CHAPITRE Vin

H Y PKO DYNAMIQUE.

77. Econleai^nt des liquides par les orifices en mince pann. Principe de TorictlIL — Toute fwirlicule do lii|niile tomU*. on voiiu tio la pesantour, de la mtof maDÎèn' qu'un oorps sn^lide ; mais si la niass«* liquide qui <d»êil à Taction de b gravitation, a une certaine olontluo, ses nioKVules constituantes st^ s^pareo^ facilement les unes des autn^s, à caus*^ de la faible cohésion qui le» unft- Aussi « quand un liquide IouiIk^ librement, a-t-il une tenuance à se divi^ef en gouttes isolét^s. On |H^ut onq>«Vher cet effet de se pnxluin», soil en (WMvX couler le liquide le long d'un plan incliné, ct^ qui ralentit la vit6««ede9ft chute, soil en le forçant à sWouW ilans rintôrieur d'un tuhe ; dans cedef nier c^is, les pariicules litiuitk^ m« l^^ivent se séparer U^ unes des autres ^ sans laisser entre elles un vide à la fonnation duquel la pnv'vsion atmosphériqii^ nei oKsIacle. Que rtVxMileinent ait lieu sur un plan incHné ou dans uf^ tuyau y il en résulte toujours un courant continu de li<|uide, dont le mou^ veinent diffère de celui des corps solicita tombant en chute libre ; car les mo-^ lécttles liquiiies Sii^nt mis<^^ en mouvement non -seulement par leur proprr

HYDRODYNAMIQUE.

te^feï

rrrz rr: hr - — • — 7

)oids, mais encore par celui des molécules sus-jacentes , ainsi que l'exige le principe de la transmission des pressions dans les fluides.

Les différents cas que nous venons d'indiquer peuvent être étudiés à l'aide d'un vase cylindrique , tel que celui de la Fig. 58, rempli de liquide jusqu'au niveau mn et dont le fond est ^ a

percé d'un orifice xy. La veine liquide qui s'échappe par cette ouverture tombe en chute libre, à partir du moment où elle a franchi le niveau de tel orifice. Le liquide renfermé dans le réservoir se trouve , au contraire , animé d'un mouvement continu dirigé vers l'orifice de sortie, et auquel prend part toute la masse , puisque la pression se transmet également dans tous les sens Imaginons parla pensée que la colonne liquide pqxy, qui a l^ur base l'orifice d'écoulement , soit solidifiée : i l'instant où ledit orifice viendrait à être ouvert , U masse solidifiée se mettrait en mouvement , fi sa vitesse, d'abord nulle, s'accélérerait, conformément aux lois de la chute des corps. Mais *'*«• *»• - KcouiemcDt dim uqaido

.«.•1 11 A i. M. V^ ^^ orifice en mince paroi.

a cette masse reste liquide , elle presse de tout Principe de ToHctm, 8on poids sur la tranche inférieure, avant même

que l'orifice soit ouvert, et, quand cette ouverture vient à se produire, la tranche x?/ se met en mouvement, non-seulement entraînée par son propre poids, mais encore poussée par la pression totale qu'exerce sur elle la colonne pqxy. Or, comme la pression développée par chacune des tranches qui composent cette colonne liquide est due au poids même de la tranche considérée, il est évident que la pression résultante produit un efl'et précisément égal à celui que déterminerait la pesanteur agissant successive roenl sur la tranche xy , si cette tranche était tombée de la hauteur px du niveau du liquide au-dessus du fond du réservoir ; nous désignons cette hauteur pvH. Le poids de la colonne pqxy représente donc une force qui imprime à t tranche x y une vitesse initiale égale à celle qu'acquerrait cotte tranche en tombant verticalement de la hauteur H. Si on maintient constant le niveau du liquide dans le réservoir, la force qui agit sur les tranches liquides au fur et à ïuesure qu'elles se présentent à l'orifice de sortie ne varie pas, et la veine qui «i jaillit s'échappe avec une vitesse constante, dont la grandeur est (KHorminée pw la hauteur H. Cette loi qui règle la vitesse d'écoulement dos liquides P» les orifices pratiqués en mince paroi porte le nom de principe de Tori- ^i, du nom du savant qui en a fait la découverte.

[On peut l'énoncer ainsi : la vitesse d'rcoulemetit d'un liquide par un ori- ^ pratiqué en mince paroi est égale à celle qu'acquerrait un corps en ^f^^nt librement de la hauteur H du niveau du liquide jusqu'à Vorifice ^ «ortt«. D'après ce principe, la vitesse d'écoulement a pour expression :

v=\/2gIL

134 DE LA PESANTKUn.

Ou a vil, on otTvt, § 53% quo la ritesse r acquise au bout de t Recondca pa; qui tombe librement est: v=gty que Tespace parcouru dans le même t

e ~ gi^, Kn éliminant le temps entre ces deux équations et on appelant !

parcouru, nous obtenons: v^ \ 2gII^ comiae expression de ce qu'on appell

du9 h Uif hauteur H^ c*cst-k-dire de la vitesse que possède un corps qui est la hauteur //.

La hauteur H se nomme la charge II s'ensuit que la vitesse d'éc d'un liquide est proportionnelle à Ui racine carrée de la charge,]

Il importe toutefois de remarquer que pour établir ce principe y oi d*une hypothèse qui n'est jamais réalisée d'une manière rigoureuse ; posé, en eflet , que les molécules liquides situées dans le principe en de colonne ;></«ri/ qui est destinée à former la veine liquide, pénètrent vement dans cette veine sans rencontrer d'obstacle à leur mouvemen choses se passent autrement : considérons, par exemple, les deux mo et M', au moment où elles se rencontrent au point R , après avoir les chemins respectifs MU et M'R : il est évident que ces molécules s rieront dans leur maixrhe et d'autant plus que les directions de leui toin^ s'éloigneront da\*antage de la verticale ; car on peut décompose vement de chacune de ces molécules en deux autres , un vertical IR < rizontal MI et M'I ; les deux com}>osantes horizontales se détruisent i menU puisc|uVlles ont des directions opposées. Cela étant, plus I* Si^rtie du liquide sera grand, plus les trajectoires des molécules laté carlenmt de la verticale, et plus, j>ar conséquent, la vitesse d'écoulei diminuée. (V ralentissement de la vitesse a pour effet de rétrécir n la veine liquide, à mesure qu'on s'éloigne de l'orifice de sortie ; ce pb est désigné sous le nom de ct^ntraction de la veine : le maximum de tien convs|K>nd à l'endroit où les filets liquides qui viennent des régi niU»s o|W»ront leur jonction, et la section de la veine en ce point n'est q^ les ^ 3 do i*ello de Torilice d'écoulement. Si on substitue à la sedi orifice la $eciion c«»#ili*f icf «V , on trouve que l'écoulement a heu coufo au princi|H* de Toricelli.

l«a dèiHUis^ es\ le volume de liquide éi^oulé ilans Tunité de temps donc (y;ile au proiiuit de la vitesse |Kir la sei lion de TorifiiV d'écoulen Q la dé|HMiso ^ r la vitt^ssi*, et * la section , on a :

Q = îtr R>nnnlo qui nnnUre que, si la dépense doit rester constante, il Ik vittrssw \arie en niist>n inverse de la section. On voit ilono que la Til èinfr lri^-gniu«le, bien que la dé|iense soit très-(aible« si la section A tfécoiilenieiit est trtV-|H^ite, et nVipnH|uenHH)l.

-aat r par mi valcar on fouotion de la ckar^. B«>ut aroiif :

a« iKHit d« tmMf* t:

V ^Qt = *\ Î7ÏÏ

HYDRODYNAMIQUE. 135

En féêUté, le rolnme de liquide ëcoalé dans le temps t ii*a qae les 2/3 de cette Talenr, à caoae de la contraction de la veine, de sorte que la formule dont on se sert en pntiqae est : r=2/8 $t j/^H*

Ces relations permettent de calculer soit la dépense à Taide de la vitesse, soit la vitesse à Taide de la dépense, et de déduire de la vitesse la charge correspondante.

A partir de la section contractée, le liquide tombe en chute libre. Si la veine liquide était solidifiée, elle tomberait tout d'une pièce, comme le ferait un solide de même section. Mais la masse à Tétat liquide peut être considérée, vu sa faible cohésion, comme une réunion de particules solides qui s'échappent Tune après l'autre deForiûce de sortie. Or, si on laisse tomber successivement deux corps, en mettant un certain intervalle de temps entre les époques de leur départ, la distance qui sépare les deux mobiles augmente continuellement pendant toute la durée de la chute , attendu que la vitesse de chaque mobile croit en raison directe du temps. Le même phénomène tend à se produire quand ce sont des particules liquides qui tombent ; s'il n'existait aucune force cohésive entre les molécules, les différentes tranches du liquide qui s'écoule se sépareraient les unes des autres, et leurs distances mutuelles s'accroîtraient sans cesse avec la durée de la chute ; mais la cohésion du liquide intervient ici de la même manière qu'elle l'a fait pour déterminer la contraction de la veine à sa sortie de l'oriOce d'écoulement : elle maintient la continuité du jet liquide aux dépens de son diamètre, qui va en diminuant graduellement; toutefois le rétrécissement dans ce cas s'opère avec bien plus de lenteur qu'au début. Cependant, si la hauteur de chute est considérable, les changements de distance entre les molécules liquides lînissent par acquérir une si grande valeur que la veine devient discontinue : les molécules liquides se séparent les unes des autres par petits groupes, et la veine se résout ainsi en gouttes, qui diminuent de grandeur à mesure qu'elles parcourent un espace de plus en plus considérable.

L'orifice d'écoulement est-il percé dans la paroi latérale d'un réservoir, au tiwid'en occuper le fond, cette circonstance n'apporte pas de modification ess^tielle au phénomène : la vitesse d'écoulement reste toujours proportionnelle i la racine carrée de la hauteur du niveau du liquide dans le réservoir au-dessus de l'orifice de sortie (loi de Toricelli), et la veine éprouve aussi une con- ^ction. Mais, sitôt que le liquide s'est échappé hors du réservoir, il se meut ^^^^nune le fait un corps lancé horizontalement : la pression hydrostatique a agi <^ïnme force de projection horizontale, et l'influence concomitante de la pesanteur fait décrire à la veine liquide une trajectoire parabolique (cf. §§ 26 et 57).

78. Écoulement des liquides dans les tuyaux de conduite. — Quand l'écoule- "ï^ût des liquides , au lieu d'être libre, s'eîTectue dans des tuyaux de conduite, " wl soumis à d'autres lois que celles (jui sont contenues dans le théorème de toricelli. Le cas qu'on observe le plus ordinairement et qui intéresse en parti- '^ier le physiologiste, est celui où le liquide mouille les parois du tube.

Soit M (Fig. 59) un réservoir rempli d'eau jusqu'au niveau H, et dont îa pa- ^^ latérale est percée à la partie inférieure d'un orifice circulaire 0. Si cet ori- "^^^ s'ouvrait librement à l'extérieur, le liquide s'échapperait avec la vitc«»« due '^ wi hauteur H, en formant une veine (jui présenterait le phénomène de la