De la Réflexion et de la RéfractioB de la
Lumière.
Après ayoîr exposé la manière dont se propage le fluide lumineux lorsque ses molécules libres au milieu de l'espace suivent constammtent la route qu'elles ont prises , en partant du corps qui les a lancées , nous avons maintenant à considérer les changemens que subit le même fluide, dans la direction de son mouvement,
la rencontre des corps qui se présentent sur son passage.
Loi de la Réflexion.
ioi5. Lorsqu'un rayon de lumière, au moment où il arrive k la sur£aLce d'un corps, se replie vers le milieu qu'il avait traversé, cette déviation se nomjne réflexion. L'ange formé par la première direction du rayon avec un plan tangent au point de la surface ou le rayon la rencontre, est ce qu'on appelle Vangle d^ incidence ; et l'angle formé par la nouvelle direction du rayon avec le même plan se nomme l'angle de réflexion. L'observation prouve que l'angle de reflexion est toujours égal à l'angle d'incidence.
l6o TRAiri ÉLiMEKTAïaB
Réflexion sur les Sur/Sices planes^
1 o 1 6. n suit, de ce qui rient Jètre dit , que si des rayons parallèles entre eux rencontrent , sous un angle queloonque , tme sur^ face réflccbissante qui soit plane > ils resteront parallèles aprb leur réflexion.
1017. Si les rayons, au lieu d'être parallèles , sont oofUTergens oudiyergens, la sur£aice réfléchissante étant toujaurs plane, ib conserreront , après leur réflexion > le même degré de oonyergence ou de divergence : par; exemple , dans le cas où les rayons sont conyergens, on peut considérer l'ensemUe des rayons incidens comme un cône tronqué , et les rayons réfléchis comme formant la partie détachée du cône qui s'est placée au-dessus de la surface réfléchissante , de manière que sa hase continue de se cour fondre ayec la plus petite hase du cône tronqué. Il est facile d'appliquer cette considération aux rayons diyergens. On yoit par là que, dans la réflexion sur les surfaces planes , les rayons ne font que changer de route, sans que leur position respective soit dérangée. 11 n'en est f^de même de la réflexion sur les surfaces courhes : elle fait varier à la fois les directions et les positions respectives des rayons.
Réflexion sur les Surfaces concaves.
1018. G)ncevons que la surface réfléchissante {fig. 34) soit concave et fasse partie d'une surface sphérique : soient hm , ac deux rayons incidens parallèles ; ayant mené les tangentes tms^ ocy, aux points d'incidence , et , par le point c , la sécante nz parallèle à tsy nous remarquerons que si l'incidence du rayon ac se faisait sur la sécante /iz, mg étant le rayon réfléchi qui appartient au rayon incident hm^ la ligne ck parallèle à mg serait le rayon réfléchi , relatif au rayon incident ac. Si l'on considère maintenant l'incidence du rayon ac sur la tangente oy , il est évident que l'on aura l'angle ircj plus petit que l'angle d'incidence auo. Donc , pour donner à ck la position qui convient à la ré-
BE PHYSIQUE . igj
flexion syr oy , îl faut auginenter Fangle hcy , et par. cons(>> quentle rayon réfléclii, tdque ch^ convergera avec mgy et ira' le couper.
loig. Supposons que ûc, en restant ^ta par l'extrémité c y s*écarte du rayon rnh par son extrémité a , auquel cas les rayons incidens convergeront entre eux : l'angle d'incidence avo étant augmenté^ il faudra que l'angle de réAexiou hcy augmente aussi j d'où il suit que les rayons réfléchis convergeront plus que les rayons incidens , puisque ceux-ci sont partis du parallélisme^ où la convergence était nulle , tandis que cb convergeait déjà ayecifi^.
Si, au contraire , ac se rapproche de lim par son extrémité a ^ auquel cas les rayons incidens divergeront, alors l'angle d'incidence aco se trouvant diminué, l'angle de réflexion hcy diminuera aussi; d'où il suit que les rayons réfléchis mg^ cb, convergeront toujours de moins en moins, à mesure que ac s'inclinera Vers hm\ de knaniëre qu'à un certain terme mg et ch deviendront |>arallèles , et qu'au-delà de ce terme , ils seront eux-mêmes diyergéns, quoique d'une moindre quantité que les rayons incidens qui sont partis du parallélisme.
Tout ce que nous venons de dire renferme le développement et la preuve des principes suivans : la réflexion sur les surfaces concaves sphériqués rend convergens les rayons qui étaient ])arallëles avant leur incidence; elle augmente la convergence de ceux qui convergeaient déjà ; et quant à ceux qui divergeaient , elle peut, suivant les circonstances, les rendre convergens, ou paraUëles , ou même divergens; quoique toujours moins que les rayons incidens.
Foyer des Rayons parallèles.
1020. Considérons maintenant la réflexion de deux rayons incidens ns,rp {Jig. 35) parallèles soit entre eux, soit au rayon ao de la sphère à laquelle appartient la surface réfléchissante , et situés à égales distances de ce dernier rayon ; ayant mené un second rayon es au point d'incidence du rayon ns, nous aurons l'angle C8»
ÏOME H, .1 1
1^2 TRAITÉ ELÈMENTAIRB
égal àrangîe çsm, puisque ces angles sont les compléméns des angles tf incidence et de réflexion mj< et inst', de plus , à cause de ns parallèle à ca, l'angle csn est égal à scm-, donc le triangle cms est isocèle , d'où il suit que ms est égal à cm ; et puisque ms est plus grande que nuiy on aura aussi cm plus grande que ma'y donc les rayons parallèles ns, rp se réfléchiront toujours dans un point situé en dessous de la moitié supérieure cfdu rayon ca.
Or, si l'on suppose que les rayons ns , rp se rapprochent , par des degrés égaux , du rayon de la sphère , le point m, ou se fait la réflexion , se rapprochera aussi du point f, en sorte que quand ils ne seront plus qu'à une distance infiniment petite de ca , le poi^t où ils se réfléchiront se confondra sensiblement avec le point^
1021. D'une autre part, si l'on conçoit différens rayons incidens ns,dby ki, etc. {Jîg, 36) , tous parallèles à l'axe et également distans les uns des autres , les angles d'incidence de ceux qui sont sensiblement éloignés de l'axe, différeront beaucoup plus entre eux, à mesure qu'ils s'en écarteront , que ceux des rayons voisins du même axe , parce que les inclinaisons des petits arcs sur lesquels tombent les premiers rayons vont en croissant rapidement, au lieu que, dans le voisinage de l'axe, les arcs s'écartent peu de la direction perpendiculaire à l'égard des rayons qui leur correspondent. Il suit de laque, dans un faisceau de rayons qui tom' bent parallèlement au rayon de la sphère sur la courbure oag^ tous ceux qui sont peu distans de l'axe concourent après leur réflexion sur un très petit espace situé à peu près au milieu fàu rayon de la sphère. On considère ce petit espace comme un point que l'on appelle le foyer des rayons parallèles j et dont nous exposerons dans la suite les propriétés.
Foyer des Rayons divergens.
1022. Le raisonnenjyent que nous venons de faire à l'égard d'un faisceau de rayons parallèles , qui n'aurait qu'une très petite épaisseur , peut s'appliquer , jusqu'à un certain point, à un cône
DE PHYSIQUE. * l63
délié Ae tajrons Incidens tek que r8,rm{ fig» 3j ), qui partiraient d'un point r de l'axe , pris au-dessus du centre , et dont les direct tions faisant entre elles de très petits angles, approcheraient elles-* mêmes beaucoup du parallélisme. Dans ce cas, les ràjons réfléchis «/*, mfy et tous les autres qui font partie du cône concourent encore assez sensiblement en f, «ur un petit espace, que l'on peut regarder aussi comme une espèce de foyer , et il est facile de )uger que la position de ce foyer doit yariier en même temps que cella du point r.
Réciproquement , si l'on suppose que le cône de lumière parte de l'un des foyers/*, qui ont lieu dans l'hypothèse que nous venons de faire , le point r deviendra , à son tour, le foyer relatif à y considéré comme point de départ. Ces résultats, que nous reprendrons dans la.suite avec plus de détail , nous seront utiles pour mieux concevoir les phénomènes que présentent les miroirs concaves (i).
Réflexion sur les Surfaces convexes.
1023. Tous les eflets précédens ont lieu en sens contraire dans la réflexion sur les surfaces convexes qui font partie de celle d'une
(i) La position du foyer dont il s''agit ici peut être facilement déterminée âiTaide du calcul. Pour y parvenir, nous allons conside'rer ia chose d'une manière plus géne'rule, qui trouvera aussi son application dans Texposé des cfFcrs produits parles mémos miroirs. Soient r/i, rm{fig. 38) deux rayons incidens qui rencontrent la surface concave tgq sous des directions quelconques , pourvu qu'elles fassent entre elles un angle presque infiniment petit. On propose de déterminer le point de concours f des rayons réfléchis
ne, my.
Menons le rayon en , puis les sinus cli , ce des angles égaux cnr^ cnu , et divisons en deux également les cosinus nh , ne, aux points /, i. Menons aussi nx perpendiculaire suv rm , et nz perpendiculaire sur ym prolongée.
Les petits triangles nxm, nzm o^ chacun un angle droit, l'un en a:, l'autre en z. De plus, nmz=fmq=.xmn. Donc les deux triangles, ayant de plus nn hypoténuse commune mn/ sont semblables et égaux.
De plus, les triangles rhs , rxn sont scnjbiablcs, ainsi que les triangles fzn , fey. Enfin es et cy pouvant être prises, sans erreur sensible, pout les
l64 TRAITE BLEMENTAlUfi
Sphère ; car, $î l'on prolonge derrière la surface concave les rayons incidei\s et les rayons rélléc][ïis qui ont rapport à cette dernière sur- £àce y oa aura la répétition des mêmes angles 4'incidence et de ré-< flexion, relatiTement à la convexité de la mèmie surface, sur des tangentes con^unes, avec cette di^fîerence, que les rayons qui étaient considérés comme convergeps dans Je premier cas , seront censés diverger dans le second , et réciproquement. Par exemple, si Ton prcionge derrière la surface ucz {Jlg, 39) les rayons hm, ac^gniy bcy les rayons incidens relatifs à la convexité de la surfapie seront Km^ a'cy parallèles entre eux comme les premiers , et les rayons réfléchis seront nig' , cb' , qui divergeront entre eux. 1024* D'.après cela les principes relatifs à la réflexion sur les surfaces convexes sphériques se déduisent de ceux qui ont rapport à la réflexion sur les surfaces concaves, par une simple inversion de termes, en sorte qu'ils doivent être ainsi énoncés : la réflexion sur les surfaces convexes rend divergens les rayons qui
sinus des angles égaux cms , cmy , leors différences avec les sinus égaux ch , ce sont e'gales; donc5^=e/.
Cela pose, nous aurons d'une part j riz : r^ ou rh H nxl ?u ^ et, dWe autre part $ nf l fe II m l ejr. Mais /iz = /li- , et hs = ejr. Donc rn : rh ll^f: fc'y ou bien, rn-i- rh : rn H nf -i^ fe Inf, ou rn-i-rn^ nh: rn llnelnf.
Soit rnz=za, nh ou. ne = b', la proportion deviendra aa — & : a * * £ - nf
ab
Si le miroir était convexe vers le point r , on aurai t , »/=
Si Ton suppose que la ligne nr en restant fixe par le point n, s'approche
du rayon en jusqu'à coïncider avec lui, la ligne un tombera aussi sur en
et Us points r, ^seront sur la direction de ce même rayon , comme on le
yoilJ%. 37. Alors l'angle d'incidence enr (ftg. 38) devenant nul, son
cosinus nh est e'gal au rayon en. Soit en = d^ nous aurons (fig, 3n )
/. ad
nf=z -r,
Dans le même cas , si Ton conçoit que le point r s'éloigne à l'infini la
quantité d s'évanouit devant %a, et l'on a nf= -, ce qui est le même résultat
auquel nous sommes déjà parvenus ( loao) relativement au point / considéré comme foyer des rayons parallèles.
BB physique; iG5
étaient parallèles ayant leur incidence; elle augmente la cliver^ gence de ceux qui divergeaient <ïéjà, et à Fégard de ceux qui convergeaient y elle peut y suivant les circonstances , les rendre divergens^ ou parallëles, ou même convergens, quoique dans un moindre degré que les rayons incidens.
1025. Dans le même cas , la réflexion des rayons parallèles entre eux et à l'axe avant leur incidence , se fera toujours de manière que si l'on prolonge les rayons réfléchis , en dessous ^e la convexité y il iront se réunir en un point situé entre le milieu du rayon de la sphère et le point où ce rayon coupe la surface réflér chissante; et en appliquant ici le raisonnement que nous avons fait par rapport à la réflexion sur une surface concave , on en conclura que dans-«n-^isceau de rayons qui tombent sur une surface convexe, parallèlement entre eux et à l'axe, ceux qui seront voisins de cet a^e tendront à se réunir en un foyer imagi* naire, situé à peu près à la moitié du rayon de la sphère.
Loi de la Réfraction.
1026. Lorsque la lumière rencontre un corps diaphane qui lui donne accès dans son intérieur, elle subit une antre espèce de déviation, dont nous allons pareillement exposer les lois. Ces corps que la lumière pénètre, portent en général le nom de milieu. Le point par lequel un rayon de lumière entre dans un mîHeu, s'appelle /)oï/2^ d'immersion j et celui par lequel il en sort, s'appelle point (T émergence. Si le rayon rencontre perpendiculairement la surface d'un milieu, il continue sa roule dans ce milieu; mais si l'incidence est oblique à la surface du milieu, le rayon se détourne de sa route , en sorte qu'H parait rompu au point d'immersion : ce détour s'appelle réfraction ^ et la partie du rayon qui le subit se nomme rayon rompu ou rayon brisé, U angle cPin-cidence est celui que fait le rayon incident avec une ^rpendiculaire menée par le point d'immersion sur la surface du milieu, et Y angle de réfraction est celui que fiiit le rayon rompu avec I* même perpendiculaire.
l66 TRAITÉ ÉLÉMENT AIRE
1027. Cela posé, il peut arriver que la lumière passe d'un milieu plus rare dans un milieu plus dense , ou d'un milieu pW dense dans un milieu plus rare. Dans le premier cas, le rayon rompu se rapproche de la perpendiculaire au point d'immersion, et, dans le second, il s'en écarte. De plus, l'observation prouve que le sinus de l'angle d'incidence et celui de l'angle de réfraction sont en rapport constant , lorsque le milieu jque quitte la lumière et celui 011 elle entre restent les mêmes , quelle que soit l'obliquité du rayon incident Si la lumière passe de l'air dans le verre, le sinus d'incidence sera à celui de réfraction comme 5 est à !^ ; si elle passe de l'air dans l'eau , le rapport sera celui de 4 à 5.
Le même rapport a lieu en sens contraire , lorsque la lumière seréfracte-de nouveau au point d'émergence en rentrant dsjos le premier milieu , c'est-àrdire que si le retour se fait du verre dans l'air, le rapport des sinus sera celui de 2 à 3, et s'il se feît de l'eau dans l'air , le rapport, sera celui de 3 à 4.
1028. Il suit de là que si les deuiL surfaces du milieu que la lumière traverse de part en part sont parallèles entre elles , la lumière, en repassant dans le milieu environnant, prcadra une direction qui sera elle-même parallèle à celle du rayon incident Plusieurs substances minérales ont la propriété singulière de soLliciter le rayon qui les pénètre à se diviser en deux parties qui suivent deux routes- difiPérentes : c'est ce que Ton appelle double réfraction j nous revieudrons dans la suite sur cette propriété , et nous essayerons d'en donner la théorie relativement au minéral connu sous le nom de spath df Islande ^ qui se prête plus facilement que les autres à l'observation du phénomène.
Réfraction dans les Milieux terminés par des
Surfaces courbes^
1029. ^^ peut considérer une surface courbe comme un assemblage d'une infinité de petits plans diversement inclinés entre eux. Lorsqu'un cône de lumière tombe sur une portion d*uned^
DE PHYSIQUE. i^j
ves surfaces, et que le corps auquel appartient celle-ci est diaphane, chaque rayon subit à l'égard du petit plan qui le reçoit une réfraction soumise à la loi que nous venons d'exposer. Mais à cause des inclinaisons respectives de tous les petits plans qui composent la surface réfringente , les rayons réfractés prennent , les uns à regard des autres , des positions qui dépendent delà figure du milieu, et, suivant les circonstances, ils tendent vers un même point , par des directions convergentes , ou divergent plus fortement que les rayons incidens. C'est en étudiant ces diflërentes marches de la lumiëre ainsi réfractée que les opticiens sont parvenus à construire ces instrumens si utiles, à l'aide desquels les' rayons envoyés par un corps que Fioeil abandonné à lui-même ne pourrait distinguer , arrivent à cet organe dans le même ordre que si l'objet était venu se mettre à sa portée, et le lui rendent yisible , en le lui montrant où il n'est pas.
Cas OÙ le Milieu est terminé par une seule Surface
courbe.
io3o. Soit mhn (fig. 4o) une portion de surface. sphérique> «t soisnt sk y st deux rayons incidens partis d'un point s pris sur le prolongement de l'axe ck. Supposons qiie ces rayons soient très, voisins du même axe , et fassent avec lui des angles égaux. Lies perpendiculaires ug, zl, aux points d'immersion, sont nécessairenient sur les prolongemens de deux rayons idu cercle auquel appartient l'arc mhn, et dont le centre est en c; donc ces perpeildiculaires convergent vers l'axe ch, et svnous supposons quie le milieu M dont la matiëré de la sphfere est composée, soit plus dense que le milieu £ parcouru par les rayons incidens , il est fa-^* cile de voir- que les rayons rompus kxy tq, en se rapprochant de# perpendiculaires , se rapprocheront aussi de l'axe. De plus , si le point 8 est à une distance convenable de la surface nihn,.\eA mêmes rayons convergeront vers un point /de l'axe oà ils se> réuniront Tous les autees rayons partis du point s que l'on appelle le noint radieux , et qui composent avec les précédens uu cân^
l68 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
infiniment délié , dont la base a le point h pour centre et le petit arc It pour diamètre, convergeront de même les uns vers les autres.^ eu sorte qu'il se formera derrière la surface mlm un nouveau côue opposé au premier par sa base , et dont le sommet sera en y; A la rigueur, ce sommet est plutôt un espace, dont le. point/ ifaît partie, mais qui est censé, à cause de sa petitesse, se con-^ fondre avec ce point que Von nomme le foyer des rayons partis du poiut radieux s*
io3i* C'est ^nincipalement sur la considération des foyers qu'est fondée la construction des instrumens d'optique, parce que les images que nous observons, à l'aide de cçs instrumens, ne sont autre chose que des assemblages de foyers , qui proviennent des, points radieux situés à la surface des mêmes objets; d'où [il résulte que les distances entre ces points et les verres auxquek ils envoient des rayons , varient continuellement , à mesure que le Spectateur change de position, ou qu'il observe successivement divers objets plus ou moins éloignés.
io32. Concevons, par exemple, que le point s étant d'abord dans la position que représente la figure, se trouve transporté en b' {Jig, 4i ) , à une plus grande distance de la surface réfrin- ^nte. Les rayons incidens sk' , «Y, étant toujours censés former des angles presque infiniment petits avec l'axe s%* , il en résulte que pendant les divers mouvemens que peut faire le point «', en s'ccartant plus ou moins sensiblement de la surface réfringente, le petit arc Vt' né varie que d'une quantité extrêmement petite; et, par une suite nécessaire, les rayons incidens sk', «'/ divergent moins entre eux que les rayons sk , st [fig, 4o). Donc lea premiers fiiisant avec les perpendiculaires aux points k% i {Jig, "41 ), de plus ])etits angles que quand le point radieux était en < \flg» 4o), les rayons réfractés itjf^ , tf' {fig. 4i) qui leur correspondent , seront aussi plus voisins des mêmes perpendiculaires que les premiers. Ils convergeront donc davantage l'un vers Tau-î re, en sorte que le foyer f qu'ils formeront, e|i se réunissant soit entre eux , soit avec les autres rayons , sera situé à une plus petite distance delà surface réfringente que le fovcr/'(^^. 4o). lo33. A mesufc que -le point s s'écartera de la surface mlint
le iojetf {fig. 4i) se rapprocliera de plus en plas de la mémC surface. Ce mouyement atteindra sa limite, lorsque le point radieux s étant à une distance de la surface réfringente que Tou puisse regarder comme infinie, les rayons incidens s k\s t seront censés être parallèles entre eux. Cette supposition a lieu à l'égard des objets très éloignés que Ton observe à l'aide d'un instrument d'optique.
io34. Reprenons le cas où le point radieux était situé en a [fig* 4o), et supposons que ce point s'approclié «lU contraire de la surface réfringente. Un raisonnement analogue à celui fjve nous ayons fait par rapport au cas précédent prouvera que le nouveau fojer doit se former alors au-delà du foyer f. A mesure que la distance diminuera entre le point 5 et la lentille, les rayons réfractés convergeront toujours moins entre eux; il y aura mi terme oà ils deviendront parallèles, de iiianière que le foyer s'cva*nouira, et , passé ce terme, ils divergeront , comme on le voit {fig. 42), quoique d'une moindre quantité que les rayons incidens (i). Alors il faudra les prolonger en dessus de la surface réfringente pour avoir leur point de réunion, qui se trouvera en fy dix même côté que lé point radieux s, mais à une plus grande
(i)On p^urvîem facilement, par le calcul, li de« formules gën<fralcsj gnî ireprësentent ces difiVIrens cas. Soit Jt (^^. 43) le même rayon incilent que j^. 40. II s^agii de déterminer Ja distance du poim^à la siurface réfringenie , en supposant d^abord que le rayon réfracte iq converge; vers j'axe. Si n^pus menons cd [fig 4^ ) perpendiculaire sur tq , et pe perpendiculaire sur le prolongement du rayon incident 5t, Tangl^ etc étant égal h Tanglp.dMncidence Hz , et Fangle c^ étant Taugle de réfr^Ptipn j çp et cd seront les sinus de ces angles. Soit ce z=z i , cd:=zm ^ sh.s;:b e^hcss9.a,X^s tclanjgles sembla* blés sht , sec donnent ht l çeH s^hl. se := c^, à cause, de la peutesse.de.rangle cse , on bien , ht l i H bl b-ha. D'une autre piirt , les triangles semblables fht , fdc donnent ht : cà H fi =»/h t «fj ou bien bt~l m l'I cf -f- à Z cf.
Ponc^=mf^%gYon ./^ == S^, Donc cf^a: cf:: b b-i-a \ cf J m(b+a) 'cf
m (^-h «) etef-^al cf-^a^efH ^ > b-^ mb^^ma-^ d?Qii l'on -tire
•^ ^ -^ (i — TTL) b '^ma
I4C résultat précédent a lieu toutes les fo:sf[uc(i — m)b est plus grand
l'JO TRAITE ELEMENTAIRE
distance delà même surface. On donne, dans ce cas , au polnt^ le nom de foyer virtuel ou àe foyer imaginaire^ pour le distin-» guer du foyer réel, qui a une existence physique, déterminée par la réunion effective des rayons réfractés.
Le point s continuant de s'approcher de la surface réfringente, la divergence des rayons réfractés augmentera , d'où il est facile de conclure que pendant le mouvement du point s, le foyer imaginaire se placera aussi toujours plus près de la même surface.
io35. On voit , par ce qui précède , que quand le point radieux et lé foyer sont situés de deux côtés opposés de la surface réfringente, la distance du foyer à cette surface décroît à mesure que celle du point radieux augmente, et réciproquement; mais sî le foyer est placé du même côté que le point radieux , les deux distances croissent et décroissent ea même temps. On peut généraliser davantage cet énoncé, en disant que les mouvemens^ii point radieux et du foyer ont toujours lieu suivant la même direction, quelles que soient les positions de ces points, par rapport à la surface réfringente.
io36. Nous ajouterons ici la démonstration d'im cas particu-» lier, qui a lieu quelquefois dans la vision, à l'aide des instrumcnyï d'optique. Supposons que les rayons incidens yk, st {fg» 45) étant parallèles , rencontrent la surface mn sous difiPérens degrés d'ohliquité; de manière que l'un soit en dedans et l'autre en de-
quema. Mais si ces quantités son traies, alors le dénominateur (i — m)b — ma devenant zéro, la quantité cf '^ a devient infinie. C'est le cas oit k» rayons rompns sont parallèles entre eux.
Si ( I — m) 5 est plas* petit que ma , alors le rayon réfracie tq- diverge à IVgard de Fa^rë, comme on le voit^;§r* 44* ^^ même temps le point y se trouve transporté du côté opposé^ c'est-à-dire , en dessus de l'arc mn , et la
formule devient /% = 7 ■ , ■ » ouïes signes se trouvent changés daos
\ffi — 1)0 + ttfn
le dénominateur. On peat vérifier cette formule, en appliquant à la figure 44
le calcul relatif à la figure 43.
Dans lé cas oii les rayons incidens sont parallèles , sh owb deyenaot infinift^.
, . . ,, ^ . ab a
am s Ovanouit , ci 1 on a 07 + a = •: n =* •
hors de rintervalle entre les perpendiculaires ug , zL Les rayons réfractés kx , tq convergeront encore l'un vers l'autre. Pour le prouver y imaginons que les rayons yk^ st tombent d'abord sur deux petites surfaces jdanes de^ ab (fig, 46), qui soient dç niveau ; il est évident que les rayons rompus kx , tq seront parallèles. G)ncevons maintenant que la petite surface ab tourne autour du point d'immersion t, de manière à prendre la position a'b^ f et qu'en même temps la perpendiculaire zl tourne d'une quantité égale, en passant à la position 2Y, tandis que les rayons st et tq resteront fixes; les deux petites surfaces de^ dV pourront être alors considérées comme faisant partie d'une surface courbe. Or l'angle d'incidence stz sera augmenté de la quantité ztz j et l'angle de réfraction Itq le sera d'une quantité égale Ut y et il est clair que si les sînus variaient comme les angles , le sinus de réfraction serait trop augmenté pour que le rapport restât le même. Par exemple , si ce rapport était celui de 3 à 2, l'accroissement de l'angle de réfraction ne devrait être que les \ de celui de l'angle d'incidence , au lieu de lui être égal. Mais le sinus de réfraction se trouve encore plus augmenté à proportion de celui d'incidence, que dans l'bypothèse précédente, parce que si l'on augmente deux angles de la même quantité , le sinus du plus petit angle croîtra dans un plus grand rapport que celui du plus grand angle : donc, pour que le rapport entre les sinus reste le même, il faut que l'angle ttq diminue, et par conséquent le rayon rompu tq se rapprocliera de la nouvelle perpendiculaire tt y c'està-dire qu'il convergera vers l'autre rayon rompu kx.
1037. Si le milieu M {fig, 47) est plus rare que le milieu E, il est facile de voir que les rayons rompus kxy tq, faisant avec Içs perpendiculaires ug, zl, des angles plus ouverts que ceux d'incidence, divergeront encore plus que les rayons incidens sk, st. Il y aura, dans ce cas, un foyer imaginaire situé en/^, c'est-à-dire plus près de la surface réfringente que le point radieux; et si l'on suppose que le point s fasse des mouvemens d'un côté ou de l'autre de sa position actuelle, on concevra, avec un ^u d'attention, que ceux du foyer doivent avoir lieu encore ici dans la ÇQcme direction. Par exemple, si le point radieux s s'écarte delà
lyi TRAITE ÉLÉMENTAIRE
Burface réfringente , les angles 5i&z^ , stz étant diminués , les an^es de réfraction ^jlbx , /^ le seront aussi, d'où il suit que les prolongemens des rayons xh, ç'^, iront couper Faxe au-dessus dupoint^. Lorsque le point radieux est à une distance censée infinie par rapport à la surface réfringente, les rayons réfractés divergent encore, quoique d'une moindre quantité, que dans les ca^précédens.
io38. Si le milieu réfringent M est concave, comme oti le voit Jlg. 48, et en même temps plus rare que le milieu E, les rayons réfractés kXy tq , divergeront plus que les rayons incîdcns st, sty et ainsi leur divergence continuera d'exister, quoique dans un degré moins sensible, au terme où les rayons incidens deviendront parallèles.. Dans ce dernier cas, ainsi que dans chacun des caspréeédens , le foyer sera imaginaire et situé du même côté que le point radieux*, et lesmouvemens de l'un ej: de l'autre point se correspondront aussi, quant à leur direction. Si le premier milieu est au contraire plus dense que le second , les rayons réfractés s'écaiv tant plus des perpendiculaires que les rayons incidens , divergeront moins après leur réfraction , ou seront parallèles , ou deviendront même convergens. On conçoit que ce dernier cas doit avoir nécessairement lieu , lorsque le point radieux, étant censé à une! distance infinie de la surface réfringente, les rayons incidens sont parvenus au parallélisme. Il sera facile d'appliquer encore aux différentes circonstances que nous venons d'énoncer, le principe relatif aux mou vemens du foyer comparés avec ceux du point radieux (io35).
Cas où le Milieu est terminé par deux Surfaces
courbes opposées.
1039. Concevons une seconde surface courbe min {fig» ^9) , qui ait le même axe que la première mhn , et soit située de manière que les deux concavités so regardent , auquel cas le milieu M prend le nom de lentille. Si ce milieu est plus dense que le milieu environnant E , et que le point radieux s soit à une telle distance de la lentille , que les rayons réfractés hx , tq y convergent Fun vers l'autre , il est aisé de voir que les rayons cmergens conver-
Jg^ront encore davantage ^ en s'écartant des ]^rpencliculaires aux j)omts or^ q ,et ainsi le point^^^ dan« lequel ils se réuniront sur Taxe de la lentiUe^ sera plus voisin de la surface mla , que dans le cas oh. les rayons kx , tq auraient continué leur route, sans aucune déviation (i).
io4o. Si le point s vient à s'écarter de la lentille , la convergence des rayons réfractés augmentera (loSa), et cette circonstance déterminera le point/* à s^approcher continuellement de la surface ndn. Lorsque le point 5 est à une distance infinie de la lentille, le foyer f{Jlg 5i ) prend lé nom àe foyer des rayons
(i) Soit mn {Jig' 5o) une lentille d'une matière plus dense qae le miliea
environnant, et st un rayon très Toisin de Taxe , qui après sMcre réfracte
«nivant ttf dans la lentille en convergeant avec Taxe , repasse dans le miiica
environnant suivant une direction t'J. Voici comment on peut déterminer la
distance kf àc ce point à la lentille, en supposant que cefle-ci soit assca
mince pour que son épaisseur puisse <ître négligôe.
Pit^ongeons tif josqu^à ce quVlle rencontre Taxe en/^. Soient c, c' les centres
des deux courbes , que l'on peut supposer , si Ton Tent, appartenir à denz
sphères différentes. Soit toujours 5^=: 6 et /^ = a. Le point/*' étant le
point de concours des rayons partis de s, dans Thypothèse oii la convexité mhn
existerait seule c nous aurons, comme ci-dessus (io34)y/Aai . r-7 •
(1 — /8)o— /wa
Soit maintenant c'h'=c, et /%'=£. Pour avoir une seconde valeur d» f^h qui renferme z, considérons le rayon /f' comme allant du point /vers la surface convexe m^'n , pour se réfracter dans le milieu M, suivant une direction tft qui diverge par rapport à Taxe. Ce cas sera semblable à celui de la figure 44» «' ainsi/ (Jig' 56) sera le point oii le rayon réfracté rencontre Taxe , en se plaçant du même côté que le rayon incident. Or , nous avons eu
(io34) dans ce dernier cas,y%=- \J~Z. ' Mais ici J7i (Ji§* 44) *^®'
vient fh* {Jig. 5o) , ou son égale fh ; a devient c, et & devient z. Donc la
formule se change en celle-ci , fh=. . r • Egalant les deux valeurs
(ni— ijzH-cwi
de fh. , on a 7 . « ^ , » d'où l'on tire
•' (m — \) z -\- cm (1 — m) h — via
mahc
(i — m) [^bc-^-ab) — mac Si les deux surfaces appartiennent à des sphéricités égales , on aura cz:ia ^
et la formule sera z =
(1 — nt)aè — ma
î'74 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
^parallèles j relatif à la position respective des rayoïv incidens (i). On l'appelle aussi foyer principal j ou simplement foyer ^ parce qu^il répond à la limite où les rayons émergens approchent le plus de se réunir exactement dans un point unique.
io4i. Remettons le point radieux s dans la situation indiquée par la fîgure 49 , et supposons qu'il la quitte pour s'approclier de la lentille. Les rôles alors étant changés , le point f à son tour fuira la lentille de plus en plus. A un certain terme , les rayons xfy qf, arriveront au parallélisme, et si le point radieux continue de se mouvoir vers la lentille , les mêmes rayons commenceront à diverger, et leur foyer deviendra imaginaire. Si la lentille était au contraire d'une matière moins dense que le milieu environnant, on aurait des effets différens, qui ont été pareillement déterminés par les physiciens.
io42. Tout ce que nous avons dit (io55)dela correspondance les mouvemens du point radieux et du foyer , lorsqu'il n'y a qu'une seule surface réfringente , s'applique également au cas où le milieu est d'une forme lenticulaire. Ces mouvemens se font toujours dans le même sens, soit que les deux points interceptent la lentille, ou que le foyer se trouve du même coté que le point radieux* io45. On peut aussi supposer que le corps diaphane soit biconcave j c'est- à-dire que, ses deux surfaces se regardent par leurs convexités, ou qu'il soit concave d'un côté et convexe de l'autre, auquel cas il prend le nom de ménisque , ou enfin qu'il soit plan convexe ou plan concaçe. Ces diverses configurations combinées avec la différence de densité qui peut exister entre les deux milieux , ont conduit à une multitude de résultats divers , parmi lesquels nous nous réservons à exposer ceux dont nous aurons besoin dans la suite, à mesure qu'ils seront amenés par le sujet même , attendu qu'il sera facile de les déduire de ce qui précède» 1 o44. Nous observerons , en terminant cet article , que c'est la même chose de considérer une lentille comme restant dans une
(1) Dans ce cas , la quantité ma sVvanouit dans le dcnomiinitcttr, et la fdiniule devient c =
position fixe^ et de faire varier celle du point radieux , ou de supposer, que ce deraier point étant immobile, ce soit la lentille qui changé de position par un mouvement égal. Car il est évident que, dans l'un et l'autre cas, les dimensions du cône de lumière dont le sommet coïncide avec le point radieux, et dont la base repose sur la lentille, subissent les mêmes changemens.
analogie entre la Réfraction et la Réflexion.
io45. Jusqu'ici nousf avons considéré la réflexion et la réfracr tion comme deux effets séparés , et qui avaient lieu indépendamment l'un de l'autre. Mais l'observation prouve que les rayons qui tombent sur la surfkce d'un milieu réfringent d'une densité différente de celle du milieu dans lequel ils étaient mus , ne pénètrent pas tous le second milieu , en sorte qu'une partie est réfléchie au contact des deux milieux. Supposons d'abord que le second milieu soit plus rare que le premier : à mesure que les rayons , en partant de l'incidence perpendiculaire , s'inclineront davantage sur la surface du second milieu , le nombre des rayons qui échappent à la réfraction deviendra plus considérable , et il y aura un terme où ils seront tous réfléchis. Ce dernier effet est donné immédiatement par la loi même de la réfraction, en sorte que l'on peut déterminer, d'après le rapport entre les sinus d'incidence et de réfraction , l'inclinaison sous laquelle il a lieu *, car puisque , dans le cas dont il s'agit , le sinus de réfraction est toujours plus grand que celui d'incidence, il est clair qu'il y a tel degré d'inclinaison où l'angle d'incidence étant encore aigu , l'angle de réfraction est droit, en sorte que la direction des rayons rompus coïncide avec la surface du contact des deux milieux *, et si l'on augmente encore l'angle d'incidence, celui de réfraction deviendra obtus , et les rayons se relèveront au-dessus de la surface du contact. Chacun de ces rayons ne se dirige point alors comme le côté de l'angle obtus qui résulte de la loi de réfraction, mais il fait son angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Nous en donnerons bientôt la raison.
io46. n suit de ce qui vient d'être dit, que, pour un milieu
tnÔ TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
donné, le rapport entre le sinus de l'angle d'incidence sous lequel commence la réflexion totale, et le rayon, est le même que cdui des sinus qui mesurent la réfraction dans le même milieu : par exemple, lorsque 'la lumière passe de l'eau dans l'air, les sinus étant en général comme 5 est à 4, la réflexion totale commencera sous l'angle d'incidence de 48^ 55', dont le sinus est les | du rayon.
1047. Si le second milieu est au contraire plus dense que le premier, il y aura aussi une partie des rayons qui seront réfléchis au contact des deux milieux : mais cette partie est 'en général moins considérable que dans le cas précédent, et quelque oblique que soit l'incidence ? il y a toujours des rayons réfléchis et d'autres qui sont réfractés ; de manière cependant que le nombre des premiers va en augmentant et celui des seconds en diminuant, à mesure que l'obliquité des rayons incidens devient plus grande. On conçoit qu'alors cette obliquité ne peut jamais être telle que le sinus de réfraction devienne égal au rayon , parce qu'il est toujours plus petit que celui d'incidence.
C'est en conséquence de cette portion de rayons qui se réfléchissent en échappant à la réfraction, que la surface d'une eao tranquille et celle des autres corps transparens font, jusqu'à un certain point , l'office de miroirs.
io48. Nous venons de voir que le terme où tous les rayons qui tendent à passer d'un milieu dans lin autre plus rare sont réfléchis , dépend du rapport entre le sinus d'incidence et celui de réfraction ; en sorte que quand ces sinus diflerent davantage l'un de l'autre, l'angle d'incidence qui répond à la réflexion totale est plus petit, ou, ce qui revient au même, si l'on suppose que les rayons , en partant de l'incidence perpendiculaire s'inclinent par degrés sur la surface de contact des deux milieux, ils parviennent plus tôt à la réflexion totale. Et parce que le rapport entre les sinus dépend à son tour de la différence entre les densités des deux miliçux , il en résulte que quand cett^ différence est plus grande, la reflexion totale se fait sous une moindre obliquité.
Mais de plus , dans toutes les incidences qui précédent celle où la totalité des rayons est réfléchie, le nombre de ceux qui su-
BE PHYSIQUE. tnn
inssent la réflexion partielle idont nous ^ons parlé (io45) est }dus considérable , sous une inclinaison donnée , lorsque l'incidence requise pour la réflexion totale est plus petite/en sorte qu'il existe à cet égard ^ une sorte de corr^tîon entre les deux réflexions. De là il suit que la portion de rayons qui se réfléchissent, au lieu âe se réfracter y est plus grande sous une incidence donnée, lorsque les densités des deux milieux différent davantage entre elles , et plus petite , lorsqu'elles diffèrent moins ; de manière que si elle» étaient ^ales, tous les rayons passeraient du premier milieu dans le second. Newton compare l'ensemble des deux milieux, dans ce cas f à ime masse d'eau limpide , divisée en deux portions par une sur&ce imaginaire qui transmet tous les rayons , sans en réfléchir aucun (i).^
La même chose a lieu, proportion gardée, lorsque la lumière passe d'un milieu dans un autre plus dense,^quoique, dans ce cas, il ne puisse y avoir de réflexion totale. Le nombre des rayons réfléchis il la surface de contact, sous une incidence donnée, s'accroît aussi à mesure que la différence elle-même est plus grande entre les deux milieux. Seulement ce nombre parait être plus petit , toutes choses égales d'ailleurs, que dans le premier cas où un milieu plus rare succède k un milieu plus dense.
Raisons de croire que la Réfraction et la Réflexion ne sont pas produites par une cause mécanique.
Keprenons maintenant tous les faits qui viennent d'être exposés; et voyons iusqu'où la théorie est parvenue dans la recherche des causes d'où dépendent la réflexion et la réfraction.
1049. On a d'abord essayé d'expliquer ces effets , comme beaucoup d'autres, d'après les lois ordinaires de la Mécanique. On a raisonné par rapport à la réflexion, comme si les molécules de la lumière ayant un ressort parfait , les surfaces qui la réfléchissent
( 1 ) Optice Lucisy lib. Il, par» III, propos. I.
