SA SR

Désignons par p la distance S A du point lumineux au miroir, par p' la distance S'A de rinage, et par r la longueur R A du rayon de courbure. En introduisant ces valeurs dans la dernière égalité, et en remarquant que :

SR s= SA — AR = i> — r et S'R = AR — S'A = r — p\

lOQs obtenons : -^ = —.

m^ en chassant les dénominateurs et en simplifiant :

p'r-hpr = 2pp' (1)

Telle est la relation algébrique qui existe, poui* les miroirs concaves, entre les distances las foyers conjugués à la surface réfléchissante et le rayon de courbure.

Elle montre tout d*abord que la position du point S' est indépendante de l'angle d*inci- Uooe, puisque cette quantité ne figure pas dans la formule, que, par conséquent, tous les ^yoos qui partent du point lumineux S et qui tombent sur le miroir, vont, après leur ^éèexion, concourir au foyer conjugué S' ; en d'autres termes, Vhomocentricité des rayons mddents entraine celle des rayons réfléchis. Cette loi n*cst rigoureusement exacte, pour es miroirs sphériques, que dans un seul cas, lorsque le point lumineux et, par suite, le Hânt conjugué coïncident tous deux avec le centre de courbure ; mais, tant que l'angle rincidence ne dépasse pas une certaine valeur, Thomocentricité des rayons réfléchis est «flisaiument approchée pour donner naissance à des images nettes ; c'est ce qui a lieu pMDd Tuuverture du miroir est assez petite et que les points lumineux restent dans le voi- Mge de Taxe optique.

A Taide de cette formule, on peut calculer l'une des trois quantités p, p', r, quand on loonait les deux autres. S*agit-il, par exemple, de trouver la distance de l'image p\ coniMsant la distance p de Tobjet et le rayon r, nous aurons, en résolvant l'équation (1) par apport à p':

En diviumt le numérateur et le dénominateur par p, on obtient :

Si on pose alors p = od, ce qui revient à supposer les rayons incidents parallèles à l'axe ipCique, et si oo appelle /, la valeur correspondante de p', on trouve:

La distance y* donne la position de ce que nous avons appelé le fo}fer principal du miroir puisque nous avons défini celui-ci le point de concours des rayons réflédiîs pro? aoiot àt l'ayons incidents parallèles entre eux ; c*est la long%teur focale principale.

Divisons tous les termes de Féquation (1) par le produit pp'r^ et nous obtiendrons:

ou, en remplaçant r par sa valeur en fonction de J':

[Telle est la formule classique des foyers coigug^ués dans les mircôn concafei, <pi'oi peut écrire plus simplement:

eu représentant les quotients — , — -, -^,

par P, F, F,

qui expriment des catoptries, quantités entièrement semblables aux dioptries^ que bok

ferons connaître à Toccasion des lentilles.

En divisant par 2 pp' tous les termes de Téquation (1), et en remplaçant r par u jù» en fonction de /, on obtient une autre forme :

que j*appellerai formule transformée,]^

La formule du miroir convexe ne diffère de celle du miroir concave que par le si^ te termes. On peut l'eu déduire en affectant les quantités r ou y* du signe — , attendu que, ditf le miroir convexe, le centre de courbure et le foyer sont situés de Tautre côté de la nriîMi réfléchissante, par rapport à lobjet. Les formules (4) et (5) deviennent alors :

|[0n obtiendrait de même la formule en catoptries:

et la formule transformée — — f- -=V = — 1-3 (*^

[Si, au lieu de prendre le sommet du miroir pour oiigine des distances, on compte odktci à partir du foyer principal, on arrive à une formule bien plus simple que les précédealff, et qui est identiquement la même pour le miroir concave et pour le convexe; cette Ibmrii simplifiée est la suivante :

(q' et q' désignant les distances respectives de Tobjet et de son image an loyer prisdpaL]

^ lI.FoaMULBS DU OBOSaiaBSMBIT 00 10

0RU0NNÉB8. — Considéroua le mint concave MN (fig. 162), dont le foyer priicipol est en F et le centre de ooorlnn M R. Soit FQ un objet, P Q' son inaft construite suivant Tun des procédéi is^K qucs au ë 1^ Les deux triangles blables PQR et PQK donnent la

F 10. 102. — Rapport de frrandear de Tobjel et de __ .y = J«__,

Hmage dans les miroirs sphériques. f Q R Q

Désignons par y' la grandeur PQ' ^ fimago, par y la grandeur PQ de Tobjet ; remplaçons RQ' et RQ par leurs onction de AR = 2/, AQ' = p\ AQ ^ p, et nous obtenons:

/ labâtituoQs ta valeur pf tirôe de h formule (n) des fojera coiguguéi et, après idioQ, on a, pour expression du grossissement G :

laide de cette équation, nous pouvons calculer la grandeur y de Timage, si l'on nous e la grandenr y de Tobjet, sa distance p au miroir et la longueur focale /*,

„ /* )us venons de voir que p' = — ^-l nous en déduisons:

ne 00 a aussi: G = -=^ =s -^^.

rapportant les distances au fojer principal, on a les formules simplifiées :

procédant de la méma manière pour le miroir convexe, on trouTerait que le rapport nmdeur* de l'image et de l'dijet est donné par l'équation:

16*. DétermlBatloi eqérimentale du foyer principal des miroirs spUriqiies. —

t nous bornerons à indiquer les meilleurs procédés pratiques.

. Miroir concave. — Premier procède. — Faire tomber sur le miroir

lisceau de rayons parallèles (rayons solaires), et chercher, à l'aide d'un

I, leur point de concours, c'est-à-dire l'endroit où l'image est le plus

î; ce point est le foyer principal. C'est un procédé peu exact et pas

urs applicable.

mxième procédé. — Placer devant le miroir une source lumineuse

me de bougie, ou mieux dessin découpé à jour dans un écran et

'épar derrière), et chercher, à l'aide d'un petit écran, le point où l'image

plus nette ; mesurer les distances /> et p! de l'objet et de l'image au ir et appliquer la formule des foyers conjugués.

ayant soin d'amener par tâtonnement l'objet dans une position telle ion image se fasse à la même distance du miroir, on évite l'emploi »rmule, car on sait que cette distance est égale au double de la lonr focale, our déterminer la position d'une image réelle, il n'est pas indispen-

de la recevoir sur un écran, où, d'ailleurs, il peut arriver qu'elle ure invisible, par défaut de clarté propre ou par excès d'éclairage int. On substitue à l'écran un index vertical très étroit, telle qu'une [le, et l'observateur, un de ses yeux sur l'axe optique du miroir, vise «ment l'image et l'index qui se projettent l'un sur l'autre; si alors, tandis

déplace la tête latéralement, à droite ou à gauche, on constate que ux points visés se meuvent ensemble, en restant uirts comme s'ils n'en ent qu'un, c'est la preuve qu'ils se trouvent tous deux à la même ice de Tœil et, par suite, du miroir ; si, au contraire, on les voit se oir avec des vitesses inégales, et s'écarter l'un de l'autre dans le sens rersal, on en conclut que le point qui se meut le moins vite, qui parait

se porter du même côté que l'œil observateur, est plus loin que l'autre, c'està-dire plus rapproché du miroir; selon Tindication fournie par ces mouTements apparents, on avance ou on recule l'index jusqu'à qu'on ce n obsenre plus la dissociation des points visés. Ce sont là des effets qui s'expliquent très aisément parles lois de la perspective linéaire.]!

Troisième procédé, — De la formule établie plus haut :

je lire la valeur dey, savoir : J ■= p . .

Il suffit donc de placer devant le miroir, sur sou axe principal, un objet de grandeur connue y, de mesurer la distance p de cet objet au miroir et la grandeur t/ de son image réelle. Cette dernière détermination, pour être précise doit être effectuée avec rophtalmoraètre de Helmholtz (voy. § 197), et dans ce cas, on prendra pour objet, suivant les circonstances, l'intervalle de deux points lumineux ou de deux traits d'une échelle divisée transparente. C'est le procédé le plus exact. Quand on n'a pas d'ophtalmomètre à sa disposition, on peut mesurer l'image en la projetant sur une échelle divisée, mais le moyenle plus pratiqueconsiste à se placer dansles conditions voulues pour que la grandeur de l'image soit égale à celle de l'objet, égalité que l'œil, placé sur l'axe principal, reconnaîtaisément à la superposition des dimensions correspondantes. On sait que, dans ce cas, les foyers conjugués coïncident tous deux avec le centre de courbure, et, par conséquent, sans formule, que la longueur focale est la moitié de la distance de l'objet au miroir. |

B, Miroir convexe. — Le procédé basé sur l'emploi de la formule do grossissement et de Tophtalmomètre, que nous venons d'indiquer, s'applique aussi au miroir convexe, et il est même le seul à la fois précis et pratique. Aussi s'en est -on servi pour déterminer le rayon de courbure de li cornée.

Mais si on veut se contenter d'une approximation suffisante dans 11 plupart des cas, on mesure la grandeur y' à l'aide d'une petite échelle tracée, par exemple, sur une bande de papier qu'on colle à la surface du miroir, suivant un méridien qui comprenne la dimension à mesurer. On s'éloigue suffisamment pour que la distance de 1* image au miroir soit négligeabk par rapport à celle d'où l'on observe, et on regarde combien l'image embrasée de divisions de l'échelle, en s'aidant, au besoin, d'une lunette pour mieux

voir. Dans le miroir convexe on a : /= n — r-, mais l'emploi Recette

formule n'est même pas nécessaire, car si on y pose : %/ = -^, elle devient:

f^=^p. Donc, en cherchant, par tâtonnement, à placer l'objet dans une posilioi telle que ses dimensions soient doubles de celles de l'image correspondante, on n'a qu'à mesurer la distance de l'objet pour avoir la longueur focale cherchée.

137. Aberration de sphéricité des miroirs. — Ix>s lois que nous avonBétablief relativeincit aux fovcrs et aux images qui résultent de la réflexion de la lumière sur les tar&ctt f^ riques n'ont pas une rigueur absolue ; elles sout applicables seulemeot dam 1m <» <i

Vangte iTauceriure du miroir est petit, de façon que les rayons incidents, soient tous très roiiias de Taxe principal et rencontrent la surface rcÛéchissante en des points peu éloignés du sommet du miroir. L*angle formé par les deux droites qui joignent le centre de courbure lUX borda opposés du miroir en est ce qu*on appelle Voitverture.

Dès rinstant que cette ouverture dépasse 8 à 10 degrés, tous les rayons lumineux qui >artcut d*un centre commun (rayons homocentrigues) ne concourent plus, après la réflexion, exactement en un point unique: les rayons réfléchis près des bords se rencontrent plus près du commet du miroir que* ceux qui se réfléchissent dans le voisinage immédiat de ce iemier point. C'est celte absence d'homocentricité des rayons réfléchis qu*on désigne sous le 00111 iV aberration de sphéricité des miroirs et qui produit un défaut de netteté des images.

Soient FK et FKt (ûg, 163) deux rayons lumineux émis par le point P ; le premier rayon mcontre le miroir dans le voisinage du sommet en K, et se réfléchit suivant KPi ; Tautre tombe près des bords, en Ks, et est renvoyé dans la direction Kf Pj. Le point Pj, où le rayon réfléchi sur le bord coupe Taxe principal est plus rapproché du miixâr que le point Pi, par où ptaie le rayon réfléchi près du nmmet A. En construisant de même les rayons réfléchis par la mriace dans Tintervalle KKj, OD trouverait qu'ils viennent tous rencontrer l'axe entre les points Pi et P}. Nous voyons ainsi que les rayons lumineux qui, partie hk point P, rencontrent le miroir, ne i-estent pas homocen- Fig. 16 i. - Aberration de •phéricité des miroir». iriqufs^ et qu'au lieu de concourir en un point unique, ils vont couper Taxe en des points différents.

Si Ton considère des rayons tels que Li U et I/j I2, parallèles à l'axe principal, les rayons !>éfléchis correspondants ne se réuniront pas non plus en un point unique ; ils couperont l*axe lans l'intervalle Fi F»; cet intervalle mesure V aberration de sphéricité dite longitudinale.

Nous avons vu que les rayons émis par le |)oint F perdent leur homocentricité par la réflexion et qu'ils se coupent deux à deux dans Tintervalle Pi Pf. 11 n'est donc pas possible, iaas ces conditions, d'obtenir de l'objet punctiforme P une image qui soit elle-même réduite î on point ; car le point de concours P2 des rayons voisins de l'axe est entouré de rayons loi n'ont pas encore opéré leur rencontre, et le point Pi, le plus éloigné du sommet du Bdroir, est environné de rayons qui se sont déjà entre-croisés et qui poursuivent leur route Ba divergeant. En conséquence de cette marche des rayons réfléchis, l'image du point P, en loelque endroit de la ligne Pi Pj qu'on l'observe, se présentera sous la forme d'un cercle Nonineux plus ou moins large et dont l'éclat ira en s'aflaibli^sant vers les bords ; une sem- Uable image porte le nom éCimage ou de cercle d*aberration. Si l'objet placé devant lo «niroir, au lieu d'être représenté pai* un point unique, a une certaine étendue, ses différent-^ points (lomieront naissance à de» cercles de diff'usion (jui se recouvriront en partie les uns les autres, et il en résultera une image confuse dont les contours surtout seront peu nets.

En procédant comme nous l'avons fait pour le miroir concave, nous arriverions à recon naître que le miroir convexe possède une aberration de sphéricité tout à fait semblable.

A propos de l'aberration de sphéricité pai* léfraction, nous montrerons d'une manière plus dclaillce lo mode d'entre-croisement successif des rayons lumineux deux par deux et la forme «le la courbe caustique ({wi en résulte (cf. § 147, fig. 181).

(En général, quelle que soit la forme qu'ait une surface réfléchissante, il n'en est pas, le plan exce]>té, qui donne un point unique comme image d'un point lumineux occupant n'importe quelle i>osition : le 3 rayons partis d'un même centre ne restent plus homocentriquo.*» après leur réflexion, mais ils se rencontrent suivant une surface appelée caustique^ comme ** vient de le voir pour les miroirs sphériques. A la vérité, dans certaines forme» de surface Infléchissante, la caustique se réduit à un point, mais seulement pour une position déterminée ^ point lumineux ; tel est le cas de l'ellipsoïde et du paraboloîde de révolution et même de li »pl*ère.]

OPTIQDB

138. RMectem. — Liorsqu'on reçoit la lumière solaire sur un miroir concave, il se forme au foyer principal une image du soleil excessiremeikt petite, mais d*un éclat extrême. Aussi emploie-t-on le miroir ooncave principalement comme réflecteur^ pour concentrer la lumière sur les objets qu'on désire éclairer vivement. Dans ce but, on place l'objet un peu en deçà ou au delà du foyer du miroir, de manière à l'éclairer sur une étendue saffisanté.

La figure 164 montre clairement la différence d'action qui existe entre k miroir plan et le miroir concave, sous le rapport de la concentration de h lumière. Tandis que le miroir plan IK réfléchit les rayons parallèles AI,

L M, B K, sans changer lear état de parallélisme, le miroir r K' renvoie ces mêmes ravoni à l'état de convergence. Un faisceau incident de rayons pirdlèles, dont la largeur estAB»

éclaire après réflexion sur k miroir concave, une surba A' B' de même grandeur ; le miroir concave, au contraire, concentre ce faisceau et lui donne, a une distance déterminée, une largeur ab. Donc, la surface ab recevra plus de lumière dans le second cas que dans le premier, et, par suite, sera plus vivement éclairée.

Quand on n*a pas à sa disposition la lumière du jour, dont les rayons sont parallêleif é qa*on est obligé de se senrir des rayons divergents provenant d'une source lumineuse arlifeielle, c*est alors qu'on emploie de préférence le miroir concave coaune réflecteor, eu i permet de rendre paraUèles ou légïèrement convergents les rayons émis par la souroi lumineuse, tandis que, dans les mêmes circonstances, le miitNr plan renTerrait à Tétit di divergence la lumière divergente reçue. La concentration des rayons lumineux est sorKMl avantageuse en médecine toutes les fois qu'il s'agit d*éclairer des organes situés profoodsoMÉt et auxquels la lumière arrive difficilement Cest ainsi que* dans le laryngoscope de demik, le réflecteur est un miroir concave (cf. § 133). Nous verrons cette même mpèc/t de ninv figurer dans divers ophtalmoscopes (cf. liv. IV, chap. 17). [On l'emploie auau, soos le aoa d'o<(»co/>e, pour éclairer au fond de Toreille la membrane du tympan ; on a marne (lit fom cet usage des miroirs paraboliques qui s'adaptent à une kmpe {otoêcope parmbêlifwt é Garrigon-Desarènes, 1865).}

Le miroir eoscave entre également dans la construction du télescope.

Fio. 16i.^ £fr«t de cooc«ntntion de la lumière prooduil par les miroirs coocaves.