Lois de rélasticité de torsion. — Ces lois f

nt été trouvées par Coulomb, en s'appuyant sur la famiule mathématique qui suit :

Hl .= .l/«l^ = .a/5;d'où.^^^.

Ml

Fig. 36^

fii est relative à un fil cylindrique, suspendu vertica-

knent (/^. 361), et chargé d'une masse cylindrique

derayona, dont l'axe coïncide avec celui du fil, et

dont le poids est P et la masse M, de manière que Mo^

est son moment d'inertie, c est le coefficient de torsion

do fil, et Me temps d'une oscillation que fait le poids P

iotour de son axe, quand, ayant tordu le fil , on l'aban-

doBoe à lui- môme. Celte formule prouve que les

ttdllalions sont isochrones, c'est-à-dire de même

dorée, quelle que soit l'amplitude; ce que Coulomb a vérifié avec des fils de

différentes substances, de ditférentes dimensions et chargés de poids variables.

L'expérience se fait avec les précautions que Ton emploie dans la mesure du

temps d'oscillation du pendule (116).

Voici quelles sont les lois trouvées par Coulomb :

i* La force de torsion est proportionnelle à Vangle de torsion. Cette loi îésoltede Visochronisme des oscillations, comme on peut le prouver facilement XiiDoyen d'un raisonnement tout à fait semblable à celui que nous avons tnployé plus haut pour l'élasticité de flexion (436). Coulomb en a fait une >fpiieation ingénieuse à la construction d'un instrument très délicat, nommé ^oimce de torsion, ou balance de Coulomb, destiné à mesurer de faibles forces '*>Uraction ou de répulsion ; nous le décrirons plus tard, quand nous aurons

dentaire connaître les usages.

414 CORPS SOUDES.

i^ La force de torsion reste la même, quelle que soit la tension du jd. En effet, Texpérience prouve que le carré du temps d'une oscillation est proportionnel au poids P; d'où il résulte que dans la formule [2], le rapport V\0 reste constant, quel que soit P. lien est donc de même da coefficient le torsion c, et, par suite, de la force de torsion, d*aprés la loi précédente.

Le coefficient c dépend de la substance, du diamètre et de la longueur do fl. Voici les lois relatives à la longueur et au diamètre :

3° Le coefficient de torsion est en raison inverse de la longueur du fL L'expérience prouve, en effet, que les carrés des temps des oscillations soit proportionnels aux longueurs des fils; et la formule montre que e est en raisa inyerse de t'^. Cette loi est aussi la conséquence de la première; car, si lel

devient double, triple, pour un même angle de torsion, sa moitié, soi

tiers, seront 2, 3 fois moins tordus, et la force de lorsioo son

2, 3 fois moindre.

4^ Le coefficient de torsion est proportionnel à la A* puissance du diâmètn du fil. Car, d'après l'expérience, les durées des oscillations sont en raisoi inverse des carrés des diamètres, et la formule montre que les coefficients de torsion sont en raison inverse des carrés des temps des oscillations.

Il résulte de ces lois que, si l'on appelle f la force de torsion produisant l'angle de torsion a, c le coefficient de torsion, d eil\e diamètre et la longueur du fil , et enfin k un coefficient qui dépend de sa substance, on aura

f =. oiC, et c = « — .

k se détermine au moyen de la valeur de c, déduite de l'expérience, au moyen de la formule [2].

Coulomb a remarqué, de plus, que lorsqu'on charge un fil métallique aiec des poids de plus en plus forts, ce fil prend des positions d'équilibre différentes; c'est-à-dire qu'une aiguille suspendue horizontalement à sa partie inférieure, tourne à mesure que la charge augmente. Ce mouvement peut même dépasser une circonférence entière.

Quand un poids, suspendu à un fil métallique, oscille sur lui-même pff l'élasticité de torsion, l'amplitude des oscillationsva en diminuant graduellemeol, et le mouvement finit par s'arrêter. On serait tenté d'attribuer ce résultât i la résistance de l'air; mais Coulomb a prouvé que cette résistance n'a qu'oie très faible influence dans le phénomène. Pour cela, il entoura le poids suspendo au fil , de cylindres de papier beaucoup plus longs que ce poids, et il reconnot que les oscillations ne s'arrêtaient pas plus tôt, après cette augmentation de surface. En réalité, la diminution des amplitudes est due à la communication d'une partie du mouvement aux molécules du support voisines du point d'attache. 11 en est de même des oscillations d'une verge fléchie.

ELASTICITE DE TORSION.

Torsion des barres rigides. — Les lois de l'élasticité de torsion n*ont été établies par Coulomb que dans le cas des fils flexibles et à section circulaire, chez lesquels la torsion était toujours très faible. Depuis, les géomètres ont soumis la question à Tanalyse. Poisson a retrouvé les lois dans le cas des verges rigides à section cylindrique; et Cauchy, MM. LaméetClapeyron, puis M. de Saint-Venant, dans le cas de verges à section rectangulaire. Comme dans ces calculs, on suppose que les verges n'éprouvent pas de changement de diamètre pendant la torsion, il était nécessaire d'examiner la question expérimentalement.

Savart, en 1829, vérifia les lois de Coulomb sur des verges rigides en laiton, cuivre, verre, bois, plâtre, à section circulaire, carrée, rectangulaire et triangulaire ; dans ces trois derniers cas la loi relative aux diamètres se rapporte évidemment aux verges à sections semblables. La verge était fixée horizontalement dans un étau par l'une de ses extrémités; l'autre recevait à son centre de figure, une pointe autour de laquelle elle pouvait tourner. Un levier perpen-

Fig. 362.

diculaire à la barre, et fixé par son milieu à cette extrémité, portait un poids qui produisait une torsion dont l'angle se mesurait sur un cercle gradué fixé à la base de la pointe. Le levier était toujours amené à une position exactement horizontale, au moyen de contre-poids suspendus à l'extrémité opposée à celle qui portait les poids.

Recherches de H. Wertheim. — Les expériences de Savart, faites en vue de la vérification de lois connues, ont été exécutées avec des torsions trop faibles, et par une méthode peu susceptible de précision. On peut donc dire que la question était à peu près neuve, lorsque M. Wertheim fit des expériences sur le même sujet*. La fig. 362 représente l'appareil dont il s'est servi. La barre LL' est serrée par son extrémité L dans une espèce d'étau e porté par un chariot qui peut glisser sur des rails bordant le banc en fonte FF', et

Annales de chimie et de physique^ 3^ série, t. L, p. 385.

se fixe au moyen de boulons v. I/extrémité L' de la barre est fixée, au moyen de vis, dans une pièce h adaptée à un arbre tournant portant une roue à gorge R. Dans la gorge de cette roue s'enroulent deux cordes chargées de poids équivalents, et qui la font tourner dans le môme sens, comme on le voit à part en R', la corde c passant sur une poulie de renvoi. Un vernier fixe n, n' fait connaître Tangle de torsion produit par les poids, et un demicercle r sert à vérifier, au moyen du vernier m fixé i\ la barre, si l'extrémité L n*a pas tourné dans son étau. Avec cette disposition, l'intensité du couple était sans influence sur le frottement des tourillons de la roue. Les expériences ont été faites sur 05 verges difTérenlcs, creuses ou massives, en fer, acier, laiton, verre, bois ; à section circulaire, elliptique, carrée, rectangulaire ; chaque verge était tordue successivement dans les deux sens, et Ton prenait la moyenne dés deux résultats.

Pour reconnaître si le diamètre de la verge diminue pendant la torsion, M. Wertlieim a opéré, comme dans ses expériences sur la tension (432), au moyen de tubes pleins de liquide, nuinis d'un tube capillaire, et dont ks extrémités étaient soudées à des masses cubiques sur lesquelles on les fixait. Pendant la torsion, on voyait le niveau du liquide s'avancer dans le tobe capillaire, ce qui indiquait une diminution du volume intérieur. Cette diminutioa est proportionnelle à la longueur et au carré de l'angle de torsion. Des tubes à section rectangulaire ont donné les mômes résultats, et, déplus, on arecoonn que la diminution de volume, à égalité de section, croît très rapidement avec la différence des côtés du rectangle ; quand le rapport est 1 : 4, la diminution est près de 20 fois plus grande que lorsque les côtés sont égaux. Cette loi peut être regardée comme s'appliquant à la masse solide qui remplirait la cavité du tube: d'où il résulte que la section d'une verge diminue pendant la torsion. Mai> cette diminution n'est pas répartie uniformément dans toute la section, car il résulte du calcul, que la densité va en croissant du centre à la circonférence.

La loi de la proportionnalité des angles aux forces de torsion ne s'est pa> trouvée exacte. Pour énoncer ce résultat, M. Wertheim appelle angle mop. le rapport entre l'angle de torsion et le couple qui le produit ; et l'expérieDce prouve que l'angle moyen va en augmentant avec l'intensité du couple. La vésiy tance diminue donc à mesure que la torsion augmente, ce que la diminution de diamètre et les changements de densité suffisent à expliquer.

L'angle moyen diminue au contraire à mesure que la longueur augmente, et on peut admettre qu'il tend vers une limite qu'il atteindrait si la section était négligeable par rapport à la longueur, comme cela a lieu dans les 61^ flexibles, et comme on le suppose dans le calcul. M. Wertheim a renjarqoé aussi que, quelque faible que soit la torsion, elle est toujours accompagnée d'un certain effet permanent.

On voit donc que les lois de la torsion sont des lois limites dont on s'approche d'autant plus que l'angle de torsion est plus faible, et que la section de la verge est plus petite par rapport à sa longueur.

UMITE DE L ELASTICITE.

lY. ll« U Umite de rélattioité.

441. Quand on étire une verge au moyen d*une charge trop forte, elle ne revient pas exactement à sa première longueur, mais elle conserve une partie de rallongement et de la diminution de diamètre qu*elle avait éprouvés; c*est qu'on a dépassé la limite de Véîasticité. On dit que la barre a été forcée. Des effets analogues s'observent, lorsque l'élasticité est développée par compression, flexion ou torsion.

Pour expliquer ce résultat, on regarde les molécules comme polyédriques, et se présentant les unes aux autres par certaines fac^s, qui ne sont plus les mêmes quand on les a trop déplacées relativement. Par exemple, soient quatre molécules polyédriques A, C, B, D (fig. 363); un effort convenable, exercé dans la direction xy, amènera la molécule B, en B'. Alors la molécule C se rapprochera de la ligne xy et viendra se mettre dans la position C\ après avoir tourné d'une certaine quantité, de manière que ce ne seront plus les mômes faces qui se trouveront en présence de celles des molécules A et B'. H y aura donc une nouvelle position d'équilibre, qui correspondra à un nouvel état permanent du corps..

II résulte de \h, que les lois de l'élasticité doivent exister dans chaque nouvel état d'un ressort qui a été forcé ; c'est, en effet, ce que Texpérience constate. Ainsi, M. Gerstner a trouvé qu'un 01 d'acier étiré et forcé se comporte de la même manière dans chaque nouvel état; c'està-dire qu'il a le môme coefficient d'élasticité et suit les mômes lois, tant qu'on ne produit pas un nouvel allongement permanent; résultat vérifié par M. Wertheim sur beaucoup d'autres métaux. Ces expériences sont difficiles, parce que, le plus souvent, la verge file, c'est-à-dire que la charge la fait allonger d'une manière continue, ce qui rend l'observation des allongements très incertaine. C'est ce qui a lieu surtout pour le cadmium, l'étain, le zinc.

44«. Pendant qu'une verge s'allonge, sa densité varie. M. Wertheim a constaté que, le plus souvent, les métaux recuits ou fondus, forcés par tension, augmentent de densité ; ce qui montre que l'effet dû au rapprochement latéral des molécules, l'emporte sur l'effet dû à rallongement. Cependant, le contraire a lieu pour quelques métaux ; comme le fer, le plomb. Le recuit ramène sensiblement la densité à ce qu'elle était avant la traction.

Le môme physicien a mesuré la limite de l'élasticité de tension de plusieurs métaux, en prenant pour cette limite, comme l'avaient fait plusieurs expéri-

Fig. 363.

418 CORPS SOUDES.

mentaleurs, la charge capable de produire un allongement permanent de 0,00005 sur l'unité de longueur. Il a trouvé que cette charge limite diminue notablement quand la température augmente. Ainsi, le cuivre recuit donne le limites 3, 2, i et le platine 14,5; 13; 11,2; aux températures de 15% 100% 200"". Le recuH abaisse aussi la limite d'élasticité, mais une température de 200'' ne la faisant plus varier sensiblement chez les métaux recuits d'avance, il semble que la chaleur agit en produisant le recuit. On trouvera quelques résultats dans le tableau de la page 420.

Coulomb a constaté aussi que les lois se retrouvent dans chaque nouvel état d'un fil tordu au-delà des limites de l'élasticité, et que cette limite s'éloigne, à mesure que la torsion permanente devient plus grande, d'abord rapidement, puis avec une rapidité décroissante.

443. Si l'effort capable de produire un allongement jiermanent, agit pendant longtemps, il arrive souvent que la barre continue à filer. Ainsi, M. Vicata \\\ un fil placé à l'abri de toute secousse, et tendu par un poids égal au tiers et même au quart de celui qui produirait sa rupture instantanée, s'allonger pendant. des années avant d'atteindre sa limite d'extension. Des lames minces de verre ou d'acier, assez longues pour fléchir sous leur propre poids, et nppuyées obliquement, finissent par contracter une courbure permanente.

Les ressorts les plus parfaits se fatiguent à la longue, c'est-ii-dire qu'ils finissent par conserver un changement de forme, sous l'influence d'une charçe trop prolongée. Il n'est pas nécessaire même que la charge agisse d'une manière continue, il suffit que son efl'ort se fasse sentir à intei-valles très rapprochés: Savart, en faisant vibrer dans le sens de sa longueur, un fil métallique chargé d'un poids, l'a vu s'allonger de ^\- de sa longueur primitive t:inl que duraient les vibrations, et conserver ensuite un allongement permanent ijue n'aurait pu produire la charge. Il semble que, dans cette expérience, les molécules, déplacées pai* une première impulsion produite par la cause qui fait vibrer le fil, n'ont pas le temps de revenir à la position d'équilibre quand l'impulsion suivante se fait sentir; de sorte qu'un nouveau déplacement s'ajout.inl au précédent, la limite d'élasticité est franchie.

Du reste, les ressorts fatigués finissent souvent par revenir à leur premier état, après un repos plus ou moins long. C'est ce qui a lieu pour le tranchant (les rasoirs émoussés par un usage trop fréquent, et l'on accélère l'effet au moyen d'une chaleur modérée qui remue les luolérules, ou en passant la lame sur un cuir gras, qui letiont les molécules du tranchant et les écarte légèrement «le celles contre lesquelles elles avaient été pressées.

Il existe des substances, comme le verre, l'acier trempé, le marbre.... qui poiivent être chargées jusqu'à la rupture, sans recevoir auparavant d'allon- ^emenl permanent. Les molécules de ces corps semblent ne pouvoir prendre de nouvelles positions relatives, sans se séparer ; c'est ce que montre en effet fabsence de ductilité, comme nous le verrons plus loin.