DU CHOC DES CORPS

i« Corps BOB élastiques. — Quand deux masses m, m\ non élastiques, animées de vitesses différentes, se choquent, elles se compriment et se déforment mutuellement , jusqu'à ce que leur vitesse soit devenue la même. Le problème consiste, dans ce cas, à chercher la vitesse finale commune.

Soient m et m' les masses des deux corps 0 et 6 (fig. 377 J, dont les vitesses sont V et v\ vitesses comptées positivement de gauche à droite, et négativement en sens contraire. En vertu de Tinertie, la quantité de mouvement

gagnée par l'un des corps doit (Hre égale à celle que l'autre a perdu. Or, en appelant u la vitesse commune après le choc, et supposant que v est plus grand que r' , la quantité de mouvement perdue par le corps a sera vm — Mm = (v — u) m , et cel^B qu'a gagnée le corps b sera (« — v')m'. On aura donc

Fig. 377.

(v — m) m = (h — v') m' ; d'où m =

mr-4-m r

Si V = v\ on a tt = r, ce qu'il était facile de prévoir. Si les niasses sont égales, la vitesse finale est égale à la moyenne | {v H- v). Si la masse h marchait à la rencontre de la masse «, il faudrait changer le

signe de i'', et la vitesse finale serait u =

valeur qui est nulle

quand on a mv = m'v\ c'est-à-dire quand les vitesses sont en raison inverse des masses. Si nous faisons m'= =», et t;'=0, c'est-à-dire si le corps 6 est remplacé par un obstacle fixe, il vient H := Oy résultat évident.

4*78. Vérifications expérimentales. — Mariotte a vérifié les lois du choc direct des corps mous, au moyen d'un appareil qui a été perfectionné depuis par Nollet. Deux sphères en plomb ou en argile plastique, sont suspendues en o par des cordons {fig. 378). Deux portions de cyrloïde fw, n, forcent le centre de gravité des masses, à décrire aussi une cycloïde, suivant laquelle l'arc A B a été taillé (119). 11 résulte de cette disposition, que les deux pendules, s'ils

partent en môme temps, arriveront au même instant au point le plus bas, quel que soit leur point de départ, et avec des vitesses proportionnelles aux espaces

Fig. 378.

parcourus (113). Après le choc, les deux masses monteront ensemble, d'un côté ou de l'autre, à une hauteur qui fera connaître la vitesse commune qu elles ont reçue au moment du choc.

473. 2» Corps élastiques. — Supposons que les c^rps qui se rencontrent soient deux sphères élastiques m et m' (fig. 379), dont la limite d'élasticité ne soit pas dépassée pendant le choc. Au moment où elles se rencontrent, avec des vitesses r et r', ces deux sphères s'aplatissent mutuellement, jusqu'à ce que leur vitesse soit devenue la même ; et les choses se passent jusque là comme dans le choc des corps mous. A partir de cet instant, .jfij^^^^iÊ^^' 'es deux corps tendent à reprendre leur première forme, en s'appuyant toujours l'un contre l'autre et se pressant à leur point de contact par l'elfel de la force de ressort que la compression a développée. Il résulte de là, que Pig 379. la masse m continuera à pousser la masse m', jusqu'à

ce que sa force de ressort soit épuisée, et en lui communiquant une quantité de mouvement égal à celle qui a produit la compression à laquelle est due cette force de ressort, c'est-à-dire égale à wr. De même, la masse m' communique à la masse m, pendant la seconde période du choc, une quantité de mouvement égale à m' v'. Pendant la seconde partie du phénomène, la vitesse de chaque masse varie donc de la môme quantité que pendant la première. Quand les deux sphères ont repris leur forme primitive, elles se quittent, et c'est la fin du choc.

Pour trouver les vitessesV, V des deux masses après le choc, supposons f >r', et appelons u leur vitesse commune quand la compression est arrivée ;i son maximum. La masse m a alors perdu une partie v — n de sa vitesse et la masse m' a gagné n — v' ; et comme, à partir de cet instant, la détente des deux sphères douhle l'effet produit, la vitesse de m se trouve diminuée, à la fin du choc, de 2(v — u), et celle de m', augmentée de 2(w — u'). Or, les vitesses cherchées Y et V sont égales aux vitesses avant le choc, modifiées comme il vient d'être dit, on a donc

V = r — -2(r — w), V = r' -+- 2(m — i»'); d'où V — V' = »'— r.

en retranchant les deux premières expressions membre à membre ; ce qui montre que la vitesse relative est la même avant et après le choc, mais de sen> contraire. Mettons à la place de m sa valeur [1] (471), il vient

(m — m')r+2mV (m'— ?n)r' + gmp

t^n regardant les vitesses v et v' comme positives, ce qui suppose que les deux corps marchent de gauche adroite, la masse m, dont la vitesse est la plus grande, étant à la gauche de l'autre.

CHOC DES COKPS ÉL.\STIOrES. 441

Discutons ces formules : si nous supposons d*abord les masses égales, il vient \=r', V' = i;, c'est-à-dire que les mobiles échangent leurs vitesses. Si en môme temps v' est négatif, on a V = — v\ y' = Vy c'est-à-dire que chaque corps retourne sur ses pas avec la vitesse que possédait l'autre. H en résulte qiie, si la masse m' est en repos, c'est-à-dire, si l'on a v' = 0, le corps m s'arrêtera et la masse m' partira à sa place avec la vitesse r.

Quand les masses sont différentes et que l'une, m', est en repos, on trouve

pour les vitesses après le choc V= ^^ 7-» V' = — ; — -. On voit que

V sera négatif, c'est-à-dire, que la sphère en mouvement retournera sur ses pas, quand sa masse sera moindre que celle de la sphère en repos. Cette circonstance pourra encore se présenter quand la masse la plus grande w' sei^i elle-même en mouvement. Car la quantité [m — m')v-\-2m'v' peut être négative, si v' est négatif, ou si, étant positif, sa valeur est plus petite que celle que donne l'équation (m — m') v-^^m'v' = 0.

Si nous faisons v' = 0 et w' = :x> ; c'est-à-dire, si la masse m' est remplacée par un obstacle fixe contre lequel la masse m vienne frapper dans une direction normale, on aura V = — v, ce qui signifie que la masse m revient sur ses pas avec la vitesse qu'elle possédait au moment du choc.

Si la masse m' est très grande par rapport à la masse m et si l'on a v' = 0 la formule [3] montre que la vitesse de m' sera très petite. C'est pour cela que le choc du marteau sur une enclume ne se fait sentir que faiblement sur son support; que l'on peut frapper fortement une grosse masse que l'on tient dans la main sans ressentir de douleur, tandis que chaque coup se fait sentir vivement quand la masse est petite.

474. Vérifications par l'expérience. — La plupart de CCS résultats peuvent se vérifier au moyen de l'appareil {fig. 378), en remplaçant les sphères de plomb par des billes d'ivoire. Il peut arriver, quand le choc est très énergique, que les résultats de l'expérience ne soient pas d'accord avec ceux que la théorie indique. Cela tient à ce que les sphères se quittent alors avant d'être complètement revenues à leur première forme, contrairement à ce que nous avons supposé dans le calcul des formules.

Dans le cas d'un corps élastique frappant normalement un obstacle fixe, l'expérience se fait en laissant tomber verticalement une bille d'ivoire sur un plan horizontal de marbre. D'après la théorie, la bille devrait remonter en rebondissant jusqu'au point de départ (105), mais il n'en est rien. Il est facile d'expliquer cette anomalie, en remarquant que la plaque de marbre ne représente pas exactement un obstacle fixe; car elle cède sous le choc, dans une certaine étendue autour du point de contact, et la force de ressort qui se développe au moment où elle revient à sa forme plane, n'est pas restituée entièrement à la bille, une partie de la détente ayant lieu en des points qui sont en dehors de ceux où il y a contact. On prouve du reste que la bille s'est aplatie momentanément, en enduisant la plaque de marbre d'une légère couche

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d'huile, sur laquelle la bille imprime une tache circulaire beaucoup plus large que celle qu*elle y marque quand on ne fait que la poser légèrement.

475. CoBstraetion de i/Vren. — Wren a représenté tous les résultats du choc direct des corps élastiques par une construction très simple et très élégante. Soient M et M' (fig. 380), deux billes élastiques, dont les masses sont m et w', marchant avec des vitesses v et v' en sens contraire dans le haut de la figure, et dans le même sens, en bas, comme Tiddiquent les flèches. Soit G le centre de gravité du •- système des deux masses, et K le point où a lieu leur rencontre. Les distances MK, M'K sont entre elles comme les vitesses v et v\ et peuvent senir à les représenter. Prenons enfln, à partir da centre de gravité G, une longueur GO égale et opposée à GK ; les vitesses des deux mobiles après le choc seront représentées par les distances OM, OM',

et dirigées de 0 vers SI et vers M'.

Pour le démontrer, il suffira de prouver que les longueurs OM et CM' sont entre elles comme les vitesses V et V doo- Fig. 380. nées par les formules |2|

et [3| (473). Considérons d*abord le cas des billes marchant dans le même sens r, r\ Nous avons