CHAPITRE III

IT.tiiillbrittBtifaMiit. — Attendu que tous les changements dont la nature est le théâtre peuvent se ramener à des mouvements, la recherche des lois du mouvement doit être la première question dont les sciences physiques ont k s'occuper; mais avant d'aborder cette étude, il importe de préciser les conditions du mouvement en général. Tel est l'objet de la statique ou étude de l'équilibre; la statique s'occupe, en effet, de déterminer la grandeur et la direction que doivent avoir les forces qui agissent sur un point matériel quelconque ou sur un corps, pour que ce point ou ce corps restent en repos. Au cas que les forces ne se fassent pas équilibre, il s'agit de calculer la grandeur et la direction du mouvement qui a lieu; c'est alors à la dynamique^ ou science du mouvement considéré dans ses rapports avec les forces, qu'il appartient de rechercher les lois suivant lesquelles s'accomplit, dans l'espace et dans le temps, le mouvement d'un point matériel ou d'un corps, en partant de la grandeur et de la din ction des forces qui agissent à chaque instant sur le mobile considéré.

■ LOIS t>V MOUVEMEXT 2o

■ H. Coa^otttioa du forces appllqoiea i on point matériel libre. — Lorque des fcrcps quelcontines agissent sur un point matépiel isolé, il y a trois cas à ibutin^uer : ou les forces sont dirigera dans le même sens, im elli's sont liirigê^s en sens contraire, tout en étant sur le prolongement les nues des mtrm, i»u enfin elles forment entre elles un certain angle. Dans les trois cas, l'effet produit sur le point se déduit du principe de la composition des forces (cf. § 10).

Lorsque deux forcew ont la mêmp direction, leur effet est évidemment

éjral k la somme des effets de chacune d'elles considérée séparément; quand

W ilf-ux forces sont dirigées en sens coniraire l'une de l'autre, l'effet

T'-^iilljtiit est dirigé dans le sens de la force la plus grande, et il est égal a

h différence des effets des deux composantes. Parallklograhmb des forces. — Si les deux forces qui sollicitent le

point à s* mettre en mouvement forment entre elles un angle, [si elles sont,

emome on dit, concournntes,] l'une étant dirigée suivant la droite MP.

l'iutre avant la direction MQ (fig. 3), leur action simultanée aura pour

(ffet d'amener le point M en R,

en supposant que la première

^8sant seule eiit transporté le

pHnt en P et que l'action isolée

de la seconde eût fait arriver

ce même point en 0- Eu effet, imaginons que les

tjrces aient agi l'une après

l'autre : le point matériel aunùt d'abord parcouru le chemin MP, et ensuite le cliemîn PR, qui est égal et parallèle ii MQ. Or, il est facile de voir quel est, en réalité, le chemin »niTî par le point lorsqu'il arrive à cette position finale R, sous l'influence limultanée des deux forces. Dans ce but, on peut évidemment partager l'action de chaque force en autant d'actions élémentaires qu'on le désire : nippQsons qu'à un moment donné du mouvement, la première force eût amené le point matériel en P', et que la seconde force, agissant de son c&té, Mt fait parvenir enQ' : l'action combinée des deux forces aurapour effet de telDSporter le point en R'. Si nous cherchons de cette manière les positions réelles et successives du point matériel dans les instants qui mirent, nous trouvons que le lieu de toutes ces positions est une ligne droite MR, qui forme la diagonale du parallélogramme construit sur les droites MP et MO.

Les forces qui agissent dans la direction des côtés MP et MQ sont ce L|n'on appelle les composantes; elles peuvent être remplacées, quant h l"ffet produit, par une force unique qui agirait suivant la droite MRet qui se iinmraela r'e'sH/ïan/e. La loi de la composition de deux foi'ces concourantes est fotmue sous le nom de loi du parallélogramme des forces, précisément ■-n raison du mode de construction que nous venons d'indiquer pour trouver -ffi^ résultant. Puisque les forces ne peuvent être mesurées que par leurs ■tItU, les droites MP, MQ, MR représentent en grandeur et en direction les iJeui composantes et la résultante.

AiDsi donc il est parfaitement indifféi'ent. au poii

ut de vue de l'ef

produit, qu'un corps soit sollicité par une seule force égale en grandeur et en direction à MR, ou qu'il soit soumis à l'action simultanée des deux forces représentées par les deux droites MP et MQ ; on peut, à volonté, remplacer les deux composantes par leur résultante, ou celle-ci par se.s deux composantes; c'est là un résultat d'une grande importance pratique.

Polygone des forces. — Nous venons de démontrer la loi du parallélogramme des forces pour deux forces seulement; mais il est facile de l'étendre au cas où un nombre quelconque de forces agissent sur un même point matériel. On n'a alors qu'à chercher, au moyen de la construction précé demment indiquée, la résultante de deux des forces données, puis à composer de la même manière cette résultante avec une troisième force; la diagonale de ce nouveau parallélogramme représente évidemment la résultante des trois forces considérées. On répète la même construction pour une quatrième force, et on continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces données. [La dernière résultante obtenue représente la résultante finale de l'ensemble des forces considérées, et la série des droiteN qui ont été menées parallèlement aux forces données pour trouver les résultantes successives, forme un polygone, d'où le nom de polygone des forces, \

Conformément au principe de la composition des forces ainsi généralisé, on peut décomposer une force donnée, non seulement en deux autres, mais encore en un nombre quelconque de forces; on n'a, à cet effet, qu'à regarder les deux premières composantes comme étant à leur tour les résultantes de deux paires d'autres composantes, et ainsi <le suite.

Parallklipipède des forges. — Il reste à examiner le cas où le point matériel est sollicité par trois forces concourantes non situées dans uu même plan; on construit alors avec les trois forces données un pavnllélipipèdi*, de la même manière qu'on c<Mistruit le parallélogramme dans le cas de deux forces;la diagonaleduparallélipii>ède donne immé<1iatement,en grandeur et en direction, la résultante cherchée. [Si le nombre des forces est supérieur à trois, on trouve la résultante du système en composant successivement les résultantes de trois forces avec deux nouvelles forces.]

19. CompositioM des fbrces partUèlM o« coicoiiraiitM appliqiées à in eorpt loliét.

Théorie d« levier. — Le principe du parallélogramme des forces ne suffit plus

pour rendre compte de ce qui se passe lorsque h^s forces sollicitent un corps

„ de dimensions appréciables, au lieu d'agir sur un

*• j^ simple point matériel ou sur un corps assez petit

I pour être assimilé à un point. Considérons, par ^ exemple, un corps ayant la forme d'une bariv rigide et soumis à l'action de plusieurs forces ; i il pourra se présenter, dans cés conditions, un

''%'.ii7;e^:il"un^%';^ cas qui est tout à fait impossible lorsqu'on n'a à

(levier). fiiire qu'à un seul point matériel : il peut se faiiv

notamment que les forces tendc^nt à faire tourner la barre. Le cas le plus simple est c(»lui où deux forces AP et BQ (fig. 4» agissent aux extrémités de la barre Ali, suivant des directions parallèles et de même sens : il arrive alors que la barre se déplace en totalité dans le sens où l'entraînent les deux forces et qu'elle tourne en même temps, en s'inclinant llu côté de la force la plus jjrande. qui est liy. Mais, si on vient à empêcher

le mouvement de translation de la barre en la soutenant en un point tel que 0, il ne pourra plus se produire qu'un mouvement de rotation autour ilu point fixe.

On désigne sous le nomde levier simple toute barre linéaire rigide [droite ou courbe,] s'appuyant ainsi sur un point fixe qui lempêche de se déplacer en totalité, mais autour duquel elle peut tourner. La force, avec laquelle il faut soutenir le levier pour l'empêcher de se déplacer en totalité, se déduit «les conditions établies pour l'équilibre d'un point matériel : si les forces iiiolrices sont parallèles et de même sens, comme le représente la fig. 4, il feut que la résistance du point d'appui soit au moins égale à la somme des •leux forces; si les forces sont parallèles et de sens contraire, la résistance doit être égale k leur différence [et dirigée dans le sens de la plus petite].

Supposons enfin que les directions des deux forces fassent entre, elles un certain angle, comme c'est le cas dans la figure 5 pour les forces AF et BF, qui prolongées forment l'angle AIB; décomposons chacune de ces forces t-ii deux autres et de manière

à ce que deux des composan - ^

tes, AL et BL', soient égales, *le sens contraire et placées <ur le prolongement de la Iruite AB, tandis que les leux autres, AP et BQ, sen»nt parallèles entre elles.

En oi)érant cette décompo- Mtioii suivant les règles du parallélogramme des forces, '•Il peut toujours satisfaire aux conditions indiquées pour

cas particulier, si on a soin

mener les composantes AP ' t BQ parallèlement à la ré- >ultante du système des forces primitivement données; nous Verrons à l'instant comment "îi trouve cette résultante, qui est d'ailleurs la même que celle des composantes parallèles.) Or, les composantes AL et BL', tirant en sens contraire et avec la même intensité, se neutra- !ivnt réciproquement et ne déterminent aucun mouvement; les deux autres • imposantes AP et BQ entraînent, au contraire, le levier, et, pour empêcher '->* mouvement de translation, il faut appliquer en un point quelconque du levier une force résistante, égale à la résultante des deux composantes parallèles, c'est-à-dire à leur somme [et dirigée en sens opposé]. Après avoir ainsi ramené l'effet des forces appliquées à une droite aux mêmes règles que celui des forces appliquées à un point matériel, en ce qui conctrae le mouvement de translation, il ne nous reste plus qu'à étudier l'actioij rolatoire d^s forças sur le levier»

Km. j - C'ijiipoaitio.i des forces paraUëles et théorie du

levier.

Cela posé, reprenons la figure 5, et considérons les forces parallèles AP et BQ, qui agissent aux ezti'émités du levier. A ces tuêmes extrémités, et dans la dircciion de la di*oite AB, appliquons deux forces AL et BL' égales et de sens contraire: Téquilibre du système ne sera pas troublé par ces nouvelles forces, puisqu*elles se neutralisent réciproquement. Composons ensuite les forces AP et AL, et les forces BQ et BL' ; nous obtenons ainsi le» deux résultantes A F et BP, que nous pouvons substituer aux forces primitives AP et BQ, puisque Tintroductiou des composantes auxiliaires AL et BL' a été sans influence sur Tétat du système. Prolongeons donc ces résultantes jusqu'à leur point de concours en I, et imaginons que les droites AI et BI soient des tiges .solides, mais sans pesanteur, et liées d*une manière invariable au levier; il est évident que la présence de pareilles tiges n'altérera en rien le mouvement du levier.

[Or« on admet en mécanique, comme principe expérimental, qu'on peut^ sans changer rétat de repos ou de mouvement d\tn corps, transporter le point d'application d'une force en un foint quelconque de sa direction^ pourvu que le second point soit lié invariablement au premier. Ce principe peut être déroSntré comme une conséquence de celui de V égalité de V action et de la réaction.'] 11 est donc permis de transporter les points d'application des forces AF et BF' au point de concours I de leurs directions, et, à Taide de oet artifice, Teffet do deux forces appliquées à une ligne solide se trouve ramené au cas des forces agissant sur un point matériel, problème dont nous avons déjà donné la solution. Prenons dès lors IF^ égal à AF et IF^' égal à BF' ; construisons le parallélogramme des forces, et nous obtenons la résultante IR, qui rencontre le levier au point 0. Si à ce point 0 on applique une force égale et parallèle à la résultante IR, mais dirigée en sens contraire, on empêche les forces IF^ et IF^', ou leurs égales AF et BF', de produire aucun mouvement du }K)int I; mais ce point est supposé lié invariablement au levier; par conséquent, si on soutient le levier au point 0 avec une force égale à la résultante IR qui passe par le même point, tout le système restera en repos, c'est-à-dire ne subira aucun mouvement de translation ni de rotation. On sait d'ailleurs, par ce qui précède, [et la démonstration en sera donnée plus loin,] que la résultante IR est égale à la somme des deux forces parallèle* AP et BQ, et qu'elle est parallèle à leur direction.

Si Ton ne tient qu'à empêcher le mouvenient de translation du levier, le choix du point où il faut le soutenir importe peu; mais il n*en est plus de même lorsqu'on veut mettre obstacle à la fois au mouvement de translation et h celui de rotation : il faut alors appliquer la force de soutien au point 0, par où passe la résultante des forces motrices; en plaçant le point d'appui en tout autre endroit de la ligne AB, on empêche, à la vérité, le levier de se déplacer en totalité, mais on lui permet encore de tourner autour de son point d'appui.

La position du point 0 dépend évidemment du rapport qui existe euti'e les grandeurs des deux forces parallèles AP et BQ. Pour déterminer ce point, je remarque que les deux triangles APF et IDA sont semblables, qu'il en est de même des deux triangles BQF* et lOB ; on peut donc poser :