IT

Fig. 499.

une verge de 1" environ et de 6™", 14- d'épaisseur, on a la disposition A A, BB (fig. 499); les nœuds sont disposés sur chaque face symétriquement par rapport au milieu w, et il y a deux nœuds consécutifs sur une des faces. Le nœud longitudinal n n'est marqué que sur la face opposée, et sa distance aux nœuds voisins 6 çt 9, est égale à la distance des autres nœuds, multipliée par |: Du reste M. Terquem ayant mesuré les distances des nœuds, les a trouvées égales à celles que donnent les formules de M. Lissajous, pour les vibrations transversales (621).

Si le nombre de nodaies de l'harmonique transversal est impair, on a la disposition CC ou DD, dans lesquelles les nœuds extrêmes sont sur des faces opposées. Il y a quelquefois passage brusque de cette disposition à la première, pour une faible diminution de longueur de la verge.

Il est facile de rendre compte de tous ces résultats au moyen du raisonnement ci-dessus (646), en remarquant que le mouvement longitudinal a lieu au môme instant, en sens opposé, dans les molécules situées de part et d'autre du nœud longitudinal n.

M. Terquem est arrivé à des résultats tout aussi satisfaisants en considérant le cas où il y a deux nœuds de vibrations longitudinales.

648. Vibrations loii{|;itudliiales provoquées par des vibrations transversales. — De même qu'un ébranlement longitudinal provoque des vibrations transversales, de môme en faisant produire directement à la verge un harmonique transversal, le son longitudinal se développe, s'il diffère peu de cet

harmonique. Si la différence est trop grande, le son longitudinal ne se produit pas. Si alors on raccourcit peu à peu la verge, les deux sons se rapprochent, le mouvement longitudinal commence à se produire, et Talternance des nœuds se manifeste, d'abord aux extrémités, puis de proche en proche jusqu'au milieu. Il est à remarquer que les nœuds présentent alors une disposition inverse de celle qu'ils affectent quand on produit directement les vibrations longitudinales.

Quand, en continuant Je raccourcir la verge, la différence des sons devient insensible à l'oreille, on a beaucoup de peine à produire directement, soit le mouvement longitudinal, soit le transversal. Si Ton fait vibrer la verge longiludinalement, le sable passe souvent, des nœuds qu'il indique d'abord aux nœuds intermédiaires. Quand on arrive à l'unisson, le sable passe sans cesse d'un système de nœuds au système intermédiaire, en restant quelquefois sur tous, mais en les dessinant toujours confusément.

Des phénomènes analogues ont lieu quand on ébranle la verge transversalement. 11 semble donc que l'un des mouvements ne peut exister sans l'autre ; quand un des sons est un peu plus haut que l'autre, le sable dessine certains nœuds sur la face supérieure, et quand ce son devient plus bas que l'autre, il dessine les nœuds intermédiaires ; de manière que, dans le cas de l'unisson, il y a indécision complète dans les mouvements du sable. Il semblerait, d'aprésces faits, que les vibrations coexistantes sont la conséquence d'un défaut d'homogénéité de la verge, et que si elle était parfaitement homogène, le son longitudinal pourrait se produire seul ; c'est, en effet, ce que Savart a constaté sur des bandes de glace, dont la structure devait se rapprocher d'une homogénéité parfaite.

649. Son ranqne. — Savart a remarqué que certaines verges, ébranlées longitudinalement avec énergie, produisent parfois un son rauque à l'octave grave du son longitudinal, et d'un timbre particulier. Ce son correspond à des vibrations transversales d'une amplitude assez grande pour que la verge puisse se briser quand elle est en verre. Savart avait cherché à rattacher ce nouveau phénomène à sa théorie (646) ; M. Wertheim en avait aussi donné une explication que nous indiquons plus loin (661); mais M . Terquem en rend compte d'une manière toute naturelle en l'attribuant à un mouvement transversal donnant un harmonique sensiblement à l'octave grave du son longitudinal. En effet, le son rauque se produit toujours quand cet harmonique existe, et ne se produit plus quand il n'existe pas. Du reste il ne sort que par intermittences, et le mouvement du sable est assez compliqué ; ce qui lient h ce que les molécules de la verge, sollicitées par des vibrations d'inégale durée, parcourent, en oscillant , des courbes en foimc de 8, semblables à celles que l'on obtient au moyen d'un rayon lumineux, dans les expériences de M. Lissajous (566), quand les deux diapasons sont à l'octave l'un de l'autre.

VIBRATIONS TOl-RN.iNTES. 609

S 5. — MBRATIONS TOURNANTES.

iv .-'--^

•S#. E.«te des ▼ibratioBstoarmaatcs. — Les vibrations tournantes OU par torsion, distinguées par Chladni, se développent dans une verge que Ton tient entre les doigts par le milieu, et que Ton frotte avec un archet dirigé perpendiculairement à sa longueur. Si la verge produit le son fondamental, du sable mis sur sa surface supérieure donne une ligne nodale longitudinale, qui la partage en deux parties égales, et de chaque côté de laquelle les mouvements alternatifs sont opposés. L'expérience montre que le nombre de vibrations par torsion est en raison inverse de la longueur et de la largeur, et proportionnel à l'épaisseur; la substance de la lame restant dans tous les cas la même.

Une même verge peut produire différents sons, en se partageant en parties vibrantes séparées par des lignes nodales transversales, indépendamment de la nodale longitudinale. Si la verge est libre aux deux bouts, fixée aux deux bouts, ou fixée à un bout seulement, les lignes nodales transversales, et la série des harmoniques, sont les mêmes que dans le cas des vibrations longitudinales. pig 500.

On peut , du reste, passer graduellement des modes de division qui correspondent aux vibrations tournantes, à ceux qui correspondent aux vibrations transversales. Pour effectuer ce passage, il suffit de déplacer peu à peu les doigts qui serrent la verge. La flg, 500 nous offre un exemple de cette transformation continue des lignes nodales, qui avait fait penser à Savart qu'il n'y avait pas de distinction réelle à établir entre les vibrations tournantes et les vibrations transversales.

D'après Chladni, le son d'une verge cylindrique ou prismatique est plus grave d'une quinte que le son longitudinal de la même verge partagée de la même manière. Dans son travail sur l'élasticité de torsion (440), M. Wertheim a trouvé pour l'expression du rapport entre le nombre n' des vibrations tournantes et le Qombre des vibrations longitudinales, dans le cas d'une verge carrée ou cylindrique, la formule #

||| A =1/1 = 1.6331; et JL = /j x ^^±^ . |2|

dans le cas d'une verge rectangulaire dont a et 6 sont les dimensions transversales.

A Annala de chimie cl de physique, 2« s^iHe, t. L. p. iôH,

608 LOIS DU MOUVEMEiNT VIBRATOIRE.

harmonique. Si la différence est trop grande, le son longitudinal ne se produit pas. Si alors on raccourcit peu à peu la verge, les deux sons se rapprochent, le mouvement longitudinal commence à se produire, et Talternance des nœuds se manifeste, d*abord aux extrémités, puis de proche en proche jusqu'au milieu. Il est à remarquer que les nœuds présentent alors une disposition inverse de celle qu'ils affectent quand on produit directement les vibrations longitudinales.

Quand, en continuant de raccourcir la verge, la différence des sons devient insensible à Toreille, on a beaucoup de peine à produire directement, soit le mouvement longitudinal, soit le transversal. Si Ton fait vibrer la verge longiludinalement, le sable passe souvent, des nœuds qu'il indique d'abord aux nœuds intermédiaires. Quand on arrive à l'unisson, le sable passe sans cesse duo système de nœuds au système intermédiaire, en restant quelquefois sur tous, mais en les dessinant toujours confusément.

Des phénomènes analogues ont lieu quand on ébranle la verge transve^sai^ ment. Il semble donc que l'un des mouvements ne peut exister sans l'autre ; quand un des sons est un peu plus haut que l'autre, le sable dessine certains nœuds sur la face supérieure, et quand ce son devient plus bas que l'autre, il dessine les nœuds intermédiaires ; do manière que, dans le cas de l'unisson, il y a indécision complète dans les mouvements du sable. Il semblerait, d'aprésc^s faits, que les vibrations coexistantes sont la conséquence d'un défaut d'homogénéité de la verge, et que si elle était parfaitement homogène, le son longitudinal pourrait se produire seul ; c'est, en effet, ce que Savart a constaté sur des bandes de glace, dont la structure devait se rapprocher d'une homogénéité parfaite.

649. SoB mnqne. — Savart a remarqué que certaines verges, ébranlées longitudidalement avec énergie, produisent parfois un son rauque à l'octave grave du son longitudinal, et d'un timbre particulier. Ce son correspond à des vibrations transversales d'une amplitude assez grande pour que la verge puisse se briser quand elle est en verre. Savart avait cherché à rattacher ce nouveau phénomène à sa théorie (646) ; M. Wertheim en avait aussi donné une explication que nous indiquons plus loin (661); maisM.Terquem en rend compte d'une manière toute naturelle en l'attribuant à un mouvement transversal donnant un harmonique sensiblement à l'octave grave du son longitudinal. En effet, le son rauque se produit toujours quand cet harmonique existe, et ne se produit plus quand il n'existe pas. Du reste il ne sort que par intermittences, et le mouvement du sable est assez compliqué ; ce qui tient a ce que les molécules de la verge, sollicitées par des vibrations d'inégale durée, parcourent, en oscillant , des courbes en forme de 8, semblables à celles que l'on obtient au moyen d'un rayon lumineux, dans les expériences de M. Lissajous (566), quand les deux diapasons sont à l'octave l'un de l'autre.

•SO. Lois des vibrations tournantes. — Les vibrations tournantes OU par torsion, distinguées par Chiadni, se développent dans une verge que Ton tient entre les doigts par le milieu, et que l'on frotte avec un archet dirigé perpendiculairement à sa longueur. Si la verge produit le son fondamental, du sable mis sur sa surface supérieure donne une ligne nodale longitudinale, qui la partage en deux parties égales, et de chaque côté de laquelle les mouvements alternatifs sont opposés. L'expérience montre que le nombre de vibrations par torsion est en raison inverse de la longueur et de la largeur , et proportionnel à l'épaisseur; la substance de la lame restant dans tous les cas la même.

aux deux bouts, fixée aux deux bouts, ou l fixée à un bout seulement, les lignes ir^ nodales transversales, et la série des har

moniques, sont les mêmes que dans le II i i ! J i I

cas des vibrations longitudinales. pig, 500.

On peut, du reste, passer graduellement des modes de division qui correspondent aux vibrations tournantes, à ceux qui correspondent aux vibrations transversales. Pour effectuer ce passage, il suffit de déplacer peu à peu les doigts qui serrent la verge. La fig, 500 nous offre un exemple de cette transformation continue des lignes nodales, qui avait fait penser à Savart qu'il n'y avait pas de distinction réelle à établir entre les vibrations tournantes et les vibrations transversales.

D'après Chiadni, le son d'une verge cylindrique ou prismatique est plus grave d'une quinte que le son longitudinal de la même verge partagée de la même manière. Dans son travail sur l'élasticité de torsion (440), M. Wertheim a trouvé pour l'expression du rapport entre le nombre n' des vibrations tournantes et le i)ombre des vibrations longitudinales, dans le cas d'une verge carrée ou cylindrique, la formule #

|i| JL^/ï^ 1,6331; et JL^VJ x'^à±, |2|

dans le cas d'une verge rectangulaire dont a et 6 sont les dimensions transversales.

< Annales de chimie et de physique, 2« scrie, t. L, p. 258.

6Sf • Explication ées II^bcs nodales. — M. Terquem explique la formation des lignes nodales dans les vibrations tournantes, par les impulsions que donnent obliquement au sable les molécules superficielles des verges. Par exemple, supposons une verge à surface plane, et soit ABCD {fig.bO\) sa seftioa droite; les déplacements par torsion des molécules o,o\ déplacements perpendiculaires koCyO'c\ seront, en général, obliques aux faces latérales, excepté pour les molécules placées au milieu m de la largeur d*une face, où le mouvement sera tengentiel. Le sable sera donc lancé obliquement pendant le mouvement à l'extérieur, des arêtes vers le milieu, où il s'arrêtera, les mouvements te»gentiels alternatifs en m ne pouvant le soulever ; de là la nodale longitudinale. Quant aux nodales transversales qui se produisent, pour les harmoniques, elles sont dues à ce que les torsions alternatives sont de sens inverse, au même instant, de part et d'autre de ces lignes ; les molécules superticielles y sont donr en repos. Du reste, ces lignes sont très fines, et le sable y reste quand il s'y trouve, mais il ne s'y transporte pas.

6S8. Coexistence éem vibrations tonmantes et lonfltndl^ales. — Quand on fait vibrer longitudinalement une lame assez large, elle se couvre de nodales courbes (fig. 494), qui s'expliquent facilement par la coexistence de vibrations tournantes à peu prés à l'unisson des vibrations longitudinales. M. Terquem, auquel on doit encore cette explication \ remarque d'abord qu'il ne peut exister un harmonique par torsion, à l'unisson du son longitudinal , pour les verges carrées ou cylindriques ; car, d'après la formule [ij (650), le rapport n l n' des nombres de vibrations est indépendant delà longueur et des dimensions transversales^et, de plus, il est incommensurable. La formule (2|.

qui devient -^ = 1/ — . ^ — r — , quand on y introduit un coefficient de

correction c, à cause du désaccord qui existe pour les vibrations tournantes, entre la théorie et l'expérience, montre que, dans le cas des verges rectangulaires, le rapport n : n' peut devenir égal à l'unité, pour diverses valeurs de a et 6. Alors la coexistence des vibrations tournantes détermine la formation de nodales alternant sur les deux faces.

Soit 0 (/?5f. 501) une molécule et oMa direction du mouvement, normal à oc, qu'elle reçoit par torsion à un instant donné. Le mouvement longitudinal ayant lieu au même instant suivant ol, la molécule se déplacera suivant or dans un plan perpendiculaire à oc, et lancera le sable à chaque mouvement en dehors, vers le nœud n. Le sable viendra aussi de A' en w, le mouvement de torsion étant, dans cette partie de la verge, en sens inverse de ce qu'il est en A». En dessous, sur la face DC, le mouvement des molécules superficielles éloignera au contraire les grains de sable de la ligne nn' puisqu'il ne sera chassé que pendant le mouvement suivant o'r parallèle et opposé à or, si l'on suppose les molécules o' eto" placées symétriquement par rapport à f. On voit aussi que la molécule o' aura, au moment considéré, un mouvement

» Annales de chimie et de physique, 3« série, l. LVII, p. 4 68.

suivant r\ en dedans et vers B\ la torsion se faisant suivant/'; de sorte que son mouvement p, en dehors, éloignera le sable, de B'. On voit représentées par des flèches (fig. 502), les projections des résultantes extérieures or, o'p, o'r, sur les deux faces de la lame, à un instant donné. Les nœuds sont disposés de la même manière que si les deux moitiés de la verge séparées par la ligne nodale médiane vibraient transversalement ei en sens contraire. Quand on fait Texpérience, on voit le sable glisser en formant de chaque côté de la nodale médiane deux courants contraires séparés par une mince ligne de sable en repos. En mémetemps, on voit que les nœuds transversaux se réunissent au nœud longitudinal, par des parties courbes où le sable s'arrête, parce que Tamplitude des mouvements de

Fig. 501 .

Fig. 502.

torsion, très faible prés des nodales transversales, et dirigé presque tangentiellement prés de la nodale médiane, n*a plus la force de chasser le sable.

Quand les lames sont très larges et de formes diverses, ralternance des lignes nodales s'explique toujours au moyen des mêmes principes, et les courbures bizarres qu'elles affectent se rattachent à la coexistence de vibrations transversales ou tournantes, ou des deux à la fois , avec les vibrations longitudinales.

M. Terquem a conclu de l'ensemble de ses expériences que : si dans un corps solide deux modes différents de vibration peuvent produire le même son, ils devront exister simultanément, quel que soit le mode d'ébranlement adopté.

Caiéidophone. — Il résulte du phénomène de la coexistence habituelle des vibrations longitudinales, transversales et tournantes, que les molécules des corps vibrants parcourent dans leurs vibrations, non des lignes droites, mais des courbes plus ou moins compliquées. Ce fait peut être mis en évidence au moyen Aucaléidophone de M. Wheatstone. Cet instrument consiste en une verge élastique implantée dans une caisse sonore, et portant à son extrémité libre un globule d'acier poli ou de verre étamé, sur lequel la lumière forme, en se réfléchissant, un point brillant. Quand on fait vibrer la verge, le point brillant décrit une ligne à courbures variées. Le globule, fixé vers le milieu d'une corde vibrante, dessine aussi une courbe brillante, qui indique que ses vibrations ne se font pas dans un même plan.