I. Hanière de produire les vibrations transversales

609. Les corps solides peuvent vibrer transversalement^ longitudinalement, et par torsion (479). Les vibrations transversales sont celles dans lesquelles les molécules se déplacent dans une direction perpendiculaire à la plus grande des dimensions du corps, dont les parties éprouvent alors des flexions alternatives de part et d'autre de leur position d'équilibre. Nous allons d'abord nous occuper de ces sortes de vibrations.

Le corps vibrant transversalement peut être élastique par lui-même^ comme les verges rigides, les plaques; ou élastique par tension, comme les cordes flexibles, les membranes. Il peut avoir une dimension très grande par rapport aux deux autres, comme les cordes, les verges; une des dimensions peut être très petite par rapport aux deux autres, comme dans les plaques, les cloches, les membranes. Nous examinerons successivement ces différents cas.

6iO. Mlaiilèreit d*exciter les iribratlons transversales. — La méthode générale consiste à agir sur un des points du corps solide de manière à produire une flexion, puis à l'abandonner à lui-même. L'élasticité fait revenir la partie déplacée à sa position d'équilibre, qu'elle dépasse en vertu de la vitesse acquise, et à laquelle elle finit par s'arrêter après avoir accompli un certain nombre de vibrations d'amplitude décroissante. On arrive à ce résultat, soit en exerçant une pression que l'on fait cesser tout à coup, comme lorsqu'on pince wne corde; soit par un choc, comme lorsqu'on frappe une cloche, un tambour; soit enfin au moyen d'un archet, instrument que l'on peut toujours employer, excepté dans le cas des membranes tendues par tout leur contour. On peut encore faire vibrer transversalement les corps, en leur communiquant les vibrations d'un autre corps.

644. De rarehet. — L'archet consiste en un faisceau de crins tendus sur une baguette de bois, et enduits de colophane, résine fine qui leur donne la propriété d'adhérer aux corps sur lesquels on les frotte. L'action de l'archet ne parait pas avoir été étudiée avant D. Bernouilli, qui la compare à celle que produirait une suite de dents équidistantes, attaquant le corps sonore à des intervalles égaux au temps qu'il emploie pour accomplir une vibration simple, ou à un multiple de ce temps. Il résulterait de là que le son devrait dépendre de la vitesse de l'archet, et devenir impossible pour certaines, vitesses ; ce qui est contraire à l'expérience.

L'archet agit comme une suite rapide de chocs légers: supposons, par exemple, qu'on le frotte sur une corde d'instrument; il entraîne cette corde et

la fléchit dans le sens de son mouvement. Bientôt la force élastique développée par rallongement qu'elle a subi, lui fait vaincre son adhérence à l'archet, et elle vibre jusqu'au moment où, une nouvelle adhérence se produisant, eDe reçoit une nouvelle impulsion dans le sens du mouvement de Tarchet, qu'eDe quitte un instant après, et ainsi de suite. Ces impulsions se succèdent très rapidement ; leur nombre n'a aucune influence, et les choses se passent comme si Ton frappait la corde très rapidement avec le doigt. Il suffit, ce qui a toujours lieu, que les chocs soient moins rapprochés que les vibrations. Plus la pression de l'archet sur la corde est énergique, plus l'amplitude des vibrations est grande, et le son intense. Si cette pression devient trop forte, la corde est gênée dans ses mouvements en sens inverse de l'archet, et le son est un peu plus grave. Enfin, si l'on appuie très fortement, il n'y a plus de son; mais il se produit des ressauts irréguliers, parce que la corde n'a plus la liberté de vibrer suivant son élasticité. Plus le mouvement est lent, la corde grosse, et la pression forte, plus ces secousses sont faeiles à observer.

L'archet vibre lui-même transversalement dans toutes ses parties, mais trop lentement pour donner un son appréciable. Pour qu'une corde donne un son pur, il faut que l'archet soit affermi solidement dans la main qui le conduit, surtout quand on veut donner de l'intensité au son.

n. YlbratloDS des cordes.

6J«. Pour faire vibrer une corde flexible tendue par ses deux extrémités, on l'écarté de la ligne droite, ce qui la force à s'allonger, et développe par conséquent l'élasticité de tension ; on l'abandonne ensuite à elle-même, elle revient à sa position d'équilibre, la dépasse et finit par s'y arrêter après avoir accompli un certain nombre de vibrations. C'est le plus souvent, au moyen de l'archet que l'on fait vibrer les cordes; on emploie aussi la percussion, comme dans les pianos.

La rapidité du mouvement vibratoire d'une corde dépend de sa longueur, de son poids et de sa tension. La recherche des lois qui lient ces quatre quantités a beaucoup occupé les géomètres. Le problème des cordes vibrantes a été d'abord traité par Taylor, et après avoir suscité des discussions animées entre les plus grands mathématiciens du dernier siècle, parmi lesquels Jean et Daniel Bernouilli, d'Alembert, Euler ; il a enfin été complètement résolu par Lagrange.

643. Lois des eordes iribrantes. — Ccs lois sont comprises dans la formule suivante, qui suppose la corde parfaitement flexible :

11) „=|/f. ou «=^/I. (21

n représente le nombre de vibrations accomplies en une seconde par la corde, P le poids qui la tend, / sa longueur, et p son poids. En remplaçant cette dernière quantité par sa valeur p= icr^glSy S étant la densité et r le rayon de la corde cylindrique, on obtient la formule [2]. Elle montre que:

i^ Le nombre de vibrations est en raison inverse de la longnenr de la corde : ?o en raison inverse de son diamètre; S» proportionnel à la racine carrée de la tension ; A<* en raison inverse de la racine carrée de la densité,

La formule [1] montre que, la densité et le diamètre variant de manière que le poids de la corde reste le môme, le nombre de vibrations reste aussi le même.

Mersenne a démontré la première loi de la manière suivante : considérons le point 1 appartenant à une corde AGB (fig. 464) dérangée de sa position d'équilibre ; ce point tend à venir en H, dans le même temps que met le point G à venir en F. Si maintenant le point I appartient à la corde FIB, moitié de AGB, la tension produite par la flexion restant la même, ce point est sollicité vers la position H avec la même force qui sollicitait le

point G vers la position F; et Fig. 464.

comme l'espace IH est moitié

de FG, le point I mettra, pour arriver à la position d'équilibre, la moitié du temps que met le point G. Cela suppose que l'angle FBG est le même dans les deux cordes; mais la démonstration n'en est pas moins générale, puisque la durée des oscillations est indépendante de l'amplitude (479).

On fait des applications de la seconde et de la quatrième loi dans les cordes filées, c'est-à-dire recouvertes d'un fil métallique qui, augmentant leur diamètre et leur densité moyenne, rend leur son plus grave, sans leur Mre perdre de leur flexibilité.

614. Vérifications par l'expérienee. — Pour contrôler la première loi par l'expérience, on se sert du sonomètre ; on place un chevalet au milieu,

aux deux tiers, aux trois quarts de la corde, et la plus grande de ses deux

parties produit l'octave, la quinte, la tierce majeure, c'est-à-dire des nombres de vibrations qui sont à celui de la corde entière, dans les rapports 4, f , J. Mersenne a aussi vérifié cette loi, au moyen de cordes assez longues pour qu'il pût en compter directement les vibrations.

Pour vérifier les autres lois, on tend, avec des poids égaux, deux cordes de même longueur et de même substance, dont les diamètres sont doubles l'un do l'autre, et l'on voit si la plus grosse donne bien l'octave grave de la plus fine. Si l'on tend deux cordes identiques avec des poids qui soient entre eux comme 1 est à 4, la plus tendue devra donner l'octave aiguë de l'autre. Enfin, si l'on prend deux cordes égales etégalement tendues, l'une en boyau, l'autre en laiton, substances dont les densités sont comme 1 est à 9, la corde à boyau devra

donner un nombre de vibrations triple de celui de l'autre corde, c'est-à-dire l'octave de la quinte du son de cette dernière.

Le sonomètre différentiel de M. Marloye (553) est surtout commode pour ces sortes d'expériences ; après avoir pris sur une des cordes tendue au moveo d'une cheville, l'unisson du son que produit une autre corde mise dans des conditions déterminées, on change ces conditions et l'on compare le soo nouveau qu'elle engendre à celui de la première corde qui n'a pas été dérangée.

Bandes minées. — Au lieu de cordes cylindriques, on peut tendre des bandes minces membraneuses ou métalliques; mais on ne peut les faire vibrer avec l'archet, qui produirait des effets de torsion ; on se contente de les frapper avec un petit marteau en liège fixé au bout d'une baguette en baleine. Mersenoe a reconnu que ces bandes suivent les mêmes lois que les cordes cylindriques, données par la formule |i].

Désaeeord avee la théorie. — Lorsqu'on fait les expériences avec soin, on trouve que les nombres de vibrations des cordes ou des bandes ne sont pas

Fig. 4 Go.

exactement les mêmes que ceux qu'indique la théorie. Ainsi, le plus aigu des deux sons que l'on compare est toujouis un peu trop bas; quand la corde est partagée en deux, chaque moitié donne un son plus bas que l'octave aigué, de \ de ton environ. Plus les cordes sont grosses et courtes, plus l'erreur est prononcée ; elle peut aller à { ton pour la loi des diamètres, quand ils sont doubles l'un de l'autre. Mersenne, dés 1736, avait reconnu que cette loi ne se vérifiait pas exactement.

On a voulu expliquer le désaccord entre la théorie et l'expérience, par le défaut de fixité des points d'attache de la corde, dont les vibrations se communiquent aux corps sur lesquels elle est tendue, de sorte que les vibrations de ceux-ci réagissent sur celles de la corde et en modifient la durée. Dans le cas de la loi des tensions, le poids ne transmet pas intégralement son effort, à cause du frottement de la poulie. Savart a cherché à se mettre à l'abri de ces diverses influences; il a d'abord construit un monocorde qui peut se placer verticalement, pour éviter le frottement de la poulie. Cet instrument consiste en une caisse renforçante BA {fig. 465) sur laquelle est tendue une corde «w,

Fig 466.

aa moyen d*un poids P. Les extrémités de la partie vibrante sont fixées, au moyen de pinces à vis a, 6, dont I une, 6, est portée par un chevalet mobile c, qui glisse le long d'une régie divisée. La caisse BA est appuyée sur une pièce de bois OD, qui peut se soulever jusqu'à la position verticale, en tournant autour de Taxe 0.

Savart, ayant encore trouvé, sur cet appareil , des différences notables avec les résultats de la théorie, tendit la corde sur une forte poutre verticale placée contre une muraille. Il employa pour chevalet une pince très massive, et fixa les extrémités de la corde dans des étaux très lourds. Malgré toutes ces précautions, destinées à empêcher la communication des vibrations de la corde aux masses qui la touchaient , le désaccord s*est encore manifesté. Savart en a conclu que la véritable cause d'erreur vient de ce que Il corde n'est pas d'une parfaite flexibilité, comme le suppose la théorie ; elle présente une certaine rigidité, qui se fait sentir surtout aux extrémités fixes, de manière que, au lieu de former une irochoUey amb ( fig. 466), qui coupe la droite ab aux points a et 6, comme Taylor l'a déduit de la théorie, elle forme une courbe tangente à cette droite, comme on le voit en am'b. Les vibrations sont donc dues, en . partie, à l'élasticité de flexion de la corde, ce qui en modifie la rapidité; et l'on conçoit facilement pourquoi Terreur est d'autant plus prononcée que la corde est plus courte. Les résultats que donne la théorie sont donc la limite vers laquelle tendent ceux de l'expérience, à mesure que la rigidité devient moins sensible.

61 S. Evalnatlon de l'Influence de la ri|;ldlté. — M. N. Savart est parvenu à apprécier par l'expérience les effets de la rigidité des cordes *. L'appareil dont il a fait usage est représenté dans la fig. 467. La partie vibrante, ac, de la corde est limitée par deux pinces, qui font partie d'une pièce en fer très épaisse, aicy serrée dans un étau e. La corde est tendue verticalement par des poids ; comme elle doit être tendue jusqu'à se rompre, pour diminuer l'efTort au point d'attache, où la rupture tend à se faire de préférence, à cause des plis du nœud , on lui fait embrasser des cylindres de bois mou, o, o', recouverts d'une peau sur laquelle le frottement retient la corde, de manière que les points d'attache ne supportent qu'une partie de sa tension.

Fig. 467.

ÂnnaUt de chimie et de physique, 3« sérle^ t. VI , p.

La longueur de la partie vibrante de la corde était de 0«,0805 ; comme elle reste la même dans toutes les expériences, la formule [1] peut s*écrire

« = cl/l,

en posant

P : p est la tension rapportée à l'unité de poids ou à Tunité de section de la corde. La formule [3] donne le nombre de vibrations théorique. Remplaçons l/P : p successivement par les valeurs 0, m, 2m, 3m,... il faudn faire P égal à

0, m^p, Am^p, 9m^p

m étant un nombre arbitraire. En chargeant la corde successivement avec des poids égaux à ces difl'érentes valeurs de P, on obtient les nombres de vibrations, N, correspondants, et on les compare à ceux que donne la formule [3|. Pour rendre les résultats plus faciles à saisir, M. N. Savart a porté les valeurs de V/FTjp sur Taxe ox (fig. 468), à Téchelle de i— pour 5 unités, et les nombres de vibrations, N, sur les ordonnées, à Féchelle de l"" pour 100 vibrations. 11 a obtenu ainsi la courbe a6. La formule (3) représente la ligne droite ocy dont on détermine un point n en faisant, par exemple, m = i/¥Tp = ^•

Fig. 4r»8.

La différence entre les résultats théoriques et ceux de l'expérience est représentée par la différence des ordonnées de la courbe i et de la droite oc.

On voit que le nombre de vibrations N donné par l'expérience est toujours plus grand que le nombre n que donne la théorie; mais en Ynéme temps, les ordonnées de la courbe ab croissant moins rapidement que celles de la droite oc, on voit que le son produit est plus grave par rapport à celui qui sert de point de départ, que la théorie ne l'indique, comme l'expérience le montre (614).

Quand la tension est nulle, on a w=0, et N=ofl. Alors, la corde vibre par son élasticité seule, comme le ferait une verge rigide cylindrique fixée par les deux extrémités; et comme, dans ces sortes de verges, les vibrations sont proportionnelles aux diamètres, on voit que les différences des ordonnées de la courbe et de la droite seront d'autant plus prononcées que la corde sera plus grosse. Pour un fil de cuivre, oa représente 900 vibrations.

En représentant par v la valeur oa que prend N quand la tension est nulle, on trouve que les nombres N, n et v satisfont à la relation

relation qui convient à une hyperbole rapportée à ses axes, ayant oe pour

asymptote, et oa pour axe transverse. En comparant les valeurs données par cette relation avec celles que fournil l'expérience directe, on trouve que la différence ne s'élève guère qu'à une vibration sur cent. Ce résultat a été vérifié avec des fils de cuivre, laiton, fer, acier, plomb*.

Il résulte de la relation [4], que le nombre de vibrations d'une corde se compose de deux éléments : l'un, n, est le nombre de vibrations théorique, c'est-àdire celui que donnerait une corde parfaitement flexible; l'autre v, indépendant de la tension, est celui qu'elle donnerait en vibrant sous l'influence de son élasticité seule, et le nombre de vibrations résultant N est tel que son carré est égal à la somme des carrés des deux quantités n et v , de môme que le carré de la résultante de deux forces concourantes rectangulaires est égal à la somme de leurs carrés.

L'influence de la rigidité étant représentée dans la valeur de n'^, par le carré d'une quantité constante, on voit que, plus n^ sera grand ou la charge considérable, moins l'influence de la rigidité sera sensible. Aussi, M. N. Savart a-t-il remarqué que les sons sortent plus facilement et sont plus purs et plus intenses, quand la charge se rapproche de celle qui produirait la rupture. Les cordes à boyau, chez lesquelles la rigidité est très faible, donnent des sons plus doux que les cordes métalliques, parce que la valeur de r^ est très petite vis à vis de n^, pour une môme tension.

646. M. Duhamel a montré que les résultats obtenus par M. N. Savart peuvent se trouver par la théorie. En effet, donnons au poids P, dans la formule n = cl/PTp, ou n^=c^(P:p) une valeur P' telle que le nombre de vibrations soit égal à v, qui correspond à une tension nulle; nous aurons v^=c^ (P' Ip). Si maintenant nous ajoutons cette charge P' à la corde flexible, elle sera dans le môme cas que la corde rigide, puisque l'effet de la rigidité sera remplacé par celui de la tension supplémentaire produite par le poids P'. Nous pourrons donc calculer le nombre N de vibrations d'une corde rigide, au moyen de la formule [3], en remplaçant le poids tendeur P, par P -h P', et nous aurons

N^ = c2 (P + P') , ou N» = n^ + v^ ; d'où N = [/f- (P + n

en remplaçant c par sa valeur. Le travail remarquable de M. N. Savart est donc venu compléter et confirmer la théorie des cordes vibrantes, en montrant le rôle que joue la rigidité.

6«7. Nœuds de iribratloii. — Une corde vibrante peut se partager en un certain nombre de parties égales an, nn\ n'6 (fig. 469), séparées par

1 Pour ce dernier métal, le son produit, quand il n'y avait phs de tension, n'étant pas perceptible, la valeur de v a été tirée de la relation [4] , après qu'on y eut remplacé N par une des Tnleurs données par Tobservation , et n par sa valeur correspondante, calculée au moyen de la formule théorique.

LOIS DU iian^*EME?iT vrnnATaiRE.

(les ncLnidi;, de part et d'autre deï>qucls les moiîVTniCiiLs snot au m insUinl en sens inverse ; s;ins eela le nœud ne pourrait être en repo! l*oiir produire cette subdivision de la corde, on fait entendre à côté, te «ju'engendrerait l'une des parties égiOes que Ton veut oUlcnir, La mn

tèranïée [lar corumunication j travers l'air, répète le tn^me

son ; et 1 si on la gnroil sravancÊ de petites bandes d'anneaux en papier, on I9 voit sauter dans les pznm vibrantes, et rester en re[H)(|| sur les nœuds. On pourra ainsi faiie que la corde se divise en % 3, 4, 5. jKirtiéîs égales, et doiine. par conséquent, les barnioniques du stni foiidanjental- Celte jolie expérience a été imaginée en 1G78 par William Noble etliioniis Pigot, a Oxfort, puis répandue par Waliis.

Une autre méthode, due k Sanvenr, consiste k partager la mrde en deux parties, par un chevalet n qui la presse lé^^érement, et de inanién que la plus grande contienne un nombre entier de fois la plus pelile Si Ton passe Tarchet vei^s le milieu de k plus petite , Ta titre vibre se partageant eu parties séparées par des nœuds et égales h la prcmi ère, ce que Ton reconnaît au moyen d*anneaux en (il ou en pi*pier.^ l'ar celle méthode. Sauveur pouvait faire entendre jusqu'au 128* liîirma nique ; alors la partie la plus longue contenait H8 fois la pins petite. C'cst^ par un moyen semblable que Ton fiiil rendre aux cordes du violon et (lu violoncelle ces sons llûtés qui ont tant de charme pour l^oreilïe ; il snll d'appuyer légèrement le doigt â un endroit on doit se former un nœud.

[a transmission du mouvement vibratoire, d'une partie de la corde i Tautre, s*explique par nue espèce de mouvement de bascule qui se fait

au point touché, à cause de la rigidité de la corde, de manit^re qv^ si elle s'abaisse d'un côté, elle s'élève nécessairement du coté opposé, qa doit alors vibrer â Tunisson.

Savart a imuginé un monocorde (fig. 410) qui permet de voir Ifl subdivisions de ta corde ; Il consiste en une t^ible noire AB, sur bquflll est tendue une grosse corde lllèe. Si on la louche lêgèrcmeul en point, », où doit se fornier un niL^ud, et qiùm Tatlaque vivement ave ïarGhel à côté de ce point, la corde présente l'apparence de plusk

HÉSONNANCË MULTIPLE. 571

foseaux séparés par des nœuds, dont le nombre dépend de la position du point touché.

648. Résonnance multiple. — C'est un fait qui était connu dWristole, que les sons graves sont accompagnés de sons plus aigus. Ce phénomène, connu sous le nom de résonnance multiple, est surtout remarquable avec les cordes.

Quand on fait résonner fortement une corde capable de donner un son intense et de bonne qualité, Ton entend, indépendamment du son fondamental, Toctave de la quinte et la double octave de la tierce, et, avec un peu d'attention, Foctave et la double octave du son fondamental. Mersenne entendait aussi la 17", la 19" et la 22«. Ces sons sont précisément les harmoniques 2, 3, 4, 5, 6, 7 du son principal. Nous avons vu (592) par quel moyen M. N. Savart est parvenu à les isoler et h les entendre séparément ^

Pour expliquer les sons harmoniques que produit simultanément une môme corde, on admet que, pendant qu'elle vibre dans son ensemble, elle se subdivise en parties égales qui vibrent en même temps, en donnant des sons plus aigus, qui dépendent de leur longueur. Par exemple, pour le premier harmonique, la corde se partage en deux parties égales et prend les inflexions a, 6, c, d, e [fig. 471),

chaquemoitié accomplissant deux vibrations .. ... -■■>^. :^

pendant que Tensemble n'en fait qu'une. ^ I^------'''"B-'::2:i:v^.".~^'^'^^

Celte explication, qui est la conséquence du principe de la coexistence des petites oscillations, et h laquelle conduit l'analyse ^ '^ mathématique, peut être vérifiée directement, au moyen du monocorde noir de — " - y Savart. Il suffit pour cela d'attaquer la corde, avec un archet, près du milieu; on ^ aperçoit alors un fuseau blanc présentant — ^-^--un étranglement au milieu, et quatre petits fuseaux plus blancs, aa (fiy. 472), ^"■" r:—--- ,^ provenant du passage plus fréquent de la corde dans les positions où elle se rappro- t'"g- ^71. che des limites de ses excursions, et où

le mouvement de l'ensemble se ralentit. Si l'on attaque la corde, près de l'extrémité d'un tiers, d'un quart, d'un cinquième..., on voit deux, trois, quatre... étranglements, dans chacun desquels on distingue des fuseaux plus blancs,

1 Rameau a voulu trouver dans ce fait Torigino de Taccord parfait, et le prendre pour point de départ d'un système d'harmonie ; mais la ri'sonnance multiple existe pour les verges rigides, les cloches, etc., et les sons concomitants ne sont pas dans les mêmes rapports avec le son fondamental^ que pour les cordes.

prés des limites d*excursions. Si Ton opère avec un bon sonomètre, on entend dans ces différents cas, le premier, le second, le troisième... harmonique, en même temps que le son fondamental.

On doit à M. Delezenne une remarque curieuse : si Ton passe Tarchet sur le milieu d'une corde, on n'obtient qu'un bruissement désagréable, au lieu d'un son musical. M. Marloye a montré qu'il en est de même quand l'archet est placé au tiers, au quart..., c'est-à-dire sur un des points de division qui correspondent aux harmoniques. Pour expliquer ce fait, M. Duhamel suppose que, lorsqu'une corde vibre, le premier harmonique tend à se produire, ce que l'archet empêche quand il est au

Fig. 472.

milieu, parce que sa largeur est assez grande pour que ses deux moitiés tirent la corde dans le même sens, de chaque côté du nœud. Il confirme cette explication en opérant avec deux archets placés sur les deux moitiés de la corde ; quand on les fait marcher dans le même sens, la corde ne peut résonner, tandis que, s'ils marchent en sens contraire, le sonfondamental se développe avec le premier harmonique. Comme la corde refuse de résonner quand l'archet frotte sur un point de division quelconque, il semble qu'il y ait un harmonique obligé, sans lequel le son fondamental ne pourrait sortir.

Cependant M. Antoine a reconnu qu'on peut obtenir un son pur en passant l'archet au milieu d'une corde : alors ce son n'est pas le son fondamental, mais un des harmoniques impairs, pour lesquels il y a un ventre au milieu. Dans ce cas, les nœuds sont immobiles, et le son n'est pas troublé quand on les touche. On peut obtenir ainsi beaucoup d'harmoniques impairs.

La résonnance multiple n'est pas un phénomène particulier aux cordes, car on l'observe dans les tuyaux d'orgue, les verges, les cloches, etc.

649. D<^ Instruments ft cordes. — Tous Ics inslnimcnts à corde sont composés, c'est-à-dire que le son y est renforcé par des lames élastiques, des masses d'air, auxquelles les cordes communiquent leur mouvement vibratoire. Sans cela les sons seraient très faibles, parce que les cordes ne frappent l'air que par une surface très étroite. On fait vibrer les cordes des instruments, soit au moyen de l'archet, comme pour le violon, la basse; soit en les pinçant, comme pour la harpe, la guitare; soit enfin par percussion, comme dans le piano. C'est sur le violon qu'ont surtout porté les recherches des physiciens.