ÉLASTICITÉ DE FLEXION

dans un espace sphérique est à cette vitesse dans un filet cylindrique comme \/T\t est à 1.

Il résulte de ce qui précède, que si Ton élire ou comprime un cylindre par ses deux bases : !• quand il peut changer de diamètre, 2® quand il ne le peut, 3* quand l'effort s'exerce également sur toute la surface; les forces qu'il faudra appliquer , pour obtenir le même changement de longueur , seront entre elles comme 1 : | : 3; ou, pour une môme force, les variations seront comme 3:2:1

Enfin, M. Wertheim trouve qu'on peut rendre compte de tous ces résultats par le calcul, en admettant que la force moléoulaire décroît en raison inverse de la 1 4« puissance de la dislance,

433. Conclusion. — Malgré les recherches remarquables dont nous avons parlé, il règne encore de l'incerlilude sur la véritable valeur du rapport entre l'allongement et la variation de diamètre d'une barre étirée. Remarquons aussi que l'on admet tacitement que ce rapport est le même pour tous les corps. Or, ce point même est contesté par plusieurs physiciens et géomètres, enlr'autres par M. Lamé. M. Kirchhoff a voulu soumettre la question à l'épreuve de l'expérience, en opérant sur l'acier trempé, dont l'homogénéité est moins imparfaite que celle des fils métalliques qui ont été comprimés parle passage à la filière. La verge horizontale d'acier, de 30*=" de longueur, était chargée h son extrémité, d'un poids, par l'inlcrmédiairc d'un levier perpendiculaire à sa longueur; de manière qu'elle éprouvait en môme temps une flexion et une torsion, dont on mesurait l'étendue. De ces données, on déduisait, au moyen de formules mathématiques, le rapport de la contraction transversale â rallongement qu'aurait éprouvé la verge élirée. Trois barreaux à peu près égaux ont donné, par cette méthode indirecte, au lieu de 7 et | trouvés par Cngnard-Latour et par M. Wertheim, les nombres 0,293; 0,295; 0,294, dont la moyenne est 0,294. Quelques expériences faites avec des tiges de laiton fortement écrouies, ont donné 0,387. Mais la matière étant moins homogène, les résultats sont moins certains que les précédents.

n. Elasticité de flexioii.

434. Considérons une barre droite L (fig, 3bS) .^section rectangulaire, fixée par une de ses extrémités dans une position horizontale, et sur l'iiutre extrémité j]e laquelle agit normalement une force qui lui imprime une légère flexion. Celte barre tendra, en vertu de l'élasticité développée, à revenir à sa première forme, et elle y reviendra en effet, après avoir fait un certain nombre d'oscillations, dés qu'on l'abandonnera à elle-môme.

t Annales de Pogg., t. CVIII, p. 369; et Ann, dech. eldeph., 3« série, t. LIX, p. 498.

MO

CORPS SOUDES.

L'élasticité de flexion est due, en grande partie, à rélaslicité que développe le rapprochement ou Técartcment des molécules. En effet, les molécules voisines de la surface convexe an' sont écartées les unes des autres, tandis que celles qui sont voisines de la surface bc\ sont resserrées. Il y a donc de Tébsticilé développée par traction et par compression, et la barre tend i se redresser par Teffort que font les molécules pour revenir à leur première distance. Ajoutons que ces molécules ont aussi changé de positions relatives;

celles qui étaient en ligne droite étant actuellement en ligne courbe; elles tndent à reprendre leurs premières situations relatives, ce qui ajoute à la force d'élasticité développée.

Il existe dans la barre, une surface parallèle à an, dans laquelle les molécules conservent leurs distances; celles qui sont au-dessus étant de plus eo plus écartées les unes des autres, et celles qui sont au-dessous, de plus en ph» rapprochées, à mesure qu'on s'éloigne de celte surface.

435. Mesure de la flèehe. — Le déplacement fin' de rexlrêmité de h verge se nomme flèche de flexion. Pour le mesurer, quand il est très petit,» marque un trait délié sur la base de la barre prismatique, et l'on évalue k déplacement de ce trait, au moyen du cathétométre.

Fig. 358.

Fig. 359.

M. Wiedemann emploie un moyen d'une précision extrême, imaginé par M. Gauss pour mesurer les déviations des aimants dans l'élude du magnélisme terrestre. La barre L (/î^. 359) porte à son extrémité libre un petit miroir plan m perpendiculaire à sa longueur. En face de ce miroir est placée ooe règle divisée horizontale rr, dont on observe l'image dans le miroir, en regardant à travers un»» lunette / à réticule (16), dont le fil vertical doit se prujeler sur le zéro de l'image de la règle. La barre étant infléchie horizontalement, le plan du miroir vient en w' en s'inclinant par rapport à sa première position, l'image de la règle se déplace longiludinalement, et au lieu du zéro, c'est un autre numéro de cette image, qui coïncide avec le f:l du réticule. Ce numéro donne la longueur absolue de la tangente du déplacement angulaire du miroir. En eff'et, avant la flexion, l'image du zéro, o, se fait en o', pont symétrique du point o par rapport au plan du miroir m. Quand la barre vient en L', le miroir ayant pris la position m', l'image du zéro viendra en o', sur

ÉLASTIQTÉ DE FLEXION. 411

erpendiculaire à son plan m'p; et une certaine division n de I*image venant

t'y sous le fil du réticule, la longueurno'" sera la tangente de Tangle noo',

est égal à i*angle des plans m, m'p, perpendiculaires à on et oo",

>e cette tangente, on déduira la longueur de l'arc de flèche f=mm\

)osé très petit, au moyen de la proportion f l nô" = ôm : ô<7 , quand la

ince ôô^ = 2fiïô sera connue. On voit que la mesure sera d'autant plus

ise, que la distance mo de la régie au miroir sera plus grande.

8#. Lois de réiasticité de flexion. — Ces lois sont comprises dans la

iule suivante, que Ton démontre en mécanique :

m f=^. doù p=— .

; la flèche de flexion nn' (fig. 358); P la force appliquée à l'extrémité de la e; / sa largeur, perpendiculaire à la direction de cette force; e son épais- '; L sa longueur, et S un nombre constant qui dépend de sa substance, on fiiit /■=! , l=i, e = \ , L— 1, il vient P=^. On voit donc i est la charge qui ferait parcourir un arc égal à l'unité, h l'extrémité le barre carrée dont l'épaisseur serait égale à l'unité, et la longueur égale il à l'unité. Ce nombre se nomme le coeflicicnt d'élasticité de flexion; on Je déterminer par l'expérience, au moyen de la formule [1], après avoir uré /■, L, / et e.

)n peut aussi déterminer S , en appuyant la barre par ses deux extrémités,

)laçant le poids P au milieu. La formule est alors P = , dans

lelle L représente la distance des appuis. — La formule [1] montre que : ^ Le déplacement de Vextrémité de la barre est proportionnel à la charge; |ue Coulomb a vérifié par l'expérience. Cette loi résulte aussi de l'isochrone des oscillations de la barre, quand elle revient à sa position d'équilibre, effet, soient deux arcs inégaux décrits par l'extrémité libre de la barre, 5 deux expériences consécutives, et représentant deux amplitudes différentes, sons chacun de ces arcs en un même nombre de parties égales infiniment tes, qui sont parcourues d'un mouvement uniforme: ces parties seront M)rtionnelles aux arcs d'amplitude. Or, puisqu'il y a isochronisme, deux tivisions de même rang des deux amplitudes sont parcourues dans le même )8, ce qui exige que la force, c'est à-dire l'élasticité de flexion, soit proporlelle aux longueurs de ces deux subdivisions, et par conséquent aux arcs iplîtude.

> La charge qui produit une certaine flèche est proportionnelle à la mr l; ce qui pouvait se prévoir ; car si la lame devient 2, 3... fois plus S chaque moitié, tiers... exigera le même effort pour subir le même écart.

La charge est proportionnelle au cube de Vépaisseur.

Elu est en raison inverse du cube de la longueur.

Si la section de la barre n'était pas un rectangle ayant un côté perpendicoiaire à la direction de la puissance, ou si elle n*élait pas droite, les lois seraient différentes. Dans le cas d*une verge droite cylindrique appuyée par ses de»

extrémités et de rayon r, la formule est P = " .

Tout ce qui précède suppose que la barre revient exactement k sa prenuére position quand on Tabandonne à elle-même, c'est-à-dire qu'on ne dépassep» la limite de l'élasticité. Or, il résulte des expériences de M. Wiedemann, (pi reste le plus souvent un peu de flexion permanente, que la méthode très prè» du miroir (435) permet de constater. Le même physicien a aussi obsenésv des verges récemment recuites, que les flexions temporaires croissent ph rapidement que les charges. On voit donc que les lois ci-dessus ne sont pis rigoureusement vraies; elles ne se vérifient bien que pour les très petits flexions.

437. Applications. — L'élasticité de flexion est celle dont on fait le pie fréquemment usage. La plupart des ressorts, ceux des voilures, des scrrorei,

des divers dynamomètres (52), soil

élastiques par flexion. Il en est de

même des arcs destinés à lancer des

traits. Les coussins doivent leurébs-

licilé au crin dont ils sont rembourrés,

et dont les brins se comportent connu

autant de petits ressorts qui, coid-

primés, tendent à reprendre letf

première forme.

^'8- ^^^' Dans les montres, les pendules, le

mouvement est produit par l'élaslicilé

d'un ressort d'acier courbé en spirale. Ce ressort est fixé par l'une de ses

extrémités à un axe fixe P (fig, 360), autour duquel peut tourner une caisse

cylindrique, à laquelle est allachée son autre extrémité A. Quand, en faisaat

tourner la caisse, on a serré les plis du ressort, il tend â reprendre sa première

courbure, et l'extrémité A tourne, en entraînant la caisse.

m. Elasticité de torsion.

438. Quand un fil métallique ab {fig. 301) est torJu par un effort exercé à l'une de ses extrémités, l'autre étant fixe, il tend à revenir à son preffliff état, et y revient en eflet, après avoir fait un cerl*iin nombre d'oscillatioBS, quand on l'abandonne à lui-même. H faut pour cela qu'on n'ait pas dépasséb limite de l'élasticité, ce que nous supposons toujours.

Pour expliquer comment la torsion développe de l'élasticité, considérons od^ file de molécules pn (fig, 301) parallèle à l'axe du fil cylindrique; ces molécule