MOUVEMENTS PRODUITS PAR L ACTION DE LA PESANTEUR COMBINEE AVEC

d'autres forces MOTRICES

57. losfemeitdes prtjectilet. — Nous avons donné, dans le chapitre précédent, la théorie du plan incliné et celle du pendule, en considérant le mouvement effectué dans ces conditions comme un cas particulier de la chute des corps. 11 nous reste à présenter un aperçu général des mouvements que détermine la pesanteur quand elle agit concurremment avec d'autres forces motrices; l'analyse du mouvement complexe qui résulte de cette combinaison de forces n'offre aucune difficulté notable, quand on suppose, non seulement la pesanteur, mais enc(»re les autres forces toutes appliquées au centre de gravité du mobile; or cette supposition est licite dans la plupart des cas, et elle permet de trouver, à un instant quelconque da mouvement, la grandeur et la direction de la résultante, à Taide du parallé* logramme des forces.

Il arrive fréquemment que ces mouvements composés changent à chaque instant de direction et qu'ils ont ainsi une trajectoire curviligne ; cela tient à ce que la pesanteur, étant une force constante, agit sur le mobile d'une manière continue et uniforme, tandis que les autres forces en jeu n'exercent le plus souvent qu'une action momentanée ou d'intensité variable (cf. § 26).

Le mouvement des projectiles nous offre un exemple de mouvement composé, déterminé par l'action simultanée de la pesanteur et de la forci* avec laquelle un corps est lancé dans l'espace. Cette dernière force, désignée sous le nom de force de projection, n'agit sur le mobile que pendant un temps très court; elle lui imprime une certaine vitesse, en vertu de laquelle le projectile, abandonné à lui-même, se mouvrait indéfiniment en ligne droite et en conservant sa vitesse initiale, si la pesanteur n'intervenait à chaque instant pour modifier la direction du mouvement.

Supposons qu'un projectile soit lancé dans la direction OD' qui fait avec l'horizon un angle «3 (fig. 45); s'il n'était sollicité par aucune autre force, il se trouverait à la fin de la première seconde en A', à la fin de It

[OUTElfENTS PROï»UITS PAR l'aCTION COMBINEE DE PLUSIEURS FORCES 103

xième seconde en B', au bout de la troisième en C, et ainsi de suite. tttre part, si le mobile était soumis à l'action seule de la pesanteur, omberait vers la terre, suivant la verticale, et parcourrait dans cette

«tien un espace A'Mi = -|-

dant la première seconde, un

ace B^M r= 4

pendant les

Fio. 45. — Trajectoire parabolique décrite par les

projectiles.

X premières secondes, un ese CMn = ^ -^ pendant les trois

mières secondes , et ainsi de suite, pace parcouru augmentant protionnellement au carré du ps. ()r, en vertu du principe

la composition des mouvements, le projectile occupera, à chaque ant, la position à laquelle il serait parvenu, si Ton avait fait agir sur lui trément d'abord la force de projection, puis la pesanteur; c'est ainsi qu'à a de la première seconde le corps se trouve en M|, à la fin de la seconde 'ante en M„ et ainsi de suite. En réunissant par un trait continu les •rentes positions successivement occupées par le projectile, on obtient r trajectoire une ligne courbe OMi Mt M^ D, qui présente la forme d'une *abole dont l'axe est vertical.

01 soumettaût la question à Tanalyse mathématique, on démontre, eu effet, que la traôre décrite par un projectile doit être une parabole, si on fait abstraction de la résistance fair oppose au mouvement du mobile.

intervalle OD, compris entre le point de départ et le point cKarrivée du mobile sur le M nomme V amplitude du jet ; on démontre que, pour une même vitesse de projection, \plitude du jet est proport ion neJ le au sinus du double de V angle de projection ta et 'Ue atteint sa valeur maximum quand cet angle est égal à 45^ \ à égalité d*angle de ection, C amplitude du jet est proportionnelle au carré de la vitesse de projection. On ûic hauteur du jet, la plus grande élévation à laquelle parvienne le projectile; on trouve , toutes choses égales d*ailleurs, cette hauteur est proportionnelle au carré du sinus f ongle m et au carré de la vitesse de projection.']

9. loiiTements des corps célestes. Lois de Kepler. — On rencontre encore un exemple mOQvements composés produits sous Tinfluence simultanée de la pesanteur et d'une t force, dans les mouvements des corps célestes. 11 s*excrce, entre le soleil et les planètes, attractions réciproques qui, comme la pesanteur terrestre, ont pour origine la gravim nniverselle. A cette action constante de la gravitation vient s'en joindre une autre gée suivant la tangente à la trajectoire décrite par le mobile ; on peut se représenter cette aièrc force comme le résultat d'une impulsion initiale qui aurait été donnée aux corps lies à l'origine du mouvement et qui, si elle avait été seule à agir, aurait communiqué !s corps un mouvement indéfiniment rectiligne et uniforme.

«s mouvements vrais des astres sont extrêmement compliqués, parce que tous les corps stes s'attirent mutuellement avec une énergie qui, confoimément à la loi générale des OQS à distance, est directement proportionnelle au produit des masses en présence n raison inverse du carié de leur distance. Mais on obtient une approximation suffisante I beaucoup de cas, en ne tenant compte que des actions exercées par les corps céleatea plus considérables, par ceux que la simple observation nous montre comme des couirea nr desquels semblent s'effectuer les mouvements des autres astres; pour notre ayslèine ire, par exemple, il suftit do considcrtr l'attraction que le soleil exerce sur les platièlos, m cette hypothèse, on trouve :

[o Que les orbites des planètes sont des ellipses, dout le soleil occupe Tun des fojen;

2^ Que les aires décrites par un rajou vecteur mené du centre du soleil an centre de U ]»lanète sont proportionnelles au temps;

3<» Que les cari'és des temps des révolutions pout proportionnels aux cubes des gnndt axes des orbitos.

Ces troi^ lois, qui régissent le mouvement «les planètes, sont appelées lois de Kepler ^i^ nom de ra»tn.>uome qui les a déi:ouvertes.

51. ■••f«MBt cirfiligM. Force ceitrifige et force ceitripète. — Les meuve*

ments des planètes ne sont qu'un cas particulier du mouvement curviligne

eu général. Nous ne saurions traiter ce sujet, dans toute sa généralité, sans

nous écarter du but de cet ouvrage; cependant il y a utilité à analyser le

mouvement qui se produit dans des conditions semblables, mais plus

simples: l'exemple que nous allons étudier servira en même temps à faire

comprendre comment les choses se passent dans le mouvement des astres.

Imaginons un mobile B (tig. 46) tournant en cercle autour du point 0

comme centre. La force qui meut le corps le long de la circonférence et qui.

^ dans un temps très court, lui aura fait parcourir.

^ par exemple, l'arc de cercle BP que nous coiifon-

dons avec sa corde, cette force peut être décomposée

• en deux autres : Tune BH poussant le mobile dam

la direction de la tangente BA, l'autre BG attirant

\ le corps vers le centre de rotation. Si nous suppo-

,c "^ sons le mouvement uniforme, la première de ces

* ^ forces est le résultat d'une impulsion unique qui, à for-# .V triAir^. 1 Origine du mouvemeut, a agi sur le mobile <lausll

dii'ection de la tangente à la courbe décrite; quant à la composante normale, elle représente nécessaii'ement une force constante, puisque, si elle venait à cesser d'agir, le corps abandonnerait aussitôt la circonférence sur laquelle il se meut.

Les «leux forces, dans lesquelles nous venons de décomi>oser la force motrice, ne sont pas purement fictives; elles existent en réalité : ce qui le prouve, c'est que d'abord le mobile s'échapj>e suivant la tangente, si on vient à rompre le îil qui l'attache au point U, et que, d'autre pari, durant sou mouvement, il exerce sur ce point une traction dirigée suivant OB, traction qui, en vertu du principe de régalité de l'action et de la réaction, a pour origine une traction égale et de soi:s contraire du jK)int O sur k mobile. Quant à la force BH. il ne saunait ètn» question pour elle d'une réaction en sens op|K>sé, puisque cette foiw s*^ réiluit à une impulsion unique qui a agi à l'origine du mouvement et que, par conséquent, il n'y a eu d'effet de réjclion qu'à cette êpixjue.

Oii ap{»elU* f..»rc»» Utnijeiitie'fe cell ' qui teîid à euîraÎM»*r le mobile Jani la «Urectioi* de la tangeiit»* BA. force fen//*ï.^'.V, celle qui !♦» lin* vers k centre O, et torce cenirifwje. celle qui o<l égal*» et dt» seiis contniireà la force centript*te. Quand on fait tour;.»r avtv ntj i lit** un corp^^ fixe à Textrémité d'une froiide, on s»» convai:.c «îe l'existé: a -i^ de la foixv centrifuge par l'effort de tn>ction qui len.! à entraîi.t-r la nuûii. tau<Us que la force oeutripêleest représentée j>iir reflfort que dejdoie la maiïi pour empêcher U fxvad^ de s'eciiapper. Au fo ; I. il s'agit li d'un effet de retctiou semblabk

MOUTEMBNTS PRODUITS PAR l'aGTION COMBINEE DE PLUSIEURS FORGES 105

ï celui qui se produit lorqu'on exerce une pression contre un corps : on éprouve une résistance égale en intensité à la pression exercée.

Cela posé, considérons rélément de chemin BP parcouru par le mobile, et décomposons le en un mouTement tangentiel BH et un mouvement centripète B6; si nous déterminons alors la force correspondante à ce dernier mouvement et si, en outre, nous connaissons la Titesse avec laquelle le mobile parcourt sa ti'igectoire curviligne, nous avons tous les éléments nécessaires pour obtenir la valeur de la force centrifuge. Or l'arc BP, qui se confond avec sa corde, a pour expression :

BP = r^

rdésignaiit la vitesse du mobile et t le temps qu'il emploie à parcourir ce chemin BP; d'un ntre côté, m étant étant la masse du mobile et F la force constante qui l'attire dans la ■firection BO, nous avons (cf. § 25, équation [3]):