 40, 47, 48) qui possèdent des formes différentes, onis qui sont remplis d'eau jusqu'à la même hauteur «t dont les fonds ont la même éten- <he en superficie.

Ûans ces trois vases la pression *'^' ^* **■ ^^■•*<>'* ■"' *® ^^K* *'^- — I*r<?8«lon sur le Fijç. -AS. — Pression sur l6 ... fond , égale au poids du fond , inférieure au poids fond, supérieure au pvid*

sar le fond est uquidc. du liquide. du liquide.

icientiquement la

même, car elle est égale à Wio, si nous désignons par h la surface du fond, par h la hauteur du niveau du li(iuide au-dessus du fond et par o la densité ilu liquide ; or ces trois quantités 6 , /i , S sont les mômes dans les trois cas.

[Il en résulte que , dans le vase C (Fig. 46) la pression sur le fond est égale au poids même de toute la masse liquide ; en D (Fig. 47) cette pression est plus petite que le poids du liquide contenu dans le vase ; elle est , au contraire , plus grande en Ë (Fig. 48). Ainsi , la pression exercée sur le fond d'un vase par le liquide qu'il contient peut être , suivant les cas, égale , supérieure ou inférieure au poids de la masse fluide renfermée dans le vase; on se rend aisément compte de ces faits en décomposant les pressions normales aux parois en pressions horizontales et en pressions verticales : les premières se détruisent deux à deux , tandis que les dernières agissent, suivant leur direction, dans le même sens* que la pression sur le fond ou en sens contraire].

68". Équilibre des liquides dans les vases çonunnniqoants. — C'est encore le principe de Pascal qui détermine les conditions d'équilibre d'un liquide cootenu dans des vases communiquants ; on nomme ainsi le système de deux oa plusieurs vases , tels que B et C (Fig. 49) réunis entre eux par un tube A per> mettant aux masses liquides renfermées dans chaque vase de communiquer

l'une avec l'autre. Quand un pareil système contient un sed liquide, il faut, pour qu'il y ait équilibre, que les surEaioes libres du liquide dans les divers vases soient toutes situées dans un même plan horizontal; en un mot, le niveau du liquide doit se trouver partout à la même hauteur.

En efl'et , considérons une molécule liquide placée dans le tube de communication : cette molécule ne restera en équi-

ji

Eig. 49. — Équilibre libre quc si les pressions qu'elle supporte dans tous les des liquides dan» les ^^^ ùffalcs et ouDosées deux à deux ; or ces pressions ne dé-

▼â»ct communiquants. c» rr ' r

pendent que de la surface de l'élément considéré et de h hauteur du liquide au-dessus du plan horizontal qui renferme la molécule ; par conséquent cette hauteur doit être la même dans les deux vases.

Lorsqu'au lieu d'un seul liquide , les vases communiquants en contiennent deux de densités difl'érentes et non susceptibles de se mélanger, le liquide le plus lourd , s'il est en quantité suffisante , remplit le fond des deux vases aioa que le tul)e de communication, et les deux liquides s'élèvent au-Hiessuê de leur surface de séparation à des hauteurs qui sont en raison inverse de leurs deytsités.

Cette propriété des vases communiquants permet de comparer entre elles les densités de li(]uides difl'érents et non miscibles. [C'est sur ce principe que sont fondés les appareils imaginés par Boyle , Feuillée et Babinet pour déterminer la densité des liquides. M. Bertin*, par une dis|K)sition fort ingénieuse, a rendu cette méthode essentiellement pratique et applicable , i>ar exemple, dans certains cas déterminés , aux i*echerches médicales sur la densité de l'urine ea d'autres liquides de l'économie; sans doute, la méthode dont il s'agit laisse à désirer sous le rapport de la précision , mais elle ofl're le précieux avantage d*ètre d'un emploi rapide.]

6S^. Application du principe des vases communiquants à la circnlatiiHi ÊÊ sang. — Ce qui est vrai pour deux réser\oirs s'applique à un système d*iui

1 BEKTfH. Sur an nonreau donairo^trc bydrostatiqac (JonnuU V Institut, du 13 mars 1859} et Mémrim dt to S^eiéH à9ê 99Hncê» woiMrrilw de airasMwy, 1861 , t V).

HYDROSTATIQUE. IH

nombre quelconque de vases communiquants, et reste encore vrai quand les liquides, au lieu d'être soumis à Faction seule de la pesanteur, ont à supporter, dans l'un ou l'autre des réservoirs , l'action supplémentaire d'une pression extérieure. Le système vasculaire des animaux, par exemple, peut être assimilé à un ensemble de vases communiquants, dans lequel l'action du cœur développe périodiquement une inégalité de pression, prenant une certaine quantité de sang veineux pour la faire pénétrer de force dans les artères. C'est en vertu de cet excès de pression à l'origine du système artériel sur celle qui existe à l'autre extrémité du système circulatoire que le sang circule; car, dans les vaisseaux sanguins de l'organisme animal , de même que dans un s^-stème de vases communiquants, la pression tend constamment à s'égaliser sur tous les points. En somme, la force qui détermine la progression du sang, consiste dans une rupture de l'équilibre hydrostatique, et la circulation n'est autre chose que le fait même du rétablissement continuel de cet équilibre.

M. Perte de poids que subit on corps solide quand il est plongé dans on liquide. FiiBcipe ifArchiinède. — On a vu que les molécules liquides exercent les unes wr les autres, ou contre les parois du vase qui les contient, une pression précttément égale à celle qu'elles ont elles-mêmes à supporter; elles se comportent de la même manière à l'égard des corps solides qui viennent à être plongés dans une masse liquide.

Or la pression qu'un point quelconque du corps immergé éprouve de la part du liquide, dépend uniquement de la hauteur de la colonne liquide placée audessus du point considéré. La face supérieure du corps ahcd , par exemple (Tig. 50), supporte une pression égale au poids de la colonne adpq; ]ai face inférieure bc est pressée , de bas en haut , par une force égale au poids de la colonne bcpq. De même, tout point des faces laté- 4 raies, tel que k ou /,.est soumis à une pression dont la grandeur est déterminée par la distance de ce point au niveau du liquide dans le vase ; ces pressions latérales sont , d'ailleurs , comme les pressions qui s'exercent sur les faces supérieure o« inférieure , dirigées normalement à l'élément de !«urface considéré. Il s'ensuit que toutes les pressons latérales se font équilibre deux à deux et qu'on n'a plus à tenir compte que des pressions qui portent sur la face supérieure et sur Tinfé- ^

• 1 •« 'L L il» ' Flg. 50. — Perte do poids rfnrouvëo

mure ; or ces dermeres , étant opposées 1 une a p„ „„ .^^p. «oude piongcs dans un l'autre et de grandeur inégale , ont une résul- fluide (rrincipo d'ArciumMe). tante égale à leur différence; cette résultante, dirigée de bas en haut, agit sur le corps eu sens contraire de la pesanteur et lui ûit ainsi perdre une partie de son poids précisément égale au poids du liquide déplacé. On peut donc dire, d'une manière générale, que : tout corps plongé dam une masse fluide perd une partie de son poids égale au poids du fluide déplacé. Tel est l'énoncé de la loi connue sous le nom de Principe d'Archimède.

[La force qui tend ainsi à soulever le corps est appelée force de poussée ou

DE LA PESANTEUH.

simplement poussée du fluide; son point d'application n'est autre cliose que le centre de gravité de la masse fluide déplacée ; elle est , comme nous l'avons dit, verticale et dirigée de bas en haut.]

70. Poids spécifique des solides et des liquides. — Le principe d'Ârchimède fournit un moyen de déterminer la masse relative des corps [c'est-à-dire leur de)isité,] On a vu , §52 , que la masse d'un corps a pour mesure l'intensité de la force avec laquelle il est attiré par le fait de la pesanteur , ou , en d'autres termes, son poids, [car il existe entre le poids P d'un corps et sa masse M, la relation P := Mgr, en représentant par// l'intensité de la pesanteur (Cf. §25), relation qui montre que la masse d'un corps est proportionnelle à son poids]. Les masses relatives de deux corps sont donc entre elles comme les poids de volumes égaux de ces corps; il suffît, en conséquence, de comparer entre eux les poids de volumes égaux des différents corps, pour obtenir leurs masses relatives. Cette comparaison nécessite l'adoption d'un certain corps pour unité de masse, et on a choisi, dans ce but, l'eau prise à son maximum de densité, c'est-à-dire à la température de -f- 4<>.

Le rapport du poids d'un corps au poids d'un égal volume d'eau à + 4« est, ce qu'on appelle, \e poids spécifique de ce corps, de telle sorte que le poids spécifique d d'un corps est égal au quotient qu'on obtient on divisant le poids absolu P de ce corps par le poids V d'un égal volume d'eau :

On obtiendra donc le poids spécifique d, en déterminant d'abord le poids absolu du corps, jniis le poids d'un égal volume d*eau, et en pretiant le rapport de ces deux poids. Cette opération fournit en même temps le volume du corps dont on cherche le poids spécifique , car le nombre qui exprime en grammes le poids d'une certaine masse d'eau , représente aussi le volume de cette môme masse exprimé en centiihètres cubes.

[Nous pouvons encore définir le poids spécilique, le poids de Vunité de uolume du corps coïisidéré; si, en clfet, dans l'équation précédente, ou fait V := 1 , jce qui revient à considérer l'unité de volume du corps , on trouve ci:= P, c'est-à-dire le poids spécifique égal au poids même du corps sous l'unité de volume.

Le poids spécifique n'est pas la môme chose que la densité qui, elle, peut être définie la masse de l'unité de volume d*un corps ; mais il est facile de voir que ces deux grandeurs , poids spécilique et den.sité , sont proportionnelles l'une à l'autre et sont, par conséquent, représentées par les mêmes nombres.

Mettons, en effet, Téquation (1) sous la forme :

D^AUtro part, on a :